TEMA_07

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© Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 7
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TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA
(Oposiciones de Enseñanza Secundaria)
-------------------------------------------------------------------------------
TEMA 7
DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. MOMENTO LINEAL Y
ANGULAR. PRINCIPIOS DE CONSERVACIÓN. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE
PARTÍCULAS. RELACIÓN TRABAJO-ENERGÍA.
Esquema
1. Sistema de partículas materiales.
2. Dinámica de un sistema de partículas.
2.1. Fuerzas internas y externas.
2.1.1. Sistema de dos partículas. Masa reducida.
2.2. Centro de masa.
2.2.1. Componentes del Centro de Masa. (C.M.).
2.2.2. Cálculos de centros de masa.
2.2.2.1. Métodos geométricos.
2.2.2.2. Teoremas de Pappus-Guldin.
2.3. Movimiento del centro de masa.
3. Momento Lineal de un sistema de partículas.
3.1. Definición de Momento Lineal de un sistema de partículas.
3.2. Principio de conservación del Momento Lineal.
3.3. Sistema de referencia en el Centro de Masa.
4. Momento Angular de un sistema de partículas.
4.1. Definición de Momento Angular de un sistema de partículas.
4.2. Variación del Momento Angular.
4.3. Principio de conservación del Momento Angular.
4.4. Momento Angular referido al Centro de Masa.
4.5. Momento Angular de un sistema de dos partículas.
5. Energía de un sistema de partículas.
5.1. Energía Cinética. Teorema de König.
5.2. Trabajo efectuado sobre el sistema.
5.3. Energía Potencial.
5.4. Energía total. Principio de conservación de la energía.
6. Sistemas de partículas de interés especial.
6.1. Estudio del choque de dos partículas.
6.1.1. Choques elástico e inelástico
6.1.2. Coeficiente de restitución.
6.2. Estudio del choque frontal.
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TEMA 7
DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. MOMENTO LINEAL Y
ANGULAR. PRINCIPIOS DE CONSERVACIÓN. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE
PARTÍCULAS. RELACIÓN TRABAJO-ENERGÍA.
1. SISTEMA DE PARTÍCULAS MATERIALES
La dinámica de la partícula estudia el movimiento de la partícula considerando a
ésta como un ente separado del resto del universo, y éste, a su vez, queda representado o
reducido a una fuerza o a una energía potencial que depende únicamente de las coorde-
nadas de la partícula.
Sin embargo, los sistemas físicos reales son conjuntos de partículas materiales que
interaccionan entre sí, con fuerzas internas de diversa naturaleza, y que además están
sometidos a fuerzas externas producidas por el resto del universo o entorno.
La dinámica de los sistemas de partículas estudia el movimiento de las N partí-
culas constituyentes, de masas mi (m1, m2, m3,…, mn), que se suponen constantes y so-
metidas a fuerzas internas tales que:
a) Si las partículas poseen una posición relativa fija, debido a unas fuerzas internas de
ligadura fuertes, tendremos un sólido rígido. Consideraremos como sólido rígido un
sólido cristalino, cuyas moléculas, átomos o iones se atraen fuertemente y mantie-
nen una estructura rígida e indeformable.
b) Si las partículas pueden variar sus posiciones relativas, debido a unas fuerzas débi-
les, tendremos un líquido o un gas. Las fuerzas son débiles para mantener una es-
tructura rígida, pero fuertes para permitir la separación excesiva de las moléculas.
No líquidos no poseen forma pero sí poseen volumen.
c) Si no existen fuerzas internas apreciables entre las partículas tendremos un sistema
de partículas libres. Los gases constituyen un ejemplo claro de partículas (casi) li-
bres, porque aún mantienen entre sus moléculas una ciertas fuerzas de cohesión.
El sólido rígido y el sistema de partículas libres son dos situaciones extremas e
ideales de la realidad física, y que corresponden a fuerzas internas infinitas o nulas.
Como sólidos rígidos consideraremos a cuerpos cuyas dimensiones son comparables a
las trayectorias que describen sus puntos constituyentes, como por ejemplo, la Tierra en
su movimiento de rotación alrededor de su eje, en caso contrario el sólido puede ser
considerado como punto material, por ejemplo, la Tierra en su movimiento de traslación
alrededor del Sol.
El movimiento de un sistema de partículas materiales puede ser muy complejo por
el número de partículas que lo constituyen. En general decimos que hay movimiento si,
al menos, una coordenada de alguna de sus partículas, varía con el tiempo. Según esto,
los movimientos pueden clasificarse en: Traslación, Rotación y Deformación.
El objetivo del presente tema será generalizar los conceptos de momento lineal,
momento angular y energía, para un sistema de partículas materiales, estableciendo las
condiciones de las leyes de conservación.
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2. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
2.1. Fuerzas Internas y Externas.
Supongamos un sistema de n partículas de masas m1, m2, m3,…, mn y vectores de
posición 1r
r
, 2r
r
, 3r
r
,… nr
r
. El sistema es cerrado, es decir, la masa permanece constante y
se cumplen las leyes de la mecánica newtoniana para cada partícula individual.
Una partícula i ejerce una fuerza ijF
r
 sobre otra par-
tícula j del sistema y esta partícula j ejerce a su vez sobre i
otra fuerza jiF
r
, igual y opuesta a la anterior (principio de
acción y reacción), tal que:
ijF
r
= jiF
r
−
Considerando lo anterior, llamaremos )(iIF
r
 a la re-
sultante de todas las fuerzas internas que actúan sobre la
partícula i, correspondientes a las n-1 partículas restantes:
Pero el sistema no está aislado, de forma que cada partícula i está sometida a un
conjunto de fuerzas externas, cuya resultante denominaremos )( iEF
r
. Por tanto, para cada
partícula i, la ecuación general del movimiento será:
 iiiEiI amFF
rrr
=+ )()( (1)
La ecuación generalizada a todo el sistema de partículas será:
 ∑ ∑ ∑
= = =
=+
n
i
n
i
n
i
iiiEiI amFF
1 1 1
)()(
rrr
(2)
2.1.1. Sistema de dos partículas. Masa reducida.
Consideremos el caso de dos partículas sometidas solamente a su interacción
mutua, es decir, no actúa ninguna fuerza externa sobre ellas, tal como se muestra en la
Fig.2. Tal es el caso de sistemas materiales binarios como protón-electrón de un átomo
de hidrógeno, el sistema Tierra-Luna, el sistema Tierra-satélite o los sistemas de estre-
llas binarias. Las fuerzas mutuas del sistema cumplen la Tercera Ley de Newton, de
forma que 2112 FF
rr
−=
La ecuación del movimiento de cada partícula
respecto a un observador inercial O será:
 
dt
vd
mF 1112
rr
= , 
dt
vd
mF 2221
rr
=
que podemos escribir de la forma siguiente:
 
dt
vd
m
F 1
1
12
rr
= , 
dt
vd
m
F 2
2
21
rr
=
y restando ambas expresiones entre sí, resulta: FIG. 2
dt
vd
dt
vd
m
F
m
F 21
2
21
1
12
rrrr
−=−
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Como 2112 FF
rr
−= , si llamamos =F
r
2112 FF
rr
−= sustituyendo en la expresión ante-
rior, tendremos:
dt
vd
dt
vd
m
F
m
F 21
21
rrrr
−=+ à ( )21
21
11
vv
dt
d
mm
F
rrr
−=



+
Si introducimos una magnitud llamada masa reducida del sistema de partículas, a
la que designaremos con µ y la definimos como:
21
21
21
111
mm
mm
mm
+
=+=
µ
 à 
21
21
mm
mm
+
=µ (3)
sustituyendo en la anterior nos queda:
( ) 1221
1
v
dt
d
vv
dt
d
F
rrrr =−=⋅
µ
pero 21 vv
rr − es la velocidad de m1 respecto de m2, es decir 12v
r
 y por tanto, la derivada
d 12v
r
/dt es la aceleración de m1 respecto a m2, a la que llamaremos ra
r
. La expresión
queda finalmente:
 raF
rr =⋅
µ
1
 à raF
rr
.µ= (4)
Este resultado expresa el hecho de que el movimiento relativo de dos partículas
sujetas únicamentea una interacción mutua, es equivalente al movimiento de una sola
partícula de masa igual a la masa reducida del sistema, bajo una fuerza igual a la fuer-
za de interacción de ambas partículas.
Debemos tener en cuenta el caso particular de que las dos masas sean iguales:
 mmm == 21 entonces: 22
. 2
21
21 m
m
m
mm
mm
mm
mm
==
+
=
+
=µ
es decir, la masa reducida será la mitas de cada una (es el caso de dos protones interac-
tuando entre sí).
En el caso particular de que una de las masas sea mucho menor que la otra, por
ejemplo: m1«m2, dividiendo la masa reducida por la mayor m2, nos queda:
 
2
1
1
1
m
m
m
+
=µ y si aproximamos por desarrollo en serie: 1
2
1
1 1 mm
m
m ≈



−=µ
por tanto podemos hacerla equivaler a la masa del cuerpo más ligero. Este sería el caso
de un satélite artificial en su interacción alrededor de la Tierra.
Sea el caso de que las dos partículas interactuantes estén sometidas además a fuer-
zas externas, que llamaremos 1EF
r
 y 2EF
r
, aplicando la 2ª ley de Newton a cada una:
dt
pd
FFE
1
121
rrr
=+ y 
dt
pd
FFE
2
212
rrr
=+
y sumando: 
dt
pd
dt
pd
FFFF EE
21
211221
rrrrrr
+=+++
y aplicando la tercera ley de Newton, ( 2112 FF
rr
−= ), nos quedará:
( )2121 ppdt
d
FF EE
rrrr +=+
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Si llamamos 21 EEE FFF
rrr
+= y 21 ppp
rrr += tendremos que:
 
dt
pd
FE
rr
= (5)
expresión idéntica a la obtenida en la Segunda Ley de Newton para una sola partícula.
2.2. Centro de Masa.
2.2.1. Componentes del Centro de Masa (C.M.).
Sabemos que un sistema de partículas obedece la ley de conservación de la masa,
es decir: M=Σmi=cte, por lo que se puede simplificar el sistema de partículas reducién-
dolo a una sola partícula de masa M, localizada en un punto singular que llamaremos
Centro de Masa (C.M.) del sistema de partículas.
Supongamos un sistema de N partículas, tal
como se muestra en la Fig.3. Para cualquier partícula
i se cumplirá la 2ª ley de Newton:
 
2
2
dt
rd
mamF iiiii
r
rr ==
y para la totalidad de las partículas:
 ∑ ∑∑
= ==
===
N
i
N
i
i
iii
N
i
i dt
rd
mamFF
1 1
2
2
1
r
rrr
 
que la podemos expresar así: ∑
=
=
N
i
ii rmdt
d
F
1
2
2 rr
(6)
Considerando la definición de Centro de Masa, y aplicando la 2ª ley de Newton:
( )CMCN rMdt
d
dt
rd
MF
r
rr
.
2
2
2
2
== (7)
e igualando (6) y (7) tendremos que:
 CM
N
i
ii rMrm
rr
.
1
=∑
=
 à 
∑
∑∑ ==
i
iiii
CM m
rm
M
rm
r
rr
r
 (8)
De acuerdo con esta definición, el Centro de Masa es independiente del sistema
de referencia y sólo depende de las masas de las partículas y de sus posiciones respec-
tivas.
Sus coordenadas cartesianas serán:
( )
∑
∑ ++=++=
i
iiii
CMCMCMCM m
kzjyixm
kXjYiXr
rrr
rrrr
y desglosada: 
∑
∑=
i
ii
CM m
xm
X 
∑
∑=
i
ii
CM m
ym
Y 
∑
∑=
i
ii
CM m
zm
Z (9)
Si consideramos un cuerpo compuesto por un gran número de partículas, muy
compacto, podemos suponer que su estructura es continua (sólido). Si ρ es su densidad
y tomamos un elemento de volumen dV, su masa será dm=ρdV, debemos sustituir en las
expresiones anteriores de las coordenadas del Centro de Masa, los sumatorios por las
integrales y las masas por los elementos de masa, o sea:
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∫
∫
∫
∫
∫
∫ ===
dV
dVx
dV
dVx
dm
dmx
X CM
.
.
...
ρ
ρ
 
∫
∫=
dV
dVy
YCM
.
 
∫
∫=
dV
dVz
ZCM
.
(10)
En cuerpos fundamentalmente planos donde una dimensión sea despreciable
frente a las otras dos, las expresiones quedarán reducidas a:
∫
∫=
dS
dSx
X CM
.
 
∫
∫=
dS
dSy
YCM
.
y en cuerpos de carácter lineal, donde sólo predomine una dimensión frente a las otras
dos, el Centro de Masa vendrá dado por:
∫
∫=
dL
dLx
X CM
.
2.2.2. Cálculos de Centros de Masa.
2.2.2.1. Métodos Geométricos.
Cuando el cuerpo presenta alguna simetría, el cálculo se simplifica porque el
Centro de Masa debe estar en el elemento de simetría sea centro, eje o plano de simetría.
Algunos ejemplos de esto lo podemos ver en el siguiente esquema:
Veamos algunos ejemplos de cálculos de Centros de masa:
Dos masas puntuales idénticas. El Centro de Masa del sistema se encuentra en el
punto medio del segmento que une ambos puntos.
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Dos masas puntuales distintas. Tomando como eje
X el segmento que une ambos puntos materiales de ma-
sas m1 y m2 y tomando la primera de ellas como origen
de coordenadas resultará:
L
mm
m
mm
OAm
X CM
21
2
21
2 .
+
=
+
=
 
y las otras coordenadas serían evidentemente: 0== CMCM ZY
Tres masas puntuales idénticas no situadas en línea recta. Sean las tres masas m1,
m2 y m3 no situadas en la misma recta, como se indica en la Fig.6. Consideremos en
primer lugar las masas m2 y m3 cuyo centro de masa se encontrará en el punto C, centro
de la línea que las une, por lo que ambas masas puntuales se sustituyen por una masa
puntual de masa (m2 y m3) situada en C. Esta masa, junto con la masa m1 constituye un
nuevo sistema de dos masas diferentes (una doble de la otra) y el C.M. del sistema se
encontrará en la línea que une el punto C con la masa m1 y a una distancia de C que
vendrá dada por:
( ) LLm
m
mmm
Lm
d
3
1
3132
1 ==
++
=
o sea, el Centro de Masa se encuentra en la mediana del
triángulo formado por las tres masas iguales, a distancia
de dos tercios del vértice y a un tercio del lado opues-
to. Este punto es el baricentro del triángulo. 
Sistema continuo en forma de barra cilíndrica o prismática de longitud L. Situa-
mos la barra en el eje X del sistema coordenado y la dividimos en elementos de masa
dm por cortes perpendiculares al eje X.
Consideremos el elemento dm situado a la distancia
x del origen (extremo de la barra) y de espesor dx. El
elemento de masa es: dxSdVdm ... ρρ ==
siendo S la sección constante del elemento (sección de la
barra): 
2
0
2
1
2
1
.
1
.
1
.
1
0
2
0
2
0
LL
L
x
L
dxx
L
dxSx
SL
dmx
M
X
L
L
L
CM =





−=





==== ∫ ∫∫ ρρ
es decir, el Centro de Masa se encuentra en el punto medio de la barra.
Sistema continuo en forma de triángulo rectán-
gulo isósceles. Situamos en triángulo sobre el sistema
coordenado, con sus catetos sobre los ejes X-Y. Elegi-
mos un elemento de masa dm, de longitud x, paralelo al
eje X, de espesor dy y situado a distancia y del origen,
por lo que podemos escribir
dyxdS .=
y sustituyendo en la expresión del centro de masa, para
la coordenada y, (por razones de simetría, la coordena-
da X se calcula de igual modo), tendremos:
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 ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ =−=−===
A
CM dyyAyS
dyyyA
S
dyyx
S
ydS
S
Y
0
2 ...
1
.
1
.
11
 
36
2
6
23
2
32
2
322
1
...
33
2
0
32
2
AA
A
AA
A
yy
A
A
A
==


 −=





−=





−=
Análogamente para la coordenada Xcm se seguirá un procedimiento semejante y
resultará: 3AX CM = y 0=CMZ
2.2.2.2. Teoremas de Pappus-Guldin.
Estos teoremas son aplicables exclusivamente a la determinación del Centro de
Masa de distribuciones continuas y homogéneas de masa. En estos casos, el Centro de
Masa se llama Centroide y su posición depende de la geometría del cuerpo.
El primer teorema de Pappus-Guldin, se enuncia: “El área S de la superficie que
engendra una curva plana al girar alrededor de un eje situado en su plano y que no la
corta, es igual al producto de la longitud s de la curva, por la longitud L de la circunfe-
renciadescrita por su centro de masa (centroide)”.
La curva plana de la Fig.9, al girar alrededor del eje
x engendra una superficie S para cuya determinación se
considera el elemento longitud de la curva ds, que al girar
genera un cilindro elemental de superficie dS
dsydS ..2π= à ∫= S dsyS .2π à ∫ =S
S
dsy
π2
.
y la longitud L de la circunferencia descrita por el centroi-
de o Centro de Masa, viene dada por: L=2πYCM FIG. 9
y de acuerdo con la definición de Centro de Masa:
S
dsy
ds
dsy
YCM
∫
∫
∫ == .. y sustituyendo 
s
S
YCM π2
= à sLsYS CM ...2 == π
El Segundo Teorema de Pappus-Guldin, se enuncia: “El volumen V engendrado
por una superficie plana al girar alrededor de un eje que le es coplanario y no la corta,
es igual al producto de su área S por la longitud L de la circunferencia de su Centro de
Masa (centroide)”.
La superficie plana representada en la Fig.10, al
girar alrededor del eje X, que le es coplanario, engendra
un volumen que se puede determinar considerando el
elemento de área d2S=dx.dy, a distancia y del eje X y
cuyo volumen será: dV=2π·y.dS
y el volumen total engendrado será:
∫= S dsyV .2π à ∫ =S
V
dsy
π2
.
 FIG. 10
y como la longitud de la circunferencia descrita por el centroide es:
L=2π.YCM
de acuerdo con la definición de centro de masa (centroide) tendremos:
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S
dsy
ds
dsy
YCM
∫
∫
∫ == .. y sustituyendo 
S
V
YCM π2
= à SLSYV CM ..2 == π
2.3. Movimiento del Centro de Masa.
Las fuerzas totales (internas y externas) que actúan sobre un sistema de partículas,
según vimos anteriormente, viene dada por:
∑ ∑ ∑ ∑=+== iiiIiEi amFFFF r
rrrr
)()(
Como sabemos que la resultante de las fuerzas internas en el total del sistema de
partículas, al aplicar la Tercera Ley de Newton, es nula, ya que jiij FF
rr
−= , no intervie-
nen en el movimiento del sistema como conjunto, luego:
∑ ∑ ∑=== iiiEi amFFF r
rrr
)(
y desarrollando esta expresión tendremos:
∑ ∑ ===== CMCMCMiiii aMdt
rd
MrM
dt
d
rm
dt
d
dt
rd
mF
r
r
rr
rs
...
2
2
2
2
2
2
2
2
(11)
luego el sistema se comporta como una sola partícula de masa total M, (suma de las
masas de las partículas) y sometida a la resultante de las fuerzas externas al sistema.
Los principios de la Dinámica del punto, se aplican pues, tanto a puntos materia-
les como a sistemas de puntos y a sólidos extensos, considerando en éstos, su Centro de
Masa. Si el movimiento de estos sistemas es de traslación, el procedimiento es correcto
ya que los sistemas no puntuales son considerados puntuales cuando su masa se consi-
dera concentrada en el centro de masa sometida a la fuerza externa resultante. El con-
cepto de Centro de Masa simplifica los problemas de la dinámica de los sistemas de
partículas, a un problema de dinámica del punto, mucho más sencillo de resolver.
3. MOMENTO LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
3.1. Definición de momento Lineal de un sistema de partículas.
El Momento Lineal (o Cantidad de Movimiento) de un sistema de partículas es la
suma vectorial de los momentos lineales de cada una de las partículas que constituyen el
sistema:
siendo: iii vmp
rr = resultará ∑ ∑== iii vmpp rrr
y si consideramos que dtrdv ii /
rr = sustituyendo y desarrollando:
 ∑ ∑ ====⋅= CMCMCMiii vMdt
rd
MrM
dt
d
rm
dt
d
dt
rd
mp
r
r
rr
r
r
...1 (12)
lo que se expresa diciendo que: El Momento Lineal de un sistema de partículas es igual
al producto de la masa total del sistema por la velocidad de su centro de masa, lo que
llamaremos Momento Lineal del Centro de Masa.
Si derivamos la expresión anterior para una masa constante, resultará:
 ( ) ECMCMCM FaMdt
vd
MvM
dt
d
dt
pd rr
r
r
r
==== ... (13)
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es decir, el momento lineal de un sistema de partículas sólo se modifica por la acción de
las fuerzas externas actuantes.
3.2. Principio de conservación del Momento Lineal.
En el caso de que las fuerzas externas sean nulas o den resultante nula:
0=EF
r
 à 0=
dt
pd
r
 à ctep =r (14)
lo que constituye el Principio de Conservación del Momento Lineal, que se pude
enunciar diciendo que en todo sistema aislado (no sometido a fuerzas externas), el Mo-
mento Lineal se conserva.
Como ejemplo de aplicación del Principio de Conservación, consideremos el sis-
tema formado por dos partículas de masas m1 y m2, con velocidades iniciales 1v
r
y 2v
r
respectivamente, que interaccionan entre sí, tras lo cual adquieren unas velocidades fi-
nales 1'v
r
 y 2'v
r
. Como la interacción mutua entre ellas es exclusivamente debida a fue r-
zas internas, el sistema es aislado, luego 0=EF
r
 y por tanto fi pp
rr = luego
'' 22112211 vmvmvmvm
rrrr +=+
ejemplo de esta situación dinámica es el choque de dos partículas, debido al cual cam-
bian sus velocidades y sus direcciones y por tanto sus momentos lineales individuales
sin que varíe el momento lineal total. De la ecuación anterior:
( ) ( )222111 '' vvmvvm
rrrr −−=− à 2211 .. vmvm
rr ∆−=∆
si una partícula experimenta una variación de su velocidad 1v
r∆ la otra partícula experi-
mentará una variación 2v∆ de sentido opuesto, inversamente proporcional a las masas
de las respectivas partículas, tal que se cumple la expresión
1
2
2
1
m
m
v
v
=
∆
∆
− r
Si las partículas están inicialmente en reposo 021 == vv
rr
 se deduce:
''0 2211 vmvm
rr += o sea '' 2
1
2
1 vm
m
v
rs ⋅−=
y como ejemplo de esta situación podemos poner el retroceso de un arma de fuego al
disparar, donde el arma y el proyectil se mueven con velocidades opuestas según expre-
sa la última ecuación.
3.3. Sistema de Referencia en el Centro de Masa.
Los momentos lineales estudiados en el sistema de partículas, están referidos a un
sistema de referencia inercial ligado a Tierra (sistema laboratorio), aunque no hemos
hecho mención expresa de ello. Desde otros sistemas inerciales, las velocidades y los
momentos lineales serían distintos aunque se seguirían cumpliendo el Teorema del
Momento lineal y su Principio de Conservación.
Si tomamos como referencia un sistema coordenado con origen en el Centro de
Masa, el sistema de partículas permanecerá en reposo ya que la velocidad del centro de
Masa será nula respecto de él mimo lo que significa que su momento Lineal es cero.
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Es importante relacionar el movimiento del sistema de partículas respecto de un
referencial inercial ligado a la Tierra (sistema laboratorio) con el movimiento del mismo
sistema respecto a un referencial centrado en el centro de masa (sistema C.M.), para lo
cual, consideraremos el caso sencillo formado por dos masas m1 y m2, de velocidades 1v
y 2v
r
 que constituyen un sistema de dos partículas de masa total M=m1+m2 y cuyo cen-
tro de masa tiene una velocidad cmv
r
 tal que:
( ) CMvmmvmvm
rrr
212211 +=+
de donde: 
21
2211
mm
vmvm
vCM +
+
=
rr
r
Para el sistema referido al Centro de Masa
(sistema C.M.), las velocidades serán. '1v
r
 y '2v
r
.
Por tanto se cumplirán:
CMvvv
rrr −= 11 ' y CMvvv
rrr −= 22 ' 
y los momentos serán: CMvmpp
rrr
111 ' −= y CMvmpp
rrr
222 ' −=
y sumando miembro a miembro:
CMCM vmvmpppp
rrrrrr
212121 '' −−+=+ à CMvmmpppp
rrrrr
)('' 212121 −−+=+
como: 221121 vmvmpp
rrrr +=+ sustituyendo resultará:
CMvmmvmvmpp
rrrrr
)('' 21221121 −−+=+
y sustituyendo cmv
r
 por su valor, nos queda finalmente: 0'' 21 =+ pp
rr
luego podemos decir que “el momento lineal de un sistema de partículas respecto al
sistema Centro de Masa, es siempre nulo”.
4. MOMENTOANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
4.1. Definición del Momento Angular de un Sistema de Partículas.
El Momento Angular (o Momento Cinético) para una partícula se define como el
Momento de su Momento Lineal, o sea:
vmrprL
rrrrr ∧=∧=
Para un sistema de partículas, el Momento Angular será la suma vectorial de los
momentos angulares de sus partículas componentes:
∑ ∑ ∑ ∧=∧== iiiiii vmrprLL rrrr
rr
(15)
4.2. Variación del Momento Angular.
Este concepto tiene una importancia fundamental cuando el sistema posee movi-
miento de rotación por la actuación de Momentos de Fuerza sobre las partículas del sis-
tema. La acción de momentos de fuerzas externas produce variación de los momentos
angulares de las partículas, lo que se manifiesta como una variación del momento an-
gular total del sistema.
La variación del Momento Angular del sistema se obtiene derivando la expresión
anterior:
( ) ( )∑ ∑∑ =




 ∧+




 ∧=∧= ...
dt
vmd
rvm
dt
rd
vmr
dt
d
dt
Ld ii
iii
i
iii
r
rr
r
rr
r
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[ ] ( ) ( ) ∑∑∑∑ ∑ ==∧=∧+=




 ∧+∧= MMFramr
dt
vd
mrvmv iiiiii
i
iiiii
rrrrrr
r
rrr
0...
Resultando finalmente que: M
dt
Ld r
r
= (16)
El primer término de la derivada es cero porque se trata de dos vectores paralelos,
con producto vectorial nulo. El segundo término es la suma de los momentos que actúan
sobre cada partícula, es decir, el Momento de Fuerza resultante.
En este Momento de Fuerza, se incluyen las fuerzas internas y externas, es decir:
( ) ( )( ) ( ) ( )∑ ∑∑∑∑ ∧+∧=+∧=∧== IiiEiiIiEiiiii FrFrFFrFrMM
rrrrrrrrrrr
pero el término correspondiente a las fuerzas internas es nulo, como podemos demostrar
tomando sólo dos partículas i y j del sistema y considerando las fuerzas internas que
actúan entre ellas: FFF jiij
rrr
=−=
y los vectores de posición de ambas partículas cumplirán: ji rrr
rrr −=
siendo r
r
 el vector de posición de una partícula respecto de la otra. La suma de los mo-
mentos de las dos fuerzas internas será:
( ) 0=∧=∧−=∧−∧=∧+∧ FrFrrFrFrFrFr jiijjijijijiji
rrrrrrrrrrrrr
Por tanto nos queda para la ecuación anterior del Momento:
( )∑ ∑ ==∧= dt
Ld
MFrM EiEii
r
rrrr
: (17)
de forma que podemos decir que son las fuerzas externas las únicas que producen va-
riación del Momento Angular del sistema.
4.3. Principio de Conservación del Momento Angular.
Si el sistema de partículas no está sometido a ninguna fuerza externa, o las fuerzas
externas actuantes producen un momento nulo, la variación del Momento Angular será
nula, luego el Momento Angular se mantendrá constante
 0=M
r
 y 0=
dt
Ld
r
 resulta cteL =
r
(18)
lo que constituye el Principio de Conservación del Momento Angular, que se puede
enunciar diciendo que si un sistema de partículas no se encuentra sometido a momento
externo alguno, el Momento Angular se conserva. Esto significa que si una partícula
experimenta una variación del momento angular, el resto del sistema debe sufrir una
variación igual y opuesta de su momento angular.
4.4. Momento Angular referido al Centro de Masa.
Al igual que hicimos con el momento lineal podemos
referir el Momento Angular del sistema de partículas res-
pecto de un sistema de referencia centrado en el Centro de
Masa. Consideremos una partícula i, de vector de posición
ir
r
, como se indica en la Fig.12. Se deduce:
CMii rrr
rrr += '
donde 'ir
r
 es el vector de posición de la misma partícula i
referido al sistema Centro de Masa.
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Derivando respecto del tiempo:
 
dt
rd
dt
rd
dt
rd CMii
rrr
+=
'
 o sea CMii vvv
rrr += ' (20)
donde iv
r
 y CMv
r
 son las velocidades de la partícula y del centro de masa, referidas al
sistema laboratorio y 'iv
r
 es la velocidad de la partícula referida al sistema de referencia
del centro de masa.
Sustituyendo estas expresiones de ir
r
 y iv
r
 en la ecuación (15) de definición del
Momento Angular del sistema de partículas, tendremos:
 ( ) ( )( ) ...'' =+∧+= ∑ CMiiCMi vvmrrL rrrr
r
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑∑ ∧+∧+∧+∧= iiCMCMiiCMiCMiii vmrvmrvmrvmr rrrrrrrr '''... (21)
El primer término es el momento angular del sistema de partículas respecto al
sistema de referencia en el Centro de Masa.
El segundo término: ( ) ( ) CMCMCMiCMCMiCM vMrvmrvmr rrrrrr .. ∧=∧=∧∑ ∑
es el momento angular de la masa total del sistema localizado en el Centro de Masa con
respecto al sistema laboratorio.
El tercer término: ( ) ( )∑ ∑ =∧=∧ 0'' CMiiCMii vrmvmr rrrr es nulo ya que
contiene el término Σ 'ii rm
r
 que define el centro de masa referido al sistema del centro
de masa, que es nulo por definición.
El cuarto término:
( ) ( )∑ ∑∑ ∧=




 ∧=∧ '
'
' iiCM
i
iCMiiCM rmdt
d
r
dt
rd
mrvmr
rr
r
rrr
es nulo por la misma razón que el tercer término.
Por lo tanto, la expresión (21) quedará al final así:
( ) CMCMiii vMrvmrL
rrrrr
.'' ∧+∧= ∑ (22)
de forma que el Momento Angular total del sistema de partículas respecto al sistema
laboratorio es igual al momento angular respecto del sistema centro de masa más el
momento angular de la masa total del sistema localizada en el centro de masa, respecto
del sistema laboratorio.
Una consecuencia que se deduce de la expresión anterior es que si el Centro de
Masa del sistema tiene velocidad cero 0=CMv
r
 respecto del sistema laboratorio (sistema
de partículas en reposo), el momento angular respecto de este sistema es nulo y el Mo-
mento Angular Total del sistema de partículas es sólo el momento angular respecto del
centro de masa, o sea, es independiente de cualquier sistema referencial externo.
4.5. Momento Angular de un sistema de dos partículas.
Supongamos un sistema formado por dos partículas de especial interés en la Natu-
raleza, como Sol-Planeta, Núcleo-Electrón, estrellas binarias, etc. El sistema de dos par-
tículas gira, generalmente alrededor de su centro de masa, con velocidad angular ω.
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 Las fuerzas centrípetas a que están sometidas ambas partículas son las siguientes:
Masa grande: xMFc ..
2ω=
r
Masa pequeña: ( )xrmFc −= .. 2ω
r
y como deben ser iguales por la tercera ley de
Newton: FIG. 13
( )xrmxM −= 22 ... ωω
xmrmxM ... −= à rmxmxM ... =+ à r
mM
m
x
+
=
El momento angular para cada partícula será:
Masa grande: gg vMxL
rrr
.∧= 2....... xMxMxvMxL gg ωω ===
r
Masa pequeña: ( ) pp vmxrL
rrrr
.∧−= ( ) ( )2.... xrmvmxrL pp −=−= ω
r
y el momento angular total será: ( )22 .... xrmxML −+= ωω
y sustituyendo el valor de x calculado anteriormente e introduciendo el término de masa
reducida tendremos:
( )
=













+
−+
+
= ω
2
2
2
2
r
mM
m
rmr
mM
m
ML …
...=
( )
=













+
−
+
++
+
ω
2
22
2
2
mM
m
mM
mM
mrr
mM
m
M …
…=
( ) ( ) ( )
( ) ωµωωω 222
22
22
2
22
.
..
rr
mM
mM
Mmr
mM
mM
mM
rM
m
mM
rm
M =
+
=+
+
=





+
+
+
es decir, el sistema de dos partículas queda reducido a un punto de masa µ (masa redu-
cida del sistema) y situada a la distancia r del punto alrededor del cual gira con velo-
cidad angular ω.
5. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS.
5.1. Energía Cinética. Teorema de König.
La energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas
de cada una de las partículas que constituyen el sistema, referida a un sistema inercial
(sistema laboratorio).
∑ ∑ ∑=== 22 2
1
2
1
iiiii vmvmECEC
En el sistema de referencia del Centro de Masa, el
Momento Lineal es nulo y constituye un sistema ade-
cuado para el estudio del movimiento de las partículascon respecto del cual se mueven con gran simetría. Va-
mos a referir la Energía Cinética total, al sistema de refe-
rencia del C.M., para ello, consideremos el sistema de
partículas de la Fig.14 donde:
CMii rrr
rrr += ' y CMii vvv
rrr += ' 
y sustituyendo en la expresión anterior:
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El primer término, es la Energía Cinética de las partículas en el sistema de refe-
rencia del C.M.
El segundo término es la Energía Cinética del conjunto de partículas, concentrado
y localizado en el Centro de Masa y a la velocidad de éste, con respecto al sistema labo-
ratorio (X,Y,Z).
El tercer término es nulo pues contiene el término Σ 'iivm
r
 que corresponde al
momento lineal del sistema de partículas referido al centro de masa que ya hemos de-
mostrado que es nulo.
La energía cinética queda así: EC=EC'+ECCM es decir: La energía cinética del
sistema de partículas respecto al sistema inercial de laboratorio es igual a la energía
cinética del sistema respecto al centro de masa (energía cinética interna) mas la ener-
gía cinética del Centro de Masa respecto al sistema inercial de laboratorio (Teorema
de König).
Es importante esta separación de la EC de un sistema en los dos términos expre-
sados, pues nos permite estudiar el sistema de partículas referido al Centro de Masa
cualquiera que sea el movimiento de éste. Así, un sólido lanzado al aire tendrá movi-
mientos de traslación y rotación y la EC del cuerpo se determina calculando la que tiene
respecto del Centro de Masa EC’ (rotación pura) más la que tiene el propio Centro de
Masa ECCM ( traslación pura).
5.2. Trabajo efectuado sobre el sistema.
Para determinar la energía cinética del sistema de partículas o la variación que experi-
menta, podemos considerar el trabajo que realizan las fuerzas que actúan sobre las partí-
culas, ya que este trabajo incrementa la energía cinética que posee el sistema. Para sim-
plificar la situación consideremos un sistema de dos partículas m1 y m2, sometidas a las
fuerzas externas 1F
r
 y 2F
r
 y a las fuerzas internas 12F
r
 y 21F
r
, tales que:
12F
r
= 21F
r
− o sea 12F
r
+ 21F
r
=0
Por la acción de estas fuerzas, las partícu-
las experimentan desplazamientos diferenciales
1rd
r
 y 2rd
r
, por lo que realizan unos trabajos:
( ) 11211 rdFFdW r
rr
•+=
( ) 22122 rdFFdW r
rr
•+=
y el trabajo total será:
...2211122211 =•+•+•+•= rdFrdFrdFrdFdW
rrrrrrrr
 …= ( ) =−+•+• 21122211 rdrdFrdFrdF
rrrrrrr
… 
 …= 12122211 rdFrdFrdF
rrrrrr •+•+•
El primero y segundo términos representan los trabajos realizados por las fuerzas
exteriores y el tercer término es el trabajo correspondiente a las fuerzas internas. Como
el trabajo total es igual al incremento de la energía cinética del sistema, tendremos:
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dEC=dWE + dWI e integrando ECB-ECA= WE+ WI
En este trabajo se incluyen las fuerzas interiores, pues aunque éstas se contrarres-
tan dos a dos, pueden realizar trabajo positivo si desplazan las posiciones relativas de
las partículas. Para que el trabajo de las fuerzas internas sea nulo, no deben variar las
posiciones relativas de las partículas del sistema, condición que sólo se cumple en el
sólido rígido.
5.3. Energía Potencial.
Si las fuerzas externas e internas son fuerzas conservativas, como consecuencia de
la existencia de campos conservativos, cada partícula poseerá una energía potencial
característica y la suma de las energías potenciales de todas las partículas constituye la
energía potencial total del sistema:
∑= )( iEE EPEP y ∑= )( iII EPEP
Si tenemos en cuenta la definición de Energía Potencial en un campo conservativo
dada por rdFdEP
rr •−= y aplicándola a las fuerzas externas e internas, tendremos:
∑ ∑ ∑ ∆=•=∆−=∆− EiiEiEiE WrdFEPEP r
r
∑ ∑ ∑ ∆=•=∆−=∆− IiiIiIiI WrdFEPEP r
r
que en términos diferenciales podemos escribir:
II
EE
dWdEP
dWdEP
=−
=−
 e integrando 
( )
( ) II
EE
WEPEP
WEPEP
=−
=−
21
21
Estas ecuaciones nos expresan que el trabajo de las fuerzas conservativas externas
e internas a que están sometidas las partículas del sistema, producen variación de la
energía potencial total externa e interna. Si el trabajo es positivo, es decir, producido por
las fuerzas de los campos conservativos, se produce una disminución de la energía po-
tencial y si el trabajo es negativo, es decir, que se realiza contra las fuerzas de los cam-
pos, se origina un aumento de la energía potencial.
5.4. Energía total. Principio de Conservación de la Energía.
La energía total del sistema de partículas sometido a fuerzas conservativas exter-
nas e internas, vendrá dado por la ecuación diferencial:
IE dEPdEPdECdE ++=
y sustituyendo dEC y dEP por sus valores anteriores:
( ) 0=−−+= IEIE dWdWdWdWdE
resultando dE=O luego E=cte que expresa el Principio de Conservación de la Energía
Mecánica de un sistema de partículas sometido sólo a fuerzas conservativas, es decir:
"La energía cinética y potencial del sistema se mantiene constante":
cteEPEPEC IE =++
Si englobamos los términos UEPEC I =+ , llamando Energía Interna al término
señalado U, resultará: cteEPU E =+
lo que significa que toda variación de la energía potencial externa del sistema supone
una variación opuesta de la energía interna.
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Para un sistema aislado de fuerzas exteriores, es decir Σ 0== EEi WW , la varia-
ción de energía potencial externa es nula dEPE=O luego EPE=cte y resulta para la ex-
presión anterior: cteU =
es decir, la energía interna de un sistema aislado se conserva, lo que no significa que la
energía cinética, es decir, su velocidad, sea constante, sino que a toda variación de la
energía cinética se producirá una variación igual y opuesta de la energía potencial inter-
na.
6. SISTEMAS DE PARTÍCULAS DE INTERES ESPECIAL
Un sistema de partículas especialmente interesante es el de dos partículas que, con
velocidades independientes se encuentran bruscamente en un choque y se produce por
ello una rápida variación de sus velocidades. Las fuerzas puestas en juego en los cho-
ques son fuerzas de interacción considerablemente elevadas capaces de alterar brusca-
mente los movimientos iniciales de las partículas pero no pueden modificar el momento
lineal del sistema por ser dichas interacciones fuerzas internas.
Podemos distinguir dos casos:
1) Dos partículas chocan, es decir, al encontrarse se tocan físicamente durante un tiem-
po muy pequeño y como consecuencia de la interacción que se produce, se mueven
finalmente de diferente manera a como lo hacían inicialmente. Por ejemplo dos bo-
las de billar que chocan.
2) Dos partículas al acercarse, interaccionan mutuamente como consecuencia del cam-
po de fuerzas que cada una crea, que les obliga a cambiar las direcciones de los
momentos lineales que inicialmente tenían. Por ejemplo, dos protones u otras partí-
culas cargadas, aceleradas una contra otra, que sufren una colisión aunque no se ha-
yan puesto en contacto.
Ambos casos son idénticos pues las interacciones mutuas (fuerzas internas) que
actúan en un tiempo muy pequeño, aunque de distinta naturaleza, producen cambios en
el estado de movimiento de las partículas. Los cuerpos que chocan, parten inicialmente
de una distancia infinita, libres de fuerzas, se acercan e interaccionan y como conse-
cuencia de la colisión, pueden producirse distintas situaciones:
a) Durante el choque, los cuerpos no absorben energía mecánica de manera perma-
nente, ésta se conserva y los cuerpos permanecen invariables en su estructura interna
(choque elástico).
b) Durante el choque, los cuerpos absorben cierta cantidad de energía mecánicaque se
invierte en aumentar la energía interna de ellos, por deformación, rotura, combina-
ción, absorción, calentamiento, etc. (choque inelástico).
6.1. Estudio del choque de dos partículas.
Consideremos dos partículas que chocan como se representa en la Fig.16. Apli-
cando al sistema el principio de conservación del momento lineal y considerando que
las fuerzas actuantes son internas, resulta: 0=∆pr o sea fi pp
rr =
siendo: ip
r
=(momento lineal inicial)= 2211 vmvm
rr +
fp
r
=(momento lineal final)= '' 2211 vmvm
rr +
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resultando pues: 2211 vmvm
rr + = '' 2211 vmvm
rr +
Durante el choque (bien por contacto real
de las partículas o por las fuerzas de atracción o
repulsión que se ejerzan) cada partícula ejerce
sobre la otra una fuerza que llamaremos 12F
r
 o
21F
r
 cumpliéndose 12F
r
= 21F
r
− , por lo que cada
partícula recibe un impulso: tF ∆.12
r
 que le pro-
duce una variación del Momento lineal.
1111112 ' vmvmptF
rrrr −=∆=∆
2222221 ' vmvmptF
rrrr −=∆=∆
y sumadas miembro a miembro resulta la expre-
sión anterior:
2211 vmvm
rr + = '' 2211 vmvm
rr +
6.1.1. Choque elástico e inelástico.
Podemos considerar ahora qué pasa en cada uno de los dos choques.
a) Elástico. Durante el choque las partículas disminuyen su energía cinética trans-
formándose en energía potencial de deformación (EPI) que se almacena en las partículas
hasta que cada partícula alcanza el límite de deformación y comienza a recuperar su
forma restituyendo totalmente la energía de deformación en energía cinética, pues en
este caso toda la energía almacenada en la deformación se ha restituido. Esta colisión es
elástica y se cumplirá la ecuación anterior:
2
22
2
11
2
22
2
11 '2
1
'
2
1
2
1
2
1
vmvmvmvm +=+
b) Inelástico. Si la energía cinética no se conserva, debido a que la restitución de
la energía de deformación a cinética, no es total sino que parte de dicha energía queda
como deformación permanente o se disipa en forma de calor no utilizable para devolver
a las partículas su energía cinética inicial, el choque se llamará inelástico, como ocurre
en el choque real de todos los cuerpos macroscópicos. Ejemplo: una pelota de goma que
cae y choca con el suelo, al rebotar no alcanza su altura inicial, porque el choque inelás-
tico ha disipado una fracción de energía. Sin embargo las colisiones de las partículas
atómicas y nucleares son generalmente choques perfectamente elásticos.
6.1.2. Coeficiente de restitución.
Entre los cuerpos macroscópicos, los choques nunca son perfectamente elásticos
ni tampoco perfectamente inelásticos, por lo que no se pueden aplicar las ecuaciones
anteriores si no se conoce alguna relación entre las velocidades de antes y de después
del choque. Dicha relación la obtenemos definiendo el coeficiente de restitución que es
la relación entre las velocidades relativas final e inicial de las dos partículas que chocan:
21
21 ''
vv
vv
−
−
−=ε
cuyos valores oscilan entre 0 y 1 que corresponden a choque perfectamente ine-
lásticos (ε=O) y a choques perfectamente elásticos (ε=1).
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6.2. Estudio del choque frontal.
Vamos a estudiar el caso del choque elástico monodimensional o choque frontal
en el que dos partículas se mueven a lo largo de una recta, chocan y después continúan
moviéndose en la misma recta.
Aplicando los principios de con-
servación del momento lineal y de la
energía, tendremos:
2211 vmvm + = '' 2211 vmvm +
2
22
2
11
2
22
2
11 '' vmvmvmvm +=+
reordenando términos: 
'1111 vmvm − = 2222 ' vmvm − ( ) ( )222111 '' vvmvvm −=−
2
22
2
22
2
11
2
11 '' vmvmvmvm +=− ( ) ( )2222221211 '' vvmvvm −=−
dividiendo miembro a miembro y desarrollando los denominadores:
( )( ) ( )( )2222
22
1111
11
''
'
''
'
vvvv
vv
vvvv
vv
+−
−
=
+−
−
 à 
2211 '
1
'
1
vvvv +
=
+
resultando: '' 1122 vvvv +=+ à ( ) 2121 '' vvvv −=−− à rr vv =− '
es decir, las velocidades relativas de las dos partículas son iguales y opuestas pues se
invierten en el choque.
Sin embargo, vamos a analizar el mismo proble-
ma, aunque referido a un sistema de referencia situado
en el Centro de Masa de ambas partículas. Si llamamos
1r
r
 y 2r
r
 a los vectores de posición de las dos partículas
respecto al Centro de Masa (Fig.18), tendremos:
CMrrr
rrr += '11 y CMrrr
rrr += '22
y derivando resulta:
CMvvv
rrr += '11 y CMvvv
rrr += '22
y como el movimiento referido al C.M. es monodi-
mensional, podemos prescindir de la notación vectorial
y considerar sólo sus módulos:
CMvvv += '11 y CMvvv += '22
 
considerando la velocidad del Centro de Masa:
21
2211
mm
vmvm
m
vm
v
i
ii
CM +
+
==
∑
∑
y sustituyendo en las ecuaciones anteriores resultará:
( )
21
212
21
22111211
21
2211
11 ' mm
vvm
mm
vmvmvmvm
mm
vmvm
vv
+
−
=
+
−−+
=
+
+
−=
( )
21
121
21
22112221
21
2211
22 ' mm
vvm
mm
vmvmvmvm
mm
vmvm
vv
+
−
=
+
−−+
=
+
+
−=
y considerando que respecto al sistema del Centro de Masa, el Momento Lineal total del
sistema es nulo Σpi=0, resulta:
''0 22112211 vmvmvmvm +==+
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o sea: 
'' 2211
2211
vmvm
vmvm
−=
−=
 
⇒
⇒
 
'' 21
21
pp
pp
−=
−=
 respecto al C.M.
En lo referente a la energía cinética total del sistema, que se conserva por ser cho-
que elástico, tendremos:
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
12
22
2
11 22222
1
2
1
m
p
m
p
m
vm
m
vm
vmvmEC +=+=+=
y considerando que 21 pp −= à 
2
2
2
1 pp = resultará:
µ22
11
2
2
1
21
21
2
1
21
2
1 p
mm
mmp
mm
p
EC =


 +
=



+=
siendo )/( 2121 mmmm +=µ la Masa Reducida del sistema.
Análogamente, después del choque tendremos:
µ2
'
'
2
1pEC = y como EC=EC’ resulta 
µµ 2
'
2
2
1
2
1 pp = o sea 21
2
1 'pp =
cuyas soluciones son: 11 ' pp ±=
Si las ecuaciones de EC y EC' las demostramos en función de p2 y p2’ resultará:
µµ 2
'
2
2
2
2
2 pp = o sea 22
2
2 'pp =
cuyas soluciones son: 22 ' pp ±=
Las soluciones positivas, o sea p1=p1' y p2=p2 ' indican que no hay choque pues
las partículas se alejan en vez de acercarse. Las soluciones negativas, o sea p1=-p1' Y
p2=-p2 ' indican la existencia de un choque y los momentos lineales de las partículas se
invierten por causa del choque (referido al sistema del Centro de Masa), luego también
se invierten sus velocidades:
v1’ = – v1 y v2’ = – v2
La velocidad relativa de una partícula respecto de la otra, antes del choque es v2-vl
y sustituyendo las anteriores expresiones:
vr = v2 – v1 = -v2’ – (– v1’) = – (v2’ – v1’) = – v r’
es decir, la velocidad relativa antes del choque, es igual a la velocidad relativa después
del choque pero cambiada de signo, lo que resulta generalizado para cualquier sistema
de referencia:
v2 – v1 = – (v2’ – v1’)
La velocidad relativa del sistema de partículas se invierte en el choque, como se
ha demostrado anteriormente.
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BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enrique BURBANO GARCÍA Y Carlos
GRACIA MUÑOZ. Física General. XXXI Edición. Mira Editores. ZARAGOZA.
Jesús RUIZVAZQUEZ. Física. Editorial Selecciones Científicas. MADRID.
Marcelo ALONSO y Edward J. FINN. Física. Vol. 1. Mecánica. Addison-Wesley
Iberoamericana. MEJICO.
Manuel R. ORTEGA GIRÓN. Lecciones de FÍSICA. Mecánica 2. Departamento
de Física Aplicada. Universidad de Córdoba. CÓRDOBA.
Mario GUERRA, Juan CORREA, Ismael NUÑEZ Y Juan Miguel SCARON. Fí-
sica. Elementos Fundamentales. Mecánica y Termodinámicaclásica. Tomo 1. Editorial
Reverté BARCELONA.
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Tratamiento Didáctico
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OBJETIVOS
El sistema de partículas como modelo de todo sistema material en cualquier fenóme-
no de la Naturaleza.
Aplicación de los conceptos de la Dinámica de la partícula a los sistemas de muchas
partículas para explicar fácilmente el comportamiento de esos sistemas..
Estudio y comprensión del concepto fundamental de Centro de Masa.
Introducción del concepto de Energía mediante la energía cinética y potencial como
consecuencia de un campo de fuerzas conservativo.
UBICACIÓN
El tema se ubicará en 4º de ESO únicamente los conceptos básicos del sistema de
partículas, como iniciación.
El tema completo, con todos sus conceptos, sólo se puede ubicar en el 1º de Bachille-
rato con un nivel conceptual y matemático medianamente elevado.
TEMPORALIZACIÓN
Se dedicará para desarrollar el tema un total de 8 horas, distribuídas así:
- 6 horas para desarrollo de la explicación teórica de la materia.
- 1 hora dedicada a realización de problemas teóricos y numéricos.
- 1 hora para trabajos de experimentación en el aula o en el laboratorio.
METODOLOGÍA
Exposición de los conceptos del tema, orientando al alumno en el razonamiento, en
una metodología inductiva, presentando hechos y fenómenos de los que él va a deducir
conclusiones.
Interpretación física de todas las conclusiones que se deducen de las demostraciones
matemáticas como resultados de las situaciones planteadas.
Realización de experimentos de laboratorio que demuestren al alumno los principios
estudiados y sus aplicaciones a la vida real.
Resolución de problemas numéricos de las distintas situaciones estudiadas.
CONTENIDOS MÍNIMOS
Idea básica de un sistema de partículas. Fuerzas externas e internas.
Posición media del sistema. Idea de Centro de Masa. Su cálculo.
Momento Lineal y Momento Angular del sistema de partículas. Su conservación.
Sistemas de referencia laboratorio y sistema de referencia Centro de Masa.
Energía Cinética y Energía Potencial del sistema de partículas.
MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOS
Libro de Texto complementado con apuntes tomados en clase de las explicaciones
del Profesor, subrayando los conceptos fundamentales.
Material de laboratorio sencillo y adecuado a prácticas de rotación utilizando bolas
de acero, muelles, figuras geométricas, dinamómetros, etc.
Hojas de problemas de Dinámica de sistemas de partículas (choques, cálculos de
C.M., explosiones, etc.) escogidos de dificultad creciente y adaptados al nivel del curso.
EVALUACIÓN
Pruebas objetivas sobre los conceptos fundamentales del tema, valorando compren-
sión, memorización y aplicación de estos conceptos a situaciones reales.
Pruebas escritas con problemas numéricos exigiendo resolución completa con ut ili-
zación de máquinas calculadoras.
Valoración de las prácticas realizadas en el aula o en el laboratorio.
Pruebas de opción múltiple con preguntas de varias respuestas (3 falsas y 1 cierta)
que obligue al alumno al razonamiento de las situaciones planteadas.