Sistemas Lineales Tablas

Vista previa del material en texto

SISTEMAS LINEALES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABLAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones 
 
 
 
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
Propiedad Señal Transformada ROC 
 ( )tx 
( )tx1 
( )tx2 
X s( ) 
( )sX1 
( )sX2 
R 
R1 
R2 
Linealidad ( ) ( )ax t bx t1 2+ ( ) ( )aX s bX s1 2+ Al menos R R1 2∩ 
Desplazamiento en el tiempo ( )x t t− 0 e X sst− 0 ( ) R 
Desplazamiento en el dominio s ( )e x ts t0 X s s( )− 0 Versión desplazada de R 
( es decir, s está en la ROC 
si s-s0 está en R) 
Escalado en el tiempo ( )x at 1
a
X s
a




 
ROC escalada (es decir, s 
está en la ROC si s/a está 
en R) 
Conjugación ( )tx* ( )** sX R 
Convolución ( ) ( )x t x t1 2∗ ( ) ( )X s X s1 2 Al menos R R1 2∩ 
Diferenciación en el dominio 
del tiempo. 
( )d x t
dt
 
sX s( ) Al menos R 
Diferenciación en el dominio s ( )−tx t ( )d
ds
X s 
R 
Integración en el dominio del 
tiempo. ( )x d
t
τ τ
−∞∫ ( )1
s
X s 
Al menos 
 { }{ }R s∩ >Re 0
Teoremas del valor inicial y final. 
Si para t < 0 y no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en ( ) 0tx = ( )tx
0t = , entonces 
( ) ( )ssXLim0x
x ∞→
+ = 
( ) ( )ssXLimtxLim
0st →∞→
= 
 
 
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES 
 
SEÑAL TRANSFORMADA ROC 
( )δ t 1 Todo s 
( )u t 1
s
 { }Re s > 0 
( )− −u t 1
s
 { }Re s < 0 
( ) ( )t
n
u t
n−
−
1
1 !
 
1
sn { }Re s > 0 
( ) ( )−
−
−
−t
n
u t
n 1
1 !
 
1
sn { }Re s < 0 
( )e u tt−α 1
s + α
 { }Re s > −α 
( )− −−e u ttα 1
s + α
 { }Re s < −α 
( ) ( )t
n
e u t
n
t
−
−
−
1
1 !
α ( )
1
s n+ α
 { }Re s > −α 
( ) ( )−
−
−
−
−t
n
e u t
n
t
1
1 !
α ( )
1
s n+ α
 { }Re s < −α 
( )δ t T− e sT− Para todo s 
[ ] ( )cosω0t u t s
s2
0
2+ ω
 { }Re s > 0 
[ ] ( )senω0t u t ω
ω
0
2
0
2s +
 { }Re s > 0 
[ ] ( )e tt−α ωcos 0 u t 
( )
s
s
+
+ +
α
α ω2
0
2
 { }Re s > −α 
[ ] ( )e tt−α ωsen 0 u t 
( )
ω
α ω
0
2
0
2s + +
 { }Re s > −α 
( ) ( )
n
n
n dt
tdtu δ
= 
ns Para todo s 
( ) ( ) ( )
vecesn
n tu**tutu =− 
ns
1
 Re{s} > 0 
 
 
 
PROPIEDADES DE LA SERIE CONTINUA DE FOURIER 
Propiedad Señal Periódica Coeficientes de la serie 
 ( )
( )


ty
tx
 Periódicas de periodo T y 
frecuencia fundamental T20 π=ω 
ak 
bk 
( ) tjk
k
kT
0eatx ω
∞
−∞=
∑= ( )∫ ω−=
T
tjk
k dtetx
T
1a 0 
x(t) Señal par ( ) ( )∫ ω=
2T
0 0k dttkcostx
T
2a 
 
 
Obtención de coeficientes 
x(t) Señal impar ( ) ( )∫ ω−=
2T
0 0k dttksentx
T
j2a 
Linealidad ( ) ( )tyBtxA + kk bBaA + 
Desplazamiento en el tiempo ( )0ttx − 00tjk
k ea ω− 
Desplazamiento en frecuencia ( ) tjM 0etx ω Mka − 
Conjugación ( )tx* ∗
−ka 
Inversión de tiempo ( )tx − ka − 
Escalamiento en el tiempo ( ) 0,tx >αα (Periódica de periodo T/α) ka 
Convolución periódica ( ) ( )∫ ττ−τ
T
dtyx kk baT 
Multiplicación ( ) ( )tytx 
∑
∞
−∞=
−
p
pkpba 
Diferenciación ( )
dt
tdx k0 ajkω 
Integración ( )∫ ∞−
ττ
t
dx (de valor finito y periódica 
solo si a 00 = ) k
0
a
jk
1
ω
 
Simetría conjugada para 
señales reales. 
( )tx Señal real 
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]








ϕ−=ϕ
=
−=
=
=
−
−
−
−
∗
−
kk
kk
kmkm
keke
kk
aa
aa
aIaI
aRaR
aa
 
Señal real y par x(t) real y par ak real y par 
Señal real e impar x(t) real e impar ak imaginaria e impar 
Relación de Parseval para señales periódicas 
( )[ ] ( ) ∑∫
∞
−∞=
==
k
2
kT
2
m adttx
T
1txP 
 
 
 
 
COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS 
 
SEÑAL PERIÓDICA COEFICIENTES 
( ) tjk
k
k
0eatx ω
+∞
−∞=
∑= a k 
( ) tj 0etx ω= 



≠∀
=∀
=
1k0
1k1
a k 
tcos 0ω 1k,0a;
2
1aa k11 ≠∀=== − 
tsen 0ω 1k,0a;
j2
1aa k11 ≠∀==−= − 
( ) 1tx = 0k,0a;1a k0 ≠∀== 
( ) ( )∑
∞
−∞=
−δ=
n
nTttx k
T
1a k ∀= 
Onda cuadrada periódica 
( ) ( )pulsodelanchuramTtAtx
m
τ





τ
−
∏= ∑
∞
−∞=
 
ó 
( ) ( ) (txTtxy
2Tt2,0
2t,A
tx =+




<<τ
τ<
= ) 
 
 
( )






π
τωτ
=
π
τω
=
2
k
csin
T
A
k
2/ksen
Aa 00
k 
Onda triangular periódica 
( ) ( )pulsodelanchura2mTtAtx
m
τ





τ
−
∆= ∑
∞
−∞=
 






π
τωτ
=
2
k
csin
T
Aa 02
k 
( ) tcosmTtAtx pω⋅





τ
−
∏= ∑
∞
∞−
 





τ





π
ω+ωτ
+





τ





π
ω−ωτ
=
2
k
csin
T2
A
2
k
csin
T2
Aa p0p0
k
 
 
 
TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO PROPIEDADES 
Propiedad Señal Transformada de Fourier 
 x(t) 
( )ty 
X(ω) 
( )ωY 
( ) ( )∫
∞
∞−
ω ωω
π
= deX
2
1tx tj ( ) ( )∫
∞
∞−
ω−=ω dtetxX tj 
x(t) Par ( ) ( )∫
∞
ω=ω
0
dttcostx2X 
 
 
Ecuaciones 
x(t) Impar ( ) ( )∫
∞
ω−=ω
0
dttsentxj2X 
Linealidad a x(t) + b y(t) a X(ω) + b Y(ω) 
Desplazamiento en el tiempo x(t-t0) ( ) 0tjeX ω−ω 
Desplazamiento en frecuencia ( ) tj 0etx ω X(ω-ω0) 
Conjugación x*(t) X*(-ω) 
Inversión de tiempo x(-t) X(-ω) 
Escalado de tiempo y 
frecuencia 
x(at) 




 ω
a
X
a
1 
Convolución x(t)∗y(t) X(ω) Y(ω) 
Multiplicación x(t) y(t) ( ) ( )[ ]1
2π
ω ωX Y∗ 
Diferenciación en el tiempo ( )
dt
txd ( )j Xω ω 
Integración ( )∫ ∞−
ττ
t
dx ( ) ( ) ( )ωδπ+ω
ω
0XX
j
1 
Simetría conjugada para 
señales reales 
x(t) Señal real 
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]








ω−ϕ−=ωϕ
ω−=ω
ω−−=ω
ω−=ω
ω−=ω ∗
XX
XX
XIXI
XRXR
XX
mm
ee
 
 
Simetría para señales reales y 
pares 
 
x(t) Señal real y par ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )[ ]
X R X
X R X
X
e
e
ω ω
ω ω
ϕ ω
π
=
=
=
±








0
Simetría para señales reales y 
pares 
x(t) Señal real e impar 
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )[ ]
X j I X
X I X
X
m
m
ω ω
ω ω
ϕ ω
π=
=
= ±



 2
Descomposición par e impar de 
señales reales 
( ) ( ){ } ( )[ ]
( ) ( ){ } ( )[ ]realtxtxpImtx
realtxtxPartx
I
p
=
=
 
( ){ }
( ){ }ω
ω
XImj
XRe
 
( ) ( )
( ) ( )
f t G
G t f
DUALIDAD
↔
↔ −



ω
π ω2
 
Relación de Parseval para 
señales no periódicas ( )[ ] ( ) ( )∫∫
∞
∞−
∞
∞−
ωω
π
== dX
2
1dttxtxE 22 
 
 
EJEMPLOS DE TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS 
SEÑAL TRANSFORMADA 
( ) tjk
k
kT
0
0
eatx ω
∞
−∞=
∑= ( )∑
∞
−∞=
ω−ωδπ
k
0k ka2 
x(t) = A ( )2π δ ωA 
( ) tj 0Aetx ω= ( )0A2 ω−ωδπ 
x(t) = A cos ω0 t ( ) ( )[ ]00A ω+ωδ+ω−ωδπ 
x(t) = A sen ω0 t ( ) ([ ]00A
j
ω+ωδ−ω−ωδ )π 
Pulso rectangular 
( ) ( )x t A
t
anchura del pulso= ∏






τ
τ 
ó 
( )




τ>
τ<
=
2t,0
2t,A
tx 
 
 
( ) ( )






π
ωτ
τ=
ω
τω
=ω
2
csinA2senA2X 
Pulso triangular 
( ) ( )pulsodelanchura2
2
tAtx τ





τ
∆= 
 
( )X A sincω τ
ωτ
π
=





2
2
 
( ) ( )∑
∞
−∞=
−δ=
n
nTttx ∑
∞
∞−





 π
−ωδ
π
T
k2
T
2
 
( )
t
Wtsentx
π
= ( )




>ω
<ω
=ω
W,0
W,1
X 
x(t) = A δ(t) A 
x(t) = A δ(t-t0) 0tjeA ω− 
u(t) ( )ωπδ+
ωj
1 
( ) ( ) { } 0aRe,tuetx at >= − 
ω+ ja
1 
( ) ( ) { } 0aRe,tutetx at >= − 
( )2ja
1
ω+
 
( ) ( ) ( ) { } 0aRe,tue
!1n
ttx at
1n
>
−
= −
−
 ( )nja
1
ω+
 
 
 
 
 
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA z 
 
Propiedad Señal Transformada z ROC 
 [ ]
[ ]
[ ]nx
nx
nx
2
1 
( )
( )
( )zX
zX
zX
2
1 
2
1
R
R
R
 
Expresión x[n] ( ) [ ]∑
∞
−∞=
−=
k
nznxzX
 
 
R 
Linealidad [ ] [ ]nxbnxa 21 + ( ) ( )zXbzXa 21 + Al menos la intersección de R1 y R2 
Desplazamiento en el 
tiempo 
[ ]0nnx − ( )zXz 0n− R, excepto para la posible adición o 
supresión del origen 
 
 
Escalado en el dominio z 
[ ]
[ ]
[ ]nxa
nxz
nxe
n
n
0
nj 0ω
 
( )
( )
( )zaX
zzX
zeX
1
0
j 0
−
ω−
 Rz
R
0
 
 
Versión escalada de R (es decir, |a|R = el 
conjunto de puntos{|a|z} para z en R 
 
Inversión en el tiempo [ ]nx − ( )1zX − R invertida (es decir, R-1= el conjunto de 
puntos z-1, donde z está en R 
 
Expansión en el tiempo ( )[ ] [ ]



≠
=
=
rkn,0
rkn,rx
nx k 
para algún entero r 
 
( )kzX 
k1R es decir, el conjunto de 
puntos k1z donde z está en R 
Conjugación [ ]nx* ( )** zX R 
Convolución[ ] [ ]nx*nx 21 ( ) ( )zXzX 21 Al menos la intersección de R1 y R2 
Primera diferencia [ ] [ ]1nxnx −− ( ) ( )zXz1 1−− Al menos la intersección de R y 
|z|>0 
Acumulación [ ]∑
−∞=
n
k
kx 
( )
( )1z1
zX
−−
 
Al menos la intersección de R y 
|z|>1 
Diferenciación en el 
dominio z 
[ ]nnx ( )
dz
zXdz− R 
Teorema del valor inicial 
Si x[n] = 0 para n < 0, entonces, 
[ ] ( )zXLim0x
z ∞→
= 
 
 
 
TABLA DE TRANSFORMADAS z FRECUENTES 
 
Secuencia x[n] Transformada z X(z) ROC 
[ ]nδ 1 Todo z 
[ ]mn −δ mz− Para todo z excepto 0 (si m > 0) o 
infinito (si m < 0) 
[ ]nu 
1z1
1
−−
 1z > 
[ ]1nu −−− 
1z1
1
−−
 1z < 
[ ]nua n 
1az1
1
−−
 az > 
[ ]1nua n −−− 
1az1
1
−−
 az < 
[ ]nuna n 
( )21
1
az1
az
−
−
−
 
az > 
[ ]1nuna n −−− 
( )21
1
az1
az
−
−
−
 
az < 
( )[ ] nuncos 0Ω [ ] 
2
0
1
0
1
zcosz21
cosz1
−−
−
+Ω−
Ω− 
1z > 
( )[ ] nunsen 0Ω [ ] 
2
0
1
0
1
zcosz21
senz
−−
−
+Ω−
Ω 
1z > 
( )[ ] [ ]nuncosr 0
n Ω [ ]
[ ] 221
0
1
0
zrzcosr21
zcosr1
−−
−
+Ω−
Ω−
 
rz > 
( )[ ] [ ]nunsenr 0
n Ω [ ]
[ ] 221
0
1
0
zrzcosr21
zsenr
−−
−
+Ω−
Ω
 
rz > 
 
 
 
 
 
 
SERIES DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO 
 
Propiedad Señal periódica Coeficiente 
 [ ]
[ ]

ny
nx
Periódicas con periodo N y 
frecuencia fundamental Ω0=2π/N 



k
k
b
a
 Periódicas de periodo N 
Ecuaciones [ ] ∑
=
π
=
Nk
njk
k
N
2
eanx [ ]∑
=
− π
=
Nn
njk
k
N
2
enx
N
1a 
Linealidad [ ] [ ]nxBnxA 21 + kk bBaA + 
Desplazamiento de tiempo [ ]x n n− 0 0N
2 njk
k ea
π− 
Desplazamiento en 
frecuencia [ ] njM N
2
enx
π
 Mka − 
Conjugación [ ]nx ∗ ∗
−ka 
Inversión en el tiempo [ ]nx − ka − 
Escalado en el tiempo 
( )[ ] [ ]



=
valoresderesto
mdemultiplon
,0
,mnx
nx m
(periódica de periodo mN) 
1
m
ak (vistas como periódicas de periodo 
mN) 
Convolución periódica [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑
=
−=⊗=
Nr
rnyrxnynxnz kk baN 
Multiplicación [ ] [ ]nynx ∑
=
−
Nr
rkr ba 
Primera diferencia [ ] [ ]1nxnx −− ( )( ) k
N2jk ae1 π−− 
Suma consecutiva [ ]∑
−∞=
n
k
kx (de valor finito y periódica sólo 
si a0=0) 
( )( )N2jk
k
e1
a
π−−
 
 
 
Simetría conjugada para 
señales reales. 
 
 
 
[ ] alRenx 
[ ] [ ]
[ ] [ ]
kk aa
kk
kk
kk
kk
aa
aImaIm
aReaRe
aa
−
ϕ−=ϕ
=
−=
=
=
−
−
−
∗
−
 
Señales reales y pares [ ]x n REAL y PAR ak real y par 
Señales reales e impares [ ]x n REAL e IMPAR ak imaginaria e impar 
Descomposición par e impar 
de señales reales 
[ ] [ ]{ } [ ][ ]
[ ] [ ]{ } [ ][ ]realnxnxparImnx
realnxnxParnx
I
p
=
= [ ]
[ ]k
k
aImj
aRe
 
Relación de Parseval para señales periódicas 
[ ] ∑∑
==
==
Nk
2
k
Nn
2
m anx
N
1P 
 
 
 
EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE 
FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS 
 
SEÑAL COEFICIENTES 
n
N
2jk
Nk
k ea
π
=
∑ a k 
 
nj 0e Ω 
aperiódicaseñalirracional
2
)b(
valorotro,0
,N2m,Nm,mk,1
a
N
m2)a(
0
k
0
⇒
π
Ω


 ±±=
=
π
=Ω
 
 
ncos 0Ω 
aperiódicaseñalirracional
2
)b(
valorotro,0
,N2m,Nm,mk,2/1
a
N
m2)a(
0
k
0
⇒
π
Ω


 ±±±±±=
=
π
=Ω
 
 
nsen 0Ω 
aperiódicaseñalirracional
2
)b(
valorotro,0
,N2m,Nm,mk,j2/1
,N2m,Nm,mk,j2/1
a
N
m2)a(
0
k
0
⇒
π
Ω





±−±−−=−
±±=
=
π
=Ω
 
[ ] 1nx = 


 ±±=
=
valorotrocon,0
N2,N,0k,1
a k 
[ ] ( )∑
∞
−∞=
−δ=
k
kNnnx k
N
1a k ∀= 
Onda cuadrada periódica 
[ ] [ ] [nxNnxy
2NnN,0
Nn,1
nx
1
1 =+




≤<
≤
= ] 
( )( )[ ]
( )[ ]
,N2,N,0k,
N
1N2a
,N2,N,0k,
N2k2senN
NNk2sen
a
1
k
2
1
1
k
±±=
+
=
±±≠
π
+π
=
 
 
 
TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO 
Propiedad Señal Transformada 
 [ ]
[ ]

ny
nx
 
( )
( )


Ω
Ω
Y
X
 Periódicas de periodo 2π 
Ecuación [ ] ( )∫
π
Ω ΩΩ
π
=
2
nj deX
2
1nx ( ) [ ]∑
∞
−∞=
Ω−=Ω
n
njenxX 
Señal periódica [ ] ∑
=
π
=
Nk
njk
k
N
2
eanx (señal periódica, N) ( ) ( )∑
∞
−∞=
π−Ωδπ=Ω
k
N
2
k ka2X 
Señal periódica [ ] [ ]Nnxnx += (señal periódica) ( )0k kX
N
1
N
2kX
N
1a Ω=




 π
= 
Linealidad [ ] [ ]nybnxa + ( ) (Ω+ )Ω YbXa 
Desplazamiento en el 
tiempo 
[ ]0nnx − ( ) 0njeX Ω−Ω 
Desplazamiento en 
frecuencia 
[ ] nj 0enx Ω ( )0X Ω−Ω 
Conjugación [ ]nx ∗ ( )Ω−∗X 
Inversión en tiempo [ ]nx − ( )Ω−X 
Expansión en tiempo 
( ) [ ] [ ]



=
valoresderesto
kdemultiplon
,0
,knx
nx k ( )ΩkX 
Convolución [ ] [ ]nynx ∗ ( ) (Ω⋅ )Ω YX 
Multiplicación [ ] [ ]x n y n⋅ ( ) ( )∫
π
θθ−Ωθ
π 2
dYX
2
1 
Diferenciación en tiempo [ ] [ ]1nxnx −− ( ) ( )Ω− Ω− Xe1 j 
Acumulación [ ]∑
−∞=
n
m
mx ( ) ( ) ( )∑
∞
−∞=
Ω−
π−Ωδπ+
−
Ω
k
j k20X
e1
X
Diferenciación en 
frecuencia 
[ ]nnx ( )
Ω
Ω
d
dXj 
Simetría conjugada para 
señales reales 
[ ] REALnx 
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )Ω−Ω
∗
ϕ−=ϕ
Ω−=Ω
Ω−−=Ω
Ω−=Ω
Ω−=Ω
XX
XX
XImXIm
XReXRe
XX
 
Simetría para señales 
reales pares 
[ ]x n REAL y PAR ( )ΩX real y par 
Simetría para señales 
reales impares 
[ ]x n REAL e IMPAR ( )ΩX imaginaria pura e impar 
Descomposición par e 
impar de señales reales 
[ ] [ ]{ } [ ][ ]
[ ] [ ]{ } [ ][ ]realnxnxparImnx
realnxnxParnx
I
p
=
= ( )[ ]
( )[ ]Ω
Ω
XImj
XRe
 
Relación de Parseval para señales aperiódicas 
[ ] ( )∫∑ π
∞
−∞=
ΩΩ
π
==
2
2
n
2 dX
2
1
nxE 
[ ] ( )
[ ] ( )[ ]


Ω=−
Ω→←
Xanx
XnxDUALIDAD
k
TF
 
 
EJEMPLOS DE TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS 
 
SEÑAL COEFICIENTES 
n
N
2jk
Nk
k ea
π
=
∑ ∑
∞
−∞=





 π
−Ωδπ
k
k N
k2a2 
nj 0e Ω ( )∑
∞
−∞=
π−Ω−Ωδπ
k
0 k22 
ncos 0Ω ( ) ([ ]∑
∞
−∞=
π−Ω+Ωδ+π−Ω−Ωδπ
k
00 k2k2 )
nsen 0Ω ( ) ([ ]∑
∞
−∞=
π−Ω+Ωδ−π−Ω−Ωδ
π
k
00 k2k2
j
) 
[ ] 1nx = ( )∑
∞
−∞=
π−Ωδπ
k
k22 
[ ] ( )∑
∞
−∞=
−δ=
k
kNnnx ∑
∞
−∞=





 π
−Ωδ
π
k N
k2
N
2 
[ ] 1anua n < 
Ω−− jae1
1 
[ ]




>
≤
=
1
1
Nn,0
Nn,1
nx ( )[ ]
( )2sen
Nsen 2
1
1
Ω
+Ω
 
π<<





ππ
=
π
W0WncsinW
n
Wnsen ( ) ( ) πΩ




π≤Ω≤
≤Ω≤
=Ω 2periododeperiódicaX
W,0
W0,1
X 
[ ]nδ 1 
[ ]nu ( )∑
∞
−∞=
Ω−
π−Ωδπ+
− k
j k2
e1
1 
[ ]0nn −δ 0nje Ω− 
( ) [ ] 1anua1n n <+ 
( )2jae1
1
Ω−−
 
( )
( ) [ ] 1anua
!1r!n
!1rn n <
−
−+ 
( )rjae1
1
Ω−−
 
 
 
	SISTEMAS LINEALES