Sistemas 1 orden

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CONTROL Y AUTOMATIZACION DE PROCESOS 
Escuela Sup. de Ing. de Sistemas UNPRG 
 
Bernardo Núñez Montenegro 1
RESPUESTA DE SIST REALIMENTADO DE 1er ORDEN 
 
Una vez que la función de transferencia se ha resuelto por cualquiera de los métodos 
vistos, ya estamos en condición de empezar a analizar la respuesta del sistema 
representado. Cuando las ecuaciones son diferenciales ordinarias simultáneas, la 
función de transferencia resultante será un cociente de polinomios, B(s) y A(s) donde m 
es el grado del polinomio B(s) y n el grado del polinomio A(s) 
 
¿Cuál de las típicas señales de entrada, se debe usar para analizar las características 
del sistema? 
Esto se va a determinar por la señal de entrada a la que el sistema estará sujeto con 
mayor frecuencia bajo una operación normal: 
• Si las entradas para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian 
en forma gradual, entonces una función rampa sería la señal de prueba 
adecuada. 
• Si el sistema está sujeto a perturbaciones repentinas, se recomienda la función 
escalón. 
• Para un sistema sujeto a entradas de choque, la función impulso sería la mejor. 
 
Una vez diseñado el sistema de control en base a las señales de prueba, por lo general el 
desempeño del sistema en respuesta a las entradas reales es satisfactorio. El uso de 
dichas señales permite comparar el desempeño de todos los sistemas sobre la misma 
base. 
 
 
RESPUESTA TRANSITORIA Y RESPUESTA EN ESTADO ESTABLE. 
 
La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: 
• Respuesta Transitoria: la que va del estado inicial al estado final 
• Respuesta en estado estable: la que se refiere a la manera en la cual se comporta 
la salida del sistema conforme t tiende a infinito. 
 
ESTABILIDAD ABSOLUTA, Y RELATIVA. 
Las características más importantes del comportamiento dinámico, de un sistema de 
control lineal e invariante con el tiempo, son: 
Estabilidad Absoluta: es decir, el sistema es estable o inestable. 
• El sistema está en equilibrio: si en ausencia de cualquier perturbación o entrada, 
la salida no modifica su estado. 
• Un sistema es estable: si la salida regresa a su estado de equilibrio cuando el 
sistema está sujeto a una condición inicial. 
• El sistema es críticamente estable: si las oscilaciones de la salida continúan por 
siempre. 
• El sistema es Inestable: si la salida diverge sin límite a partir de su estado de 
equilibrio. En realidad, la salida de un sistema físico puede aumentar hasta un 
cierto grado, pero puede estar limitada por restricciones físicas, o el sistema 
puede colapsar después de que la salida excede de cierta magnitud. 
 
La estabilidad relativa: se considera este caso, cuando la salida de un sistema no 
responde de forma inmediata a una señal de entrada, y presenta una respuesta transitoria 
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antes de alcanzar el estado estable; en la práctica, la respuesta transitoria de un sistema 
de control, presenta oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar su estado estable. 
 
Error en estado estable: indica el grado de precisión del sistema. Se presenta cuando la 
salida del sistema en estado estable no coincide exactamente con la entrada. 
 
Al analizar un sistema de control, se debe examinar el comportamiento transitorio y el 
comportamiento en estado estable. 
 
 
 
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN 
 
Respuesta de sistemas de primer orden, ante entradas periódicas. 
 
Supongamos que tenemos el siguiente circuito RC 
 
R
Ce (t)
 
 
la ecuación diferencial que representa a este circuito, es: 
1( ) ( ) ( )iR i t i t dt e tC
+ =∫ 01 ( )i dt e tC =∫ 
 
Aplicando Transformadas de Laplace a dichas ecuaciones, y considerando condiciones 
iniciales nulas, tenemos: 
 
0
1( ) ( ) ( )
1 ( ) ( )
iR I s I s E sCs
I s E s
Cs
+ =
=
 
 
La relación entre las tensiones de entrada y salida de dicho circuito viene a ser la 
función de transferencia de dicho sistema eléctrico: 
 
0 ( )1
( ) 1 ( )i
E s
RC s E s
=
+ 
 
 
con: T = RC 
 
1( ) ( )
1
C s R s
Ts
=
+
; R(s) = señal de entrada 
 
1/T sR(s) C (s )+ -
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Cualquier sistema que presente la misma función de transferencia, responderá de la 
misma manera a las mismas señales de entrada. 
 
Respuesta a un escalón unitario: 
 
r(t) = 1 R(s) = 1/s 
 
1 1( )
1
C s
s Ts
=
+ 
 
Expandiendo en fracciones simples, tenemos: 
 
 
1( )
1
TC s
s Ts
= −
+
 
 
Usando Transformada Inversa de Laplace, llegamos a la siguiente respuesta en función 
del tiempo: 
 
 /( ) 1 0t Tc t e para t−= − ≥ 
 
 
 
• Se define a T, como la constante de tiempo; es el tiempo que tarda la respuesta 
de salida en llegar al 63% del valor final. 
• Se define como tiempo de respuesta, al tiempo que tarda la respuesta en llegar al 
95% de su valor final. 
 
/ /0.95 ( ) ( ) 1 0.05
ln (0.05) ln (0.05) *2.99
r rt T t T
r
r
e r
c t r t e e
t t T T
T
− −= = − ⇒ =
= − ⇒ = − =
 
 
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• Se define como tiempo de subida, al tiempo que tarda la respuesta en ir del 10% 
al 90%, de su valor final. 
 
Calcular el tiempo de subida……… 
 
Respuesta a una rampa unitaria: 
 
r(t) = t R(s) = 1/s2 
 
 
2
1 1( )
1
C s
s Ts
=
+ 
 
Expandiendo en fracciones simples, tenemos: 
 
 
2
2
1( )
1
T TC s
s s Ts
= − +
+
 
 
Usando Transformada Inversa de Laplace, llegamos a la siguiente respuesta en función 
del tiempo: 
 
 /( ) 0t Tc t t T Te para t−= − + ≥ 
 
 
 
 
Respuesta a un impulso unitario: 
 
1( )
1
C s
Ts
=
+ 
 
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Usando Transformada Inversa de Laplace, llegamos a la siguiente respuesta en función 
del tiempo: 
 
 
/1( ) 0t Tc t e para t
T
−= ≥ 
 
 
 
 
 
 
Supongamos ahora el Circuito LR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(*) ( )i
ie R i t L aplicando transformadas de Laplace
t
∂
= +
∂
 
 
(**) 0( ) ( ) ( ); ( ) ( )iE s R I s Ls I s E s Ls I s= + = 
 
(***) 0
( ) ( ) ;
1 ( )i
E Ls L R s LG s con T L R
E R Ls L R s R
= = → = =
+ +
 
 
 
ei 
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(L/R)s
Ei (s )
+-
Eo (s )
Eo(s)
 
 
Voltaje de salida en función del voltaje de entrada 
 
 
De la ecuación (**), tenemos la siguiente expresión: 
(****)
1 1
1 ( )i
I R
E R Ls L R s
= =
+ +
; con: T = (L/R) s 
 
 
(1/R)
Ei( s ) 
+
Ls
-
I ( s )
I(s)
 
 
Corriente de salida en función del voltaje de entrada 
 
 
Respuesta del circuito anterior usando Simulink, considerando las correspondientes 
funciones de transferencia. 
 
 
 
R = 10 Ω L = 2 hy