Sistemas electromecánicos

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7.	MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS ELECTROMECÁNICOS
Estos sistemas involucran dentro de su estructura una combinación de elementos eléctricos mecánicos trabajando conjuntamente y su análisis se realiza generalmente sobre cada una de estas componentes y sobre la interacción de la parte mecánica sobre la eléctrica y viceversa. La mayoría de estos sistemas usan algún principio relacionado con el magnetismo y la inducción magnética como elemento de acople entre ellos. La figura 7.1 muestra algunos ejemplos típicos de sistemas electromecánicos:
Figura 7.1 Ejemplos de aplicación de los sistemas electromecánicos
Las dos principales leyes que se adicionaran a las ya vistas para los sistemas mecánicos (Newton) y para los circuitos eléctricos (Kirchoff) son la de Faraday y la ley de Lorenz. La primera demostró que sobre un conductor que se mueva cortando las líneas de fuerza de un campo magnético (figura 7.2) se producirá una fuerza electromotriz (Fem) inducida cuya expresión es:
 
Figura 7.2 Efecto de inducción de Fem sobre un conductor en desplazamiento
En el caso de la ley de Lorentz, cuando un conductor por el que circula una corriente I(t) eléctrica se sumerge en un campo magnético B, el conductor sufre una fuerza F perpendicular al plano formado por el campo magnético y la corriente, (Figura 7.3) lo cual se puede sintetizar en la siguiente expresión
 
Figura 7.3 Fuerza magnética sobre un conductor
Donde:
· F: Fuerza en newtons
· I: Intensidad que recorre el conductor en amperios
· l: Longitud del conductor en metros
· B: Densidad de campo magnético o densidad de flujo teslas
Ejemplo:
El sistema que se muestra en la figura 7.4, corresponde al esquema básico de funcionamiento de la apertura de una puerta a través de un medio eléctrico
Figura 7.4 Cerrojo Eléctrico
 
El circuito eléctrico se encarga de suministrar la energía para que el electroimán desplace la masa M la cual se encuentra amortiguada a través de un resorte y un amortiguador, en este caso se desea determinar como es el comportamiento del desplazamiento (x) de la masa a través del tiempo.
Se encuentran bien definidos dos subsistemas que pueden ser analizados independientemente sin perder la noción de que debe existir una conexión entre ambos.
Para la componente eléctrica:
Esta se limita a una malla simple compuesta por una resistencia, bobina, y fuente de tensión. Se debe adicionar a la ecuación del circuito una tensión que considere la FEM inducida sobre la bobina, al desplazarse el núcleo de la misma dentro de un campo magnético, con lo cual se obtiene una ecuación de la forma:
 con 
El valor de esta dado por el producto vectorial del campo magnético (B), la longitud de la bobina (L) y la corriente (i) que circula por la misma. La FEM inducida e(t) será proporcional a y a la velocidad de desplazamiento del embolo. Se asumirá en este caso que estas tres magnitudes estarán dispuestas de tal forma que su producto será escalar y no vectorial.
Para la componente mecánica:
La parte mecánica del sistema se puede plantear a partir de un diagrama de cuerpo libre del mismo como se muestra a continuación en la figura 7.5.
Figura 7.5 Diagrama de cuerpo libre Cerrojo mecánico
 
Donde: 
La fuerza Fe aparece de la interacción del campo magnético producido en la bobina con el núcleo ferromagnético del embolo.
Aplicando leyes de Newton se obtiene:
 ó 
Llevando al dominio complejo S mediante transformada de Laplace y reorganizando las ecuaciones del circuito y la parte mecánica se encuentra:
Combinando adecuadamente estas dos últimas ecuaciones se puede encontrar una función de transferencia que relacione el comportamiento del desplazamiento del embolo, con respecto al voltaje aplicado:
El diagrama de bloques del sistema será el mostrado en la figura 7.6:
Figura 7.6 Diagrama de bloques sistema Cerradura Eléctrica 
Ejemplo:
Modelo matemático de un Galvanómetro
El galvanómetro ó medidor D’Arsonval, es usado para medir la corriente y formó parte durante mucho tiempo de los dispositivos de medición en voltímetros y amperímetros, hoy por hoy desplazados por indicadores digitales en lo modernos sistemas de medición. La corriente a medir circula a través de un bobinado que tiene adjuntado un apuntador (aguja). El bobinado se coloca dentro de un campo magnético y es envuelto alrededor de un núcleo de hierro (figura 7.7).
 
Figura 7.7 Galvanómetro y esquema de funcionamiento
En la figura 7.8 se muestran los diagramas de los dos componentes principales del sistema:
Figura 7.8 Diagramas Eléctrico y Mecánico del Galvanómetro
El torque producido por el componente electromagnético debido a la ley de Lorentz esta expresado por
Este torque finalmente es aplicado al componente mecánico esta dado por 
 
Remplazando el torque anteriormente hallado 
La fuerza contraelectromotriz inducida Fem, (Vb) en este caso esta en función de la velocidad angular al que esta sometido el eje que sostiene la aguja indicadora
Finalmente el componente eléctrico corresponde a una bucla simple que puede ser descrita aplicando las leyes de Kirchhoff
Aplicando transformada de Laplace a las funciones de interés se obtiene:
Despejando I(s) en la primera de estas últimas ecuaciones y remplazando en la siguiente se puede encontrar una función de transferencia que permita estudiar el comportamiento del desplazamiento angular Θ(s) para cualquier cambio en la tensión Vi (s) de entrada.
Ejemplo:
Modelo matemático de un micrófono
A continuación se elaborará el modelo matemático de un micrófono convencional teniendo en cuenta que su principio de funcionamiento se aproxima a los planteamientos realizados anteriormente. La figura 7.9 muestra la estructura del mismo.
Figura 7.9 Micrófono y esquema de funcionamiento interno
El funcionamiento de un micrófono se basa en el desplazamiento espacial producido por una bobina dentro de un campo magnético. Esta compuesto por un diafragma que se desplaza debido a la fuerza mecánica provocada por las ondas sonoras la cual es trasmitida a la ferrita que sirve de núcleo a la bobina. Este movimiento finalmente se convierte en una señal eléctrica que posteriormente puede ser amplificada
El componente mecánico del sistema se puede esquematizar como se muestra a continuación en la figura 7.10 al igual que el correspondiente diagrama de cuerpo libre.
Figura 7.10 Componente mecánica del micrófono y diagrama de cuerpo libre
Aplicando transformada de Laplace y reordenando se obtiene:
Combinando adecuadamente estas dos expresiones se puede encontrar la relación existente entre el desplazamiento del diafragma y el desplazamiento de la bobina el cual está dado por:
Combinando adecuadamente las dos ecuaciones iniciales en el dominio de Laplace se consigue la relación existente entre la fuerza aplicada por las ondas sonoras y el desplazamiento de la bobina y(t)
Finalmente la componente eléctrica está dada por la fuerza contraelectromotriz generada por la bobina la cual es proporcional a la inducción de campo B, al número de espiras (n), a la longitud de las espiras l y al desplazamiento relativo de la bobina y(t) lo cual se expresa como
Teniendo en cuenta que el desplazamiento que ocasionará el fenómeno de fuerza contraelectromotriz inducida (señal eléctrica a ser amplificada) es el de la bobina y(t), entonces la función de transferencia de interés es:
Combinando las ecuaciones anteriores se consigue:
 Ejemplo:
Modelo matemático de un altavoz
A continuación se mostrará un esquema básico del funcionamiento de un parlante, y se hallará alguna dinámica de interés en el. En la figura 7.11 se muestra esquemáticamente el funcionamiento del sistema.
Figura 7.11 Esquema de funcionamiento de un parlante
En el esquema del altavoz, existe un campo creado por el imán permanente cuyas líneas de acción son perpendiculares a la corriente que circula a través de la bobina (la cual a suvez esta asociada con la representación eléctrica de la señal sonora). Recuerde que en estas condiciones se produce una fuerza F =Bx Lx i (se asumirá este producto, escalar) cuyo sentido para este caso se muestra en el gráfico.
Tomando B = 0.5 Tesla L=1.26 m
Se obtiene: F = 0.63 i(t)
Ante esta fuerza se debe producir un desplazamiento X de la bobina, como se observa en el siguiente diagrama de fuerzas (figura 7.12).
Figura 7.12 Diagrama de cuerpo libre del cono del parlante 
Aplicando ley de Newton:
 donde 
y por tanto 
Esta ecuación representa la dinámica de la parte mecánica, y en ella se puede observar a la vez su dependencia de la parte eléctrica (i(t)) del sistema.
Un diagrama de la parte eléctrica se muestra en la figura 7.13: 
Figura 7.13 Componente eléctrica del Parlante
Adicionalmente a los elementos que ahí aparecen (V(t), R, L) se debe considerar que la bobina se esta desplazando a una determinada velocidad a través de un campo, por lo cual se genera una FEM inducida en ella dada por:
 donde V es la velocidad de la bobina
Para este caso se obtendría:
 o 
Por tanto para la red eléctrica se encuentra
Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones planteadas:
Despejando I(s) y X(s)
 
Con esta información es factible construir el diagrama de Bloques del sistema (figura 7.14):
Figura 7.14 Diagrama de Bloques del Modelo del parlante 
La función de transferencia se consigue simplificando el diagrama anterior:
La cual permite estudiar el desplazamiento del cono ante cualquier señal de excitación V(s).
Ejemplo:
Modelo matemático de un motor dc
En los servosistemas se usan servomotores los cuales están básicamente conformados por una combinación de un motor (AC o DC) y un sistema de control de posición, son ampliamente usados en aplicaciones de robótica y en aquellas aplicaciones que requieren alta precisión y en general bajo torque.
Un motor DC (figura 7.15), está formado por un estator o inductor que es la parte fija del motor y un rotor o inducido que es la parte móvil. Para el caso de los motores DC que serán objeto de análisis en este apartado son fabricados con rotores de inercia muy pequeña, de tal forma que se obtiene una gran relación entre el par motriz y la inercia. Aunque el motor puede ser considerado como un sistema electromecánico el análisis dinámico se realiza fundamentado en un modelo simplificado que es básicamente un circuito eléctrico, la única referencia especifica que se hace a sus características mecánicas se incluyen cuando se consideran la inercia del rotor y el rozamiento existente en el rodamiento del eje del mismo. 
Figura 7.15 Vista estructura interna Motor DC
Regularmente tienen constantes de tiempo pequeñas. 
Son usados en:
Tabla 1: Aplicación de Motores DC
	Baja Potencia
	-Instrumental y equipos de Computación		
-Unidades de disco, de cinta magnética			
- Impresoras
	Mediana Potencia
	- Sistemas Robóticos
	Gran Potencia
	-Máquinas herramientas de control numérico
Tipos de motor DC de acuerdo a su conexión:
La figura 7.16 muestra los dos devanados típicos constitutivos de un motor DC (en algunos caso el devanado de campo es remplazado por un imán permanente), el devanado de campo y el de armadura, dependiendo la forma en que estos se conecten entre si determina diferentes funcionamientos y así mismo diversos tipos de aplicaciones.
Figura 7.16 Devanados de un motor DC
· Bobinado de campo en serie con la armadura
Son usados en los tranvías y en grúas. Siempre deben arrancar con carga. 
· Bobinado de campo en paralelo con el bobinado de armadura
Se aplica en equipos que requieran variar la velocidad y su sentido de giro. Taladros, tornos. Arrancan sin carga
· Campo producido por imán permanente
Son motores de poca potencia utilizadas en equipos de odontología y juguetería
· Bobinado de campo separado de la armadura (excitación independiente) 
Motor compuesto: es la combinación de los dos anteriores. Ascensores, motobombas.
· Cuando se mantiene la corriente de armadura constante y la velocidad se controla por medio de la corriente de campo se dice que el motor es controlado por campo.
Control de Armadura de motores de Corriente Directa (DC ):
Uno de los esquemas más comunes para el control de motores DC se basa en la configuración de excitación independiente . Como paso previo para el diseño del sistema de control es importante conocer el comportamiento dinámico del mismo a través de su modelamiento matemático. A continuación se realizaran los modelos matemáticos para un motor DC haciendo énfasis en la relación entre el voltaje de armadura y la velocidad angular (w) del eje del motor y de otro lado la relación entre el voltaje de armadura y la posición del eje del motor 
Diagrama Simplificado de un Motor D.C. de excitación independiente:
La figura 7.17 muestra el diagrama simplificado de un motor DC de excitación independiente, en el se destacan como elementos constructivos:
Figura7.17 Diagrama simplificado motor DC
Donde:
	Ra= Resistencia Armadura ()
La = Inductancia de Armadura (h)
	j =Momento de Inercia equivalente asociada al rotor del motor
b=Coeficiente de Fricción viscosa
Como variables asociadas al sistema:
ia = Corriente de Armadura (A)
	if = Corriente de campo (A)
ea = Tensión Aplicada a la Armadura (V)
eb = Fuerza contra electromotriz (V)
Ɵ = Posición angular (grados)
w = Velocidad angular (rad/seg)
El funcionamiento del motor DC esta asociado a la interacción adecuada de dos tipos de componentes, el relacionado con la dinámica de las partes mecánica y una dinámica electromagnética. De esta última se destaca lo concerniente a la interacción entre los flujos magnéticos de estator y del rotor de los cuales se puede decir:
El flujo de campo: 
Para las características del ejemplo planteado se asume flujo de campo constante en función de una corriente de campo if y de una tensión de campo Vf también constantes. 
Flujo (): 
 if : corriente de Campo
Que sucede en el inducido:
Al aplicar una tensión ea(t) al inducido, circula por él una corriente ia(t) y simultáneamente y como consecuencia de la exposición del bobinado del rotor al campo producido por el estator (ley de lenz " toda corriente se opone a la causa que la produce") se induce una fuerza contraelectromotriz cuyo valor esta determinado por:
 Kb Constante de Fuerza contraelectromotriz
El motor en su movimiento giratorio arrastra una carga gracias al par motor (T) que se genera de la interacción del estator y rotor, este Torque es proporcional al campo y a la corriente de armadura:
 
		 
Como la if y son constantes, el par motor es directamente proporcional a la corriente de armadura ia.
 donde K =Kf K1 Constante de par Motriz
Se debe tener en cuenta que si ia se invierte, el par también se invierte y por tanto el sentido de giro también.
 
Aplicando ley de Kirchoff de tensión a la bucla conformada por el circuito del devanado de armadura se obtiene: 
 
El motor durante su movimiento giratorio arrastra una carga la cual esta relacionada con la inercia y rozamiento del rotor durante su movimiento (para el caso que se analiza hasta este momento no se esta incluyendo algún tipo de carga acoplada al motor). Este movimiento lleva implícito un torque mecánico (T) el cual debe ser equiparado con la contraparte eléctrica (torque producido por el motor). Las ecuaciones matemáticas que describen este comportamiento se deducen de la aplicación de las leyes de newton y de la teoría electromagnética y son básicamente: 
(Componente mecánica -)
 
 (Torque visto desde la componente eléctrica)
 
Aplicando la Transformada de Laplace a las ecuaciones halladas se tiene
La figura 7.18 muestra el diagrama de bloques para la variable posicion angular del modelo que se esta analizando.
Figura 7.18 Diagrama Bloques Posicion Angular MotorDC
Se desea determinar como es el comportamiento de la posición del eje con respecto a la tensión de armadura, es decir:
Para lograr dicho objetivo, se deben combinar adecuadamente las ecuaciones encontradas, de tal forma que se eliminen todas las variables que no son objeto de estudio (T, Ia Eb etc), con lo cual se logrará una función de transferencia en función de los parámetros del sistema y de la variable compleja S.
Para que el rotor inicie su movimiento se requiere de un torque eléctrico que este en capacidad de vencer momento de inercia “j” y la fricción viscosa “b” del mismo lo cual se logra igualando las ecuaciones halladas para el torque
 Remplazando esta expresión para la corriente Ia(s) en las ecuaciones iniciales se obtiene:
 
 
Finalmente se encuentra la función de transferencia que relaciona la posición angular del eje del motor Ɵ con respecto a la tensión de armadura Ea:
 
La inductancia de armadura (La) generalmente es pequeña y se puede despreciar su efecto con respecto al efecto que produce la resistencia de armadura Ra
 Km ganancia, Ƭm Constante de tiempo del motor
Con lo que se encuentra un modelo matemático compacto que permitiría estudiar el comportamiento del desplazamiento angular Θ(s) en función del valor de la entrada Ea(s):
A partir de la ecuación de esta ultima función de transferencia es posible encontrar la relación existente entre la velocidad angular W(s) y la tensión de armadura Ea(s) partiendo del hecho de que:
 
Se obtiene: 
Las funciones de transferencia encontradas para Θ(s) y w(s) corresponden a las más usadas en función de su utilidad práctica en control, dado que la posición o la velocidad del eje de un motor son usadas en múltiples aplicaciones cotidianas, no obstante combinando adecuadamente el mismo conjunto de ecuaciones es posible estudiar el comportamiento dinámico del Torque y de la corriente de armadura entre otras, todo en función del objeto de estudio que se halla propuesto.
Se estudiaron en este capítulos diferentes modelos matemáticos de sistemas que estaban construidos simultáneamente por componentes Mecánicas y Eléctricas entendiendo el origen de su interacción y comprendiendo la metodología adecuada para enfrentarlos. 
s
b
KK
bs
Js
a
R
s
a
L
K
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a
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2
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