CONJUNTOS 3

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ARITMÉTICA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual ADUNI
Docente: Raúl Flores
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
ARITMÉTICA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual ADUNI
Docente: 
SEMANA 18
TEORÍA DE 
CONJUNTOS 
III
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
OBJETIVOS DE LA SESIÓN
Simplificar expresiones que están relacionados con las 
operaciones entre conjuntos, utilizando diagramas 
de Venn.
Resolver problemas utilizando las operaciones 
entre conjuntos.
Conocer las operaciones entre conjuntos.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Resolver problemas utilizando las operaciones 
entre conjuntos.
Cocer las operaciones entre conjuntos.
INTRODUCCIÓN
En esta parte se van a definir las operaciones
entre conjuntos, tales como: unión, intersección,
diferencia, diferencia simétrica y complemento,
las cuales nos permitirá resolver problemas de
diferentes tipos, por ejemplo.
En un instituto de idiomas se ofrecen tres
cursos: alemán, francés e inglés. Cuatro
alumnos se matricularon en los tres cursos,
seis alumnos en los cursos de inglés y alemán,
y siete en los cursos de francés e inglés. Si
todos los matriculados en ingles se
matricularon también en alemán o francés,
¿cuántos matriculados hubo en inglés?
(UNMSM – 2018 II)
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
P R O G R A M A 
A C A D É M I C
O V I R T U A L
Conocer las operaciones entre conjuntos.
1. Unión(∩) 
La unión dos conjuntos A y B, da como
resultado un tercer conjunto que está
formado por todo los elementos que
pertenecen a A, a B o a ambos
conjuntos. Se denota:
A ∪ B se lee: A unión B ( A o B)
A ∪ 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
Ejemplo
A= 2; 4; 8; 10; 12 y
B= {1; 2; 5; 8; 12}
∴ A ∪ 𝐵 = {2; 4; 8; 10; 12; 1; 5}
Representación gráfica 
Si C⊂ D
Para dos 
conjuntos 
A y B
A B C
D
Si E y F
son disjuntos
E F
C ∪ D = 𝐷
.2
.8
.1
.12
.4
BA
Gráfica
.10 .5
En general:
2. Intersección(∩) 
La intersección de dos conjuntos A y B, da
como resultado un tercer conjunto que
está formado por todo los elementos que
pertenecen a A y B ( a ambos conjuntos).
Se denota:
A ∩ B se lee: A intersección B ( A y B)
A ∩ 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
Ejemplo
A= 2; 4; 8; 10; 12 y
B= {1; 2; 5; 8; 12}
.2
.8
.1
.12
.4
BA
Gráfica
.10 .5
∴ A ∩ 𝐵 = {2; 8; 12}
En general:
Representación gráfica 
Si C⊂ D
Para dos 
conjuntos 
A y B
A B
C
D
Si E y F
son disjuntos
E F
C ∩ D =C E ∩ F = Φ
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
3. Diferencia(−) 
La diferencia entre dos conjuntos A y B, da como
resultado un tercer conjunto que está formado
por los elementos que pertenecen a A y no
pertenecen a B. Se denota:
A −B se lee: A diferencia con B ( solo A)
A= 2; 4; 8; 10; 12 y B= {1; 2; 5; 8; 12}
Ejemplo
∴ A −𝐵 = {4; 10}
Representación gráfica 
Si C⊂ D
Para dos 
conjuntos 
A y B
A B
C
D
Si E y F
son disjuntos
E F
A −𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}
C −D = Φ E −F =E
.2
.8
.1
.12
.4
BA
Gráfica
.10 .5
Aplicación 1
Resolución:
En general:
Si A={ 𝑥 Є Z / 𝑥5 − 5𝑥3 = 36𝑥} ∧
B={ 𝑥 Є Z /(𝑥 −3) Є A}
Halle (A‍∪B)−(A∩B).
(UNMSM -2004 I)
Se tiene
A={ 𝑥 Є‍Z‍/‍𝑥5 − 5𝑥3 = 36𝑥} 
𝑥5 − 5𝑥3 = 36𝑥
𝑥 𝑥4 − 5𝑥2 − 36 = 0
𝑥 = 0 ∨ 𝑥4 − 5𝑥2 − 36 = 0
(𝑥2 − 9)(𝑥2 + 4) = 0
0 ∨ 0
Como 𝑥 Є‍Z
𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = −3
A={ 0; 3;−3} 
B={ 𝑥 Є Z /(𝑥 −3) Є A}
0, 3,−3
B={3; 6; 0} 
A∪B={3;6;0;−3} A∩B={3;0}
(A∪B)−(A∩B)={6;−3}
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P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Resolver problemas utilizando las operaciones 
entre conjuntos.
Conocer las operaciones entre conjuntos.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
4. Diferencia Simétrica(△) 
La diferencia simétrica de dos conjuntos A
Y B, da como resultado un tercer conjunto
que está formado por todo los elementos
que pertenecen a (A∪B) y no pertenecen a
(A∩B). Se denota:
A△ B se lee: A diferencia simétrica con B
( solo A o solo B)
A △ 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝑥 ∉ (𝐴 ∩ 𝐵)}
Ejemplo
∴ A△ 𝐵 = {4; 10; 1; 5}
B= {1; 2; 5; 8; 12}y
Si C⊂ D
Para dos 
conjuntos 
A y B
A B
C
D
Si E y F
son disjuntos
E F
5. Complemento
Dado un conjunto ⨆, si A está contenido en
⨆ . Al conjunto que se forma con los
elementos que no pertenecen a A, se le
denomina conjunto complemento de A.
Se denota:
𝐴𝐶 se lee: complemento de A 
𝐴𝐶 = {𝑥/ 𝑥 ∈ ⨆ ∧ 𝑥 ∉ 𝐴}
Ejemplo
⨆ = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10
∴ 𝐴𝐶 = {1; 3; 5; 6; 7; 9}
Representación gráfica 
C△ D = 𝐷 −C E△ F = 𝐸 ∪ 𝐹
A= 2; 4; 8; 10; 12
Representación gráfica A= 2; 4; 8; 10
⨆
A
𝐴𝐶
.2
.8
.1
.12
.4
BA
Gráfica
.10 .5
En general:
A
⨆
.2 .4
.8 .10
.1
.3
.5
.6
.7
.9
Gráfica
En general:
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
26 = 64
Un aula está conformada por alumnos
de ambos sexos. Sea 𝐴 el conjunto de
varones del aula; ahora, si se sabe que
en el aula hay más mujeres que varones
y que 𝑛 𝑃 𝐴 + 𝑛 𝑃 𝐴𝑐 = 80 donde
𝑛 𝑃 𝐴 denota el número de
subconjuntos de 𝐴 , determine en
cuanto excede el número de mujeres al
número de varones.
(UNMSM – 2017 II)
Observaciones respecto al complemento
➢ (𝐴𝐶)𝐶= 𝐴
➢ Φ𝐶 = ⨆➢ ⨆
𝐶 = Φ
➢ 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵𝐶
➢ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶= 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝐶
➢ (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶= 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝐶
➢ 𝐴 ∪ 𝐴𝐶 =⊔
➢ 𝐴 ∩ 𝐴𝐶 = Φ
Aplicación 2
Resolución:
𝐴 = {𝑣𝑎𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠} 𝐴𝐶 = {𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠}
Se tiene
Del problema se tiene: 𝑛 𝐴 < 𝑛(𝐴𝐶)
Dato
𝑛 𝑃 𝐴 + 𝑛 𝑃 𝐴𝑐 = 80
2𝑛(𝐴) + 2𝑛 𝐴
𝐶
= 80
¡Recuerde!
21 = 2
22 = 4
23 = 8
25 = 32
24 = 16
2𝑛(𝐴) + 2𝑛 𝐴
𝐶
= 80
Se observa
𝑛 𝐴 = 4
𝑛 𝐴𝐶 = 6
∴ 𝑛 𝐴𝐶 − 𝑛 𝐴 =6−4 = 2
Nos pide: 𝑛 𝐴𝐶 − 𝑛 𝐴
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
De 70 alumnos, 46 no estudian Literatura, 44 no estudian
Biología y 28 no estudian ni Literatura, ni Biología, entonces
cuántos alumnos estudian:
A) Biología y Literatura.
B) Biología o Literatura.
C) Solo Biología.
D) Solo Biología o solo Literatura.
Resolución 
L
28
B
𝕌(70)
(44)
(46)
18
No L
No B
16 8
A)Aplicación 3 L
28
B
18
16 8
L
28
B
18
16 8
L
28
B
18
16 8
L
28
B
18
16 8
B) 
C) D) 
𝑛 𝐵 ∩ 𝐿 = 8 𝑛 𝐵 ∪ 𝐿 = 42
𝑛 𝐵 − 𝐿 = 18 𝑛 𝐵 △ 𝐿 = 34
𝕌(70)
𝕌(70)𝕌(70)
𝕌(70)
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
Reducir expresiones conjuntistas 
usando diagramas de Venn
Observación 
Para reducir operaciones entre conjuntos usando diagramas
de Venn, se sugiere colocar un elemento en cada región.
Ejemplo
Simplifique: [ 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐵𝐶 ∪ 𝐴𝐶 ] ∩ 𝐵𝐶
A B
.4
.3.2.1
Se tiene
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐵𝐶 ∪ 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶
[{1;2;3} ∪ {1;3;4}] ∩ {1;4}
{1;2;3;4} ∩ {1;4}
{1;4}
Es decir, al simplificar obtendremos 𝑩𝑪
⊔Resolución 
Diagrama de Venn para tres conjuntos.
Sean los conjuntos A, B y C incluidos en un conjunto
Universal (⊔)
⊔
C
B
A
Solo C
Solo B
Solo A
Solo A y C
Solo A y B
Solo B y C
A y B y C
ni A, ni B y ni C
w w w . a d u n i . e d u . p e