leyes de newton

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Por la aplicación de forma 
intuitiva de las leyes de 
Newton de movimiento, estos 
dos borregos cimarrones 
compiten para ser el macho 
dominante. Cada uno de ellos 
ejerce fuerzas contra la Tierra a 
través de esfuerzos musculares 
de sus piernas, con la ayuda de 
las fuerzas de fricción que les 
impiden el deslizamiento. 
Las fuerzas de reacción de la 
Tierra actúan de nuevo en los 
borregos y hacen que se lancen 
hacia adelante y se den un tope. 
El objetivo es forzar al borrego 
oponente a perder el equilibrio.
La mecánica clásica describe la relación entre el movimiento de objetos encontrados en nues-
tro mundo cotidiano y las fuerzas que actúan en ellos. Siempre y cuando el sistema bajo estudio no 
involucre objetos comparables en tamaño a un átomo o viajando casi con la rapidez de la luz, la 
mecánica clásica proporciona una excelente descripción de la naturaleza.
Este capítulo introduce las tres leyes de movimiento de Newton y de la gravedad. Las tres 
leyes son naturales y razonables. La primera ley establece que debe aplicarse una fuerza a un 
objeto con la finalidad de cambiar su velocidad. Cambiar la velocidad de un objeto significa ace-
lerarlo, lo que da a entender una correspondencia entre fuerza y aceleración. Ésta, la segunda ley, 
establece que la fuerza neta sobre un objeto es igual a la masa del objeto por su aceleración. Por 
último, la tercera ley menciona que tan pronto como se empuja algo, este impulso regresa con 
igual fuerza en la dirección opuesta. En pocas palabras, éstas son las tres leyes.
Las tres leyes de Newton, junto con su invención del cálculo, abren rutas de investigación 
y descubrimiento que se aplican habitualmente hoy en día en todas las áreas de las matemáti-
cas, ciencias, ingeniería y la tecnología. La teoría de la gravitación universal de Newton tiene 
un impacto parecido, inicia una revolución en la mecánica del espacio y en la astronomía que 
continúa hasta nuestros días. Con el surgimiento de esta teoría, podrían ser calculadas con gran 
precisión las órbitas de todos los planetas y comprender las mareas. Incluso la teoría conduce a 
la predicción de “estrellas negras”, ahora conocidos como hoyos negros, se observó hace más 
de dos siglos antes de cualquier evidencia de su existencia.1 Las tres leyes de movimiento de 
Newton, junto con su ley de la gravitación, se consideran entre los logros más grandes de la 
mente humana.
Leyes de movimiento
4.1 Fuerzas
4.2 Primera ley de Newton
4.3 Segunda ley de Newton
4.4 Tercera ley de Newton
4.5 Aplicaciones de las leyes
de Newton
4.6 Fuerzas de fricción
1 En 1783, John Michell combinó la teoría de Newton de la luz y la teoría de la gravitación, vaticinando la existencia de 
“estrellas negras” de las que la luz misma no podría escapar.
4.1 | Fuerzas 87
 4.1 Fuerzas
Usualmente imaginamos una fuerza como empujar o jalar un objeto, tal vez rápidamente, 
como cuando se golpea una pelota de tenis con una raqueta. (Véase la figura 4.1.) Pode-
mos golpear la pelota, con diferentes magnitudes de velocidad, y dirigirla a diferentes 
partes de la cancha del oponente. Esto significa que se puede controlar la magnitud de la 
fuerza aplicada y también su dirección, de tal manera que la fuerza es una cantidad vecto-
rial, parecida a la velocidad y aceleración.
Si usted jala un resorte (figura 4.2a), el resorte se deforma. Si jala un carro lo suficiente 
(figura 4.2b), éste se mueve. Cuando patea un balón (figura 4.2c), se deforma por corto 
tiempo y se pone en movimiento. Todos éstos son ejemplos de fuerzas de contacto, llama-
das así porque resultan del contacto físico entre dos objetos.
Otra clase de fuerzas no implica contacto físico directo alguno. Los primeros cientí-
ficos, incluido Newton, se inquietaron con el concepto de fuerzas que actúan entre dos 
objetos desconectados. Con todo, Newton aplicó el concepto “acción a distancia” en su 
ley de la gravedad, mientras que una masa con determinada ubicación, por ejemplo el 
Sol, afecta el movimiento de un objeto distante, como la Tierra, a pesar de que no existe 
conexión física evidente entre los dos objetos. Para vencer la dificultad conceptual aso-
ciada con la acción a distancia, Michael Faraday (1791-1867) introduce el concepto de 
campo. Las fuerzas correspondientes se conocen como campos de fuerza. De acuerdo con 
este planteamiento, un objeto de masa M, como el Sol, crea una influencia invisible que 
se extiende en todo el espacio. Un segundo objeto de masa m, como la Tierra, interactúa 
con el campo del Sol, no directamente con el Sol mismo. De esta manera la fuerza de atrac-
ción gravitacional entre los dos objetos, que se ilustra en la figura 4.2d, es un ejemplo de 
un campo de fuerza. La fuerza de gravedad mantiene objetos unidos a la Tierra, además 
de originar lo que conocemos como peso de esos objetos.
Otro ejemplo común de un campo de fuerza es la fuerza eléctrica que ejerce una carga 
eléctrica sobre otra (figura 4.2e). Un tercer ejemplo es la fuerza ejercida por un imán de 
barra en una pieza de hierro (figura 4.2f).
Todas las fuerzas fundamentales conocidas en la naturaleza son campos de fuerza. 
Éstas son, en orden de intensidad decreciente, 1) la fuerza nuclear fuerte entre partículas 
subatómicas, 2) las fuerzas electromagnéticas entre cargas eléctricas, 3) la fuerza nuclear 
débil que surge en ciertos procesos de decaimiento radiactivo y 4) la fuerza gravitacional 
entre objetos. La fuerza fuerte mantiene el núcleo de un átomo en vuelo separado debido 
a la fuerza eléctrica repulsiva de los protones. La fuerza débil se incluye en la mayoría de 
los procesos radiactivos y juega un papel importante en las reacciones nucleares que gene-
ra la emisión energética del Sol. Las fuerzas fuerte y débil funcionan sólo a escala nuclear, 
con un alcance muy corto del orden de 10215 m. Fuera de este alcance, no tienen influen-
cia. De cualquier modo, la física clásica sólo se relaciona con las fuerzas gravitacional y 
electromagnética, que tienen un alcance infinito.
Figura 4.1 Una jugadora de 
tenis aplica una fuerza de con-
tacto de la bola con la raqueta, 
acelerando y dirigiendo la pelota 
hacia la cancha.
Figura 4.2 Ejemplo de fuerzas 
aplicadas a diferentes objetos. En 
cada caso, una fuerza actúa en el 
objeto al que rodea la línea disconti-
nua. Algo en el ambiente externo al 
área en la caja ejerce la fuerza.
b c
M
Campos de fuerza
d
�qm �Q
e
Hierro N S
f
Fuerzas de contacto
a
Ju
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la
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y
88 CAPÍTULO 4 | Leyes de movimiento
Las fuerzas ejercidas en un objeto pueden cambiar la forma del mismo. Por ejemplo, 
el golpear una pelota de tenis con una raqueta, como en la figura 4.1, deforma la pelota 
en cierto grado. Incluso objetos que por lo general se consideran rígidos e inflexibles se 
deforman bajo la acción de fuerzas externas. Con frecuencia las deformaciones son per-
manentes, como el caso de un choque entre automóviles.
 4.2 Primera ley de Newton
Considere un libro sobre una mesa. Es evidente que el libro permanece en reposo si se 
deja solo. Ahora piense que lo empuja con una fuerza horizontal lo suficientemente gran-
de para vencer la fuerza de fricción entre el libro y la mesa, poniendo el libro en mo-
vimiento. Ya que la magnitud de la fuerza aplicada supera la magnitud de la fuerza de 
fricción, el libro acelera. Cuando la fuerza aplicada es retirada, en breve la fricción retrasa 
el libro hasta detenerlo.
Ahora piense en empujar el libro a lo largo de un piso suave y encerado. Una vez más 
el libro llega al reposo una vez que la fuerza deja de aplicarse, pero no tan rápido como 
antes. Por último, si el libro se mueve sobre una superficie sin fricción horizontal (figura 
4.3b), continúa moviéndose en una línea recta con velocidad constante hasta que golpea 
una pared o algún otro obstáculo.Antes del año 1600, los científicos pensaban que el estado natural de la materia era 
el estado de reposo. No obstante, Galileo concibió experimentos (como un objeto móvil 
sobre una superficie sin fricción, recién descrito) y concluyó que no es la naturaleza de 
un objeto detenerse, una vez que se pone en movimiento, sino que continúa en su estado 
original de movimiento. Este planteamiento después se formalizó como la primera ley de 
movimiento de Newton:
Un objeto se mueve con una velocidad que es constante en magnitud y en dirección, 
a no ser que actúe en él una fuerza resultante diferente de cero.
La fuerza neta sobre un objeto se define como la suma vectorial de todas las fuerzas ex-
ternas ejercidas sobre el objeto. Las fuerzas externas vienen del ambiente del objeto. Si 
una velocidad del objeto no está cambiando ya sea en magnitud o dirección, entonces la 
aceleración y la fuerza neta que actúan sobre él deben ser cero. 
Las fuerzas internas se originan dentro del objeto mismo y no pueden cambiar la ve-
locidad del objeto (aunque pueden alterar la rapidez de rotación, como se describe en el 
Primera ley de Newton c
Física Física FísicaFísica
v
S
f
S
Física 
v
S
a
b
Física Física
Primera ley: no hay fuerza neta, 
no hay cambio en la velocidad.
Primera ley: cuando una fuerza neta 
es aplicada, la velocidad cambia.
Figura 4.3 La primera ley del 
movimiento. a) Un libro se mueve a 
una velocidad inicial v
S
 en una super-
ficie de fricción. Debido a que hay 
una fuerza de fricción en dirección 
horizontal, el libro se desacelera 
hasta el reposo. b) Un libro se mueve 
a una velocidad v
S
 sobre una super-
ficie sin fricción. En la ausencia de 
una fuerza neta, el libro se sigue 
moviendo a una velocidad v.
4.3 | Segunda ley de Newton 89
capítulo 8). Como resultado, las fuerzas internas no están incluidas en la segunda ley de 
Newton. En realidad no es posible que se “jale usted mismo hacia arriba sin ayuda”.
Una consecuencia de la primera ley es la factibilidad de viajar en el espacio. Después 
de unos momentos de potentes impulsos, la nave se desliza por meses o años, su velocidad 
sólo disminuye cambiando con el tiempo bajo la influencia relativamente débil del Sol y 
los planetas distantes. 
Masa e inercia
Piense que golpea una pelota de golf desde el punto de partida, con un palo de golf. Si es 
un buen golfista, la pelota viajará más de 200 yardas sobre el campo de golf. Ahora piense en 
levantar una bola de boliche y golpearla con el mismo palo (un experimento que no se reco-
mienda). Probablemente el palo se rompa, podría dislocarse la muñeca, y la bola de boliche, 
en el mejor de los casos, caería del soporte de la pelota, medio girará y llegará al reposo.
A partir de este experimento mental, concluimos que aunque ambas pelotas resisten 
cambios en su estado de movimiento, la bola de boliche ofrece mucha más resistencia efec-
tiva. La tendencia de un objeto a continuar en su estado original de movimiento o reposo 
se conoce como inercia.
Aunque la inercia es la tendencia de un objeto a continuar su movimiento en ausencia de 
una fuerza, la masa es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar en su movimiento 
debido a una fuerza. A mayor masa de un cuerpo, menor es la aceleración bajo la acción 
de una fuerza aplicada determinada. La unidad SI de la masa es el kilogramo. Masa es una 
cantidad escalar que obedece las reglas de la aritmética ordinaria.
La inercia se puede usar para explicar la operación de una clase de cinturón de segu-
ridad. En un accidente, el propósito del cinturón de seguridad es mantener de manera 
firme al pasajero en el lugar relativo al automóvil, para evitar lesiones serias. La figura 4.4 
explica cómo funciona una clase de tirantes de sujeción. Bajo condiciones normales, la 
rueda dentada da vueltas libremente, lo que permite que la montura se enrolle o desenro-
lle desde la polea cuando se mueve el pasajero. En un accidente, el automóvil se somete a 
una aceleración considerable y rápidamente llega al reposo. Debido a su inercia, el bloque 
grande bajo el asiento continua deslizándose hacia adelante a lo largo del carril. El pasa-
dor de unión entre el bloque y la varilla ocasiona que ésta gire alrededor de su centro y 
encajar la rueda dentada. En este punto, la rueda dentada se traba en el lugar, y la montura 
no se desenrolla.
 4.3 Segunda ley de Newton
La primera ley de Newton explica qué le sucede a un objeto que no tiene fuerza neta que 
actúe en él, ya sea que el objeto permanezca en reposo o continúe moviéndose en línea 
recta con rapidez constante. La segunda ley de movimiento de Newton responde a la pre-
gunta de qué le sucede a un objeto que tiene una fuerza neta que actúa en él.
Piense en empujar un bloque de hielo a lo largo de una superficie horizontal sin fric-
ción. Cuando ejerce una fuerza horizontal sobre el bloque, éste se mueve con una acele-
ración de, digamos, 2 m/s2. Si aplica una fuerza dos veces más grande, la aceleración se 
duplica a 4 m/s2. Empujando tres veces tan firme, triplica la aceleración, y así sucesivamen-
te. De tales observaciones, se concluye que la aceleración de un objeto es directamente 
proporcional a la fuerza neta que actúa en él.
La masa también afecta a la aceleración. Suponga que coloca bloques idénticos de 
hielo uno sobre otro mientras empuja con fuerza constante la pila de ellos. Si la fuerza 
aplicada a un bloque produce una aceleración de 2 m/s2, entonces la aceleración cae a 
la mitad de ese valor, 1 m/s2, cuando dos bloques son empujados; a un tercio de su valor 
inicial cuando son empujados tres bloques, y así sucesivamente. Podemos concluir que la 
aceleración de un objeto es inversamente proporcional a su masa. Estas observaciones son 
resumidas en la segunda ley de Newton:
La aceleración a
S
 de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que 
actúa en él e inversamente proporcional a su masa.
b Segunda ley de Newton
A no ser que actúe una fuerza 
externa en él, un objeto en reposo 
permanecerá en reposo y un 
objeto en movimiento continuará 
en movimiento con velocidad 
constante. En este caso, la pared 
del edificio no ejerció una fuerza 
lo suficientemente grande sobre 
el tren en movimiento para 
detenerlo.
St
ud
io
 L
év
y 
an
d 
So
ns
Figura 4.4 Un arreglo mecánico 
para un cinturón de seguridad de 
un automóvil.
Polea
Rueda
dentada
Pasador
de unión
Bloque
grande
Cinturón
de 
seguridad
Varilla
Pivote
Carril
APLICACIÓN
Cinturón de seguridad
Tip 4.1 La fuerza ocasiona 
cambios en el movimiento 
El movimiento se puede presentar 
incluso en ausencia de fuerzas.
Éstas ocasionan cambios en el 
movimiento.
90 CAPÍTULO 4 | Leyes de movimiento
La constante de proporcionalidad es igual a uno; de este modo, en términos matemáticos 
el enunciado anterior puede ser rescrito
5
o F
m
S
a
S
donde a
S
 es la aceleración del objeto, m es la masa y oF
S
 es la suma vectorial de todas las 
fuerzas que actúan en él. Multiplicando por m, se tiene
 oF
S
 5 maS [4.1]
Generalmente los físicos se refieren a esta ecuación como ‘F 5 ma’. La figura 4.5 mues-
tra la relación entre la masa, la aceleración y la fuerza neta. La segunda ley es una ecuación 
vectorial, equivalente a las tres ecuaciones por componente siguientes:
 o Fx 5 max o Fy 5 may o Fz 5 maz [4.2]
Cuando no existe fuerza neta en un objeto, su aceleración es cero, lo que significa que 
la velocidad es constante.
Unidades de fuerza y masa
La unidad SI de la fuerza es el newton. Cuando 1 newton de fuerza actúa sobre un objeto 
que tiene una masa de 1 kg, produce una aceleración de 1 m/s2 en el objeto. A partir de 
esta definición y la segunda ley de Newton, se ve que el newton puede expresarse en térmi-
nos de las unidades básicas de masa, longitud y tiempo como 
 1 N ; 1 kg ? m/s2 [4.3]
En el sistema estandarizado de Estados Unidos, la unidad de fuerza es la libra. La con-
versión denewtons a libras está dada por 
 1 N 5 0.225 lb [4.4]
Las unidades de masa, aceleración y fuerza en el SI y el sistema estandarizado en Esta-
dos Unidos se resumen en la tabla 4.1.
Isaac Newton
Físico y matemático inglés 
(1642-1727) 
Newton fue uno de los más talen-
tosos científicos. Antes de cumplir 
30 años, estableció los conceptos 
básicos y las leyes de la mecánica, 
descubrió la ley de la gravitación 
universal e inventó los métodos 
matemáticos del cálculo. Como una 
consecuencia de sus teorías, Newton 
fue capaz de explicar los movimien-
tos de los planetas, el retroceso y 
flujo de las mareas y muchas caracte-
rísticas especiales de los movimien-
tos de la Luna y la Tierra. Además, 
interpretó muchas observaciones 
fundamentales relacionadas con la 
naturaleza de la luz. Sus contribucio-
nes a las teorías físicas dominaron el 
pensamiento científico por dos siglos 
y siguen siendo importantes hoy.
Br
id
ge
m
an
-G
ir
au
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n/
A
rt
 R
es
ou
rc
e,
 N
Y
m
a
S
�F
S
Figura 4.5 La segunda ley del movimiento. Para el blo-
que de masa m, la fuerza neta SF
S
 actúa sobre el bloque es 
igual a la de masa m multiplicada por la aceleración de un 
vector a
S
.
Tip 4.2 maS no es una fuerza
La ecuación 4.1 no dice que 
el producto maS es una fuerza. 
Todas las fuerzas ejercidas en un 
objeto se suman como vectores 
para generar la fuerza neta del 
lado izquierdo de la ecuación. 
En este caso esta fuerza neta es 
igual al producto de la masa y la 
aceleración resultante del objeto. 
No incluye una “fuerza maS” en su 
análisis.
 ■ Examen rápido
4.1 ¿Cuál de los enunciados que siguen son verdaderos? a) Un objeto puede moverse 
incluso cuando ninguna fuerza actúa sobre él. b) Si un objeto no está en movimiento, 
ninguna fuerza externa actúa en él. c) Si una fuerza simple actúa en un objeto, el 
objeto acelera. d) Si un objeto acelera, una fuerza está actuando en él. e) Si un objeto 
no está acelerando, ninguna fuerza externa está actuando en él. f) Si la fuerza neta 
que actúa en un objeto está en la dirección x positiva, el objeto sólo se mueve en la 
dirección x positiva.
Tabla 4.1 Unidades de masa, aceleración y fuerza
Sistema Masa Aceleración Fuerza
SI
Habitual en Estados Unidos
kg
slug
m/s2
pies/s2
N 5 kg ? m/s2
lb 5 slug ? pies/s2
 ■ EJEMPLO 4.1 Aerobote
OBJETIVO Aplicar la segunda ley de Newton en una dimensión, junto con las ecuaciones de cinemática.
PROBLEMA Un aerobote con masa 3.50 3 102 kg, incluyendo pasajeros, tiene un motor que produce una fuerza horizontal 
neta de 7.70 3 102 N después de considerar las fuerzas de resistencia (véase la figura 4.6). a) Hallar la aceleración del aerobote. 
4.3 | Segunda ley de Newton 91
b) Partiendo desde el reposo, ¿cuánto tiempo le toma al aerobote alcanzar 
una rapidez de 12.0 m/s? c) Después de alcanzar esta rapidez, el piloto 
apaga el motor, y el aerobote se desliza hasta detenerse en una distancia de 
50.0 m. Encontrar la fuerza de resistencia, suponiendo que es constante.
ESTRATEGIA En el inciso a), aplique la segunda ley de Newton para 
hallar la aceleración, y en el inciso b) utilice esta aceleración en la ecua-
ción cinemática en una dimensión para la velocidad. Cuando se apaga el 
motor en el inciso c), sólo las fuerzas de resistencia actúan en el bote, de 
tal modo que su aceleración neta puede ser encontrada a partir de v2 2 
v0
2 5 2a x. En tal caso la segunda ley de Newton proporciona la fuerza 
de resistencia.
SOLUCIÓN
a) Halle la aceleración del aerobote.
Aplique la segunda ley de Newton y resuelva para la 
aceleración:
b) Encuentre el tiempo necesario para alcanzar una rapidez 
de 12.0 m/s.
Aplique la ecuación de velocidad cinemática: v 5 at 1 v0 5 (2.20 m/s
2)t 5 12.0 m/s S t 5 5.45 s 
c) Halle la fuerza de resistencia después de apagar el 
motor.
Utilizando la cinemática, determine la aceleración neta 
debido a las fuerzas de resistencia:
Sustituya la aceleración en la segunda ley de Newton, 
encontrando la fuerza de resistencia:
v2 2 v0
2 5 2a Dx
0 2 (12.0 m/s)2 5 2a(50.0 m) S a 5 21.44 m/s2
Fresistencia 5 ma 5 (3.50 3 10
2 kg)(21.44 m/s2) 5 2504 N 
COMENTARIOS El propulsor ejerce una fuerza en el aire, empujándolo detrás del bote. 
Al mismo tiempo, la fuerza del aire ejerce una fuerza en los impulsores y, en consecuen-
cia, en el aerobote. Las fuerzas siempre vienen en pares de esta clase, las cuales se forma-
lizan en la siguiente sección como la tercera ley de movimiento de Newton. La respuesta 
negativa para la aceleración en el inciso c) significa que el aerobote está disminuyendo 
su velocidad.
PREGUNTA 4.1 ¿Qué otras fuerzas actúan en el aerobote? Descríbalas.
EJERCICIO 4.1 Considere que el piloto, iniciando desde el reposo, abre parcialmente 
el estrangulamiento. Con una aceleración constante, el aerobote cubre una distancia de 
60.0 m en 10.0 s. Determine la fuerza neta que actúa en el bote.
RESPUESTA 4.20 3 102 N
ma 5 Fneta S a 5
Fneta
m
5
7.70 3 102 N
3.50 3 102 kg
5 2.20 m/s2
Fpropulsión
S
Fresistencia
S
Propela
Figura 4.6 (Ejemplo 4.1)
Tip 4.3 La segunda ley 
de Newton es una ecuación 
vectorial
Al aplicar la segunda ley de 
Newton, suma todas las fuerzas 
sobre el objeto como vectores y 
entonces determine el vector de 
aceleración resultante al dividir 
entre m. No encuentre las magni-
tudes individuales de las fuerzas y 
las sume como escalares.
 ■ EJEMPLO 4.2 Caballos jalando una barcaza
OBJETIVO Aplicar la segunda ley de Newton en un problema 
de dos dimensiones.
PROBLEMA Dos caballos están jalando una barcaza con 
masa de 2.00 3 103 kg a lo largo de un canal, como se mues-
tra en la figura 4.7. El cable conectado al primer caballo hace 
un ángulo de u1 5 30.0° con respecto a la dirección del canal, 
mientras que el cable conectado al segundo caballo hace un 
ángulo de u2 5 45.0°. Determine la aceleración inicial de la 
barcaza, empezando desde el reposo, si cada caballo ejerce 
una fuerza de magnitud 6.00 3 102 N sobre la barcaza. Despre-
cie las fuerzas de resistencia en la barcaza.
ESTRATEGIA Aplicando trigonometría, determine el vector 
fuerza ejercido por cada caballo sobre la barcaza. Sume las 
y
x
F1
S
F2
S
u1
u2
Figura 4.7 (Ejemplo 4.2)
(continúa)
92 CAPÍTULO 4 | Leyes de movimiento
La fuerza gravitacional
La fuerza gravitacional es la fuerza de atracción recíproca entre dos objetos cualesquiera 
en el Universo. Aunque la fuerza gravitacional puede ser muy intensa entre dos objetos 
muy grandes, es la más débil de las fuerzas fundamentales. Se puede realizar una buena de-
mostración de qué tan débil es, con un globo pequeño. Frote el globo contra su cabello, lo 
que le proporciona una carga eléctrica diminuta. A través de las fuerzas eléctricas, en este 
caso el globo se adhiere a la pared, ¡resistiendo el jaloneo gravitacional de toda la Tierra!
Además de la contribución a la comprensión del movimiento, Newton estudió amplia-
mente la gravedad. La ley de gravitación universal de Newton establece que cualquier par-
tícula en el Universo atrae a cualquier otra partícula, con una fuerza que es proporcional 
al producto de las masas de las partículas e inversamente proporcional al cuadrado de la 
Ley de gravitación universal c
componentes x juntas para obtener la componente x de la fuerza resultante y después haga lo mismo con la componente y. 
Divida entre la masa de la barcaza para obtener la aceleración en las direcciones x y y.
SOLUCIÓN
Determine los componentes x de las fuerzas ejercidas por 
los caballos.
F1x 5 F1 cos u1 5 (6.00 3 10
2 N) cos (30.0°) 5 5.20 3 102 N
F2x 5 F2 cos u2 5 (6.00 3 10
2 N) cos (245.0°) 5 4.24 3 102 N
Encuentre la fuerza total en la dirección x, sumando las 
componentes x:
 Fx 5 F1x 1 F2x 5 5.20 3 10
2 N 1 4.24 3 102 N
 5 9.44 3 102 N
Determine las componentes y de las fuerzas ejercidas por 
los caballos:
 F1y 5 F1 sen u1 5 (6.00 3 10
2 N) sen 30.0° 5 3.00 3 102 N
 F2y 5 F2 sen u2 5 (6.00 3 10
2 N) sen (245.0°)
 5 24.24 3 102 NEncuentre la fuerza total en la dirección y sumando las 
componentes y:
Fy 5 F1y 1 F2y 5 3.00 3 10
2 N 2 4.24 3 102 N
5 21.24 3 102 N
Determine los componentes de la aceleración, dividiendo 
los componentes de la fuerza entre la masa:
Halle la magnitud de la aceleración: 
Determine la dirección de la aceleración: 
COMENTARIOS Observe que el ángulo está en el cuarto cuadrante, en el rango de la función tangente inversa; así que no 
es necesario sumar 180° a la respuesta. Los caballos ejercen una fuerza sobre la barcaza a través de la tensión en los cables, 
mientras la barcaza ejerce una fuerza igual y opuesta en los caballos, una vez más a través de los cables. Si esto no fuera 
cierto, los caballos se moverían fácilmente hacia adelante, como si no tuvieran carga. Este ejemplo es otra ilustración de 
fuerzas que actúan en pares.
PREGUNTA 4.2 Verdadero o Falso: En general, la aceleración neta siempre está dirigida hacia los caballos que ejercen la 
fuerza de mayor magnitud.
EJERCICIO 4.2 Repita el ejemplo 4.2, pero considere que el caballo de arriba jala en un ángulo de 40.0°, y el caballo de 
abajo, a 20.0°.
RESPUESTA 0.520 m/s2, 10.0°
ax 5
Fx
m
5
9.44 3 102 N
2.00 3 103 kg
5 0.472 m/s2
ay 5
Fy
m
5
21.24 3 102 N
2.00 3 103 kg
5 20.062 0 m/s2
a 5 "ax 2 1 ay 2 5 "10.472 m/s2 22 1 120.062 0 m/s2 22
5 0.476 m/s2
tan u 5 
ay
ax
5
20.062 0 m/s2
0.472 m/s2
5 20.131
u 5 tan21(20.131) 5 27.46°
4.3 | Segunda ley de Newton 93
distancia entre ellas. Si las partículas tienen masas m1 y m2 y están separadas mediante una 
distancia r, como en la figura 4.8, la magnitud de la fuerza gravitacional, Fg, es
 Fg 5 G 
m 1m 2
r 2
 [4.5]
donde G 5 6.67 3 10211 N ? m2/kg2 es la constante de gravitación universal. La fuerza de 
gravitación la estudiaremos en más detalle en el capítulo 7.
Peso
La magnitud de la fuerza gravitacional que actúa en un objeto de masa m cerca de la 
superficie de la Tierra se le conoce como peso, w, del objeto, dada por 
 w 5 mg [4.6]
donde g es la aceleración de la gravedad.
Unidades SI: newton (N)
De la ecuación 4.5, otra definición del peso de un objeto con masa m puede ser rescrita 
como
 w 5 G 
MTm
r 2
 [4.7]
donde MT es la masa de la Tierra y r es la distancia desde el objeto al centro de la Tierra. 
Si el objeto está en reposo sobre la superficie de la Tierra, entonces r es igual al radio de
la Tierra RT. Ya que r
2 está en el denominador de la ecuación 4.7, el peso disminuye 
conforme r aumenta. De tal modo que el peso de un objeto en la parte superior de una 
montaña es menor que el peso del mismo objeto a nivel del mar.
Al comparar las ecuaciones 4.6 y 4.7, vemos que
 g 5 G 
MT
r 2
 [4.8]
A diferencia de la masa, el peso no es una propiedad inherente de un objeto a causa 
de que puede tomar valores diferentes, dependiendo del valor de g en una ubicación de-
terminada. Por ejemplo, si un objeto tiene una masa de 70.0 kg, entonces su peso en una 
ubicación donde g 5 9.80 m/s2 es mg 5 686 N. En un globo a una gran altura, donde g 
podría ser 9.76 m/s2, el peso del objeto sería 683 N. Además el valor de g varía ligeramente 
debido a la densidad de la materia en un lugar determinado. En este texto, a menos que 
se indique lo contrario, el valor de g se entiende que es 9.80 m/s2, su valor cerca de la 
superficie de la Tierra.
La ecuación 4.8 es un resultado general que se puede utilizar para calcular la acelera-
ción de un objeto cayendo cerca de la superficie de cualquier objeto pesado si el radio y la 
masa del objeto más pesado son conocidos. Utilizando los valores en la tabla 7.3 (página 
223) se puede demostrar que gSol 5 274 m/s
2 y gLuna 5 1.62 m/s
2. Un hecho importante es 
que, para cuerpos esféricos, las distancias son calculadas desde los centros de los objetos, 
una consecuencia de la ley de Gauss (se explica en el capítulo 15), que se cumple para 
ambas fuerzas gravitacional y eléctrica.
Figura 4.8 La fuerza gravitacional 
entre dos partículas es de atracción.
Fg
�Fg
m1
m 2
r
S
S
 ■ Examen rápido
4.2 ¿Qué tiene mayor valor, un newton de oro pesado en la Tierra o un newton de oro 
pesado en la Luna? a) El newton de oro en la Tierra. b) El newton de oro en la Luna. 
c) El valor es el mismo, a pesar de todo.
4.3 Responda a cada declaración, con Verdadero o Falso: a) Ninguna fuerza de
gravedad actúa sobre un astronauta en una estación espacial en órbita. b) A una 
distancia de tres radios terrestres a partir del centro de La Tierra, la aceleración de 
la gravedad es 1/9 de su valor superficial. c) Si dos planetas son idénticos, cada 
uno con gravedad de superficie g y volumen V, se unen formando un planeta con
volumen 2V y gravedad superficial 2g. d) Un kilogramo de oro puede tener mayor 
valor en la Tierra que en la Luna.
La unidad de soporte de vida 
atada a la espalda del astronauta 
Harrison Schmitt pesaba 300 lb 
en la Tierra y tenía una masa de 
136 kg. Durante su entrenamiento, 
se utilizó una maqueta de 50 libras 
con una masa de 23 kg. Aunque la 
maqueta tenía el mismo peso que 
la unidad real tendría en la Luna, la 
menor masa significaba que tam-
bién tendría una baja inercia. 
El peso de la unidad es causado 
por la aceleración del campo de 
gravedad local, pero el astronauta 
también debe acelerar todo lo 
que transporta a fin de moverlo. 
En consecuencia, la unidad real 
utilizada en la Luna, con el mismo 
peso, pero una mayor inercia, fue 
más difícil de manejar para el 
astronauta que la maqueta de la 
unidad en la Tierra.
N
A
SA
/E
ug
en
e 
Ce
rn
an
94 CAPÍTULO 4 | Leyes de movimiento
 ■ EJEMPLO 4.3 Fuerzas de mundos distantes
OBJETIVO Calcular la magnitud de una fuerza gravitacional, utilizando la ley de gravitación de Newton.
PROBLEMA a) Halle la fuerza gravitatoria ejercida por el Sol sobre un hombre de 70.0 kg situado en el Ecuador de la 
Tierra al mediodía, cuando el hombre está más cercano al Sol. b) Calcule la fuerza gravitatoria del Sol sobre el hombre
a la medianoche, cuando está más alejado del Sol. c) Calcule la diferencia en la aceleración del Sol, entre el mediodía y la 
medianoche. (Para valores, véase la tabla 7.3 en la página 223.)
ESTRATEGIA Para obtener la distancia del Sol al hombre al mediodía, reste el radio de la Tierra de la distancia al Sol. A la 
medianoche, agregue el radio de la Tierra. Mantenga suficientes cifras para que el redondeo no elimine la pequeña diferen-
cia entre las dos respuestas. Para el inciso c), reste la respuesta de b) de a) y divida entre la masa del hombre.
SOLUCIÓN
a) Halle la fuerza gravitatoria ejercida por el Sol sobre
el hombre en el Ecuador de la Tierra al mediodía.
Escriba la ley de la gravitación, ecuación 4.5, en términos 
de la distancia desde el Sol a la Tierra, rS, y del radio de la 
Tierra, RT:
Sustituya valores en la ecuación (1) y mantenga 
dos dígitos extra:
b) Calcule la fuerza gravitatoria del Sol sobre el hombre a la 
medianoche.
Escriba la ley de la gravitación, sumando esta vez el radio 
de la Tierra:
Sustituya valores en la ecuación (2): 
c) Calcular la diferencia en la aceleración solar del hombre,
entre el mediodía y la medianoche.
Escriba una expresión para la diferencia en la aceleración 
y sustituya valores:
COMENTARIOS La atracción gravitacional entre el Sol y los objetos sobre la Tierra se mide fácilmente y se le ha sacado 
provecho en experimentos, para establecer si la atracción gravitacional depende de la composición del objeto. Como el 
ejercicio lo muestra, la fuerza gravitacional sobre la Tierra debido a la Luna es mucho más débil que la fuerza gravitacional 
sobre la Tierra debido al Sol. Paradójicamente, los efectos de la Luna en las mareas son dos veces más que del Sol, ya que 
las mareas dependen de las diferencias en la fuerza gravitacional a través de la Tierra, y aquellas diferencias son más grandes 
para la fuerza gravitacional de la Luna debido a que la Luna está más cerca de la Tierra que del Sol.
PREGUNTA 4.3 Marte se encuentraa 1.5 veces más lejos del Sol que la Tierra. Sin realizar algún cálculo explícito, para 
una cifra significativa, cuál es la fuerza gravitacional del Sol en un hombre de 70.0 kg, de pie sobre Marte.
EJERCICIO 4.3 Durante la luna nueva, la Luna se encuentra directamente sobre la cabeza al mediodía. a) Determine la 
fuerza ejercida por la Luna sobre un hombre de 70.0 kg en el Ecuador de la Tierra al mediodía. b) Calcule la fuerza gravi-
tacional de la Luna sobre el hombre a la medianoche. c) Calcule la diferencia entre la aceleración del hombre debida a la 
Luna entre el mediodía y la medianoche. Nota: La distancia de la Tierra a la Luna es 3.84 3 108 m. La Luna tiene una masa 
de 7.36 3 1022 kg.
RESPUESTAS a) 2.41 3 1023 N b) 2.25 3 1023 N c) 2.3 3 1026 m/s2
(1) F mediodíaSol 5
mMSG
r 2
5
mMSG1rS 2 RT22
F mediodíaSol 5
170.0 kg 2 11.991 3 1030 kg 2 16.67 3 10211 kg21m3/s2 211.496 3 1011 m 2 6.38 3 106 m 22
5 0.415 19 N
(2) F mediodíaSol 5
mMSG
r 2
5
mMSG
rS 1 R T
2
F mediodíaSol 5
170.0 kg 2 11.991 3 1030 kg 2 16.67 3 10211 kg21m3/s2 211.496 3 1011 m 1 6.38 3 106 m 22
5 0.415 12 N
a 5
F mediodíaSol 2 F
medianoche
Sol
m
5
0.415 19 N 2 0.415 12 N
70.0 kg
> 1 3 1026 m/s2
4.4 | Tercera ley de Newton 95
 4.4 Tercera ley de Newton
En la sección 4.1 determinamos que se ejerce una fuerza sobre un objeto cuando se pone 
en contacto con algún otro. Por ejemplo, considere la tarea de introducir un clavo dentro 
de un bloque de madera, como se ilustra en la figura 4.9a (página 96). Para acelerar el 
clavo y conducirlo hacia dentro del bloque, el martillo debe ejercer una fuerza neta sobre 
el clavo. De cualquier modo, Newton se dio cuenta que una sola fuerza aislada (como 
la fuerza que ejerce el martillo sobre el clavo) no podría existir. Más bien, las fuerzas en la 
naturaleza siempre existen en pares. De acuerdo con Newton, cuando el clavo es impulsa-
do dentro del bloque por la fuerza ejercida por el martillo, éste disminuye su velocidad y 
se detiene por la fuerza ejercida por el clavo.
Newton describe tales pares de fuerzas con su tercera ley:
Si interactúan el objeto 1 y el objeto 2, la fuerza F
S
12 ejercida por el objeto 1 en el 
objeto 2 es igual en magnitud, pero opuesta en dirección a la fuerza F
S
21 ejercida por 
el objeto 2 en el objeto 1.
Esta ley que se ilustra en la figura 4.9b: establece que no puede existir una simple 
fuerza aislada. La fuerza F
S
12 ejercida por el objeto 1 sobre el objeto 2 en ocasiones es 
denominada fuerza de acción, y la otra fuerza F
S
21 ejercida por el objeto 2 sobre el objeto 1 
es conocida como fuerza de reacción. En realidad, la fuerza puede ser etiquetada por cual-
quiera de las dos fuerzas de acción o de reacción. La fuerza de acción es igual en magnitud 
a la fuerza de reacción y opuesta en dirección. En todos los casos, las fuerzas de acción y 
reacción actúan en diferentes objetos. Por ejemplo, la fuerza que actúa en un proyectil en 
caída libre es la fuerza ejercida por la Tierra sobre el proyectil, F
S
g , y la magnitud de esta 
fuerza es el peso mg. La reacción a la fuerza F
S
g es la fuerza ejercida por el proyectil sobre la 
Tierra, F
S
g9 2 F
S
g. La fuerza de reacción F
S
g9 puede acelerar la Tierra hacia el proyectil justo 
b Tercera ley de Newton
 ■ EJEMPLO 4.4 Peso en el Planeta X
OBJETIVO Comprender el efecto de la masa y el radio de un planeta sobre el peso de un objeto, en la superficie del mismo.
PROBLEMA Un astronauta en una misión espacial aterriza sobre un planeta con tres veces la masa y dos veces el radio de 
la Tierra. ¿Cuál es su peso wX en este planeta como un múltiplo de su peso en la Tierra wT?
ESTRATEGIA Escriba MX y rX, la masa y el radio del planeta, en términos de MT y RT, la masa y radio de la Tierra, respecti-
vamente, y sustituya en la ley de la gravitación.
SOLUCIÓN
A partir del enunciado del problema, se tiene la correspon-
dencia que sigue:
MX 5 3MT rX 5 2RT
Sustituya las expresiones anteriores en la ecuación 4.5 y 
simplifique, asocie algebraicamente los términos que dan 
el peso sobre la Tierra:
COMENTARIOS Este problema muestra la influencia recíproca entre la masa y el radio de un planeta al determinar el 
peso de objetos sobre su superficie. Debido al radio mucho más pequeño de la Tierra, el peso de un objeto en Júpiter es sólo 
2.64 veces su peso en la Tierra, a pesar del hecho de que Júpiter tiene más de 300 veces más masa. 
PREGUNTA 4.4 Un volumen de piedra tiene una masa aproximada de tres veces un volumen similar de hielo. Considere 
que un mundo está hecho de hielo, mientras que otro con el mismo radio está hecho de roca. Si g es la aceleración de la gra-
vedad en la superficie del mundo de hielo, ¿cuál es la aceleración aproximada de gravedad en el mundo de roca? (Sugerencia: 
Establezca la masa de una roca en términos de la masa de un cubo de hielo que tiene el mismo tamaño.)
EJERCICIO 4.4 Un astronauta aterriza en Ganímedes, una luna gigante de Júpiter que es más grande que Mercurio. 
Ganímedes tiene una cuadragésima parte de la masa de la Tierra y dos quintos de su radio. Determine el peso del astron-
auta de pie en Ganímedes en términos de su peso en la Tierra wT.
RESPUESTA wG 5 (5/32)wT
wX 5 G
MXm
rX
2
5 G
3MT m12R T22 5 34 G
MTm
R T
2
5
3
4
wT
Tip 4.4 Pares 
acción-reacción
Al aplicar la tercera ley de 
Newton, recuerde que una fuerza 
de acción y su fuerza de reac-
ción actúan siempre en diferentes 
objetos. Dos fuerzas externas 
actuando en el mismo objeto, 
incluso si son de igual magnitud 
y en dirección opuesta, no pueden 
ser un par acción-reacción.
96 CAPÍTULO 4 | Leyes de movimiento
como la fuerza de acción F
S
g acelera al proyectil hacia la Tierra. De cualquier modo, a causa 
de que la Tierra tiene mucho más masa, su aceleración debido a su fuerza de reacción es 
insignificantemente pequeña.
La tercera ley de Newton afecta continuamente nuestras actividades cotidianas. Sin 
ella, ninguna clase de locomoción sería posible, ya fuera a pie, en una bicicleta o en un 
vehículo motorizado. Por ejemplo, al caminar se ejerce una fuerza de fricción contra la su-
perficie de la tierra. La fuerza de reacción de la superficie de la tierra contra nuestros pies 
nos impulsa hacia adelante. De la misma manera, los neumáticos de una bicicleta ejercen 
una fuerza de fricción contra la superficie de la tierra, y la reacción de ésta empuja a la 
bicicleta hacia adelante. Como se verá brevemente, la fricción juega un papel principal en 
tales fuerzas de reacción.
Como otro ejemplo de la tercera ley de Newton, considere los helicópteros. La mayo-
ría de ellos tiene un conjunto de grandes aspas giratorias en un plano horizontal arriba 
del cuerpo del aparato y otro conjunto giratorio más pequeño en un plano vertical en la 
cola del mismo. Otros helicópteros tienen dos conjuntos de grandes aspas arriba del cuerpo 
girando en direcciones opuestas. ¿Por qué los helicópteros siempre tienen dos conjuntos 
de aspas? En la primera clase de helicóptero, el motor aplica una fuerza a las aspas, ocasio-
nando que cambien su movimiento rotacional. Sin embargo, de acuerdo con la tercera ley 
de Newton las aspas deben ejercer una fuerza en el motor de igual magnitud y en dirección 
opuesta. Esta fuerza ocasionaría que el cuerpo del helicóptero dé vueltas en la dirección con-
traria a las aspas. Un helicóptero rotatorio sería imposible de controlar, de tal modo que 
se utiliza un segundo conjunto de aspas. Las aspas pequeñas en la cola del aparato propor-
cionan una fuerza opuesta a la que tiende a girar al cuerpo del helicóptero, manteniendo 
el aparato dirigido en una posición estable. En helicópteros con dos conjuntos de grandes 
aspas que giran en sentidos opuestos, los motores aplican fuerzas en direcciones opuestas, 
de tal modo que no existe fuerza neta rotatoria del helicóptero.
Como ya se mencionó, la Tierra ejerce una fuerza F
S
g sobre cualquier objeto. Si el obje-
to es un monitor en repososobre una mesa, como en la figura 4.10a, la fuerza de reacción 
a F
S
g es la fuerza que ejerce el monitor sobre la Tierra, F
S
g9. El monitor no se acelera hacia 
APLICACIÓN
Vuelo de un helicóptero
Figura 4.9 La tercera ley de 
Newton. a) La fuerza ejercida por 
el martillo sobre el clavo es igual en 
magnitud y opuesta en dirección a 
la fuerza ejercida por el clavo sobre 
el martillo. b) La fuerza F
S
12 ejercida 
por el objeto 1 sobre el objeto 2 es 
igual en magnitud y opuesta en 
dirección a la fuerza F
S
21 ejercida por 
el objeto 2 sobre el objeto 1.
Tip 4.5 Igual y opuesta 
pero no es una fuerza 
de reacción 
Un error común en la figura 
4.10b es considerar la fuerza 
normal sobre el objeto como la 
fuerza de reacción a la fuerza de 
la gravedad, porque en este caso, 
estas dos fuerzas son iguales en 
magnitud y opuestas en dirección. 
Sin embargo, esto es imposible, 
debido a que actúan en el mismo 
objeto.
Figura 4.10 Cuando se coloca un 
monitor sobre una mesa, las fuer-
zas que actúan en el aparato son la 
fuerza normal n
S
 ejercida por la mesa 
y la fuerza de gravedad, F
S
g, como se 
ilustra en b). La reacción a n
S
 es la 
fuerza ejercida por el monitor sobre 
la mesa, n
S 
9. La reacción a F
S
g es la 
fuerza ejercida por el monitor sobre 
la Tierra, F
S
g9.
n
S
n	
S
n
S
Fg
S
Fg	
S
Fg
S
a b
2
1
F12
S
F12 �
S
F21
S
�F21
S
b
Fhn
S Fnh
S
a
Ji
m
 G
ill
m
ou
re
/c
or
bi
ss
to
ck
m
ar
ke
t.
co
m
4.4 | Tercera ley de Newton 97
abajo ya que la sostiene la mesa. Por lo tanto, la mesa ejerce una fuerza hacia arriba n
S, cono-
cida como la fuerza normal, sobre el monitor. (Normal, un término técnico de matemáticas, 
que en este contexto significa “perpendicular”.) La fuerza normal es una fuerza elásti- 
ca que surge a causa de la cohesión de la materia y es de origen electromagnético. Equilibra 
la fuerza de gravitación que actúa sobre el monitor, evitando que este caiga a través de la 
mesa y puede tener cualquier valor necesario, hasta el punto de romper la mesa. La reac-
ción a n
S
 es la fuerza ejercida por el monitor sobre la mesa, n
S. Debido a eso,
F
S
g 5 2F
S
g9 y n
S
 5 2n
S
9
Las fuerzas nS y nS9 tienen la misma magnitud que F
S
g. Observe que las fuerzas de acción
sobre el monitor son F
S
g y n
S
, como se muestra en la figura 4.10b. Las dos fuerzas de reac-
ción, F
S
g9 y n
S
9, son ejercidas por el monitor en objetos diferentes a este. Recuerde que las 
dos fuerzas en un par acción-reacción siempre actúan en dos objetos diferentes.
Debido a que el monitor no está acelerando en ninguna dirección (a
S
 5 0), de la se-
gunda ley de Newton tenemos que maS 5 0 5 F
S
g 1 n
S. Sin embargo, Fg 5 2mg, así que n 5 
mg, un resultado útil.
 ■ Examen rápido
4.4 Un pequeño automóvil deportivo colisiona de frente contra un camión. La enorme 
fuerza de impacto (en magnitud) actúa sobre a) el automóvil, b) el camión, c) ninguno, 
la fuerza es la misma en ambos. ¿Cuál es el vehículo que se somete a la mayor acelera-
ción en magnitud? d) el automóvil, e) el camión, f) las aceleraciones son las mismas.
APLICACIÓN
Colisión de vehículos
 ■ EJEMPLO 4.5 Acción-reacción y el patinaje sobre hielo
OBJETIVO Ilustrar la tercera ley de Newton del movimiento.
PROBLEMA Un hombre de masa M 5 75.0 kg y una mujer de la masa de m 5 55.0 kg están de pie uno frente al otro en una 
pista de hielo, usando patines de hielo. La mujer empuja al hombre con una fuerza horizontal de F 5 85.0 N en la dirección 
x positiva. Suponga que no hay fricción contra el hielo. a) ¿Cuál es la aceleración del hombre? b) ¿Cuál es la fuerza de reac-
ción que actúa sobre la mujer? c) Calcular la aceleración de la mujer.
ESTRATEGIA Los incisos a) y c) son aplicaciones sencillas de la segunda ley. Una aplicación de la tercera ley resuelve el 
inciso b).
SOLUCIÓN
a) ¿Cuál es la aceleración del hombre?
Escriba la segunda ley para el hombre: MaH 5 F
Resuelva para la aceleración del hombre y sustituya valores:
b) ¿Cuál es la fuerza de reacción que actúa sobre la mujer?
Aplique la tercera ley de Newton del movimiento, encon-
trando que la fuerza de reacción R que actúa sobre la mujer 
tiene la misma magnitud y dirección contraria:
R 5 2F 5 285.0 N 
c) Calcule la aceleración de la mujer.
Escriba la segunda ley de Newton para la mujer: maM 5 R 5 2F
Resuelva para la aceleración de la mujer y sustituya valores: 
COMENTARIOS Tenga en cuenta que las fuerzas son iguales y opuestas entre sí, pero las aceleraciones no, ya que las dos 
masas difieren entre sí.
PREGUNTA 4.5 Nombre otras dos fuerzas que actúan sobre el hombre y las dos fuerzas de reacción que se combinan con 
ellos.
aH 5
F
M
5
85.0 N
75.0 kg
5 1.13 m/s2
aM 5
2F
m
5
285.0 N
55.0 kg
5 21.55 m/s2
(continúa)