Semana2-Sumatoria-Combinatorio-Binomio Newton

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ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES ÁREA DE INGENIERÍA
Algebra y Geometría Analítica
2020-II
Unidad 1
Semana 2
Inducción matemática. Demostraciones por inducción matemática. 
Sumatorias y propiedades. Número combinatorio y propiedades. Binomio de 
Newton.
¿Cómo demostrarías lo siguiente?
• Para cualquier 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1 se cumple:
1 + 3 + 5 +⋯+ 2𝑛 − 1 = 𝑛2
• 2𝑛 ≥ 8 𝑛 − 2 ; ∀ 𝑛 ≥ 3, 𝑛 ∈ ℕ
Analicemos lo siguiente:
1 = 2 1 − 1 = 12
1 + 3 = 1 + 2 2 − 1 = 22
1 + 3 + 5 = 1 + 2 + 2 3 − 1 = 32
⋮
1 + 3 +⋯+ 15 = 1 + 3 +⋯+ 2 8 − 1 = 64
En base a este análisis se podría conjeturar que 
1 + 3 +⋯+ 2𝑛 − 1 = 𝑛2
Es decir que la suma de los primeros 𝑛 números 
impares es 𝑛2.
¿Cómo demostrar que siempre se cumple, para 
cualquier valor que tome 𝑛 ∈ ℕ? 
En este caso se usará una clase especial de 
demostración, llamada inducción matemática.
Diremos que un subconjunto 𝑆 de ℝ es inductivo si se
satisfacen:
i)1 ∈ 𝑆
ii) 𝑘 ∈ 𝑆 ⟶ 𝑘 + 1 ∈ 𝑆
𝑖)ℝ,ℝ>0, ℝ≥1
𝑖𝑖) ℝ<5 no es un conjunto inductivo pues satisface 𝑖) pero 
no satisface 𝑖𝑖)
Ejemplos
CONJUNTOS INDUCTIVOS
Ejemplos
𝑖) 𝜙 , conjunto vacío es inductivo?
𝑖i)S = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥2 ≤ 3} es inductivo?
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
La inducción matemática es un tipo de
demostración, usada para demostrar proposiciones
que dependen de una variable 𝑛 que toma una
infinidad de valores enteros. La inducción
matemática está basada en el siguiente principio.
Principio de inducción matemática
Sea 𝑆 ⊂ ℕ, que satisface las siguientes condiciones:
1. El número 1 ∈ 𝑆.
2. Si k ∈ 𝑆, entonces k + 1 ∈ 𝑆.
Entonces, todo número natural pertenece a 𝑆, es
decir 𝑆 = ℕ.
Demostración por inducción matemática
Sea 𝑛 y 𝑛0 números naturales (𝑛 ≥ 𝑛0), si 𝑃(𝑛) es un 
enunciado que depende de 𝑛 y si se satisfacen las dos 
condiciones siguientes.
1. 𝑃(𝑛0) es verdadera.
2. Para todo número natural 𝑘 ≥ 𝑛0, si 𝑃(𝑘) es 
verdadero, implica que 𝑃(𝑘 + 1) es verdadero.
Entonces 𝑃(𝑛) es verdadero para todo 𝑛 ≥ 𝑛0.
Observación:
• En la práctica, 𝑛0 es generalmente igual a 1.
• 𝑃(𝑘) se llama la hipótesis inductiva, no se debe
probar su veracidad se asume como verdadera.
Ejemplos
1. Probar que ∀𝑛 ∈ ℕ se verifica la igualdad
𝑃 𝑛 : 12 + 22 +⋯+ 𝑛2 =
1
6
𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1
Solución
• 𝑃(1) es verdad, pues para 𝑛 = 1 se tiene
12 =
1
6
1 1 + 1 3 = 1
• Supongamos que 𝑃(𝑘) es verdad. Es decir se cumple que: 
12 + 22 +⋯+ 𝑘2 =
1
6
𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1 (Hipótesis inductiva).
Debemos probar que 𝑃(𝑘 + 1) es verdad. En efecto:
12 + 22 +⋯+ 𝑘2+ 𝑘 + 1 2 =
1
6
𝑘 𝑘 + 1 2𝑘 + 1 + 𝑘 + 1 2
= 𝑘 + 1
1
6
𝑘 2𝑘 + 1 + 𝑘 + 1
= 𝑘 + 1
2𝑘2 + 7𝑘 + 6
6
=
1
6
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(2𝑘 + 3)
=
1
6
(𝑘 + 1)( 𝑘 + 1 + 1)(2 𝑘 + 1 + 1)
Entonces, 𝑃(𝑘 + 1) es verdad. Por tanto 𝑃(𝑛) es verdad ∀ 𝑛 ∈ ℕ.
2. Demuestre que para todo entero 𝑛 ≥ 5, se cumple 4𝑛 <
2𝑛.
Solución
• Tenemos 𝑛0 = 5, por verificar que 𝑃(5) es verdad.
Como 𝑃 5 : 4 5 < 25 y vemos 20 < 32, entonces 𝑃(5) es 
verdad.
• Supongamos que 𝑃 𝑘 : 4𝑘 < 2𝑘 es verdad. Por demostrar 
que
𝑃 𝑘 + 1 : 4 𝑘 + 1 < 2𝑘+1 es verdad. 
En efecto:
4 𝑘 + 1 = 4𝑘 + 4
< 2𝑘 + 4 (𝑃𝑜𝑟 𝐻. 𝐼. )
< 2𝑘 + 4𝑘 (𝑝𝑢𝑒𝑠 4 < 4𝑘, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ≥ 5)
< 2𝑘 + 2𝑘 (𝑃𝑜𝑟 𝐻. 𝐼. )
= 2 ⋅ 2𝑘
= 2𝑘+1
Entonces, 𝑃(𝑘 + 1) es verdad.
Por lo tanto, 4𝑛 < 2𝑛 se cumple ∀ 𝑛 ≥ 5, 𝑛 ∈ ℕ.
Sumatorias
Si 𝑛 es un entero positivo y 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛 es un
conjunto de números, entonces la suma de ellos lo
podemos representar con la notación de suma o
notación sigma de la siguiente manera:
෍
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛
El cual se lee como “La sumatoria de los números
𝑎𝑘 desde 𝑘 = 1 hasta 𝑘 = 𝑛”
Propiedades
Sean 𝑚 y 𝑛 enteros positivos, 𝑐 cualquier número real, entonces 
se cumple:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1
n
k
c nc
=
=
1 1
n n
k k
k k
ca c a
= =
= 
1 1 1
( )
n n n
k k k k
k k k
a b a b
= = =
 =   
1 11
, 1
m n
k k
k mk k
n
k ma a a n
== = +
= +   
1 0
1
, Propiedad telescópica( )
n
k k n
k
a a a a−
=
− = −
1 1 , variante de propiedad telescópica( ) m
n
k k n
k m
a a a a+ +
=
− = −
Mas propiedades
Propiedades del cambio de subíndice
1.
2.
, , 
n hn
k k h
k m k m h
a a h z m n
+
+
−
= = +
=   
, , 
n hn
k k h
k m k m h
a a h z m n
−
+
+
= = −
=   
Suma geométrica
1
0
1
, entero 0, 1, 0
1
nn
k
k
x
x n x x
x
+
=
−
=    
−

Observación: Se debe tener en cuenta que:
1 1 1
( )
n n n
k k k k
k k k
a b a b
= = =
    
Ejemplo
Calcular
Solución
Como:
𝑎𝑘 = 2𝑘
2 + 𝑘 − 1 → 𝑎𝑘+13 = 2 𝑘 + 13
2 + 𝑘 + 13 − 1
Luego, por cambio de subíndice
30
2
14
(2 1)
k
k k
=
+ −
30 17
2 2
14 1
17
2
1
17 17 17
2
1 11
(2 1) (2( 13) ( 13) 1)
 (2 53 350)
 2 350
17(18)(35) 17(18)
 2 53 17(350) 17629
3
6 2
5
k k
k
k kk
k k k k
k
kk
k
= =
=
= ==
+ − = + + + −
= + +
+
+= +
= + =
 

 
Ejemplo
Calcule 
Solución
Sea 𝑎𝑘 =
2𝑘+1
2𝑘+3
, entonces por variante de propiedad telescópica
700
50
2 3 2 1
2 5 2 3k
k k
k k=
+ +
−
+ +
 
 
 

700 700
1
50 50
2 3 2 1
( )
2 5 2 3
2 700 1 2 50 1
 
2 3 2 50 3
k k
k k
k k
a a
k k
n
+
= =
+ +
− = −
+ +
 +  +
= −

 
 
 
+  +
 
Número combinatorio
También llamado coeficiente binomial, se define por
𝑛
𝑘
=
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, 𝑛, 𝑘 ∈ ℤ
Se lee “número combinatorio de 𝑛 sobre 𝑘”
Propiedades
1.
𝑛
0
= 1
2.
𝑛
1
= 𝑛
3.
𝑛
𝑛
= 1
4.
𝑛
𝑛 − 1
= 𝑛
5.
𝑛
𝑘
=
𝑛
𝑛 − 𝑘
6.
𝑛
𝑘
+
𝑛
𝑘 + 1
=
𝑛 + 1
𝑘 + 1
El teorema del binomio de Newton
Si 𝑛 es un entero, donde 𝑛 ≥ 1, se cumple:
Los coeficientes del binomio de newton están 
relacionados con el triángulo de pascal
0
( )
n
n n k k
k k
b
n
a b a −
=
 
+  
 
=
Ejemplo
Determine el término independiente de 𝑥 −
1
𝑥2
3𝑛
Solución
Como piden el término independiente, entonces
3𝑛 − 3𝑘 = 0 → 𝑛 = 𝑘
Por tanto, el término independiente es:
3𝑛
𝑛
−1 𝑛
3 3
2 3
2
0
3
3 3
0
3
( 1)
3
 ( 1)
1
n n
k k n k
k
n
k n k
k
n
x x
kx
x
n
k
x− −
=
−
=
  
− −   
   
 
=
= − 
 


Término general del binomio de Newton
El término general de lugar 𝑘 + 1 del desarrollo de 
𝑎 + 𝑏 𝑛 es:
𝑇𝑘+1 =
𝑛
𝑘
𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘 , 𝑘 ≥ 0
Ejemplo:
Hallar 𝐴 si el sexto término del desarrollo de 
𝑥
𝑦6
+ 𝐴
10
es 252𝑥15𝑦−25.
Solución
𝑇6 = 𝑇5+1 =
10
5
𝑥𝑦−6 10−5𝐴5 = 252𝑥5𝑦−30𝐴5
Por dato: 𝑇6 = 252𝑥
15𝑦−25
Entonces:
252𝑥15𝑦−25 = 252𝑥5𝑦−30𝐴5
→ 𝐴5 = 𝑥10𝑦5
Por tanto:
𝐴 = 𝑥2𝑦