08 Geometria descriptiva y Sistema MONGE

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Capítulo 8 
 
GEOMETRIA DESCRIPTIVA 
SISTEMA MONGE y PROYECCIONES 
DIEDRICAS 
 
INTRODUCCIÓN: 
 
¿Qué es la geometría descriptiva? 
 La geometría descriptiva es la ciencia que trata la manera de representar un objeto de 
tres dimensiones en un plano. El sistema básico dentro de esta geometría es el sistema 
diédrico o de proyecciones diédricas ortogonales. Gaspard Monge, geómetra francés, fue 
quien codificó su estudio y mecanismo; para ello se valio de dos planos proyectantes que 
forman entre sí un ángulo recto (de 90º). 
 
 
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La geometría es una parte de las matemáticas mediante la cual se estudian las 
propiedades y relación de los cuerpos, y sus elementos, tanto en el plano como en el espacio. 
 
 
La GEOMETRIA se clasifica de la siguiente manera: 
 
 Geometría algebraica. Aplicación del álgebra a la geometría para, por 
medio del cálculo, resolver ciertos problemas. 
 Geometría analítica. Estudio de figuras mediante un sistema 
de coordenadas y métodos de análisis matemático. 
 Geometría diferencial. Tratado sobre curvas y superficies con los 
recursos del cálculo infinitesimal y de la topología general. 
 Geometría plana. Se consideran las figuras cuyos puntos están todos en 
un plano. 
 Geometría del espacio. Se estudian las figuras cuyos puntos no están 
todos en un mismo plano. 
 Geometría proyectiva. Se tratan las proyecciones de las figuras sobre un 
plano. 
 
Objetivos de la GEOMETRIA DESCRIPTIVA: 
 
 Dar solución a los problemas de la geometría del espacio por medio de 
operaciones efectuadas en un plano. 
 Representar figuras de sólidos en un plano. 
 Suministrar las bases del dibujo técnico. 
La geometría descriptiva, en definitiva, posibilita la representación del espacio 
tridimensional en una superficie bidimensional. 
 
 
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Los antecedentes de la geometría descriptiva se remontan a la antigüedad. En un 
comienzo los dibujos hallados en cuevas pertenecientes a la prehistoria, nos demuestran la 
necesidad que el ser humano ha sentido de expresarse mediante el dibujo, por ejemplo para 
plasmar representaciones de su entorno. 
 
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Es importante señalar que gracias a estas representaciones, hoy en día contamos con 
mucha información para intentar comprender cómo vivieron nuestros antepasados, cuáles 
eran sus necesidades y qué descubrimientos realizaron a través de la observación. 
 
Fue en el Renacimiento que el ser humano empezó a desarrollar gráficos en 
profundidad, es decir, a incluir en sus dibujos un eje dimensional, sin el cual no podemos 
imaginar la vida. Con la consolidación de las técnicas geométricas, se perfeccionó la 
representación de las figuras de los cuerpos tridimensionales en un plano y se sentaron las 
bases para el dibujo técnico. 
 
 
1 https://reydekish.com/2015/09/02/cueva-de-altamira/ 
 
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Hasta que surgió el uso de la profundidad en las representaciones gráficas, era 
necesario hacer dibujos muy fieles a la realidad, como si se tratara de fotografías, ya 
que no se tenía en cuenta la profundidad de los objetos desde un punto de vista 
geométrico. Las matemáticas aportaron las herramientas conceptuales que facilitaron 
el dibujo, ya que descomponen la realidad en una serie de figuras muy simples. Algo 
similar ocurre con la notación musical, que permite estudiar y memorizar melodías a 
través de su análisis, algo mucho menos demandante para el cerebro que el mero 
proceso de recordarlas en crudo. 
 
Con el paso del tiempo, muchas personas se especializaron en el uso de 
la perspectiva, y así surgieron las bases formales de la llamada geometría proyectiva, 
la parte de las matemáticas que se enfoca en el estudio de las figuras geométricas sin 
incluir la medida. 
 
 
2 https://ar.pinterest.com/pin/574912708673765109/ 
 
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Fue recién en el año 1799 que el matemático Gaspard Monge publicó una obra 
llamada «GEOMETRÍA DESCRIPTIVA». 
 
La arquitectura, la topografía y la ingeniería son algunas de las disciplinas que apelan 
a la geometría descriptiva, que se constituye como una herramienta útil para el desarrollo de 
cualquier tipo de diseño. 
En otras palabras, la geometría descriptiva resulta ideal para cualquier disciplina que 
exija la representación de elementos sobre una superficie plana, que en el pasado solía ser 
una hoja de papel y en la actualidad, el lienzo virtual que nos proporcionan los programas 
informáticos de diseño. 
 
 
 
3 http://www.lanubeartistica.es/Dibujo_Tecnico_Primero/UD3/dt1_u3_tema1_v01/1_la_geometra_proyectiva.html 
 
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INTRODUCCIÓN AL SISTEMA MONGE 
 
Gaspard Monge (Francia 1746 – 1818), es considerado el inventor de 
la geometría descriptiva. La geometría descriptiva es la que nos permite 
representar superficies tridimensionales de objetos sobre una superficie bidimensional. 
Existen diferentes sistemas de representación que sirven a este fin, como 
la perspectiva cónica, dibujos artísticos, etc. el sistema de planos acotados, etc., pero 
quizás el más importante es el sistema diédrico, también conocido como sistema 
Monge, que fue desarrollado por Monge en su primera publicación en el año 1799. 
El sistema diédrico es un método de representación geométrico de los 
elementos del espacio tridimensional sobre un plano, es decir, la reducción de las tres 
dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano, utilizando una proyección 
ortogonal sobre dos planos que se cortan perpendicularmente. 
Es un método gráfico de representación que consiste en obtener la imagen de 
un objeto (en planta y alzado), mediante la proyección de haces perpendiculares a dos 
planos principales de proyección, horizontal (PH) y vertical (PV). El objeto queda 
representado por su vista frontal (proyección en el plano vertical) y su vista superior 
(proyección en el plano horizontal); también se puede representar su vista lateral, como 
proyecciones complementarias.4 
 
 
4 https://proyectoidis.org/monge-y-el-sistema-diedrico/ 
http://proyectoidis.org/georges-didi-hunerman/
 
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PROYECCIONES 
 
Una proyección es una imagen que se obtiene al observar un objeto, y lo 
dibujamos sobre un plano de fondo, tal como se observa en la siguiente imagen. 
 
 
1. Objeto. Es el objeto que se desea representar (recta, plano, superficie, sólido, 
etc.). 
2. Punto de observación. En el punto donde se encuentra el observador y desde 
el cual se observa el objeto que se quiere representar. Es un punto cualquiera del espacio 
propio o impropio. 
3. Superficie de proyección. Es la superficie sobre la cual se proyectará el objeto 
(ejemplo: un plano). 
4. Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con el 
punto de observación extendiéndose hasta el plano proyectante también llamados rayos 
visuales. 
 
La proyección que se obtiene al utilizar proyectantes desde un punto ubicado en el 
espacio, es decir un punto propio, no son paralelas entre sí, denominándose proyección 
cónica, ya que los haces describen esa forma en el espacio que recorren hasta el plano de 
proyección, pasando por el objeto, siendo la proyección que se obtiene dimensionalmente 
distinta a este último. 
 
 
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Si el observador se encontrara muy lejos, digamos en el infinito (lo que se 
denomina punto impropio), lo que sucede es que los rayos visuales se hacen paralelos 
entre sí, y a su vez serán perpendiculares al plano de proyección. 
En este caso, tenemos una proyección ortogonal, también denominada 
cilíndrica, obteniéndose una proyección con las mismas dimensiones que el objeto 
proyectado. 
 
 
 
 
 
 
PROYECCIONES DIEDRICAS 
 
Como se mencionóen la introducción al Sistema Monge el sistema diédrico es 
un método de representación geométrico de un objeto tridimensional sobre un plano, 
es decir, la reducción de las tres dimensiones del espacio a las dos dimensiones de un 
plano mediante la utilización de proyecciones ortogonales. 
 
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Se utiliza la proyección ortogonal del objeto sobre dos planos que se cortan 
perpendicularmente. 
El sistema formado por los dos planos se denomina diedro. Para generar las vistas 
diédricas, uno de los planos se abate sobre el segundo, permitiendo la representación de las 
proyecciones de los elementos de un plano (sobre papel). Es así que se obtienen las 
proyecciones del objeto en alzado y planta, o bien la VISTA PRINCIPAL sobre el plano de 
proyección vertical y la VISTA SUPERIOR sobre el plano de proyección horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PLANOS DE PROYECCIÓN 
 
Los planos dispuestos perpendicularmente entre sí, se denominan PLANO 
VERTICAL (PV) y PLANO HORIZONTAL (PH). 
La intersección de estos genera una línea denominada Línea de Tierra (LT), que 
también se puede representar con dos trazos cortos situados por debajo de ella. 
Luego se gira 90°, hacia abajo o en sentido horario, al PLANO HORIZONTAL 
sobre la Línea de Tierra, como se ve en la figura, hasta que coincida con el PLANO 
VERTICAL, separados por la Línea de Tierra. 
 
 
 
Lo que se trace sobre el PV queda por encima de la LT y se denomina ALZADO 
o VISTA PRINCIPAL. 
Asimismo lo que contenga el PH queda por debajo de la LT y se denomina 
PLANTA o VISTA SUPERIOR. 
 
 
PROYECCIÓN DIEDRICA DEL PUNTO 
 
Si se tiene un punto P en el espacio y este se proyecta hasta el PV obtenemos 
P” como proyección de ALZADO o VISTA PRINCIPAL. 
 
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La distancia que separa al punto P y su proyección en P” se denomina Alejamiento. 
La proyección del punto P sobre el PH se obtendrá P’ como proyección de PLANTA o 
VISTA SUPERIOR. 
La distancia que ahora se encuentra entre el punto P y su proyección en P’ se denomina 
Cota. 
 
 
 
Una vez obtenidas ambas proyecciones, se procede a realizar el abatimiento del plano 
horizontal, por lo que a partir de allí el punto que se encontraba en el espacio, es definido a 
través de sus proyecciones. 
 
 
 
 
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Las posibilidades de sustitución que tiene un punto en un sistema de proyección 
diédrico pueden ser tres: 
a. Estar situado en el espacio. 
b. Estar situado en la línea de tierra. 
c. Contenido en cualquiera de los dos planos proyectantes. 
 
 
PROYECCIÓN DIEDRICA DE LA RECTA 
Al igual que el punto, una recta se puede determinar por las proyecciones sobre 
los planos en: 
 Una proyección vertical. 
 Una proyección horizontal. 
 
Las rectas pueden estar colocadas de muy diferentes maneras con respecto a 
los planos de proyección. 
El tipo de línea que se ve en el gráfico se denomina SPLINE (en el subcampo 
matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en 
porciones mediante polinomios). 
 
 
 
 
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En el gráfico que se obtiene sobre los planos proyectantes son el conjunto de puntos 
A-B sobre los planos PV y PH respectivamente. Determinando la proyección diédrica de estos 
puntos y en consecuencia de la spline que los contiene. 
Sobre el PV se obtiene la vista principal de la línea, de la spline entre los puntos A-B. 
Sobre el PH se obtiene una línea recta que comprende los puntos A-B. 
 
 
PROYECCIÓN DIEDRICA DE UN PLANO 
 
Tomando la spline representada anteriormente se realiza una traslación perpendicular 
al plano vertical, convirtiendo a la spline en una superficie. La misma comprende los puntos 
A-C y B-D. 
Ésta superficie se proyecta sobre el PV como una spline y en el PH como un plano. 
 
 
 
PROYECCIÓN DIEDRICA DE UN OBJETO o VOLUMEN 
 
El objeto representado se encuentra suspendido en el espacio de nuestro sistema 
diédrico, éste se proyecta sobre los planos PV y PH, obteniéndose así las proyecciones 
diédricas. 
 
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Se puede apreciar que además de representar líneas o superficies sobre los 
planos de proyección, se pueden representar objetos, en detalle y con medidas reales. 
 
 
 
Sin embargo si los objetos a representar poseen una morfología compleja o 
tienen gran cantidad de partes, es mejor utilizar un sistema de proyección TRIÉDRICO. 
En éste se usa un tercer plano de proyección, el PLANO de PERFIL donde se 
representará la VISTA LATERAL. Quedando así representado el objeto en sus tres 
dimensiones. 
 
 
PROYECCIONES TRIEDRICAS 
 
Debido a la forma o característica del o los objetos a representar, las 
proyecciones diédricas no son suficientes para aclarar todos sus detalles. Así que se 
 
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podrá utilizar un tercer plano proyectante, este plano llevará el nombre de PLANO de PERFIL 
(PP) sobre el que se trazará la VISTA LATERAL. 
 
 
 
Con este tercer plano, podemos definir nuevos elementos: 
 Desviación, se denomina desviación o lateralidad, a la distancia de un punto del 
espacio relacionada al desplazamiento ortogonal respecto al plano de perfil. 
 
 
 
 Este concepto de desviación se suma al de Cota y Alejamiento, antes detallados, 
teniéndose ahora la denominación de la distancia de un punto a los tres planos elementales. 
 
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 Por otro lado, la intersección de los tres planos genera tres rectas. Las 
mismas se pueden establecer como los tres ejes cartesianos: X, Y, y Z. El punto donde 
se intersectan los tres planos es el origen de coordenadas 0, 0, 0. 
 
 
 
 Cuando un objeto es proyectado ortogonalmente sobre tres planos 
perpendiculares entre sí, el sistema toma el nombre de Sistema Triédrico. 
Para poder representar este tercer plano se debe girar 90° el PLANO de PERFIL 
utilizando como eje de giro la reta de intersección del PV con el PP hasta hacerlo 
coincidir con el PLANO VERTICAL, quedando así la representación de las tres 
proyecciones en un mismo plano o bien representadas sobre papel. 
 
 
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La proyección del PP queda de costado de la proyección PV y se denomina PLANO de 
PERFIL o VISTA LATERAL.