Modelagem de Sistemas Dinâmicos com Equações de Lagrange

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8 MODELAMIENTO DE SISTEMAS DINÁMICOS MEDIANTE LA ECUACIÓN 
DE LAGRANGE 
 
Este tipo de modelamiento se basa en las denominadas ecuaciones de Lagrange 
(ecuaciones de Euler-Lagrange) mediante el cual se cuenta con un procedimiento 
analítico para encontrar las ecuaciones que describen el comportamiento físico de 
un sistema basándose en un enfoque energético. Los conceptos usados serán 
aplicables a la mecánica clásica, electricidad, electromagnetismo entre otros 
campos. 
 
Ecuaciones de Lagrange 
 
La dinámica de cualquier sistema siempre se puede extraer a partir de la 
sumatoria de las fuerzas a las que esté sometido , por tanto para un sistema dado, 
el balance de fuerzas será: 
 
F = FM + FK + FD 
 
Donde: 
 
F : Fuerzas externas aplicadas al sistema 
FM : Fuerzas producto de la energía cinética 
FK : Fuerzas producto de la energía potencial 
FD : Fuerzas presentes en la disipación de energía 
 
En adelante se considerará un sistema mecánico, para el cual las expresiones que 
relacionan fuerzas y energías se presentan a continuación: 
 
La energía cinética en un sistema mecánico depende de la masa y la velocidad 
asociadas al movimiento, esto es: 
2
xm
2
12vm
2
1
T
•
== 
Donde: 
 
T : Energía cinética 
m : Masa 
v : Velocidad asociada al movimiento 
x : Posición asociada al movimiento 
 
La fuerza asociada a la energía cinética está dada por: 
 
𝐹𝑚 = 𝑚�̈� = 𝑚
𝑑�̇�
𝑑𝑡
 
 
 
Entonces, la fuerza FM en función de la energía cinética, está dada por: 
 16 
 
𝐹𝑚 =
𝑑
𝑑𝑡
[
𝑑𝑇
𝑑�̇�
] 
 
 
En el caso de la energía potencial asociada con fuerzas conservativas, se tiene la 
siguiente expresión: 
 
=
x
o K
dxFV 2 xk 
2
1
V = 
Donde: 
 
V : Energía potencial 
FK : Fuerza conservativa 
x : Desplazamiento asociado al movimiento 
 
 
De esta expresión se deduce que la fuerza puede ser representada por: 
 
dx
dV
FK = 
 
La fuerza asociada al amortiguamiento viscoso de un sistema mecánico, se define 
como: 
𝐹𝐷 = 𝑏𝑣 = 𝑏�̇� 
 
Donde: 
 
FD : Fuerza causante de la disipación de energía 
b : Coeficiente de fricción viscosa 
v : Velocidad asociada al movimiento 
x : Posición asociada al movimiento 
 
Llamando D a la energía disipada en el sistema, puede mostrarse que la relación 
entre D y FD está dada por: 
𝐷 =
1
2
𝑏�̇�2 
 
De donde: 
𝐹𝐷 =
𝑑𝐷
𝑑�̇�
 
 
 
Realizando el balance de fuerzas, se tiene: 
 
FM + FK + FD = F 
 17 
 
Recordando que F es la fuerza externa y reemplazando las expresiones obtenidas 
para cada una de las fuerzas, el balance de fuerzas es: 
 
𝑑
𝑑𝑡
[
𝑑𝑇
𝑑�̇�
] +
𝑑𝑉
𝑑𝑥
+
𝑑𝐷
𝑑�̇�
= 𝐹 
 
 
Se define el Lagrangeano como: 
 
𝐿(𝑥, �̇�) = 𝑇(�̇�) − 𝑉(𝑥) 
 
 
La ecuación del balance de fuerzas, expresada en función del Lagrangeano, se 
conoce como Ecuación de Lagrange, y está dada por: 
 
𝑑
𝑑𝑡
[
𝛿𝐿
𝛿�̇�
] −
𝛿𝐿
𝛿𝑥
+
𝛿𝐷
𝛿�̇�
= 𝐹 
 
 
La ecuación de Lagrange en forma general está expresada por: 
 
𝑑
𝑑𝑡
[
𝛿𝐿
𝛿�̇�𝑗
] −
𝛿𝐿
𝛿𝑞𝑗
+
𝛿𝐷
𝛿�̇�𝑗
= 𝐹 
 
con j = 1,2,3...r y 
 
 L = T( q1, q2, ....qr, 
•
q 1, 
•
q 2 , ... ,
•
q r ) - V( q1, q2, .... qr) 
 
Las variables qj se conocen como Coordenadas Generalizadas, y están definidas 
como el conjunto de coordenadas independientes que se necesitan para describir 
completamente el movimiento de un sistema. En un sistema mecánico, el número 
de coordenadas generalizadas necesarias para describirlo, es igual al número de 
grados de libertad; es decir, el número mínimo de coordenadas independientes 
requeridas para especificar las posiciones de todos sus elementos. 
 
La tabla 8.1 muestra las expresiones de energía cinética, potencial y de disipación, 
relacionadas tanto con elementos mecánicos como con los sistemas eléctricos. 
 
Tabla 8.1 
 
 Sistema Eléctrico Sistema Mecánico 
Coordenadas 
generalizadas 
q ó i =
•
q x ó v = 
•
x 
 18 
Energía Cinética (T) 2
qL
2
1 •
 
2
xm
2
1 •
 
Energía Potencial (V) 2q
2C
1
 2x k
2
1
 
Energía disipada (D) 2
qR
2
1 •
 
2
xb
2
1 •
 
Excitación Tensión Fuerza 
 
Donde: 
 
q : Carga eléctrica x : Posición 
i : Corriente eléctrica v : Velocidad 
 L : Inductancia del elemento m : Masa del elemento 
C : Capacitancia del elemento k : Constante elástica del resorte 
R : Resistencia del elemento b : Cte de fricción del amortiguador 
 
Características de los modelos por el método de Ecuaciones de Lagrange 
 
El método de Lagrange presenta algunas ventajas frente al método que utiliza las 
leyes de Newton, entre ellas están: 
 
 
• Se reduce la cantidad de razonamiento geométrico requerido. 
 
• El método trata con relaciones escalares y no con vectoriales. 
 
• El método evita la consideración de fuerzas internas del sistema. 
 
• El número de ecuaciones requeridas se define automáticamente, después de 
haber escogido las coordenadas generalizadas. 
 
Procedimiento para la aplicación del método 
 
La aplicación de este método de modelamiento matemático puede ser resumida 
en el siguiente procedimiento: 
 
• Determinar el número de grados de libertad del sistema. 
 
• Seleccionar las coordenadas generalizadas. 
 
• Escribir la expresión de la energía cinética total del sistema. 
 
• Escribir la expresión de la energía potencial total del sistema. 
 
• Establecer la función Lagrangeano L(T,V) 
 19 
 
• Calcular la expresión de energía disipada en el sistema. 
 
• Aplicar la Ecuación de Lagrange. 
 
 
Con este procedimiento se obtendrán tantas ecuaciones, como grados de libertad 
tenga el sistema. 
 
A continuación se muestran algunos ejemplos sobre la utilización de esta 
metodología. 
 
Ejemplo 
 
Sea el sistema que se muestra en la figura 8.1, compuesto por una esfera de 
masa m, en caída libre. 
 
Figura 8.1: Masa en caída libre 
 
En este caso existe solo un grado de libertad, y la coordenada generalizada es 
y(t). Las expresiones para la energía del sistema son: 
 
2
ym
2
1
T
•
= V = m g y D = 0 F = 0 
 
El Lagrangeano y sus derivadas quedan definidos por: 
 
L = T – V = yg mym
2
1 2
−
•
 
 
•
•
=


y m
y
L
 g m 
y
L
−=


 
•••
•
=







=














ymym
ty
L
t
 
 20 
 
La ecuación de Lagrange para este sistema es: 
 
0mgym =+
••
 
O expresado de otra manera: 
g y −=
••
 
 
Con esta ecuación queda representado matemáticamente el comportamiento 
dinámico del sistema. 
 
 
Ejemplo 
 
 
Considere el sistema oscilador amortiguado de la figura 8.2: 
 
 
Figura 8.2: Sistema masa resorte 
 
En este caso existe también solo un grado de libertad, y la coordenada 
generalizada es x(t). Las expresiones para la energía del sistema son: 
 
2
xm
2
1
T
•
= V = 2x k 
2
1
 D = 
2
x b 
2
1 •
 
 
El Lagrangeano y sus derivadas quedan definidos por: 
 
L = T – V = 







−
•
2
2
x kxm
2
1
 
 21 
 
•
•
=


x m
x
L
 x k 
x
L
−=


 
•••
•
=







=












xmxm
tx
L
t
 
 
Además: 
•
•
=


x b
x
D
 
 
La ecuación de Lagrange para este sistema es: 
 
Fx kxb xm =++
•••
 
 
Con esta ecuación queda representado matemáticamente el comportamiento 
dinámico del sistema. 
 
Ejemplo 
 
A continuación se encontrará el modelo matemático de un sistema pendular 
amortiguado, el cual representa el comportamiento básico de un puente grúa 
ampliamente usada en las grandes industrias para el transporte de carga dentro 
de sus instalaciones. 
 
Figura 8.3: Sistema pendular amortiguado 
 
El péndulo amortiguado que se muestra en la figura 8.3 posee dos grados de 
libertad, por lo tanto se deben tener en cuenta como coordenadas generalizadas a 
la posición lineal (x) de la masa (w1) respecto a un punto de partida y al ángulo 
formado por el péndulo respecto a la vertical (). 
 
Considerando que: 
 22 
 
• El movimiento de w1 está restringido por el resorte de módulo k y se realiza en 
una sola dirección. 
• El peso w2 se comporta comoun péndulo simple. 
 
La energía cinética es: 
 
2
2
2
2
1 v
g
w
2
1
x
g
w
2
1
T +=
•
 
Donde v2 es la velocidad tangencial en la masa 
g
w2 , pero esta velocidad tiene 
componentes en los dos ejes de referencia. Al descomponer esta velocidad se 
obtiene: 
 
 j)seni (cosLi xv2 ++=
••
 
 jsenLi cosL xv2 ++=
•••
)(
 
Para encontrar el vector velocidad en función de las componentes anteriores se 
tiene: 
 
𝑉2 = √((�̇� + 𝐿�̇�𝑐𝑜𝑠𝜃)
2 + (𝐿�̇�𝑠𝑒𝑛𝜃)2) 
 
 
 
 
++=
••••
cosx L 2Lxv
2
22
2
2
 
 
Por lo tanto: 
 








+++=
•••••
cosx L 2Lx
g
w
2
1
x
g
w
2
1
T
2
22
2
1
2
 
 
La expresión para la energía potencial está dada por: 
 
)cosL(1wkx
2
1
V 2
2
k −+= 
 
Donde la expresión L(1 – cos ), representa la distancia que se eleva el peso w2 
con respecto a su posición de reposo. 
 
El Lagrangeano está determinado por: 
222
2 )sen(L)cosLx(v 
•••
++==
 23 
 
)
2
−−−







+++=−=
•••••
cosL(1wkx
2
1
cosx L 2Lx
g
w
2
1
x
g
w
2
1
VTL 2
2
2
22
2
1
k 
 
Las derivadas respectivas para la construcción de las ecuaciones de Lagrange 
son: 
 
++=

 •••
•
cos2Lx
g
w
x
g
w
x
L 21 
 
x k - 
x
L
=


 
 
+=

 ••
•
cosxL
g
w
 L
g
wL 222 
 
−=

 ••
Lsenw - sen xL
g
wL
2
2 
 
−++=











 •••••••
•
sen2Lcos2Lx
g
w
x
g
w
x
L
t
2
21 
 
−+=











 ••••••
•
senxL
g
w
cosxL
g
w
 L
g
wL
t
2222 
 
Al plantear las ecuaciones de Lagrange para cada coordenada generalizada, se 
tiene: 
 
Para la coordenada x: 
 
(wt) cos F x k sencos2Lx 
g
w
 x 
g
w 221 =+






−++
•••••••
 
 
 
Para la coordenada : 
 
 
0sensen
g
x
Lwsenxcosx LL
g
w
2
2 =








++





−+
•
•
••••••
 
 24 
 
 
Si se asume que el valor del ángulo  es muy pequeño, se pueden realizar las 
siguientes aproximaciones: 
 
sen    cos   1 0
2

•
 0
•
 
 
De esta manera las ecuaciones de Lagrange quedarían como sigue: 
 
Fcos(wt)kx2Lx
g
w
g
w 21 =++






+
••••
 
 
0x
g
1
g
L
=++
••••
 
 
Con este par de ecuaciones se representa el modelo matemático del sistema y a 
partir de ellas es posible determinar el comportamiento dinámico de: 
 
Desplazamiento X de la masa con peso W1 
Desplazamiento angular  de la masa con peso W2 
 
 
Ejemplo 
 
Péndulo invertido ; Este modelo es muy usado a nivel de la literatura de control ya 
que el estudio de su comportamiento ayuda al entendimiento de algunas 
aplicaciones de uso común hoy en día para el control de misiles, estabilidad de 
grúas, análisis de la biomecánica de la marcha y vehículos de transporte. El 
Seagway es un ejemplo que usa el principio del péndulo invertido como principio 
básico de funcionamiento como se muestra en la figura 8.4. 
 
 
 25 
Figura 8.4: Péndulo invertido 
 
El sistema que se va a modelar es construido sobre un carro en el cual se 
encuentra un péndulo invertido sujetado mediante un pivote sin fricción. El carro 
es movido por un motor que en el instante t ejerce una fuerza u(t) en sentido 
horizontal. Se supone que todos los movimientos ocurren en un plano, es decir 
que el carro se mueve a lo largo de una recta. 
 
Θ : Es el ángulo en el que el péndulo se desvía de la vertical. 
X : Desplazamiento del centro de gravedad del carro con respecto a un punto fijo 
 
Este sistema posee dos grados de libertad y por tanto se deben determinar las 
siguientes variables generalizadas: 
q1= X 
q2=θ 
 
Energia cinetica total del sistema T 
 
𝑇 =
1
2
𝑀�̇�2 +
1
2
𝑚𝑥𝑝
2̇ +
1
2
𝑚�̇�𝑝
2 
Donde 
 
𝑥𝑝 = 𝑥 + 𝐿𝑠𝑒𝑛(𝜃) Desplazamiento de la masa m sobre el eje X 
𝑦𝑝 = 𝐿𝑐𝑜𝑠(𝜃) Desplazamiento de la masa m sobre el eje Y 
 
𝑇 =
1
2
𝑀�̇�2 +
1
2
𝑚[�̇�2 + 2𝐿�̇��̇� cos(𝜃) + 𝐿2�̇�2𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝐿2�̇�2𝑠𝑒𝑛2(𝜃)] 
 
Teniendo en cuenta que: 
𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 1 
 
𝑇 =
1
2
𝑀�̇�2 +
1
2
𝑚[�̇�2 + 2𝐿�̇��̇� cos(𝜃) + 𝐿2�̇�2] 
 
Energía potencial total del sistema V 
𝑉 = 𝑚𝑔𝐿𝑐𝑜𝑠(𝜃) 
El lagrangeano L queda entonces: 
 
𝐿 =
1
2
𝑀�̇�2 +
1
2
𝑚[�̇�2 + 2𝐿�̇��̇� cos(𝜃) + 𝐿2�̇�2] − 𝑚𝑔𝐿𝑐𝑜𝑠(𝜃) 
Finalmente aplicando a cada una de las variables generalizadas seleccionadas la 
relación: 
 
𝑑
𝑑𝑡
[
𝛿𝐿
𝛿�̇�𝑗
] −
𝛿𝐿
𝛿𝑞𝑗
+
𝛿𝐷
𝛿�̇�𝑗
= 𝐹 
 
 26 
Se obtiene 
𝛿𝐿
𝛿�̇�
= 𝑀�̇� + 𝑚�̇� + 𝑚𝐿�̇�cos (𝜃) y 
𝛿𝐿
𝛿𝑥
= 0 
 
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑑𝐿
𝑑�̇�
) = 𝑀�̈� + 𝑚�̈� + 𝑚𝐿(�̈� cos(𝜃) − �̇�2𝑠𝑒𝑛(𝜃)) 
 
Finalmente para la variable generalizada X se obtiene la siguiente ecuación: 
 
(𝑀 + 𝑚)�̈� + 𝑚𝐿�̈� cos(𝜃) − 𝑚𝐿�̇�2𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑢(𝑡) 
Como: 
sen    cos   1 0
2

•
 0
•
 
 
Finalmente se encuentra: 
 
(𝑀 + 𝑚)�̈� + 𝑚𝐿�̈� = 𝑢(𝑡) 
 
 Para el caso de la Variable generalizada θ 
 
𝛿𝐿
𝛿�̇�
= 𝑚𝐿�̇� cos(𝜃) + 𝑚𝐿2�̇� 
 
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑑𝐿
𝑑�̇�
) = 𝑚𝐿 (�̈� cos(𝜃) − �̇��̇�𝑠𝑒𝑛(𝜃)) + 𝑚𝐿�̈� 
 
𝛿𝐿
𝛿𝜃
= 𝑚𝑔𝐿𝑠𝑒𝑛(𝜃) − 𝑚𝐿�̇��̇�𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
 
Finalmente la ecuación completa queda (no hay fuerzas externas de excitación 
asociadas a esta variable): 
 
�̈� cos(𝜃) + 𝐿�̈� − 𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 0 
 
Para variaciones pequeñas del ángulo θ: 
 
�̈� + 𝐿�̈� − 𝑔𝜃 = 0 
 
Con las dos ecuaciones linealizadas es posible ahora encontrar las funciones de 
transferencia para cada una de las variables, teniendo en cuenta que ahora es 
posible encontrar la transformada de Laplace para cada una de ellas y entonces 
se convierte en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. 
 
 
Ejemplo 
 
 27 
El uso de las ecuaciones de Lagrange no se circunscribe solamente al ámbito de 
los sistemas mecánicos si no que se aplica al modelamiento de otros tipos de 
sistemas. A continuación se aplicará el conjunto de ecuaciones a un circuito 
eléctrico típico de dos mallas. 
 
Figura 8.5: Circuito eléctrico de dos mallas 
 
Para la elaboración de este modelo se deberá buscar algunas analogías entre el 
dominio mecánico y el dominio eléctrico, en la tabla 8.1 se presentaron las 
analogías más correspondientes con las cuales se podrá enfrentar el ejemplo de 
manera sencilla. 
 
Tomando como variables generalizadas la corriente por cada una de las mallas del 
circuito, se obtiene: 
 
𝑖1 =
𝑑𝑞1
𝑑𝑡
 
 
𝑖2 =
𝑑𝑞2
𝑑𝑡
 
 
Se plantean entonces las energías cinética y potencial del circuito: 
 
Energía cinética T 
 
Acumulada en inductancias en forma de campo magnético: 
 
𝑇 =
1
2
𝐿1𝑞1
2̇ +
1
2
𝐿2�̇�2
2 
 
Acumulada en capacitancias en forma de campo eléctrico 
 
 28 
𝑉 =
1
2𝐶1
𝑞1
2 +
1
2𝐶2
(𝑞1 − 𝑞2)
2 +
1
2𝐶3
𝑞2
2 
 
La componente de disipación de energía en estos casos se produce en las 
resistencias existentes en el circuito y por tanto: 
 
𝐷 =
1
2
𝑅1�̇�1
2 +
1
2
𝑅2�̇�2
2 
 
El Lagrangeano L= T-V que se obtiene es: 
 
𝐿 =
1
2
𝐿1𝑞1
2̇ +
1
2
𝐿2�̇�2
2 −
1
2𝐶1
𝑞1
2 −
1
2𝐶2
(𝑞1 − 𝑞2)
2 −
1
2𝐶3
𝑞2
2 
 
Para la variable generalizada i1 (𝑞1)̇ se plantean las ecuaciones de Lagrange: 
𝜕𝐿
𝜕�̇�1
= 𝐿1�̇�1 
 
𝜕𝐿
𝜕𝑞1
= −
1
𝐶1
𝑞1 −
1
𝐶2
(𝑞1 − 𝑞2) 
 
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕�̇�1
) = 𝐿1�̈�1 
 
𝜕𝐷
𝜕�̇�1
= 𝑅1�̇�1 
 
Completando la expresión para las ecuaciones de Lagrange y teniendo en cuenta 
que en esta malla se encuentra la fuente de excitación: 
 
𝐿1�̈�1 +
1
𝐶1
𝑞1 +
1
𝐶2
(𝑞1 − 𝑞2) + 𝑅1�̇�1 = 𝑉 
 
Siguiendo un procedimiento semejante pero para la variable generalizada q2 , se 
tiene: 
𝐿2�̈�2 +
1
𝐶3
𝑞2 −
1
𝐶2
(𝑞1 − 𝑞2) + 𝑅2�̇�2 = 0 
Aplicando transformada de Laplace a estas dos últimas ecuaciones permiten 
convertir este sistema en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas del 
cual se pueden extraer las funciones de transferencia: 
 
𝑄1(𝑠)
𝑉(𝑠)
 ó 
𝑄2(𝑠)
𝑉(𝑠)
 
 
 
 29 
Ejemplo 
 
El siguiente sistema corresponde a un sistema de dos masas resorte 
amortiguadascon una de ellas pivotada, figura 8.6. 
 
 
 
 
Figura 8.6 : Sistema masas resorte 
 
Se aprecian dos grados de libertad en las variables X y θ 
 
Usando ecuaciones de LaGrange: 
 
Expresión para la energía cinética total del sistema 
 
𝑇 =
1
2
𝑚1𝑣1
2 + 
1
2
𝑚2𝑣2
2 
Donde: 
 
𝑣1 = 𝑙�̇� y 𝑣2 =
𝑑(𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)+𝑥)
𝑑𝑡
= �̇� + 𝑙�̇�cos (𝜃) 
 
 
Se obtiene entonces la siguiente expresión para la energía cinética remplazando 
lo anterior 
 
 
𝑇 =
1
2
𝑚1𝑙
2�̇�2 +
1
2
𝑚2(�̇�
2 + 2𝑙�̇��̇� cos(𝜃) + �̇�2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝜃)) 
 
 
Ahora la energía potencial de todo el sistema esta dada por: 
 
𝑉 = 𝑚1𝑔(𝑙 − 𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)) +
1
2
𝑘(𝑥 − 𝑙𝑠𝑖𝑛(𝜃))2 
 30 
 
El lagrangeano está dado entonces por: 
 
 
L = T – V 
 
 
L = 
1
2
𝑚1𝑙
2�̇�2 +
1
2
𝑚2 (�̇�
2 + 2𝑙�̇��̇� cos(𝜃) + �̇�2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝜃)) − 𝑚1𝑔(𝑙 − 𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)) −
1
2
𝑘(𝑥 − 𝑙𝑠𝑖𝑛(𝜃))2 
 
Este capítulo permitió estudiar un mecanismo alterno para la elaboración de 
modelos matemáticos de sistemas físicos, basándose exclusivamente en el 
estudio de la energía que lo afectan mediante la ecuación de Lagrange. Es una 
herramienta importante para el caso de sistemas mecánicos complejos ya que 
simplifica el análisis , no obstante se presentaron ejemplos de aplicación en 
contextos diferentes al domino mecánico.