Sistemas de numeración

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SISTEMAS DE NUMERACIÓN 
 
 
 
SISTEMA DECIMAL 
En primer lugar, nos interesa analizar las características del sistema de numeración que 
usamos habitualmente, el sistema de numeración decimal, para luego generalizar esas 
características a otros sistemas. 
tiene BASE 10 
El SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL 
es POSICIONAL 
 
¿Qué implican estas dos características? 
● Que disponemos de 10 símbolos para representar todos los números, en este 
caso utilizamos los diez dígitos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
● Que la posición de cada dígito en el número determina su valor. 
● Y que cada número representa cantidad de agrupamientos de a 10 del orden 
inmediato a la derecha o “inferior” y al mismo tiempo es el resto de los 
agrupamientos del orden inmediato a la izquierda o “superior”. 
Tal vez sirva la siguiente representación para entender este último punto y visualizar 
que cada vez que dividimos por 10 voy construyendo agrupamientos de a 10 de mayor 
orden y van quedando los restos de la división que son las cantidades que no alcanzan 
para formar otro grupo de 10. 
 
 
Son formas de representar números con una codificación 
basada en los elementos de un conjunto, llamados dígitos. La 
cardinalidad de dicho conjunto se denomina base. 
 
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Tomemos como ejemplo el siguiente número: 
1 2 4 4 , 5 3 Es un 3 que vale 0,03, es decir, 3 dividido 100 
 Es un 5 que vale 0,5, es decir, 5 dividido 10 
 Es un 4 que vale 4 
 Es un 4 vale 40, es decir, 4 por 10 
 El 2 vale 200, es decir, 2 por 100 
El 1 vale 1000, es decir, 1 por 1000 
 
Podemos expresar esta misma información en forma polinómica: 
𝟏𝟐𝟒𝟒, 𝟓 = 𝟏. 𝟏𝟎𝟑 + 𝟐. 𝟏𝟎𝟐 + 𝟒. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟒. 𝟏𝟎𝟎 + 𝟓. 𝟏𝟎−𝟏 + 𝟑. 𝟏𝟎−𝟐 
 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟐𝟎𝟎 + 𝟒𝟎 + 𝟒 + 𝟎, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟑 
 
SISTEMA BINARIO 
Analicemos ahora el sistema binario en relación con el decimal. Nos interesa como una 
herramienta importante en la computación porque permite representar los dos estados 
posibles que se pueden representar con dos dígitos: prendido o pasa corriente (1) y 
apagado o no pasa corriente (0). 
Entonces, nuevamente se trata de un sistema posicional y en este caso con base 2, eso 
implica que usamos los dígitos {0, 1} para construir cualquier número. 
Representemos una cierta cantidad de objetos en sistema binario, lo hacemos primero 
teniendo en cuenta los agrupamientos de a dos, a la izquierda y convirtiendo un número 
decimal a binario haciendo divisiones sucesivas, a la derecha: 
 
 
 
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Si lo representamos en forma polinómica encontramos la manera de convertir un 
número escrito en sistema binario al sistema decimal, siguiendo con el mismo ejemplo: 
𝟏𝟎𝟏𝟏(𝟐) = 𝟏. 𝟐
𝟑 + 𝟎. 𝟐𝟐 + 𝟏. 𝟐𝟏 + 𝟏. 𝟐𝟎 
 = 𝟖 + 𝟎 + 𝟐 + 𝟏 
 = 𝟏𝟏 
 
Para seguir pensando 
¿Cómo se relacionan los agrupamientos de a dos con la división por dos? ¿Por qué el 
número en base 2 está constituido por los restos de la división por 2? ¿Por qué el orden 
en el que se ubican los dígitos es desde el último resto hacia el primero? 
 
DECIMAL BINARIO 
1 1 
2 10 
3 11 
4 100 
5 101 
6 110 
7 111 
8 1000 
9 1001 
10 1010 
… … 
 
PARA PRACTICAR 
1. Convertir de decimal a binario: 
a) 64(10) 
b) 145(10) 
c) 500(10) 
d) 111(10) 
 
¿Encuentran alguna 
regularidad en los 
números de la tabla? 
 
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2. Convertir de binario a decimal los siguientes números: 
a) 101110(2) 
b) 000011(2) 
c) 101010(2) 
d) 111000(2) 
 
SISTEMA OCTAL 
 
 
 
 
Este sistema es muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta 
de dos (23 = 8). Entonces, nuevamente se trata de un sistema posicional y en este caso 
con base 8, eso implica que usamos los ocho dígitos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} para construir 
cualquier número. 
Si representamos una cierta cantidad en el sistema octal hacemos agrupamientos de a 
ocho y los restos van ocupando las diferentes posiciones en el nuevo número ocupando 
los lugares desde la derecha a la izquierda o desde la posición del menor valor hacia el 
mayor. 
 
Como hicimos en el apartado anterior, si representamos en forma polinómica el número 
escrito en sistema octal, encontramos la manera de convertirlo al sistema decimal, 
siguiendo con el mismo ejemplo: 
𝟏𝟕𝟑(𝟖) = 𝟏. 𝟖
𝟐 + 𝟕. 𝟖𝟏 + 𝟑. 𝟖𝟎 
 = 𝟔𝟒 + 𝟓𝟔 + 𝟑 
 = 𝟏𝟐𝟑 
El uso del sistema octal está estrechamente relacionado 
con la informática y con las ciencias de la computación, ya 
que las computadoras suelen utilizar el byte u octeto como 
unidad básica de memoria. 
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PARA PRACTICAR 
3. Convertir los siguientes números octales a decimales: 
a) 42(8) 
b) 376(8) 
c) 11(8) 
d) 3772(8) 
4. Convertir los siguientes números decimales a sus octales equivalentes: 
a) 77(10) 
b) 20(10) 
c) 8(10) 
d) 4491(10) 
 
CONVERSIÓN ENTRE LOS SISTEMAS OCTAL Y BINARIO 
Como dijimos, es muy útil el sistema octal porque su base 8 = 23 permite escribir de 
manera abreviada números binarios que emplean caracteres de seis bits; cada tres bits 
(medio carácter) es convertido en un único dígito octal. 
Ya sabemos que para convertir una cantidad de cualquier sistema numérico a decimal 
alcanza con escribir el número en forma polinómica. Y para convertir un número decimal 
a base dos hacemos las divisiones por dos en forma sucesiva y nos quedamos con los 
restos. 
Por ejemplo, queremos escribir el número 725(8) en el sistema binario, primero lo 
expresamos en forma polinómica y encontramos el equivalente en base 10 y luego 
hacemos las divisiones sucesivas por 2 y obtenemos el número en sistema binario. 
Resulta así: 
 𝟕𝟐𝟓(𝟖) = 𝟒𝟔𝟗(𝟏𝟎) = 𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏(𝟐) 
 
Por otro lado podemos establecer una equivalencia directa entre los ocho dígitos del 
sistema octal y su escritura binaria: 
OCTAL 0 1 2 3 4 5 6 7 
BINARIO 000 001 010 011 100 101 110 111 
Comprueben si 
estos cálculos 
son correctos 
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¿Encuentran una relación directa entre los dígitos del octal y los del número binario? 
𝟕𝟐𝟓(𝟖) = 𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏(𝟐) 
Podemos observar que por cada dígito en octal se utilizan tres dígitos en binario. La 
cantidad mayor válida en el sistema octal es el número 7, que ocupa tres bits, por lo 
tanto, todos los números usarán la misma cantidad de bits. 
Es decir, para pasar de octal a binario podemos reemplazar cada dígito del octal por los 
tres dígitos en binario que los representan: 
 𝟕 𝟐 𝟓 (𝟖) = 
𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟏(𝟐) 
 
¿Cómo haríamos para usar esta técnica para hacer la conversión al revés? Por ejemplo, 
queremos convertir el número 1100101(2)al sistema octal. 
Separamos en bloques de tres en tres y los reemplazamos por su equivalente en sistema 
octal, si queda un bloque sin completar se agregan ceros a la izquierda: 
𝟎𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟏(𝟐) = 
 𝟏 𝟒 𝟓(𝟖) 
 
PARA PRACTICAR 
5. Convertir los siguientes números octales a sus binarios equivalentes: 
a) 7(8) 
b) 16(8) 
c) 20(8) 
d) 37(8) 
6. Convertir los siguientes números binarios a sus octales equivalentes: 
a) 1010(2) 
b) 101010(2) 
c) 1001(2) 
d) 1101100(2) 
¿Cómo podemos 
justificar este 
reemplazo? 
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SISTEMA HEXADECIMAL 
 
 
 
 
 
El sistema hexadecimal tiene base 16 y para representar las cantidades se usan {0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}. Los símbolos A, B, C, D, E, F representan a 10, 11, 12, 
13, 14 y 15, respectivamente. 
 
¿Cómo convertimos el número 𝐹75𝐴16 alsistema decimal? 
𝑭𝟕𝟓𝑨(𝟏𝟔) = 𝟏𝟓. 𝟏𝟔
𝟑 + 𝟕. 𝟏𝟔𝟐 + 𝟓. 𝟏𝟔𝟏 + 𝟏𝟎. 𝟏𝟔𝟎 
 
Con un razonamiento similar al que usamos para convertir de binario a octal, podemos 
construir la siguiente tabla de equivalencias de binario a hexadecimal y luego usarla para 
las conversiones entre los dos sistemas. 
HEXADECIMAL BINARIO 
0 0000 
1 0001 
2 0010 
3 0011 
4 0100 
5 0101 
6 0110 
7 0111 
8 1000 
9 1001 
A 1010 
B 1011 
C 1100 
D 1101 
E 1110 
F 1111 
La especificación de colores en CSS para paginas web se 
puede realizar con un esquema Hexadecimal, donde por ejemplo 
FFFFFF, es blanco, porque representa FF para Red (Rojo), FF para 
Green (Verde) y FF para Blue (Azul). Los colores puros como el 
Rojo pueden expresarse como #FF0000. Si bien hay herramientas 
graficas para hacerlo, es importante entender su fundamento 
matemático. 
¿Cuál es el 
número decimal? 
¿Por qué cada dígito 
en hexadecimal 
necesita de 4 dígitos 
del binario? 
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¿Cómo representamos el mismo número 𝑭𝟕𝟓𝑨𝟏𝟔en binario? Usamos las equivalencias 
de la tabla: 
 𝑭 𝟕 𝟓 𝑨 (𝟏𝟔) = 
𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟏𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟏𝟎(𝟐) 
 
Para seguir pensando 
¿Cómo harían para convertir a octal un número hexadecimal? 
 
PARA PRACTICAR 
7. Convertir los siguientes números binarios a sus hexadecimales equivalentes: 
a) 1101101(2) 
b) 10010(2) 
c) 10111(2) 
d) 1001100(2) 
 
8. Convertir los siguientes números hexadecimales a sus decimales equivalentes: 
a) 1C1(16) 
b) ABCD(16) 
c) DA2(16) 
d) 23CF5(16) 
 
SUMA DE NÚMEROS EN SISTEMAS BINARIO, OCTAL O HEXADECIMAL 
La forma de operar en sistema binario es similar a como lo hacemos en el sistema 
decimal. Siempre comenzamos a sumar de derecha a izquierda, desde la posición de 
menor valor relativo hacia las de mayor valor posicional, en el sistema decimal sería 
desde las unidades, luego decenas, centenas, etc. 
Para sumar números binarios sabemos que las posibles combinaciones al operar con dos 
bits son: 
 
9 
 
𝟎 + 𝟎 = 𝟎 
𝟎 + 𝟏 = 𝟏 
𝟏 + 𝟎 = 𝟏 
 𝟏 + 𝟏 = 𝟏𝟎 
 
En el caso de, 1 + 1 = 10, escribimos 0 en el resultado y nos llevamos 1 (lo llamamos 
“arrastre”), luego sumamos el acarreo a la columna siguiente: 1 + 0 + 0 = 1, y así 
sucesivamente. 
Por ejemplo: 
 
 
¿Cómo sumamos en sistema octal? 
Sumaremos utilizando el mismo procedimiento que aplicamos en el sistema binario, 
pero esta vez teniendo en cuenta que si la suma excede la base del sistema entonces se 
restan 8 y “acarreamos” 1 en la siguiente columna. El valor del acarreo depende de las 
veces que haya superado la base del sistema y el valor que se obtiene se coloca debajo 
de la columna. 
 
 
 
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MÁS EJERCICIOS PARA PRACTICAR 
1. Convertir de decimal a binario: 
a) 91(10) 
b) 128(10) 
c) 120(10) 
d) 802(10) 
 
2. Convertir de binario a decimal los siguientes números: 
a) 10000(2) 
b) 1111(2) 
c) 100010(2) 
d) 0000101(2) 
 
3. Convertir los siguientes números octales a decimales siempre que sea posible: 
a) 30(8) 
b) 480(8) 
c) 29(8) 
d) 500(8) 
 
4. Convertir los siguientes números decimales a sus octales equivalentes: 
a) 92(10) 
b) 1(10) 
c) 25(10) 
d) 1234(10) 
 
5. Convertir los siguientes números octales a sus binarios equivalentes: 
a) 5(8) 
b) 27(8) 
c) 42(8) 
d) 60(8) 
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6. Convertir los siguientes números binarios a sus octales equivalentes: 
a) 110001(2) 
b) 1000(2) 
c) 11100010011(2) 
d) 111101(2) 
 
7. Convertir los siguientes números binarios a sus hexadecimales equivalentes: 
a) 1001010(2) 
b) 101011(2) 
c) 11100101(2) 
d) 10010110(2) 
 
8. Convertir los siguientes números hexadecimales a sus decimales equivalentes: 
a) 3E(16) 
b) D15(16) 
c) 5EC(16) 
d) 11A4(16)