05 Sistemas de Coordenadas

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Capítulo 5 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
INTRODUCCIÓN: 
 
¿QUÉ ES UN SISTEMA DE COORDENADAS? 
Coordenadas 2D 
Un sistema de coordenadas es un método que usa uno o más números, llamados 
coordenadas, para establecer inequívocamente la posición de un punto o de un objeto 
geométrico en el espacio. 
 
TIPOS DE SISTEMAS: 
 
 COORDENADAS CARTESIANAS ABSOLUTAS Y RELATIVAS 
 
Coordenadas Cartesianas Absolutas: 
Las coordenadas cartesianas son las más utilizadas, este tipo de coordenadas se 
ubican en un plano cartesiano al que están asociados los ejes ‘x’, ‘y’ y ‘z’. 
Todos los ejes coordenados deben estar escalados bajo el mismo criterio y ser 
perpendiculares entre sí, estos ejes pueden conformar un sistema bidimensional o 
tridimensional dependiendo de si está formado por dos o tres ejes. 
Las tuplas ordenadas de este sistema de referencia tendrán la forma de pares 
ordenados (x, y) o tríos ordenados (x, y, z), en ambos casos el origen del sistema de referencia 
 
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será el punto de intersección entre los dos o tres ejes y será en relación a éste punto 
que se medirán las distancias. 
 
EN DOS DIMENSIONES (X, Y) EN TRES DIMENSIONES (X, Y, Z) 
 
 
Las Coordenadas Cartesianas Relativas: 
Este sistema de coordenadas es parecido al anterior (COORDENADAS 
ABSOLUTAS), pero con la diferencia de que éstas están referidas al último punto 
marcado, no al origen (0,0) como las absolutas. 
Para indicar que estamos introduciendo una coordenada relativa lo hacemos 
mediante el símbolo @. 
Si en una coordenada cartesiana relativa la que se dibujara, indicamos una 
pareja de valores, tal como @25,10 esto quiere decir que el siguiente punto se 
encuentra 25 unidades hacia la derecha, sobre el eje X, y 10 unidades hacia arriba, 
sobre el eje Y, respecto al último punto introducido. 
 
 COORDENADAS POLARES 
 
Son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano 
se determina por una distancia y un ángulo. 
Este sistema de referencia toma: 
 
 
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A. Un punto O del plano, al que se llama origen o polo. 
B. Una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar 
(equivalente al eje x del sistema cartesiano). 
 
Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar 
distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par 
ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje 
polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido anti horario y decrece 
en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio 
vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». 
En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En 
ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0°). 
 
 
 
 
 
 FORMA DE EXPRESAR UNA COORDENADA POLAR ABSOLUTA 
 Las coordenadas polares se separan con el símbolo <, (distancia<ángulo). De forma 
que si queremos indicar un punto que está a 50 unidades del origen y cuya línea que lo une 
con el origen forma un ángulo de 30º con la horizontal, se indicaría (50<30) como se muestra 
en la figura. 
 
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 COORDENADAS POLARES RELATIVAS 
 Son más usadas que las polares absolutas y el procedimiento es similar al de 
las coordenadas cartesianas relativas. Hacen referencia al último punto marcado, no al 
origen, y se indican de nuevo con el símbolo @. 
Si queremos dibujar un punto refiriéndonos al último punto marcado con una 
distancia de 40 y un ángulo con la horizontal de 45º, escribiríamos @ (40<45) como se 
muestra en la figura. 
 
 
 
 SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS 
 Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas tridimensional basado 
en la misma idea que las coordenadas polares. En este sistema la ubicación de un 
punto en el espacio está determinada por una distancia y dos ángulos. 
 
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El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares entre sí y un 
punto “O”, denominado origen, que corresponde al punto de intersección de los tres ejes. De 
esta forma un punto “P” queda representado por el trio ordenado (r, θ, φ), donde “r” es la 
distancia de “P” al origen, “θ” -colatitud- es el ángulo formado entre el eje “z” y la recta “OP” y 
“φ” – azimut- es el ángulo formado entre el eje “x” y la proyección de la recta “OP” en el plano 
x-y. 
 
 
 
 SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS 
 Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas tridimensional en el que 
la ubicación de un punto en el espacio está determinada por una distancia, una altura y un 
ángulo. 
El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares entre sí y un 
punto “O”, denominado origen, que corresponde al punto de intersección de los tres ejes. De 
esta forma un punto “P” queda representado por el trio ordenado (ρ, φ, z), donde “ρ” –
coordenada radial- es la distancia de “P” al eje “z”, “φ” –coordenada acimutal- es el ángulo 
formado entre el eje “x” y “RO” y “z” – coordenada vertical- es la distancia desde “P” al plano 
“x”-“y”. Los rangos de variación de estas coordenadas son: 
 
 
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AutoCAD es un software (o programa) de Dibujo y/o Diseño Asistido por 
Ordenador (CADD por sus siglas en inglés) en el que gracias a una serie de comandos 
u órdenes podemos reflejar fielmente y con un grado de exactitud cualquier plano, tanto 
en dos como en tres dimensiones, y es muy superior al del sistema tradicional o dibujo 
a mano con instrumental sobre papel. 
Todo lo que se dibuja en AutoCAD es exacto y será más preciso de lo que es 
necesario. Todos los objetos dibujados sobre la pantalla están colocados ahí en 
referencia a un simple sistema de coordenadas X, Y. En AutoCAD, a este sistema se 
le conoce como Sistema Coordinado Mundial (WCS, por las siglas de World Co-
ordinate System). Es necesario que se comprenda esto para poder colocar los objetos 
justo donde se lo desee. (El trabajo en 3D requiere de un eje más, llamado eje Z). El 
siguiente diagrama muestra cómo funciona dicho sistema. 
 
 
El ángulo también puede variar en el intervalo [0,2π).
 
 
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AutoCAD se vale de puntos para definir la posición de un objeto. Existe un punto de 
origen a partir del cual comienza a contar; dicho punto es (0,0). Todo objeto está ubicado con 
relación al origen. Si se dibuja una línea horizontal hacia la derecha partiendo del origen, ésta 
coincide con el eje positivo X. Si se dibuja una línea vertical hacia arriba comenzando desde 
el mismo origen, coincidirá con el eje positivo Y. En la imagen anterior se muestra un punto 
situado en (9,6). Esto significa que el punto está 9 unidades en el eje X y 6 unidades en 
el eje Y. Cuando se trabaja con puntos, la coordenada en X siempre es la primera. 
En AutoCAD, una línea está definida por dos puntos: un punto inicial y un punto final. 
El programa trabaja con estos puntos para representar la línea en pantalla. 
La mayor parte del tiempo no se dibujará haciendo referencia directa al origen. Tal vez 
se necesite, por ejemplo, dibujar una línea desde el punto final de una línea existente. Para 
hacerlo se usará el concepto de coordenadas relativas. Funcionan de la misma forma, pero 
debe anteponer el símbolo @ para decirle a AutoCAD que este nuevo punto es relativo al 
último punto que se ha introducido. 
 
 
EN RESUMEN: 
 
 Los PUNTOS ABSOLUTOS se introducen haciendo referencia directa con el 
origen. 
 Los PUNTOS RELATIVOS hacen referencia a un OBJETO en el espacio de 
dibujo. 
 Coordenadas POLARES sistema bidimensional donde cada punto de la línea se 
determina por una distancia y un ángulo.11 https://sites.google.com/site/cecytedibujotecnico/introduccion-a-autocad 
 
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EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE SISTEMAS DE 
REFERENCIA 
 
Realizar un sistema de referencia utilizando COORDENADAS 
CARTESIANAS (ABSOLUTAS Y RELATIVAS). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLVEMOS UTILIZANDO COORDENADAS CARTESIANAS ABSOLUTAS 
 
 Origen: A (20, 40) 
 Al ser coordenadas cartesianas absolutas, el punto de inserción de la figura 
estará ordenado según los ejes X, Y siendo lo representado en un plano 2D. 
 Considerando que estamos trabajando con coordenadas cartesianas absolutas, 
debemos tener en cuenta dónde iniciar el sistema de referencias, siendo el origen en A 
(20,40). 
 A (20,40) 
(VALOR EN X, VALOR EN Y) 
 
 El siguiente punto a definir es el punto B 
 Entendiendo que el punto B se encuentra desplazado de A 20 posiciones hacia 
arriba (eje y) y sin desplazamientos en el eje x (o sea se encuentra alineado), lo que 
debemos hacer es lo siguiente: 
Consideraciones a tener en cuenta: 
1. Identificar cuáles son los puntos que definen a la figura. 
Asignarles un nombre, por ejemplo “A”, “B”, etc.) 
2. Prestar suma atención en las cotas (son las que me indicaran el 
desplazamiento en los ejes (x, y). 
3. Identificar el origen en el ejemplo A (20,40) que significa que el 
sistema de referencias debe iniciar en ese punto. 
4. Se utiliza la regla de: Si el desplazamiento es hacia la derecha 
en el eje X o hacia arriba en el eje Y, SE SUMA en el componente 
correspondiente. Si el desplazamiento es hacia la izquierda en el 
eje X o hacia abajo en el eje Y, SE RESTA en el componente 
correspondiente. 
 
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Con respecto al origen, definir en el par ordenado, que ubicación le corresponde al eje 
“x” y cual al eje “y”. 
El punto B entonces está definido en: B (20, 60), donde se le suma a la posición “y” el 
desplazamiento determinado por la cota. 
 B (20,60) 
(VALOR EN X, VALOR EN Y) 
 
 Para definir el resto de los puntos se debe considerar que desplazamientos 
se tienen respecto al origen A (20,40). 
 
Quedando así definido nuestro sistema de referencia con coordenadas cartesianas 
absolutas de la siguiente manera: 
 
A (20,40) 
B (20,60) 
C (45,60) 
D (45,70) 
E (25,70) 
F (25,80) 
G (35,80) 
H (35,110) 
I (50,110) 
J (60,40) 
 
 
 
AHORA RESOLVEMOS UTILIZANDO COORDENADAS CARTESIANAS 
RELATIVAS 
 
Dijimos que cuando consideramos un sistema de coordenadas cartesiano relativo, se 
toma como origen el último punto de referencia. 
 
 
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 Origen: A (20,40) 
En este caso tomamos nuevamente el punto A anterior como inicio. 
 A (20,40) 
(VALOR EN X; VALOR EN Y) 
 
 El siguiente punto a definir es el punto B 
 El punto B estará definido de la siguiente manera: 
 
B @20,60 
DIFERENCIAL EN EJE X, DIFERENCIAL EN EJE Y 
 
Como se puede ver, se le antepuso el símbolo de @ al valor de desplazamiento 
del punto B. 
 
Entonces el sistema de referencia con coordenadas cartesianas relativas queda 
definido de la siguiente manera: 
 
A Es el punto de partida para 
esta secuencia (20,40) en coordenadas 
cartesianas absolutas 
B @ 0,20 
C @ 25,0 
D @ 0,10 
E @ -25,0 
F @ 0,10 
G @ 10,0 
H @ 0,30 
I @ 15,0 
J @ 10,-70 
 
 
Realizar un sistema de referencia utilizando COORDENADAS POLARES 
(ABSOLUTAS Y RELATIVAS) 
 
Siguiendo con la misma lógica, lo primero que debemos determinar es si 
estamos utilizando un sistema de coordenadas polar absoluto o polar relativo. 
A modo de práctica utilizaremos las coordenadas polares relativas. 
 
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Es decir, las coordenadas tendrán la siguiente forma B @ 60< 0, “B” sería el nombre 
que se le asigna al punto; el “@” indica que es una coordenada relativa; el valor “60” 
corresponde a la longitud; y el valor “0” al ángulo, anteponiéndole el símbolo <. 
Nuestro sistema de referencia, utilizando las coordenadas polares relativas, quedaría 
establecido de la siguiente manera: 
 
A Es el punto de partida para esta secuencia (20,40) en coordenadas cartesianas 
absolutas 
B @ 60<0 
C @ 20<135 
D @ 35<90 
E @ 25<199 
 
Para cerrar el polígono se pasa a trazar una recta hasta el punto A. En AutoCAD se 
utiliza el cierre de polígonos con Cerrar ortogonal. 
Esta opción cierra un polígono creando un segmento desde el último punto especificado 
hasta el primer punto especificado. Se escribe C (Cerrar) en la línea de comando. 
 
 
 
Video explicativo: https://www.youtube.com/watch?v=H9e4PuhSXqE