1.FINAL 7

Vista previa del material en texto

No resolver los ejercicios sobre esta hoja 
 
APELLIDO Y NOMBRES:_________________________________________ 
 
1 2 3 4 NOTA FIRMA 
 
 
EXAMEN FINAL - MATEMÁTICA 
Nota: En cada ejercicio deben figurar todos los pasos realizados así como las justificaciones, para que sea tenido 
en cuenta en la corrección. 
 
Ejercicio 1 
a) Hallar la solución particular de la ecuación diferencial: 𝑦′′ + 4𝑦′ + 4𝑦 = 0 que verifica 
y(0) = 1 y que y´(0) = 3. 
b) Demostrar que si la ecuación característica de una ecuación diferencial ordinaria lineal 
homogénea de segundo grado tiene una raíz real doble  entonces 𝑦 = 𝑥 𝑒𝜆𝑥 es solución de 
la ecuación diferencial. 
Ejercicio 2 
a) Utilizando integrales dobles, calcular el área de la región del plano definida por las funciones 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 y 𝑓(𝑥) = −𝑥2 con 0 ≤ 𝑥 ≤ 2. 
b) ¿Qué teorema relaciona las integrales dobles con las integrales curvilíneas? Enunciarlo 
explicitando claramente hipótesis y tesis. 
 
Ejercicio 3 
a) Representar en un sistema de ejes cartesianos ortogonales, la trayectoria de la función 
vectorial 
F(t) = (2 + ln(𝑡)) I + (3 + 2 𝑙𝑛2(𝑡)) 
t >0, indicando analíticamente, la relación entre la abscisa y la ordenada y los valores de (x; y) para 
los que está definida. Indicar en el gráfico F(1) y F(3). 
b) Definir trayectoria de una función vectorial. 
 
Ejercicio 4 
a) Considerando la función derivada de f definida por la expresión 𝑓´(𝑥) =
1−𝑥2
(1+𝑥2)2
, hallar los 
intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos de la función f. 
b) ¿Es válida la afirmación de que si una función es continua en un punto entonces es derivable 
en dicho punto? Justificar la respuesta.