Nociones de Lógica

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LA PARADOJA DEL BARBERO DE BERTRAND RUSSELL (1872 -1970) 
“Yo afeito a todos los hombres de Sevilla que no se afeitan a sí mismos y 
únicamente a ellos, dice el barbero de Sevilla. ¿Quién afeita al barbero de 
Sevilla? Si se afeita él mismo, es uno de los hombres que se afeitan a sí mismos 
y por tanto no puede afeitarse él mismo. Si le afeita otra persona, de acuerdo con 
la declaración del barbero, esa persona debe ser el mismo. Nadie afeita al 
LÓGICA PROPOSICIONAL 
 
ALGUNAS NOCIONES DE LÓGICA 
 
 
 
 
 
A diario nos encontramos con situaciones en las que debemos tomar decisiones, resolver 
problemas, a partir de procesos mentales llamados razonamientos lógicos. 
 
La lógica se encarga de estudiar el razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y 
técnicas determina si un argumento es falso o verdadero, además de que es ampliamente aplicada 
en filosofía, matemáticas, computación y física. 
En la computación la lógica se aplica en la elaboración y revisión de programas, en el estudio de 
lenguajes formales y la relación existente entre ellos, así como en la obtención de resultados en 
forma recursiva. Por ejemplo, con el apoyo de la lógica, en el área de la inteligencia artificial se logra 
que una máquina tome decisiones precisas. 
 
La lógica proposicional tiene como unidad de análisis la proposición, es decir, enunciados para los 
que se pueda establecer su valor de verdad. Dada una proposición, llamaremos valor de verdad a 
una de las dos posibilidades F si es falsa ó V si es verdadera. En un lenguaje computacional, estas 
posibilidades suelen indicarse con 0 y 1 respectivamente. 
 
 
 
 
 
1 
2 
 
¿Cómo podríamos representar en lenguaje simbólico las siguientes proposiciones? 
 
a. El usuario no está logueado. 
 
b. El 12 es un número par y primo. 
 
c. El valor de a es mayor a 5 o menor a 2. 
 
d. El arreglo B contiene a lo sumo 1 elemento y al menos 6 elementos. 
PARA PRACTICAR 
 
 
1. Analizar si las siguientes oraciones, corresponden o no a una proposición, en caso de serlo 
indique su valor de verdad: 
 
a) El conjunto de los números naturales está compuesto por los dígitos del 0 al 9. 
 
b) ¿Cuáles son los colores primarios? 
 
c) El 1 es un número primo. 
 
d) ¡Estudiá Lógica! 
 
e) 10 ≤ 10 
 
f) Formatea el disco antes de usarlo. 
 
g) El número 15 no es divisible por 6. 
 
 
 
Podemos definir entonces que no cualquier oración es una proposición. Para que lo sea, debe 
cumplir la condición de ser verdadera o falsa, nunca las dos a la vez. De manera que, todas aquellas 
oraciones a las cuales no sea posible asignarles un valor de verdad, no se consideran proposiciones, 
por ejemplo, las expresiones que denoten órdenes, preguntas, exclamaciones o paradojas. 
 
Las proposiciones se denotan con letras mayúsculas de imprenta: 𝑃, 𝑄, 𝑅, etc. De esta forma 
podemos escribir: 
𝑃: El 1 es un número primo. 𝑃 es una proposición y 𝑃 es falsa. 
 
𝑄: 10 ≤ 10 𝑄 es una proposición y 𝑄 es verdadera. 
 
 
3 
 
 
Los operadores lógicos nos permiten vincular proposiciones entre sí para construir proposiciones 
más complejas. Estos operadores se utilizan para crear expresiones lógicas o booleanas cuyo 
resultado es de tipo lógico: Verdadero (1) o Falso (0). 
Los operadores lógicos básicos son los siguientes: 
 
● Negación (not) 
 
Este es un operador unario, es decir, se aplica a una sola proposición y cambia su estado. Si la 
proposición es verdadera, la negación resultará falsa, y viceversa. 
Dada la proposición 𝑃, su negación “no 𝑃” puede denotarse como ~𝑃 (o también ¬𝑃). Esta 
afirma lo contrario que 𝑃. 
EJEMPLO 
 
𝑃: el usuario está logueado ~ 𝑃: el usuario no está logueado. 
 
● Conjunción (and) 
 
Es un operador binario porque se aplica a dos proposiciones. Se denota como 𝑃 ∧ 𝑄, y se lee 
“𝑃 y 𝑄”. El resultado será verdadero sólo cuando ambas proposiciones sean verdaderas. 
 
EJEMPLO 
 
𝑃: El arreglo B tiene a lo sumo 1 elemento 𝑄: El arreglo B tiene al menos 6 elementos 
 
𝑃 ∧ 𝑄: El arreglo B tiene a lo sumo 1 elemento y al menos 6 elementos 
 
● Disyunción (or) 
 
Al igual que el anterior, es un operador binario. Se denota 𝑃 ∨ 𝑄 y se lee “𝑃 o 𝑄” actuando en 
el sentido inclusivo. Su resultado será verdadero cuando al menos una de las dos proposiciones 
sea verdadera. 
EJEMPLO 
 
𝑃: El valor de a es mayor a 5 𝑄: El valor de a es menor a 2. 
 
𝑃 ∨ 𝑄: El valor de a es mayor a 5 o menor a 2 
OPERADORES O CONECTORES LÓGICOS 
4 
Otros operadores lógicos: 
 
● Disyunción exclusiva (xor) 
 
Se denota 𝑃 ⊻ 𝑄 y se lee “𝑃 ó 𝑄". A diferencia del operador OR, resultará verdadera cuando una 
de las dos proposiciones lo sea, pero no la otra, es decir que actúa en sentido excluyente. Se 
utiliza cuando dos situaciones no se pueden dar en simultáneo. 
 
EJEMPLO 
 
𝑃: Nací en la provincia de Bs As. 𝑄: Nací en la provincia de Córdoba 
 
𝑃 ⊻ 𝑄: Nací en la provincia de Bs As ó en la provincia de Córdoba. 
 
● Condicional 
 
Se denota 𝑃 → 𝑄 y se lee “Si 𝑃 entonces 𝑄” o “𝑃 implica 𝑄”. Es utilizado ampliamente en 
matemática tomando a 𝑃 como hipótesis y a 𝑄 como tesis. También en la cotidianidad para 
referirse a situaciones de causa/consecuencia. Resultará falso en caso de que sea verdadera la 
condición, pero no así la consecuencia. 
EJEMPLO 
 
𝑃: 𝑐 > 0 𝑄: continúa el procedimiento de búsqueda. 
 
𝑃 → 𝑄 : Si 𝑐 > 0 entonces continúa el procedimiento de búsqueda. 
 
● Bicondicional 
 
Se denota 𝑃 ↔ 𝑄 y se lee “𝑃 si y solamente si 𝑄” o “𝑃 si, y sólo si 𝑄”. Es utilizado para dar 
definiciones, por lo que resultará verdadero cuando los valores de verdad de 𝑃 y 𝑄 coincidan. 
 
EJEMPLO 
 
𝑃: 𝑛 es par. 𝑄: 𝑛 es divisible por 2 
 
𝑃 ↔ 𝑄: 𝑛 es par si y sólo si 𝑛 es divisible por 2. 
 
 
 
En síntesis, 
5 
 
CONECTIVO LÓGICO 
 
SÍMBOLO 
OPERACIÓN 
UNARIA 
OPERACIONES 
BINARIAS 
Negación (not) ~ ¬ ~ 𝑃 ¬ 𝑃 
 
Conjunción (and) ∧ 
 
𝑃 ∧ 𝑄 
Disyunción inclusiva (or) ∨ 
 
𝑃 ∨ 𝑄 
Disyunción excluyente (xor) ⊻ 
 
𝑃 ⊻ 𝑄 
Condicional → 
 
𝑃 → 𝑄 
Bicondicional ↔ 
 
𝑃 ↔ 𝑄 
 
 
PARA PRACTICAR 
 
 
2. Sean las dos proposiciones 𝑃: el campo usuario está vacío, y 𝑄: el nombre es erróneo. Traducir 
al lenguaje natural. 
 
a) 𝑃 ∨ 𝑄 
 
b) ¬𝑃 ∧ 𝑄 
 
c) ¬𝑄 → ¬𝑃 
d) ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) 
 
e) 𝑃 ∧ 𝑄 
 
 
 
3. Traducir a notación lógica cada una de las siguientes proposiciones, tomando para 𝑃 y 𝑄 los 
mismos valores que en el ejercicio anterior. 
a) El campo usuario está vacío. 
 
b) Si el nombre es erróneo entonces el campo usuario no está vacío. 
 
c) No es cierto que, si el nombre es erróneo y el campo usuario no está vacío, el campo 
usuario está vacío. 
 
d) El campo usuario está vacío o el nombre es erróneo. 
 
e) El campo usuario no está vacío y el nombre no es erróneo. 
6 
𝑷 𝑸 
F F 
F V 
V F 
V V 
 
 
 
Son tablas que presentan la veracidad o falsedad de las proposiciones y en el caso de las 
proposiciones compuestas explicitan su valor de verdad como consecuencia de todos los posibles 
valores de verdad de las proposiciones que intervienen. 
Una tabla de verdad está formada por filas y columnas. La cantidad de filas depende del número de 
proposiciones simples que intervienen y la cantidad de columnas depende del número de 
proposiciones que integran la proposición y del número de operadores lógicos contenidos en ella. 
Si la proposición es simple, entonces sólo admite dos posibilidades de valor de verdad, F o V, lo que 
también podría simbolizarse con 0 y 1, respectivamente. 
 
𝑷 
F 
V 
 
Si la proposición es compuesta debemos analizar todas las posibles combinaciones de los valores 
de verdad. 
En el caso de dos proposiciones tenemos cuatro posibles valores de verdad: FF; FV; VF; VV 
 
Esto puede visualizarse con un diagrama de árbol. 
 
TABLAS DE VERDAD 
7 
TABLAS DE VERDAD ASOCIADAS A LOS OPERADORES LÓGICOS 
En general, se utiliza la expresión2𝑛 para determinar el número de filas, donde n es el número de 
proposiciones diferentes que intervienen. 
 
 
 
 
Negación (not) 
 
𝑷 ~𝑷 
F V 
V F 
 
 
 
 
 
 
 
Disyunción exclusiva (xor) 
 
𝑷 𝑸 𝑷 ⊻ 𝑸 
F F F 
F V V 
V F V 
V V F 
 
 
 
EJEMPLO 
Conjunción (and) 
 
𝑷 𝑸 𝑷 ∧ 𝑸 
F F F 
F V F 
V F F 
V V V 
 
 
Condicional 
 
𝑷 𝑸 𝑷 → 𝑸 
F F V 
F V V 
V F F 
V V V 
Disyunción inclusiva (or) 
 
𝑷 𝑸 𝑷 ∨ 𝑸 
F F F 
F V V 
V F V 
V V V 
 
 
Bicondicional 
 
𝑷 𝑸 𝑷 ↔ 𝑸 
F F V 
F V F 
V F F 
V V V 
 
¿Cómo construir la tabla de verdad de la proposición compuesta (~𝑃 ∨ 𝑄 ∧ 𝑃) ∧ 𝑃? 
8 
En primer lugar, identificamos la presencia de dos proposiciones simples, 𝑃 y 𝑄. Así obtenemos la 
siguiente tabla: 
 
𝑷 𝑸 Operación 
F F ? 
F V ? 
V F ? 
V V ? 
 
Luego, debemos tener en cuenta el orden de las operaciones ~; ∧; ∨ ya que tienen una jerarquía 
en cuanto a la construcción de proposiciones compuestas al igual que las operaciones aritméticas 
cuya jerarquía puede alterarse por el uso de paréntesis. La jerarquía es, primero ~, luego el 𝖠, 
finalmente el ∨. 
 
𝑷 𝑸 ~ 𝑷 𝑸 ∧ 𝑷 (~𝑷 ∨ 𝑸 ∧ 𝑷) (~𝑷 ∨ 𝑸 ∧ 𝑷 ) ∧ 𝑷 
F F V F V F 
F V V F V F 
V F F F F F 
V V F V V V 
 
 
 
De esta tabla y de la tabla de la conjunción podemos concluir que (~𝑃 ∨ 𝑄 ∧ 𝑃) ∧ 𝑃 es 
lógicamente equivalente a 𝑃 ∧ 𝑄, es decir 
 
(~𝑃 ∨ 𝑄 ∧ 𝑃) ∧ 𝑃 ≡ 𝑃 ∧ 𝑄 
 
Por otro lado, podemos decir que la proposición (~𝑃 ∨ 𝑄 ∧ 𝑃) ∧ 𝑃 no equivale lógicamente a 
~𝑃 ∨ 𝑄 ∧ 𝑃 ∧ 𝑃. ¿Por qué? 
9 
CONTINGENCIA, TAUTOLOGÍA Y CONTRADICCIÓN 
PRECEDENCIA DE OPERADORES 
 
Tal como se ha mencionado, cuando debemos establecer el valor de verdad de una proposición 
compuesta con varias operaciones, debemos considerar la jerarquía de los operadores. En la 
siguiente tabla se indica la precedencia de los operadores, salvo que la presencia de paréntesis 
indique otro orden: 
 
PRECEDENCIA OPERADOR 
𝟏 ~ 
𝟐 ∧ 
𝟑 ⊻ 
𝟒 ∨ 
𝟓 → 
𝟔 ↔ 
 
 
 
 
Se denomina contingencia a las tablas de verdad en cuyos resultados se observan valores V y F 
(como en la tabla anterior). Por otro lado, si la proposición es siempre verdadera, se llama tautología 
(𝕋). En cambio, si la proposición siempre es falsa, se denomina contradicción (𝔽). 
EJEMPLO 
 
𝑷 ~ 𝑷 𝑷 ∨ ~𝑷 𝑷 ∧ ~𝑷 
F V V F 
V F V F 
 
Luego 𝑃 ∨ ~ 𝑃 es una tautología, mientras que 𝑃 ∧ ~ 𝑃 es una contradicción. 
10 
 
 
Las más importantes propiedades de los conectivos lógicos y leyes del cálculo proposicional se 
pueden expresar mediante equivalencias lógicas. En la siguiente tabla se resumen las leyes del 
cálculo proposicional: 
 
DE IDEMPOTENCIA 𝑃 ∨ 𝑃 ≡ 𝑃 𝑃 ∧ 𝑃 ≡ 𝑃 
ASOCIATIVA (𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅 ≡ 𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅) (𝑃 ∧ 𝑄) ∧ 𝑅 ≡ 𝑃 ∧ (𝑄 ∧ 𝑅) 
DISTRIBUTIVA (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≡ ( 𝑃 ∧ R) ∨ (Q ∧ R) 𝑃 ∨ ( 𝑄 ∧ 𝑅) ≡ ( 𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (P ∨ 𝑅) 
CONMUTATIVA 𝑃 ∨ 𝑄 ≡ 𝑄 ∨ 𝑃 𝑃 ∧ 𝑄 ≡ 𝑄 ∧ 𝑃 
DOMINACIÓN 𝑃 ∧ 𝔽 ≡ 𝔽 𝑃 ∨ 𝕋 ≡ 𝕋 
ABSORCIÓN 𝑃 ∨ (𝑃 ∧ 𝑄) ≡ 𝑃 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≡ 𝑃 
INVERSAS 𝑃 ∨ ∼ 𝑃 ≡𝕋 𝑃 ∧ ∼ 𝑃 ≡ 𝔽 
DOBLE NEGACIÓN ∼ (∼ 𝑃) ≡ 𝑃 
DE MORGAN ∼ (𝑃 ∨ 𝑄) ≣ ∼ 𝑃 ∧ ∼ 𝑄 ∼ (𝑃 ∧ 𝑄) ≣ ∼ 𝑃 ∨ ∼ 𝑄 
 
 
PARA PRACTICAR 
 
 
4. Calcular el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones sabiendo que el valor 
de verdad de 𝑃 es 𝑉, de 𝑄 es 𝑉, de 𝑅 es 𝐹 y de 𝑆 es 𝐹. 
 
a) ∼ (∼ 𝑃) 
 
b) ∼ 𝑃 ∧ ∼ 𝑄 ∨ 𝑃 ∧ ∼ 𝑄 
 
c) 𝑃 → ∼ 𝑅 ∧ (𝑆 → ∼ 𝑅) ∨ 𝑄 
 
d) 𝑃 → 𝑆 ∨ 𝑄 → 𝑅 
 
e) 𝑄 → (∼ 𝑅 → 𝑆) 
LEYES DEL CÁLCULO PROPOSICIONAL 
11 
FUNCIONES PROPOSICIONALES 
5. Construir la tabla de verdad de la proposición 𝑃 ˄ ~𝑄 → 𝑅 e indica si se trata de una 
tautología, una contingencia o una contradicción. 
 
 
6. Verificar si los siguientes pares de proposiciones son lógicamente equivalentes y luego 
clasificarlas en tautología, contradicción o contingencia. 
 
a) ∼ (∼ (∼ 𝑃)) ∼ 𝑃 
b) 𝑃 ⇒ 𝑄 ~𝑃 ∨ 𝑄 
c) ∼ (∼ 𝑃 → 𝑄) ∼ 𝑃 ∧ ∼ 𝑄 
d) ∼ (𝑃 → ∼ 𝑄) ∼ 𝑃 ∧ ∼ 𝑄 
e) (𝑃 ∧ 𝑄) ∧ ∼ 𝑃 𝑃 
f) 𝑃 ∧ ∼ 𝑄 ∨ 𝑅 (∼ 𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑅 
 
 
 
7. Probar las Leyes del Cálculo Proposicional. 
 
 
 
8. Negar las proposiciones lógicas del ejercicio 2, aplicar las leyes de De Morgan y la definición 
de la implicación (ejercicio 7b). Luego, reducir cada una de ellas a operaciones lógicas básicas. 
 
 
 
 
Consideremos las proposiciones 
 
𝑃: 3 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑄: 1 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑅: 16 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 
 
Las tres proposiciones afirman la misma propiedad, la de ser número primo para tres valores 
diferentes. Podríamos escribir la oración 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜, pero esta no es una proposición 
porque su valor de verdad depende del valor que le asignemos a 𝑥. 
Si 𝑥 = 3, obtenemos la proposición P que resulta verdadera, pero si 𝑥 = 1 o 𝑥 = 16 obtenemos las 
proposiciones 𝑄 o 𝑅, y ambas son falsas. Es decir que al asignarle valores a la variable obtenemos 
proposiciones. 
12 
CUANTIFICADORES 
En este caso decimos que la expresión anterior es una función proposicional y la podemos denotar 
como 𝑃(𝑥): 𝑥 es un número primo, donde la variable 𝑥 toma valores dentro de un conjunto al que 
llamaremos universo del discurso (𝑈). En el ejemplo, el universo de discurso son los números 
naturales. 
 
Estas funciones pueden depender de una o más variables. Por ejemplo, 𝑃(𝑥, 𝑦): 𝑥 + 𝑦 = 10, si 
consideramos como universo a los números enteros, ¿para qué valores de las variables obtenemos 
proposiciones verdaderas? ¿Y falsas? 
 
 
 
 
Los cuantificadores permiten transformar, particularizando o generalizando, las funciones 
proposicionales en proposiciones. Por ejemplo, si consideramos la función 𝑃(𝑥): 𝑥 es un número 
primo donde 𝑈 = 𝑁, podemos particularizar al decir que “existe un número natural que es primo” 
o generalizar al decir que “todos los números naturales son primos”. 
 
Pero… ¿cómo podemos escribir en notación simbólica estas afirmaciones? 
 
Para ello es necesario utilizar los símbolos ∀, cuantificador universal, y el símbolo ∃, cuantificador 
existencial. 
Luego, las expresiones 
 
“para todo 𝑥, se verifica 𝑃(𝑥) ”se denota en símbolos por ∀ 𝑥 ∶ 𝑃(𝑥) 
 
“existe 𝑥, tal que se verifica 𝑃(𝑥)” se denota en símbolos por ∃ 𝑥 ∶ 𝑃(𝑥) 
 
corresponden a una función proposicional 𝑃(𝑥) cuantificada universalmente en el primer caso, y 
existencialmente en el segundo. 
 
Respecto del estado de verdad, una función proposicional cuantificada universalmente será 
verdadera si y sólo si son verdaderas todas las proposiciones particulares asociadas a ella. En 
cambio, cuando es cuantificada existencialmente, basta con que alguna de las proposiciones 
asociadas sea verdadera para que la función lo sea. 
13 
 
¿Cómo podríamos negar cada una de las proposiciones 
cuantificadas del ejercicio anterior? 
PARA PRACTICAR 
 
 
9. Para la función proposicional 𝑃(𝑥): 𝑥 es un número entero impar, identificar el universo del 
discurso, enunciar los cuantificadores existencial y universal, analizar en cada caso el valor de 
verdad. 
 
 
 
NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES 
 
Consideremos la proposición “todos los elementos del universo 𝑈 que cumplen con 𝑃(𝑥)”, su 
negación es la proposición “existe un elemento en 𝑈 que no cumple con 𝑃(𝑥)”. 
Por ejemplo, la negación de 
 
"Todos los números enteros son impares" (∀ 𝑥) [𝑃(𝑥)] 
 
es 
 
"Existen números enteros que no son impares" (∃ 𝑥) [~ 𝑃(𝑥)] 
 
Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el 
cuantificador en existencial y se niega la función proposicional. 
 
Luego, la proposición (∀𝑥) ∶ [𝑃(𝑥)] es verdadera si y sólo si 𝑃(𝑎) es verdadera para todos los 
valores 𝑎 𝜖 𝑈. Entonces, la proposición ~ (∀𝑥) ∶ [𝑃(𝑥)] será verdadera si y sólo si ~𝑃(𝑥) es 
verdadera para algún elemento en el universo del discurso y será falsa si ~𝑃(𝑥) es falsa para todos 
los elementos del universo.Así obtenemos la siguiente equivalencia para la negación del cuantificador universal: 
 
~ (∀𝑥) [𝑃(𝑥)] ≡ (∃ 𝑥) [~ 𝑃(𝑥)] 
14 
Análogamente, consideremos la proposición “existen elementos del universo 𝑈 que cumplen con 
𝑃(𝑥)”, su negación es la proposición “no hay elementos en 𝑈 que cumplan con 𝑃(𝑥)” o “todos los 
elementos de 𝑈 no cumplen con 𝑃(𝑥)”. 
Por ejemplo, la negación de 
 
"Existen números enteros que son impares" (∃ 𝑥) [𝑃(𝑥)] 
 
es 
 
"No existen números enteros que sean impares"(∀𝑥) [~ 𝑃(𝑥)] 
 
Entonces, para negar una función proposicional cuantificada existencialmente se cambia el 
cuantificador en universal y se niega la función proposicional. 
Luego, la proposición (∃𝑥) ∶ [𝑃(𝑥)] es verdadera si y sólo si 𝑃(𝑎) es verdadera para algún valor 
𝑎 𝜖 𝑈. Entonces, la proposición ~ (∃𝑥) ∶ [𝑃(𝑥)] será verdadera si y sólo si ~𝑃(𝑥) es verdadera para 
todos los elementos del universo y será falsa si ~𝑃(𝑥) es verdadera para algún elemento del 
universo. 
Así obtenemos la siguiente equivalencia para la negación del cuantificador existencial: 
 
~ (∃𝑥) [𝑃(𝑥)] ≡ (∀ 𝑥) [~ 𝑃(𝑥)] 
 
Si las funciones proposicionales dependen de más de una variable, se sigue el mismo esquema, por 
ejemplo: ~ (∃𝑥)(∀ 𝑦)[𝑃(𝑥, 𝑦)] ≡ (∀ 𝑥)(∃𝑦) ∶ [~ 𝑃(𝑥, 𝑦)] 
 
 
PARA PRACTICAR 
 
 
10. Dado el universo de discurso: el conjunto de todos los nombres de usuario posible; 
𝑃(𝑥): 𝑥 es administrador; 𝐸 (𝑥, 𝑦): 𝑦 tiene más permisos que 𝑥; y 𝑗: Juan (constante). Escribir 
en forma simbólica cada proposición. 
a) Juan es administrador. 
 
b) Todos son administradores. 
 
c) Hay usuarios que no son administradores. 
 
d) Juan tiene más permisos que todos los usuarios. 
15 
e) No existe ningún usuario con más permisos que Juan. 
 
 
11. Negar las proposiciones del ejercicio anterior y luego escribir la negación en lenguaje natural. 
 
 
 
12. Para cada una de las siguientes proposiciones decidir el valor de verdad de las mismas y 
escribir en forma simbólica su negación. El universo del discurso son los números reales. 
 
a) (∃𝑥) [𝑥 − 2 = 1] 
 
b) (∀𝑥) [2𝑥2 + 6𝑥 + 4 = 0] 
 
c) (∃𝑥) [𝑥2 + 1 = 0] 
d) (∃𝑥) [𝑥2 ≤ 0] 
e) (∀𝑥) [𝑥3 ≤ 0] 
	● Negación (not)
	● Conjunción (and)
	● Disyunción (or)
	Otros operadores lógicos:
	● Disyunción exclusiva (xor)
	● Condicional
	● Bicondicional
	Negación (not)
	Conjunción (and)
	Disyunción inclusiva (or)
	PRECEDENCIA DE OPERADORES
	NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES