Taller (2) (1)

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Taller para la evaluación de la unidad. 
 
Tema invariante de un algoritmo. 
01. Dado el siguiente algoritmo: 
𝑆𝑈𝐵𝑅𝑈𝑇𝐼𝑁𝐴 𝐹𝑈𝑁 (𝑋, 𝑌; 𝑍) 
1. 𝑍 ← 𝑋 
2. 𝑊 ← 𝑌 
3. 𝑀𝐼𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴𝑆 (𝑊 > 0) 
a. 𝑍 ← 𝑍 − 2𝑋 + 𝑌 
b. 𝑊 ← 𝑊 – 1 
𝐹𝐼𝑁 𝑀𝐼𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴𝑆 
𝐹𝐼𝑁 𝑆𝑈𝐵𝑅𝑈𝑇𝐼𝑁𝐴 𝐹𝑈𝑁. 
𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓: 
𝑍𝑘 = _______________________ , 𝑊𝑘 = ______________________ 
𝑍𝑛 = _______________________ , 𝑊𝑛 = ______________________ 
𝐼𝑛𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒: ____________________________ 
 
02. Para el siguiente algoritmo: 
FUNCIÓN POW (X, Y: entero) 
1. Z  1 
2. W  Y 
3. MIENTRAS (W > 0) 
a. 𝑍 ← 𝑍 ∗ 𝑋 
b. W  W – 1 
FIN DEL MIENTRAS 
4. RETORNAR Z 
FIN DE LA FUNCIÓN POW 
𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓: 
𝑍𝑘 = _______________________ , 𝑊𝑘 = ______________________ 
𝑍𝑛 = _______________________ , 𝑊𝑛 = ______________________ 
𝐼𝑛𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒: ____________________________ 
 
 
03. Dado el siguiente algoritmo: 
𝑆𝑈𝐵𝑅𝑈𝑇𝐼𝑁𝐴 𝐹𝑈𝑁 (𝑋, 𝑌; 𝑍) 
1. 𝑍 ← 𝑌2 
2. 𝑊 ← 𝑌 
3. 𝑀𝐼𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴𝑆 (𝑊 > 0) 
a. 𝑍 ← 𝑍 – 2𝑋 + 3𝑌 
b. 𝑊 ← 𝑊 – 1 
𝐹𝐼𝑁 𝑀𝐼𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴𝑆 
𝐹𝐼𝑁 𝑆𝑈𝐵𝑅𝑈𝑇𝐼𝑁𝐴 𝐹𝑈𝑁 
𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓: 
𝑍𝑘 = _______________________ , 𝑊𝑘 = ______________________ 
𝑍𝑛 = _______________________ , 𝑊𝑛 = ______________________ 
𝐼𝑛𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒: ____________________________ 
 
 
 
Tema Matrices booleanas 
04. Sean las matrices A, B cada una de orden 3x3, definidas por 
𝑎𝑖𝑗 = {
1, 𝑠𝑖 (𝑖 − 𝑗) es par
0, en otro caso
 , 𝐵 = [
0 1 1
1 1 0
1 0 0
]. 
Determine 𝐶 = [𝐵⨀𝐴𝑇]⋀ 𝐴. Halle 𝑐11 + 𝑐21 
 
05. Dada las matrices 𝐴, 𝐵 y 𝐶 definidas por 
𝐴 = (
0 0 0 0
1 0 1 0
0 0 0 1
) , 𝐵 = (
1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 1 1
) y 𝐶 = 𝐵 ⊙ 𝐴𝑇 . 
Determine 𝑐12 + 𝑐23. 
 
06. Sean las matrices A, B cada una de orden 3x3, definidas por 
𝑎𝑖𝑗 = {
1, 𝑠𝑖 (𝑖 + 𝑗) es par
0, en otro caso
 , 𝐵 = [
1 0 0
1 1 0
1 0 1
], 
Determine [𝐴𝑇⨀𝐵] ⋀𝐵 
 
Tema Aplicaciones de sucesiones recurrentes. 
 
07. La cantidad inicial de una población de cuyes es de 10000 individuos, y 
anualmente dicha población crece en 30% respecto del año anterior, este 
crecimiento de cuyes se debe a que no tienen depredadores. Determine una 
sucesión recurrente que modele la población, 𝑎𝑛, luego de 𝒏 años. 
 
08. La cantidad inicial de una población de insectos es de 1000 individuos, y mensualmente 
la población decrece en 20% respecto del mes anterior. 
a. Determine una sucesión recurrente que modele la población luego de n meses. 
b. ¿Cuál es la población luego de 4 años? 
 
09. Un auto que se compró a 20 000 dólares disminuye su valor con el paso del tiempo, de 
tal manera que luego de un año vale $18 000 y que la variación del precio anual es 
igual a las tres cuartas partes de la variación del año anterior. 
a. Determine una sucesión recurrente que modele el valor del auto luego de n años. 
b. Determine explícitamente el enésimo término de la sucesión anterior. 
c. ¿Luego de cuántos años el valor del auto es de $15 375? 
 
10. Determine la fórmula explicita para el termino enésimo de las siguientes sucesiones 
recurrentes: 
a. 𝑎𝑛 = 4𝑎𝑛−1 − 4𝑎𝑛−2, para 𝑛 ≥ 2, con valores iniciales 𝑎0 = 6, 𝑎1 = 8. 
b. 𝑎𝑛 = 7𝑎𝑛−1 − 10𝑎𝑛−2, para 𝑛 ≥ 2, con valores iniciales 𝑎0 = 2, 𝑎1 = 1. 
c. 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 9𝑎𝑛−2, para 𝑛 ≥ 2, con valores iniciales 𝑎0 = 1, 𝑎1 = 9. 
d. 𝑎𝑛 = 5𝑎𝑛−1 − 4𝑎𝑛−2, para 𝑛 ≥ 2, con valores iniciales 𝑎0 = 2, 𝑎1 = −1. 
 
Tema: Relaciones, propiedades, manipulaciones 
 
11. En el conjunto 𝐴 = {1,2,3,4,5} se define la relación: 
𝑅 = {
(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,4), (2,5), (3,1), (3,4),
(4,1), (4,2), (4,3), (5,2), (5,5)
} 
Sobre la relación 𝑅, determinar cuántas de las siguientes proposiciones son 
verdaderas. 
a) R es simétrica, pero no una relación de equivalencia. 
b) R es reflexiva y antisimétrica. 
c) R es una relación de equivalencia. 
d) [3] = {1,3,4} 
e) R no es irreflexiva, tampoco asimétrica. 
 
12. Sea 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} y R una relación sobre el conjunto A, cuyos elementos se muestran 
abajo: 
𝑅 = {
 (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, c), (c, a),
(b, d), (d, b), (a, e), (e, a), (c, e), (e, c)
} 
a) R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. 
b) R es una relación de equivalencia. 
c) La clase de equivalencia del 𝑏, por medio de 𝑅 es: [𝑏] = {𝑎, 𝑏, 𝑐} 
d) R no es irreflexiva, tampoco asimétrica. 
 
13. Sea el conjunto 𝐴 = {1, 3, 5,7,8} 𝑦 la relaciones 𝑅 definida en 𝐴 por: 
(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⇔ 𝑎 + 𝑏 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑3) 
Sea la relación 𝑆 en 𝐴, definida como: 
𝑆 = {(1,1), (1,3), (3,5), (3,8), (5,7), (7,7), (7,8), (8,1), (8,7)} 
a) Encuentre La relación 𝑅 
b) Encuentre la relación inversa de S (hallar 𝑆−1) 
c) Encuentre 𝑀�̅�𝑜𝑆−1 
d) Encuentre 𝑀𝑅∩𝑆 
 
Tema: Lógica y proposición: 
14. Se sabe que la proposición: [(p v q) ∧ p] ⇒ [ (r v q) ⇔ p ] es falsa. Determinar los 
valores de verdad de las proposiciones: 
a. p, q, r 
b. [(p ∧ ∼ q) ⇒ (r v p) ] ⇔ [ ∼ q (r v p) ] 
 
15. Si la proposición ∼ [(∼ 𝑝˅𝑞)˅(𝑟 → 𝑞)] ∨ [(∼ 𝑝˅𝑞) → (𝑞 ∧∼ 𝑝)] es verdadera, halle el 
valor de verdad de: 
a) [(∼ 𝑝 ∨ 𝑟)˅(𝑞 → 𝑝)] ∧ [(𝑞 ∧ ∼ 𝑟)] 
b) [(𝑥 → 𝑞)˅(𝑡 ˅ 𝑤)] → [𝑝 →∼ 𝑟] 
 
 
Tema: División de los enteros 
16. Ana y Pedro están en una carrera de bicicletas en un circuito que mide 600 metros. Ana 
puede dar una vuelta al circuito en 1 minuto y 20 segundos, mientras que Pedro puede 
dar una vuelta en 2 minutos y 10 segundos. Si comienzan al mismo tiempo, ¿cuántos 
minutos y segundos pasarán antes de que se encuentren nuevamente en el mismo punto 
del circuito por primera vez? 
 
17. Tenemos una cuerda de 120 metros y otra de 200 metros. Se desea cortarlas para 
obtener otras cuerdas, todas de la misma longitud, pero lo más largas posibles, de modo 
que no sobre ningún trozo. Calcular la longitud de las cuerdas y el número total de 
cuerdas. 
 
Problema Razonamiento cuantitativo. Emplear las 4 dimensiones. 
 
Problema 01 
En una empresa constructora trabajan 100 empleados entre contadores, economistas e 
ingenieros; 45 de ellos tienen una y solo una de estas profesiones. De los contadores 25 son 
economistas y 27 son ingenieros; 33 son economistas e ingenieros. ¿Cuántos de los referidos 
empleados tienen las tres profesiones? Tener en cuenta las dimensiones de interpretación, 
representación, cálculo, análisis y argumentación. 
 
 
Problema 02 
En la siguiente imagen se muestra algunas ciudades de Bélgica. Las líneas entre las ciudades son 
las conexiones entre ellas mediante tren. Para un estudio de conectividad entre las ciudades, se 
requiere conocer: las ciudades que tiene conexión 
directa (sin pasar por otra ciudad), para este caso 
utilice una matriz booleana M que modele la 
situación; las ciudades que tienen conexión con una 
escala (pasan por una ciudad antes de llegar al 
destino), para este caso utilice operaciones booleanas 
con la matriz M; y las ciudades que tiene conexión con 
dos escalas (pasan por dos ciudades antes de llegar al 
destino), para este caso utilice operaciones booleanas 
con la matriz M. Hallar la matriz de conectividad de las 
ciudades. 
 
Problema 03 
Cierto día se efectuó tres preguntas a un grupo de alumnos, solo un 8% contestaron bien las tres 
preguntas, el 12 % contestaron bien sólo la primera y la segunda, el 13% contestaron bien solo 
la primera y la tercera, el 15% contestaron bien solo la segunda y tercera. El 50% contestaron 
bien la primera pregunta, el 40% contestaron bien la segunda pregunta, y el 40% contestaron 
bien la tercera pregunta. ¿Qué tanto por ciento de alumnos no contestó ninguna pregunta?