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Errores
Tomado de: Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2011).
Métodos numéricos para ingenieros. Mexico:
McGraw-Hill
Debido a que los métodos numéricos son utilizados, generalmente, para aproximar
la solución de problemas complejos que, por lo regular, carecen de solución
analítica o conocida, en su naturaleza está inmerso el error.
Errores
• Errores de redondeo: se deben a que la computadora tan sólo representa
cantidades con un número finito de dígitos.
• Errores de truncamiento: discrepancia que se introduce por el hecho de que los
métodos numéricos pueden emplear aproximaciones para representar
operaciones y cantidades matemáticas exactas.
• Errores no relacionados con el método: equivocaciones, errores de formulación o
del modelo, y la incertidumbre en la obtención de los datos.
Los números son almacenados en la memoria del computador utilizando una
cadena de dígitos binarios o bits que es finita. Esto genera una dificultad evidente
con el almacenamiento de números como , ó .
Para reflexionar:
1. ¿Qué relación existe entre el sistema de numeración decimal y el sistema de
numeración binario (similitudes y diferencias)?
2. ¿Cómo se expresa el número 173 en términos de potencias de 10?
3. ¿Cómo se expresa el número 173.246 en término de potencias de 10?
4. ¿Cuál es la representación en el sistema de numeración binario del número
173?
Utilizar los comandos int() y bin() para convertir de un sistema de numeración a otro 
(https://docs.python.org/3/library/functions.html)
Errores de Redondeo
Representación entera.
El método más sencillo de almacenamiento se utiliza con números enteros y se
denomina Método de magnitud con signo. Consiste en utilizar el primer bit de la
cadena para indicar el signo y los restantes se utilizan para guardar el número.
Ejemplo 1. Si se cuenta con un computador de 16 bits, el número se
almacena en memoria con la cadena
Ejercicio 1. Determine el rango de enteros de base 10 que puede ser representado
en un computador de 16 bits.
Errores de Redondeo
Representación entera.
El método más sencillo de almacenamiento se utiliza con números enteros y se
denomina Método de magnitud con signo. Consiste en utilizar el primer bit de la
cadena para indicar el signo y los restantes se utilizan para guardar el número.
Para tener en cuenta.
1. El cero tiene una doble representación por lo que ocupa dos cadenas de dígitos
binarios. Una de ellas puede utilizarse para almacenar un número entero más.
2. La representación en el sistema binario del mayor número entero que puede
almacenarse utilizando el método de magnitud con signo se simplifica
fácilmente debido a que su estructura tiene la forma del producto notable:
Errores de Redondeo
Representación real.
Los números reales se almacenan en la máquina utilizando la Representación de
punto flotante
: mantisa normalizada (parte entera igual a cero y primer cifra decimal diferente
de cero)
: base del sistema numérico
: exponente
Ejercicio 2. Escribir los números y en su representación de punto
flotante.
Errores de Redondeo
Representación real.
Los números reales se almacenan en la máquina utilizando la Representación de
punto flotante
: mantisa normalizada (parte entera igual a cero y primer cifra decimal diferente
de cero)
: base del sistema numérico
: exponente
Para tener en cuenta. Como consecuencia de la normalización de la mantisa se da
(límite superior) y (límite inferior). Es decir:
Errores de Redondeo
Ejemplo 2. Conjunto hipotético de números con punto flotante.
Determine el menor y el mayor números positivos que puede almacenar una
máquina que utiliza representación de punto flotante en cadenas de 7 dígitos
binarios. El primer bit se emplea para el signo del número, los siguientes tres para
el signo y la magnitud del exponente, y los últimos tres para la magnitud de la
mantisa.
Errores de Redondeo
Para tener en cuenta.
El intervalo entre los números está relacionado con el épsilon de la máquina
(menor número generado por una máquina tal que al sumárselo a 1 el resultado es
mayor que 1) que se calcula con la expresión , donde es el número de dígitos
significativos en la mantisa.
Los computadores permiten una precisión adecuada bajo el formato IEEE en el que
se utilizan 24 bits en la mantisa (32 bits en total para el número), lo que representa
cerca de 7 cifras significativas de precisión en dígitos de base 10 con un rango
aproximado de a . Existen dos tipos de precisión extendida: precisión
doble (64 bits en total, 52 bits para la mantisa, de 15 a 16 dígitos decimales de
precisión, rango aproximado de a ) y precisión cuádruple (128 bits en
total).
Utilizar el comando sys.float_info (disponible en el módulo sys) para conocer las especificaciones de 
la máquina (https://docs.python.org/3/library/sys.html)
Errores de Redondeo
Operaciones aritméticas comunes.
Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división se ven afectadas
por los errores de redondeo generados al almacenar los números reales. La adición
y sustracción de dos números de punto flotante requiere que el número de la
mantisa con el menor exponente se modifique de tal forma que los exponentes
sean los mismos.
Ejemplo 3. Realizar las siguientes operaciones:
Errores de Redondeo
Operaciones aritméticas comunes.
Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división se ven afectadas
por los errores de redondeo generados al almacenar los números reales. La adición
y sustracción de dos números de punto flotante requiere que el número de la
mantisa con el menor exponente se modifique de tal forma que los exponentes
sean los mismos.
Solución a)
Errores de Redondeo
Operaciones aritméticas comunes.
Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división se ven afectadas
por los errores de redondeo generados al almacenar los números reales. La adición
y sustracción de dos números de punto flotante requiere que el número de la
mantisa con el menor exponente se modifique de tal forma que los exponentes
sean los mismos.
Solución b)
Errores de Redondeo
Operaciones aritméticas comunes.
Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división se ven afectadas
por los errores de redondeo generados al almacenar los números reales. La adición
y sustracción de dos números de punto flotante requiere que el número de la
mantisa con el menor exponente se modifique de tal forma que los exponentes
sean los mismos.
Solución c)
Errores de Redondeo
Operaciones aritméticas comunes.
Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división se ven afectadas
por los errores de redondeo generados al almacenar los números reales. La adición
y sustracción de dos números de punto flotante requiere que el número de la
mantisa con el menor exponente se modifique de tal forma que los exponentes
sean los mismos.
Solución d)
Errores de Redondeo
Error verdadero
Error relativo fraccional verdadero
Error relativo porcentual verdadero
Error aproximado porcentual
Medición de errores
Cancelación por resta.
Tanto la suma de un número grande con un número pequeño como la resta de dos
números flotantes casi iguales generan dificultades aritméticas que pueden
solucionarse reescribiendo el orden de las operaciones.
Ejemplo 4. La fórmula general para solucionar la ecuación cuadrática
puede reescribirse como se muestra a continuación:
Errores de Redondeo
Ejercicio 3.
Considere la ecuación de segundo grado
donde , y .
a) Halle las dos soluciones ( , ) de la ecuación cuadrática utilizando la expresión
b) Halle las dos soluciones ( , ) de la ecuación cuadrática utilizando la expresión
c) Compare sus resultados con las soluciones correctas (Utilice el comando solveset
disponible en el módulo sympy).
Errores de Redondeo
Un número está truncado a dígitos o números cuando todos los dígitos que
siguen al -ésimo dígito son descartados.
Teorema de Taylor. Si la función y su primeras derivadas son continuas en
un intervalo que contiene a y a , entonces el valor de la función en está dadopor:
donde el residuo, , puede definirse como
Si se omite el residuo, el lado derecho de la igualdad es el polinomio de Taylor de
grado para .
Errores de Truncamiento
Ejemplo 5.
La serie de Taylor para en se obtiene calculando las derivadas de
( para ) y evaluándolas en a ( ).
Para comprobar que la representación en serie converge a la función
consideramos un número en el intervalo . Entonces , y
:
Errores de Truncamiento
( )
!
, 
( )!
Ejercicio 4. Halle la serie de Taylor para la función y el valor de que se indica en
cada caso. Escriba un código computacional que le permita graficar la función dada
y los polinomios de Taylor de grado 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
, .
, .
, .
Ejercicio 5. Utilice los polinomio de Taylor de grados 0, 1, 2, 3, 4 y 5 hallados en los
literales a) y b) del ejercicio anterior para aproximar y ,
respectivamente. Calcule el error relativo porcentual de cada aproximación.
Ejercicio 6. Revise, estudie y solucione los problemas propuestos al final del
capítulo 3 (página 62) del texto Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2011). Métodos
numéricos para ingenieros. Mexico: McGraw-Hill Ed 7.
Errores de Truncamiento