Solucion_segundo_Parcial_reg byb

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Facultad de Bioqúımica y Ciencias Biológicas - UNL - Matemática General
Bioqúımica y Licenciatura en Biotecnoloǵıa
Resolución Segundo Parcial de Regularidad
Ejercicio 1. (20 puntos) Dados los vectores: ~u cuyo módulo es 2 y dirección θ =
3
2
π y ~v = 〈2, α〉, obtener el
valor de α para que los vectores formen un ángulo φ =
3
4
π.
Puesto que la magnitud y dirección de ~u están dados se tiene que ~u = 〈|~u| cos(3π/2), |~u| sen(3π/2)〉 = 〈0,−2〉.
Por otro lado sabemos que
−
√
2
2
= cos
Å
3π
4
ã
= cosφ =
~u · ~v
|~u||~v|
=
〈0,−2〉 · 〈2, α〉
2
√
4 + α2
= −2α
2
√
4 + α2.
De aqúı se sigue inmediatamente que 2(4 + α2) = 4α2 y aśı α = ±2. El valor α = −2 se descarta debido a que
el ángulo formado entre ~u y ~v es 3π4 . Con lo cual, α = 2.
Ejercicio 2. (35 puntos) Dados los puntos A(1, 1,−2), B(0, 0,−3), C(2, 0,−2) y D(2, 2,−1), se pide:
a) Verificar que los puntos se encuentran sobre un mismo plano.
b) Determinar la ecuación del plano π que los contiene.
c) Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano π que pasa por el punto A.
a) Para determinar si los puntos dados pertenecen a un mismo plano, será suficiente verificar que los vectores
−−→
AB = 〈−1,−1,−1〉,
−−→
BC = 〈2, 0, 1〉 y
−−→
CD = 〈0, 2, 1〉 son coplanares. Para ello calculamos (
−−→
AB ×
−−→
BC) ·
−−→
CD:
(
−−→
AB ×
−−→
BC) ·
−−→
CD =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
−1 −1 −1
2 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ · 〈0, 2, 1〉 = 〈−1,−1, 2〉 · 〈0, 2, 1〉 = −2 + 2 = 0
De aqúı se sigue que los puntos A, B, C y D pertenecen a un mismo plano.
b) Para hallar la ecuación del plano π (que ya probamos que existe) podemos utilizar el vector ~n
.
=
−−→
AB×
−−→
BC =
〈−1,−1, 2〉 como vector normal al plano y cualquiera de los puntos dados como punto de paso. Luego, la
ecuación del plano está dada por: π : −(x−1)−(y−1)+2(z+2) = 0 o, equivalentemente, −x−y+2z+6 = 0.
c) La recta buscada, por ser perpendicular al plano π, está dirigida por un vector ~u paralelo a ~n = 〈−1,−1, 2〉.
Eligiendo ~u = ~n, se tiene que

x = 1− λ
y = 1− λ
z = −2 + 2λ
, λ ∈ R es la ecuación de la recta.
Ejercicio 3. (20 puntos) Dada la función y = f(x) = −2x + 1, se pide:
a) Determinar dominio y conjunto imagen de f .
b) Indicar la ecuación de la aśıntota y las intersecciones con los ejes coordenados.
c) Hallar la función inversa y representar en un mismo sistema de coordenadas ambas funciones.
a) Df = R e Imf = (−∞, 1).
b) De la gráfica se observa que cuando x → −∞, f(x) → 1 y por ello y = 1 es una aśıntota horizontal de la
función.
Para hallar la intersección con el eje x, buscamos x ∈ Df tal que f(x) = 0; es decir: −2x + 1 = 0, de donde
se sigue que 2x = 1 con lo cual x = 0. Este cálculo permite concluir que la intersección con el eje y es en
y = 0.
1
2
c) Para calcular la inversa de la función y = −2x+1 primero intercambiamos las variables. Es decir, x = −2y+1.
Despejando x se obtiene que y = log2(1− x). Aśı, f−1(x)
.
= log2(1− x).
Las gráficas de la función f y su inversa se presentan a continuación:
Ejercicio 4. (10 puntos) Dada la gráfica de una función trigonométrica del tipo g(x) = A sen (p(x− θ)) + h,
se pide identificar el valor de cada uno de los parámetros.
De la gráfica se observa que el peŕıodo de la función dada es π, con lo cual la pulsación, p, es 2 (pues π = 2πp ).
Sabemos que la amplitud, A, está dada por A = max−min2 con lo cual A = 3. De la gráfica también se sigue
que h = −2 y θ = π/4.
Ejercicio 5. (15 puntos) Escribir la ecuación factorizada de la función polinómica de grado 3 cuya gráfica
es:
La función polinómica de grado 3 factorizada está dada por P (x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3), donde x1, x2
y x3 son los ceros de la función. De la gráfica se observa claramente que x1 = −1, x2 = 1 y x3 = 5/2. Para
determinar el valor de a, utilizamos el hecho de que P (0) = −152 . Luego, −
15
2 = P (0) =
5a
2 , de donde se obtiene
que a = −3. Asi, la función polinómica está dada por: P (x) = −3(x+ 1)(x− 1)(x− 5/2).