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www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 1/20 TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA (Oposiciones de Enseñanza Secundaria) ------------------------------------------------------------------------------- TEMA 6 MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UNA PARTÍCULA. CINEMÁTICA Y DINÁMICA. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR. APLICACIÓN AL MOVIMIENTO DE LOS ASTROS. Esquema 1. Introducción. 2. Cinemática de la rotación de una partícula. 2.1. Movimiento circular uniforme. 2.2. Movimiento circular uniformemente acelerado. 2.3. Relación entre magnitudes angulares y lineales.. 3. Dinámica de la rotación de una partícula. 3.1. Componentes intrínsecas de la fuerza. 3.2. Momento de la fuerza sobre la partícula. 3.3. Momento Angular de una partícula en rotación. 3.3.1. Variación del Momento Angular 4. Conservación del Momento Angular de la partícula en rotación. 4.1. Sistema en rotación aislado. 4.2. Condiciones de Momento Angular constante. 4.3. Impulso Angular. Relación con el Momento Angular. 5. Movimiento de rotación en sistemas no-inerciales. 5.1. Movimiento relativo. 5.1.1. Velocidad. 5.1.2. Aceleración. 5.2. Fuerza centrífuga. 5.3. Fuerza de Coriolis. 6. Aplicación al movimiento de los astros. 6.1. Definición de Fuerza Central. 6.2. Teorema de las áreas. Velocidad areolar. (2ª ley de Kepler). 6.3. Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. 6.4. Energía de la partícula sometida a fuerza central. 6.5. Órbitas elípticas. Leyes de Kepler. . www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 2/20 TEMA 6 MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UNA PARTÍCULA. CINEMÁTICA Y DINÁMICA. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR. APLICACIÓN AL MOVIMIENTO DE LOS ASTROS. 1. INTRODUCCIÓN Muchos de los movimientos que observamos a nuestro alrededor, como el de un tiovivo de feria, el de una puerta, el de una peonza, etc. son movimientos de rotación. Así, fenómenos observados en la naturaleza, como el movimiento de los astros son también de rotación. Normalmente, los movimientos observados en la naturaleza no son puramente traslaciones o rotaciones. Así, las ruedas de una bicicleta giran al mismo tiempo que se trasladan. Un tornillo gira y se traslada cuando se introduce en un material. El movi- miento más general de un cuerpo es la composición de una traslación y una rotación, independientes entre sí. Mientras nos ocupemos únicamente del movimiento en línea recta estaremos lejos de comprender los movimientos observados en la naturaleza. Para entenderlos nos vemos obligados a estudiar movimientos sobre trayectorias curvas y determinar las leyes que los rigen. En el estudio del movimiento de rotación de los cuerpos, éstos son muchas veces considerados como una partícula al comparar su tamaño con la amplitud de su movimiento. Así por ejemplo, para un astrónomo, una estrella, e incluso una galaxia, pueden ser consideradas como partículas. Los resultados que obtenemos del estudio del movimiento de rotación de una partícula, son fundamentales para el análisis del movimiento de un sólido rígido (siste- ma de partículas unidas rígidamente) puesto que conocido el movimiento de una de sus partículas, se conocerá el de cualquiera de las que lo constituyen. 2. CINEMATICA DE LA ROTACION DE UNA PARTÍCULA. En el movimiento de rotación de una partícula, ésta describe una trayectoria circu- lar. Este movimiento circular se caracteriza por un radio de curvatura R constante e igual al radio de la circunferencia trayectoria. 2.1. Movimiento Circular Uniforma. En todo movimiento circular se verifica que mientras el punto material describe un arco de circunferencia s, el radio barre un ángulo ϕ. De la Fig.1 tenemos que: s=R·ϕ. Aplicando la ecuación de definición de la velocidad instantánea (v=ds/dt) y conside- rando que el radio es constante (R = cte.), obtenemos: dt d R dt ds v ϕ .== y el cociente: ωϕ = dt d (1) www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- Temario Específico-Tema 6 3/20 se denomina velocidad angular y está definido como la variación del ángulo descrito por el vector posición en la unidad de tiempo. Su unidad en el Sistema Internacional es el rad/s. (Recordemos que el radián es el ángulo que subtiende un arco de circunferencia igual en longitud a su propio radio). La velocidad angular puede expresarse como un vector cuya dirección es perpendicular al plano del movimiento y cuyo sentido es el del avance de un sacacorchos que gira como la partícula (Fig.2) y está relacionada con el vector velocidad de la partí- cula v r por la expresión: Rv rrr ∧=ω siendo los vectores velocidad y vector velocidad angular siempre perpendiculares. De interés especial es el caso del movimiento circular uniforme, en el que la velocidad angular es constante ω=cte. y por tanto se puede escribir: cte dt d == ϕω dtd .ωϕ = integrando ∫ ∫= dtd .ωϕ Ct += .ωϕ Para averiguar el valor de C, hacemos t=0 y obtenemos: C=ϕ0 (desplazamiento angular inicial). La ecuación del desplazamiento angular quedará: ϕ = ϕ0 + ω.t Normalmente se toma t=0 en el instante en que el móvil pasa por el origen de ángulos, entonces: ϕ=ω·t → tϕω = En el movimiento circular uniforme, la única aceleración existente es la acelera- ción centrípeta, aceleración normal o aceleración radial ya que es la dirección el único atributo de la velocidad que varía y viene dada por la expresión: R v an 2 = Este movimiento es periódico puesto que la partícula pasa por cada punto de la circunferencia-trayectoria a intervalos regulares de tiempo. El periodo (T) se define como el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa y la frecuencia (ν) se define como el número de vueltas dadas en la unidad de tiempo. Así, por ejemplo, si en el tiempo t, la partícula realiza n vueltas, el periodo es T = t/n y la frecuencia ν=n/t. Se observa que ambas magnitudes están relacionadas por la expresión: T 1=ν 2.2. Movimiento Circular Uniformemente Acelerado. Cuando la velocidad angular de una partícula cambia con el tiempo, aparece una aceleración angular que viene definida por el vector: dt dωα = (2) cuya unidad, en el Sistema Internacional es el rad/s2. www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 4/20 Cuando la aceleración angular es constante, es decir, movimiento uniformemente acelerado, tenemos, integrando la ecuación (2): ∫ ∫= dtd .αω à Ct += .αω y haciendo t=0 resulta C=ω0 velocidad angular inicial, la expresión anterior quedará: t⋅+= αωω 0 (3) como: dt dϕω = à dttdtd ).(. 0 αωωϕ +== e integrando: ∫ ∫+= dttdt .0 αωϕ à '2 1 2 0 Ctt ++= αωϕ haciendo t=0 tenemos que C’=ϕ0 (ángulo inicial); por tanto el valor del desplazamiento angular ϕ es: 200 2 1 tt αωϕϕ ++= (4) Eliminando t entre las ecuaciones (3) y (4) resulta: ϕαωω ..220 2 += Las ecuaciones (3) y (4) son análogas a las deducidas para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. 2 00 .2 1 tatvss ++= tavv .0 += savv ..2 2 0 2 += La aceleración angular puede expresarse, al igual que la velocidad angular, como un vector que está relacionado con la aceleración tangencial at por el producto vectorial: Ra t rrr ∧=α FIG.3 2.3. Relación de las magnitudes lineales y angulares. La relación existente entre el espacio lineal o arco recorrido s y el espacio angular o ángulo subtendido por dicho arco, ya ha sido introducida en la Fig.1: Rs .ϕ= Vamos a deducir las relaciones existentes entre las velocidades y aceleraciones lineales y angulares. Comola velocidad se define como la derivada del espacio respec- to del tiempo: dt ds v = siendo Rs .ϕ= y R=cte resulta: ωϕ .. R dt d Rv == (5) ecuación escalar que relaciona los módulos de ambas magnitudes. Para encontrar la relación vectorial entre v r y ω r hay que considerar que una partí- cula se mueve siempre alrededor de un eje. Si tenemos en cuenta la definición de ω r se deduce que es un vector perpendicular al plano de giro y por tanto al radio R r (Fig.2). A su vez v r será perpendicular a R r y a ω r , y por tanto, la expresión vectorial de la ecua- ción (5) será: Rv rrr ∧=ω (6) Puede definirse la velocidad lineal como “el momento de la velocidad angular respecto de la partícula A” luego: ωrrr ∧= rv y siendo Rr rr −= sustituyendo resulta: RRv rrrrr ∧=∧−= ωω www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 5/20 Si a la ecuación (5) la derivamos respecto al tiempo, se obtiene: R dt d dt dR dt dv .. ωω += (7) El primero de los sumandos del se- gúndo miembro es nulo, ya que la trayec- toria es circular y por ello R=cte, y tenien- do en cuenta que at=dv/dt (según las com- ponentes intrínsecas de la aceleración) podemos escribir la ecuación (7) de la forma: Ra t .α= (8) ecuación que nos relaciona los módulos de ambas aceleraciones. Por definición del módulo de la aceleración normal (según las componentes intrínsecas) an=v2/R y teniendo en cuenta la ecuación (5) obtenemos: Ran 2ω= Para obtener la relación vectorial entre las aceleraciones angular, tangencial, nor- mal y total, derivemos con respecto al tiempo la expresión (6) y tendremos lo siguiente: dt Rd R dt d dt vd r rr rr ∧+∧= ωω Por las definiciones de aceleración total, aceleración angular y velocidad lineal, la expresión quedará: vRa rrrrr ∧+∧= ωα o bien, sustituyendo la expresión (6): ( )RRa rrrrrr ∧∧+∧= ωωα (10) y si comparamos ésta con la expresión vectorial de las componentes intrínsecas de la aceleración, nt aaa rrr += obtenemos: ( ) vRa Ra n t rrrrr rr ∧=∧∧= ∧= ωωω α (11) Por otra parte, si aplicamos la relación vectorial: ( ) ( ) ( )CBABCACBA rrrrrrrrr •−•=∧∧ a la segunda de las ecuaciones (11) tenemos para la aceleración normal o centrípeta, la siguiente expresión en dos componentes: ( ) ( ) ( )RRRan rrrrrrrrr ωωωωωω •−•=∧∧= El primer término del segundo miembro es cero, pues ωr y R r son perpendiculares y su producto escalar es nulo; el segundo término se escribe: RR rrrr 2)( ωωω −=•− . El signo negativo indica que el término es opuesto a la dirección del radio R (o sea, hacia el centro) luego tendrá un vector unitario normal ( )RRun / rr −= , resultando: nn uRRa rrr .22 ωω =−= Igual que hemos razonado antes con la velocidad lineal, si observamos la expre- sión (11) para la aceleración tangencial, puede definirse como “el momento de la aceleración angular”. www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 6/20 3. DINÁMICA DE LA ROTACIÓN DE UNA PARTÍCULA 3.1. Componentes intrínsecas de la Fuerza. Cuando se aplica sobre una partícula una fuerza neta F r que varía de dirección con el tiempo )(tF o bien, las direcciones de ( )tFr y ( )tvr son distintas, se produce en ambos casos, un movimiento curvilíneo. Se puede obtener información considerando las componentes intrínsecas de la fuerza (radial y tangente a la trayectoria de la partícula). La relación de las componentes de la aceleración y la fuerza en un movimiento curvilíneo, se ilustran en la Fig.5. De la relación F=m.a y de las definicio- nes de las componentes de las aceleraciones: Rva dtdva n t 2 = resultan las componentes de la fuerza: dtdvmamF tt .. == (12) RvmamF nn 2.. == (13) La fuerza tangencial es la responsable del cambio en la magnitud de la velocidad y la fuerza normal o centrípeta es responsable del cambio en la dirección de la velocidad. Si Ft=0 entonces at=0 y el movimiento es circular y uniforme. Si Fn=0 entonces an=0 y el movimiento es rectilíneo. Si la partícula recorre una trayectoria circular de radio R entonces: Fn=m. v2/R=m.ω2R. Para el caso del movimiento circular uniforme, la única aceleración es la acelera- ción centrípeta y la fuerza puede expresarse vectorialmente: nn amF rr .= sustituyendo (11): ( ) ( ) pvmvmFn rrrrrrr ∧=∧=∧= ωωω .. (14) donde p r es el momento lineal de la partícula. Ésta es una relación matemática útil entre la fuerza, la velocidad angular y el momento lineal de una partícula en movimiento circular uniforme. Debe observarse que la fuerza centrípeta no es una fuerza más a añadir a las que actúan sobre la partícula, sino que llamamos así a la resultante de las componentes de todas las fuerzas reales actuantes, en la dirección radial y sentido hacia el centro de curvatura. 3.2. Momento de la fuerza sobre la partícula. Consideremos una fuerza F r que actúa sobre una partícula localizada en un punto P del espacio y un punto fijo O en un cierto sistema de referencia inercial. El momento de la fuerza F r respecto a O es el producto vectorial del vector posición de la partícula con respecto a O por el vector F r . Designamos por M r a dicho momento: www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- Temario Específico-Tema 6 7/20 FrM rrr ∧= (15) de modo que el momento M r es un vector perpendi- cular al plano determinado por r r y F r y su sentido es determinado por la regla del sacacorchos (Fig. 6). Obsérvese que el momento de una fuerza tiene dimensiones de fuerza por longitud (ML2T-2) que son las mismas que las del trabajo. Sin embargo, ambas son magnitudes físicas conceptualmente dis- tintas. El momento es una magnitud vectorial y el trabajo es escalar. El Momento se mide en N.m. El momento de la fuerza sobre la partícula es la causa de que ésta sufra rotación. Si consideramos las componentes intrínsecas de la fuerza, resultará: ( ) ntnt FrFrFFrFrM rrrrrrrrrr ∧+∧=+∧=∧= El segundo término del segundo miembro es nulo, ya que r r y nF r son paralelos, luego: tFrM rrr ∧= (16) o sea, que la componente normal de la fuerza no produce momento. 3.3. Momento angular de una partícula en rotación. El Momento Angular es en la rotación lo mismo que el Momento Lineal o can- tidad de movimiento en la traslación y mide el estado dinámico rotacional que va a depender de la masa, de la velocidad y de la distancia de la partícula al centro. Supongamos una partícula de masa m, cuyo vector de posición en un instante dado es r r , mo- viéndose con velocidad v r respecto a un punto O, origen del vector r r (Fig.7). Llamamos Momento Angular de la partícula con respecto a O, a un vector L r que es el producto vectorial de r r por el vector Momento Lineal p r de la partícula. Es de- cir, el Momento Angular es el momento del Mo- mento Lineal de la partícula. vmrprL rrrrr .∧=∧= L r es un vector perpendicular al plano definido por r r y vm r y su sentido es el determinado por la regla del sacacorchos. Para el caso de una trayectoria circular, el valor del momento angular es máximo ya que r r y p r son vectores perpendiculares. Teniendo en cuenta querv rrr ∧=ω y 0=• rrrω se sigue que: [ ])(. rrmvrmL rrrrrr ∧∧=∧= ω y aplicando: ( ) ( ) ( )CBABCACBA rrrrrrrrr •−•=∧∧ resulta: rrmrmL rrrrr )(. 2 •−= ωω o sea: ωr r 2mrL = (18) www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- Temario Específico-Tema 6 8/20 3.3.1. Variación del Momento angular. Con objeto de investigar acerca del significado físico del Momento angular L r , estudiaremos como varía en el transcurso del tiempo. Para ello, realizaremos la derivada con respecto al tiempo: ( ) dt vd mrvmv dt vd mrvm dt rd vmr dt d dt Ld r rrr r rr r rr r ∧+∧=∧+∧=∧= donde, el primer término del último miembro es nulo 0=∧ vmv rr pues donde, v r y vm r son vectores paralelos, luego la expresión quedará: MFramr dt Ld rrrrr r =∧=∧= y constituye la 2ª ecuación del movimiento. Esta ecuación nos dice que el momento de la fuerza neta, respecto de un punto, que actúa sobre una partícula es igual a la derivada temporal del momento angular de ésta, respecto de dicho punto, o sea, a la variación del momento angular a lo largo del tiempo. Esta ecuación guarda semejanza con la 1ª ecuación del movimiento dtpdF rr = que expresa que la fuerza produce variación del momento lineal a lo largo del tiempo. 4. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR DE LA PARTÍCULA EN ROTACIÓN 4.1. Sistema de rotación aislado. Si el momento, respecto de un punto, de la fuerza neta que actúa sobre una partí- cula es nulo, su momento angular respecto del mismo punto, permanece constante con el tiempo. (Teorema de la conservación del Momento Angular). Si 0=M r 0/ =dtLd r cteL = r Un sistema que no está sometido a ningún momento, se dice que es un sistema de rotación aislado. 4.2. Condiciones de Momento Angular constante. El momento angular de una partícula es constante en ausencia de momento de fuerza )0( =∧= FrM rrr . Naturalmente, el momento será nulo si la fuerza aplicada o la resultante de las fuerzas aplicadas es nula, esto es, cuando se trata de una partícula libre. Pero el momento de la fuerza también es nulo cuando la fuerza es paralela al vector de posición r r . Una fuerza de estas características, recibe el nombre de fuerza central que se estudiará más adelante. El que el momento angular de la partícula sea constante, significa que debido a su carácter vectorial, será constante su módulo, su dirección y su sentido. La constancia en la dirección y sentido implica que la trayectoria de la partícula está confinada en un plano invariable que será perpendicular a la dirección del vector momento angular, es decir, la partícula se mueve en un plano fijo que no puede cambiar de orientación. Es lo que se llama invarianza en el plano de rotación. Los planetas, sometidos exclusivamen- te a la fuerza central gravitatoria del Sol, mantienen constante su momento angular y no pueden variar el plano de rotación alrededor del Sol. www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 9/20 4.3. Impulso angular. Relación con el Momento Angular. De la 2ª ecuación del movimiento MdtLd rr =/ se deduce que el cambio en el mo- mento angular de la partícula durante un intervalo de tiempo infinitesimal dt es igual al producto del Momento de la fuerza aplicado por el diferencial de tiempo dt : dtMLd . rr = (20) La variación total que sufre el momento angular durante un intervalo de tiempo comprendido entre t1 y t2 vendrá dado por la ecuación integral: ∫ ∫ ∆=−=== 2 1 2 1 12. t t L L LLLLddtMJ rrrrrr (21) donde J r es el Impulso Angular y la ecuación anterior se interpreta diciendo que “el impulso angular que produce el momento de la fuerza que actúa sobre la partícula du- rante un tiempo es igual a la variación del momento angular que sufre la partícula”. El impulso angular es una magnitud vectorial y mide, en cierto modo la efectivi- dad del momento de la fuerza para producir cambios en el momento angular, o sea, en el estado dinámico rotacional de la partícula. La ecuación (21) es análoga a la del Impulso Lineal definido en la dinámica de traslación: ∫ ∫ ∆=−=== 2 1 2 1 12. t t p p ppppddtFI rrrrrr 5. MOVIMIENTO DE ROTACIÓN EN SISTEMAS NO INERCIALES La ventaja de escoger un sistema de referencia inercial para describir los procesos dinámicos es evidente, ya que en esos sistemas, las leyes del movimiento se pueden expresar mediante las leyes de Newton. Sin embargo, existen algunos problemas que pueden ser resueltos más fácilmente utilizado un sistema de referencia no-inercial. Así, para describir el movimiento de una partícula sobre la superficie terrestre puede resultar más conveniente utilizar un sistema de referencia ligado a la Tierra (que gire con ella), que es no-inercial y aunque la solución de muchos problemas puede obtenerse con alto grado de exactitud ignorando esa circunstancia, existen importantes fenómenos que son el resultado de la naturaleza no inercial de estos sistemas de referen- cia (sistema terrestre o laboratorio). 5.1. Movimiento relativo. Vamos a considerar el movimiento de un punto material referido a un sistema de referencia en movimiento y a su vez, dicho sistema en movimiento lo referenciamos a otro sistema de referencia que consideraremos fijo absoluto. Estudiaremos a continua- ción tanto la velocidad como la aceleración del punto móvil en su movimiento general referido a ambos sistemas. 5.1.1. Velocidad. Supongamos un sistema de ejes fijos (OXYZ) y otro (O’X’Y’Z’) dotado de un movimiento cualquiera (sistema no-inercial), e independientemente una partícula móvil www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 10/20 P se mueve en el sistema. Conocido el movimiento de P respecto al sistema no-inercial, (O’X’Y’Z’) vamos a determinar el movimiento respecto al sistema inercial (OXYZ). Tal como se aprecia en la Fig.9, el vector de posición de la partícula con respecto al sistema fijo es: 0' rrr rrr += (22) derivando con respecto al tiempo tenemos: dt rd dt rd dt rd 0' rrr += o sea 0' vvv rrr += (23) Vamos a adoptar las siguientes notaciones: P(x,y,z) Coordenadas de P respecto de O P(x’y’,z’) Coordenadas de P respecto de O’ O’(x0,y0,z0) Coordenadas de O’ respecto de O de esta forma llamaremos a:: k dt dz j dt dy i dt dx dt rd v rrrrr ++== (24) velocidad absoluta de P respecto de O. El vector 'r r lo expresaremos: ''''''' kzjyixr rrrr ++= y como 'i r , 'j r y 'k r , que son los vectores unitarios (versores) unidos al sistema móvil (O’X’Y’Z’), no son constantes con el tiempo, sino que varían con el movimiento del sistema, resulta: +++ ++= dt kd z dt jd y dt id xk dt dz j dt dy i dt dx dt rd ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' '' rrr rrrr (25) Al primer paréntesis lo llamaremos velocidad relativa )( rv r de la partícula referida a O’ (velocidad medida por un observador situado en O’) ' ' ' ' ' '' k dt dz j dt dy i dt dx dt rd vr rrrrr +== (26) Para conocer el segundo paréntesis de la igualdad (25) necesitamos calcular el valor de las derivadas, respecto del tiempo, de los vectores unitarios. Esta cuestión se resuelve como un caso particular del movimiento del sólido rígido, considerando al sistema como si estuviese formado por los tres vectores unitarios como tal. De la Fig.10 obtenemos que el vector 'i r respecto de O viene dado por 0' rri i rrr −= Derivando con respecto al tiempo: 0 ' vv dt id i rr r −= pero por tratarse de un movimiento de un sistema rígido, tenemos que:'' 00 ivIOvv i rrrrrr ∧+=∧+= ωω ecuación que expresa que la velocidad, respecto de O, de un punto designado por el vector de posición, 'i r en este caso, es igual a la velocidad del sistema móvil O’ respecto del sistema fijo O, designada por 0v r más la velocidad del punto respecto del sistema móvil O’, designada por 'i rr ∧ω . www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 11/20 Esta ecuación sustituida en la anterior, resulta: ' ' i dt id rr r ∧=ω y haciendo lo mismo para 'j r y para 'k r obtenemos: ' ' j dt jd rr r ∧=ω '' k dt kd rr r ∧=ω que constituyen el grupo de las llamadas fórmulas de Poisson, que sustituidas en (25) nos queda: ( ) '''''''' rvkzjyixvv rr rrr rrrrrrrr ∧+=∧+∧+∧+= ωωωω (27) Por otro lado, teniendo en cuenta que la posición del sistema móvil respecto del fijo es: kzjyixr rrrr 0000 ++= la velocidad del sistema móvil respecto del fijo será: k dt dz j dt dy i dt dx dt rd v rrrrr 0000 0 ++== (28) Y finalmente, obtenemos para la velocidad absoluta v r -ecuación (23)-, sustitu- yendo la ecuación (27) la siguiente expresión: ( )'0 rvvv r rrrrr ∧++= ω (29) donde, al segundo sumando (encerrado en el paréntesis) se le llama velocidad de arrastre ( )av r y es la velocidad que tendría el punto P si estuviese unido a O’ formando un sistema rígido. Nos queda como igualdad fundamental de movimiento relativo: ar vvv rrr += 5.1.2. Aceleración. Obtenemos la aceleración con que se mueve la partícula con respecto a O, derivando (29) con respecto al tiempo: dt rd r dt d dt vd dt vd dt vd a r ' '0 r rr rrrr r ∧+∧++== ωω (30) El Primer término de esta expresión ( dtvd r / r ), se determina derivando (26) res- pecto al tiempo, es decir: ⋅+⋅+⋅+ ++= dt kd dt dz dt jd dt dy dt id dt dx k dt zd j dt yd i dt xd dt vd r ''''''' ' ' ' ' ' 2 2 2 2 2 2 rrr rrrr (31) y llamamos el primer paréntesis, aceleración relativa de P respecto a O’ (aceleración medida del móvil P por un observador colocado en O’) y teniendo en cuenta las fórmu- las de Poisson, nos queda: ( ) ( ) ( ) ...'''''' = ∧+∧+∧+= k dt dz j dt dy i dt dx a dt vd r r rrrrrrr r ωωω rrr vakdt dz j dt dy i dt dx a rrrrrrrr ∧+= ++∧+= ωω ' ' ' ' ' ' ... (32) El Segundo término de (30) es: 0 0 a dt vd r r = www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 12/20 El Tercer término de (30) es: '' rr dt d rrr r ∧=∧ αω El Cuarto término de (30) se transforma así: siendo ' ' rv dt rd r rrr r ∧+= ω , según la expresión (27), tenemos para dicho cuarto término: ( )'' rv dt rd r rrrrr r r ∧∧+∧=∧ ωωωω (33) y sustituyendo (32) y (33) en la expresión (30) tenemos finalmente: ( ) rr vrrdt d aaa rrrrrr r rrr ∧+ ∧∧+∧++= ωωωω .2''0 (34) expresión cuyos sumandos tienen el siguiente significado físico: 1) ra r : Aceleración del punto P que mediría un observador desde el sistema O’ pres- cindiendo del giro de S’, (Aceleración relativa). 2) )'('0 rrdt d aaa rrrr r rr ∧∧+∧+= ωωω : aceleración de arrastre constituida por las si- guientes componentes: a) dt vd a 00 r r = aceleración del Sistema O’ con respecto al Sistema O debido a la traslación del Sistema O’. b) '' rr dt d rrr r ∧=∧ αω aceleración tangencial producida por el giro del Sistema O’. c) ( )'rrrr ∧∧ ωω aceleración centrípeta debida al giro del Sistema O’. 3) rc va rrr ∧= ω2 : aceleración complementaria o de Coriolis que aparece siempre que el sistema O’ gira y la partícula tiene una velocidad v r no paralela a ω r . Luego la aceleración absoluta del punto P será: car aaaa rrrr ++= 5.2. Fuerza centrífuga. Sabemos que la aceleración normal o centrípeta de una partícula P viene dada por )( r rrr ∧∧ ωω de modo que la fuerza inercial asociada con esta aceleración viene dada por: ( )rm rrr ∧∧− ωω y estará dirigida perpendicularmente al eje de rotación y hacia fuera, de ahí que reciba el nombre de fuerza centrífuga. Esta fuerza aparece siempre que las observaciones se hagan desde un sistema de referencia en rotación. En efecto, un observador situado sobre una plataforma que gira con velocidad angular ω r (observador no inercial) entenderá que existe una fuerza misteriosa que actúa sobre él y que le impide permanecer en reposo sobre la plataforma, a menos que él mismo realice otra fuerza dirigida hacia el eje de rotación, fuerza que debe tener de módulo mω2r, siendo r la distancia a que se encuentra el eje de rotación. Está bien claro que la Fuerza Centrífuga cF r no es una fuerza en el sentido usual de la palabra, es decir, como el resultado de una interacción, sino que es una fuerza ficticia que aparece en los sistemas de referencia no inerciales. Así, por ejemplo, si un cuerpo está girando alrededor de un centro de fuerza fijo, la única fuerza real que actúa sobre el www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 13/20 cuerpo es la de atracción hacia el centro de la trayectoria (fuerza centrípeta) necesaria, desde el punto de vista de un observador inercial, para que el cuerpo pueda describir una trayectoria curvilínea; dicha fuerza (tensión de la cuerda en la Fig.11) proporciona la aceleración centrípeta característica de todo movimiento curvilíneo. FIG.11 Sin embargo, un observador situado en un sistema de referencia no inercial, obser- vará que el cuerpo no presenta aceleración alguna en la dirección de la fuerza aplicada y para reconciliar este resultado con el requerimiento de que la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo sea nula, el observador supone la existencia de una fuerza igual y de sentido contrario a la centrípeta, esto es, postula la existencia de una fuerza centrífuga que no tiene existencia real y que sólo resulta útil al observador no inercial para poder escribir la 2ª ley de Newton en su forma usual: ref amF rr .= 5.3. Fuerza de Coriolis. La fuerza de Coriolis =CorF r rvm rr ∧− ω·2 es también una fuerza ficticia que apare- ce cuando intentamos describir el movimiento de la partícula desde un sistema de refe- rencia no inercial. Para comprender su origen y significado físico vamos a considerar una plataforma giratoria horizontal sobre la cual puede deslizar (sin rozamiento) un pequeño objeto. Para analizar el movimiento del objeto utilizaremos dos sistemas de referencia: el OXY (sistema S) fijo en el espacio y el Oxy (sistema S') fijo en la plataforma; el origen de ambos sistemas lo tomaremos en el centro de la plataforma. En el instante inicial (t=0), cuando ambos sistemas coinciden, lanzamos un objeto horizontalmente a lo largo del eje OY (u Oy) con una velocidad v. Transcurrido un tiempo t el objeto se encontrará en P, sobre OY (puesto que al no haber rozamiento el objeto no es arrastrado por la plataforma) a una distancia del centro r=v·t. Mientras la plataforma ha girado un ángulo ϕ, de modo que si referimos la posición del objeto a los ejes de rotación, parecerá que éste ha recorrido además un arco: s=ϕ.r=ω·t.r=ω·v.t2 en sentido contrario al de rotación de la plataforma. Evidentemente el movimiento del objeto sobre la plataforma es el resultado de la composición de los movimientos indica- dos. Un observador no inercial, en reposo sobre la plataforma describirá el movimiento del objeto como curvilíneo (fig.12b), en tanto que un observador inercial (en reposo sobre tierra) lo describirá como un movimiento rectilíneo y uniforma (fig. 12a). www.eltemario.com OposicionesSecundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 14/20 Si el observador situado en la plataforma no sabe que está girando, achacará la curvatura de la trayectoria a una fuerza que deberá actuar perpendicular a la velocidad de la partícula desviándola hacia la derecha de la trayectoria. Esta es la llamada, fuerza de Coriolis. La ecuación del movimiento de la partícula para un observador no inercial, se escribe: rCoref amfF rrr .=+ 6. APLICACIÓN AL MOVIMIENTO DE LOS ASTROS 6.1. Definición de Fuerza Central. Como ya hemos dicho anteriormente, el Momento Angular de una partícula es constante en ausencia de momento dinámico de fuerza )0( =∧= FrM rrr . Esto ocurre no sólo si la fuerza aplicada es nula sino también si F r es paralela a r r , en otras pala- bras, si la recta directriz de la fuerza pasa siempre por el punto O elegido como centro de momentos. Una fuerza de estas características recibe el nombre de Fuerza Central y el punto O recibe el nombre de Origen de Fuerzas. Atendiendo a esto, podemos establecer que: “Cuando una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza central, su Momento Angular con respecto al centro de fuerzas es constante”. Este resultado es muy importante ya que muchas fuerzas de la naturaleza tienen carácter central. Así, por ejemplo, la Tierra se mueve alrededor del Sol bajo la acción de una fuerza de este tipo (la gravitatoria) cuya línea de acción pasa siempre por el centro del Sol, en consecuencia, el momento angular de la Tierra con respecto al Sol será cons- tante. El movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza central tiene carac- terísticas muy importantes. El que cteL = r significa, que debido a su carácter vectorial, lo será en módulo, dirección y sentido. La constancia en la dirección implica que la tra- yectoria de la partícula está confinada en un plano perpendicular a la dirección del mo- mento angular. En consecuencia, la trayectoria de la partícula bajo la fuerza central se encuentra en un plano que contiene al centro de fuerzas. Este enunciado es de interés histórico en relación con el movimiento planetario y se conoce como 1ª Ley de Kepler. 6.2. Teorema de las áreas. Velocidad areolar. (2ª ley de Kepler). Cuando una partícula experimenta un desplazamiento infinitesimal, rd r , bajo la acción de una fuerza central, su vector de posición (radio vector) barre un área Sd r (área rayada en la Fig.13). En virtud de la interpretación geométrica del producto vectorial podemos escribir: rdrSd rrr ∧= 2 1 (35) donde Sd r es el vector elemento de superficie, que tiene la misma dirección que el momento angular L r . Entonces, el área barrida por el radio vector en la unidad de tiempo, o velocidad areolar es: FIG.13 www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- Temario Específico-Tema 6 15/20 vr dt rd r dt dS rr r r ∧=∧= 2 1 2 1 (36) siendo v r la velocidad de la partícula y, como vrmL rrr ∧= , se tiene que: m L dt Sd 2 rr = (37) que es la expresión de la velocidad areolar en función del momento angular. Como el momento angular es constante, también lo será la velocidad areolar, de modo que ten- dremos: “En el movimiento bajo la acción de fuerzas centrales, el radio vector de la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales, o sea, el área barrida por la unidad de tiempo (velocidad areolar) es constante”. Este enunciado se conoce como 2ª ley de Kepler. 6.3. Fuerza Central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. La ley de proporcionalidad inversa al cuadrado de la distancia es la más importante de todas las referentes a fuerzas de tipo central. La ley de la fuerza y la energía potencial asociada se escriben de la forma: re r K F rr = 2 y r K EP = (38) donde el nivel cero (u origen) para la energía potencial se ha escogido a una distancia infinita del centro de fuerzas 0)( →rEP cuando ∞→r a fin de evitar la presencia de un término adicional constante en la expresión de la energía potencial EP(r). Ejemplos de este tipo de fuerzas lo constituyen la interacción gravitatoria entre dos masas, m1 y m2 separadas por una distancia r y la fuerza electrostática entre dos cargas eléctricas q1 y q2 separadas una distancia r. Cuando una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza central se conservan dos magnitudes físicas, una de carácter vectorial, el momento angular de la partícula con respecto al centro de fuerzas y otra de carácter escalar, la energía total. El momento angular de la partícula vie- ne dado por: vrmvmrL rrrrr ∧=∧= .. (39) y utilizando las componentes radial y trans- versal de la velocidad podemos escribir: ( ) φφ vrmvvrmL r rrrrr r ∧=+∧= .. (40) ya que 0=∧ rvr rr por ser vectores paralelos. Si utilizamos coordenadas polares dadas por (r,φ) –ver Fig.14-: 22 yxr += y x y arctg=φ siendo los vectores unitarios, radial y angular, respectivamente: jie jier rrr rrr .cos.sen .sen.cos φφ φφ φ +−= += (41) calcularemos la velocidad derivando el vector posición, que en coordenadas radiales es: www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 16/20 rerr rr .= o sea ( ) dt ed re dt dr er dt d dt rd v rrr r rr r r ⋅+⋅=== . (42) Derivando la primera ecuación de (41) y sustituyendo la segunda: ( ) dt d e dt d ji dt ed r φφφφ φ rrr r =+−= .cos.sen (43) de modo que la velocidad de la partícula –ecuación (42)- será: φ φ e dt d re dt dr v r rrr ⋅+= (44) que puede escribirse como: φφ evevv rr rrr .. += (45) siendo φφ φ e dt d rv e dt dr v rr rr rr = = )46( )46( b a Teniendo en cuenta que rerr rr .= y la ecuación (46b), la expresión (40) queda: κφφφ φφ rrrrrr dt d mree dt d mre dt d remrL rr 22 ... =∧=∧= de donde el módulo de L r viene dado por la expresión escalar: dt d mrL φ2= (47) 6.4. Energía de la partícula sometida a Fuerza Central. Puesto que una fuerza central de la forma rerF r )·( es conservativa, y la energía asociada a ella es tan sólo función de la distancia a la que se encuentra la partícula del centro de fuerzas, la conservación de la energía total de la partícula (EC+EP) expresa: )(. 2 1 2 rEPvmE += (48) Cuando utilizamos coordenadas polares planas (r,φ), el cuadrado del módulo de la velocidad, según (44) será: 2 2 2 2 + = dt d r dt dr v φ (49) que sustituyendo en la expresión de la Energía, (48) resulta: )( 2 1 . 2 1 22 2 rEP dt d mr dt dr mE + + = φ y teniendo en cuenta que: dt d mrL φ2= resulta 42 22 rm L dt d = φ sustituyendo: =+⋅+ = )( 2 1 . 2 1 42 222 rEP rm Lmr dt dr mE )( 2 . 2 1 2 22 rEP mr L dt dr m ++ (50) Si comparamos esta ecuación con la expresión general de la energía de un cuerpo bajo la acción de una fuerza conservativa, dada por: )( 2 1 2 1 22 rEP dt dr mEPmvEPECE + =+=+= (51) www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 17/20 en lo que se refiere al movimiento radial, la partícula considerada tiene de una energía potencial efectiva,dada por: )( 2 )(' 2 2 rEP mr L rEP += que desempeña el papel de energía potencial equivalente en el problema unidimensional radial. El término adicional L2/2mr2 tiene en cuenta que el vector de posición r r está cambiando no sólo en magnitud sino en dirección en el transcurso del movimiento. Se puede determinar la naturaleza de las órbitas de los astros que obedecen la ley de las fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia. Para ello hemos representado en la Fig.14 la energía potencial efectiva expresada para EP=K/r: r K mr L rEP += 2 2 2 )(' correspondiente a diversos valores de L y K. Para una fuerza repulsiva (K>0) sólo son posibles energías totales E positivas y no hay órbitas limitadas. La partícula viene desde el infinito hasta el punto de retorno y regresa de nuevo al infinito. En ausencia de fuerza (K=0) la situación es análoga a la anterior, si bien el punto de retorno estará más cerca del centro de fuerzas, la trayectoria será una recta. Si la fuerza es atractiva (K<0) con L≠0, el movimiento será ilimitado si E>0, pero en este caso el punto de retorno se halla muy próximo al centro de fuerzas. Las órbitas serán hiporbólicas con un pericentro o punto de órbita de máxima aproximación al cen- tro de las fuerzas. Para una fuerza atractiva (K<0) y energía total comprendida entre: 0 2 2 2 <<− E L mK la órbita está limitada por dos puntos de retorno o absidales, el pericentro y el apocentro (punto de la órbita más alejado del centro de fuerzas) y las órbitas presenta- rán normalmente forma elíptica.. www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 18/20 Para una fuerza atractiva (K<0), con L≠0 y E = -mK2/2L2 la órbita es una circunferencia de radio r0 = -L2/mK. [Demostración en el anexo al final del tema]. Por último, si K<0 y L=0, el problema se reduce al movimiento unidimensional sobre una recta que pasa por el centro de fuerzas. 6.5. Órbitas elípticas. Leyes de Kepler. Tras un laborioso análisis de las numerosas y precisas observaciones y mediciones astronómicas realizadas por Tycho Brahe (1546-1601), el que fue su discípulo y asistente, el astrónomo alemán Johanes Kepler (1571-1630), enunció las leyes del movi- miento planetario. Estas leyes empíricas, conocidas como Leyes de Kepler, son una descripción cinemática del movimiento de los planetas en el sistema solar y sirvieron de base a Isaac Newton (1642-1721) para la descripción dinámica del movimiento planeta- rio y para el descubrimiento de la ley de la fuerza responsable de dicho movimiento, la Ley de la Gravitación Universal. Kepler enunció las tres leyes, en la forma siguiente: 1. Los planetas describen órbitas elípticas, en las que el Sol se encuentra en uno de sus focos. 2. El vector de posición de cualquier planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales, esto es, la velocidad areolar es constante. 3. Los cuadrados de los periodos de revolución de los diversos planetas alrede- dor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas elípticas. Hemos de destacar que la 3ª ley de Kepler, al igual que la 2ª, es válida solamente para fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia al Sol. Es de esperar que el movimiento de los plantes se aparte ligeramente de lo previsto por las leyes de Kepler. En primer lugar supuso que el Sol, como objeto más másico del sistema solar, permanece fijo, definiendo así un centro de fuerzas estacionario; de hecho el Sol habrá de tener algún tipo de movimiento como resultado de las fuerzas con que es atraído por los planetas que se mueven a su alrededor. Este efecto es muy pequeño y puede corregirse. En segundo lugar, sobre un planeta dado actúan también los otros planetas, además del Sol. Como las masas de los planetas representan una pequeñísima proporción de la del Sol, la acción de los demás planetas sobre otro planeta dado repre- sentará sólo pequeñas desviaciones, aunque medibles, de las órbitas planetarias respecto a las predichas por las leyes de Kepler. www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 19/20 ANEXO Energía potencial efectiva: r K mr L rEP += 2 2 2 )(' Derivando con respecto a r e igualando a cero, para calcular el valor mínimo, resulta: 0 4 4 242 2 =−+−= r K rm mrL dr dEP simplificando: 23 2 r K mr L =− à K mr L =− 2 à mK L r 2 −= que es la condición de mínima Energía Potencial. Sustituyendo en la ecuación inicial resulta: 2 2 2 2 2 2 2 22 4 2 22 2 L mK L mK L mK mK L K Km L m L EP −=−=− = c.q.d. BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enrique BURBANO GARCIA y Carlos GRACIA MUÑOZ. Física General. XXXI Edición. Mira Editores. ZARAGOZA. Jesús RUIZ VAZQUEZ. Física. Editorial. Selecciones Científicas. MADRID. Marcelo ALONSO y Edward J.FINN. Física.Vol.1. Mecánica. Addison-Wesley Iberoamericana. MEJICO. Manuel R.ORTEGA GIRON. Lecciones de FISICA. Mecánica 1. Departamento de Física Aplicada. Universidad de Córdoba. CORDOBA. Mario GUERRA, Juan CORREA, Ismael NUÑEZ Y Juan Miguel SCARON. Física. Elementos Fundamentales. Mecánica y Termodinámica Clásica. Tomo 1 Edito- rial Reverté. BARCELONA. Robert M.EISBERG y Lawrence S.LERNER. Física: Fundamentos y Aplicacio- nes I. Editorial. McGraw-Hill. MADRID. www.eltemario.com Oposiciones Secundaria-Física y Química- © Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 6 20/20 Tratamiento Didáctico ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- OBJETIVOS Estudio cinemático y dinámico del movimiento de rotación de una partícula como uno de los movimientos más frecuentes en la Naturaleza. Establecer claramente las magnitudes básicas de la rotación de la partícula. Explicar y comprender el concepto de “aceleración centrípeta” como causa básica de cualquier movimiento curvilíneo. Aplicar e interpretar los conceptos explicados a situaciones reales. UBICACIÓN En la E.S.O., se ubicará el tema en el 4º curso (segundo ciclo de ESO) dentro del módulo de Cinemática donde se desarrollarán los conceptos básicos de iniciación. El tema completo, con todos sus conceptos, sólo se puede ubicar en el 1º de Bachi- llerato, con un nivel y matemático mediano y prescindiendo del movimiento relativo. Algunos conceptos como velocidad relativa, fuerza de Coriolis, energía de las órbi- tas, etc., son de nivel superior al Bachillerato y ha de ubicarse en primero de Facultades. TEMPORALIZACIÓN Cinco horas de clase dedicadas a la explicación teórica del tema incluidas las apli- caciones a la cinemática celeste y dos horas dedicadas a ejercicios y prácticas. METODOLOGÍA Exposición de los conceptos del tema, orientando al alumno en el razonamiento, en una metodología inductiva, presentado hecho y fenómenos de lo que él va a deducir unas conclusiones. Utilización del lenguaje científico preciso y unificado, tanto en lo que se refiere a conceptos como a medidas. Realización de experimentos de laboratorio que ilustren al alumno los fenómenos estudiados y sus aplicaciones a la vida real y a la mecánica celeste.. Resolución de problemas numéricos de las distintas situaciones dinámicas estudia- das en el tema. CONTENIDOS MÍNIMOS Magnitudes de rotación: recorrido angular, velocidad angular y aceleración angular. Ecuaciones de los movimientos circulares: uniforme y uniformemente acelerado. Relaciones entre magnitudes lineales y angulares. Aceleración centrípeta y fuerza centrípeta, responsables del movimiento circular. Momento angular. Variación del momento angular. Su conservación. Órbita circular como la más sencilla del movimiento celeste. MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOS Libro de Texto complementado con apuntes tomados en clase de las explicaciones delProfesor, subrayando los conceptos fundamentales. Material de laboratorio sencillo y adecuado a prácticas de rotación utilizando discos y recipientes giratorios, péndulos, cronómetros y dinamómetros. Hojas de problemas de rotación escogidos de dificultad creciente. EVALUACIÓN Pruebas objetivas sobre los conceptos fundamentales del tema, valorando compren- sión, memorización y aplicación de estos conceptos a situaciones reales. Pruebas escritas con problemas numéricos exigiendo resolución completa con utili- zación de máquinas calculadoras. Valoración de las prácticas realizadas en el aula o en el laboratorio. Pruebas de opción múltiple con preguntas de varias respuestas (3 falsas y 1 cierta) que obligue al alumno al razonamiento de las situaciones planteadas.
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