Tema 30 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Vista previa del material en texto

MATEMÁTICAS BÁSICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ecuaciones Trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es una ecuación en términos
de expresiones trigonométricas, para la cual las variables o
incógnitas representan números reales, que son la medida en
radianes de ángulos.
Una identidad es una ecuación trigonométrica que tiene como
solución todos los valores de la variable para los cuales están
definidas las expresiones trigonométricas involucradas.
Resolver una ecuación trigonométrica es hallar el ángulo, o
los ángulos que satisfacen la ecuación, es decir, los ángulos
que convierten la ecuación en una proposición verdadera.
Para resolver una ecuación trigonométrica usamos las opera-
ciones algebraicas y las identidades trigonométricas para es-
cribir, en términos de una función trigonométrica, y a un lado
del signo igual, todas las expresiones trigonométricas, y luego
encontramos los ángulos que satisfacen la ecuación.
Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:
csc2 x− 4 = 0.
Solución
(cscx+ 2) (cscx− 2) = 0
⇒ cscx+ 2 = 0 ó cscx− 2 = 0
⇒ cscx = −2 ó cscx = 2
⇒ 1
senx
= −2 ó 1
senx
= 2
⇒ senx = −1
2
ó senx =
1
2
.
Hallemos las soluciones en el intervalo [0, 2π], es decir, los
ángulos en dicho intervalo que satisfacen estas ecuaciones:
• senx = −1
2
si x =
7π
6
ó x =
11π
6
• senx = 1
2
si x =
π
6
ó x =
5π
6
.
Luego, x =
π
6
, x =
5π
6
, x =
7π
6
y x =
11π
6
son las soluciones
de la ecuación en el intervalo [0, 2π].
Como la función seno es periódica, de peŕıodo 2π, todas las
soluciones en R se obtienen sumando los múltiplos enteros de
2π a las soluciones halladas en el intervalo [0, 2π]. Aśı,
x =
π
6
+ 2kπ, x =
5π
6
+ 2kπ,
x =
7π
6
+ 2kπ y x =
11π
6
+ 2kπ, k ∈ Z
son las soluciones de la ecuación inicial.
Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuación
2 cos2 x+ senx = 1.
Solución
Expresemos la ecuación sólo en términos de senx:
2
(
1− sen 2x
)
+ senx = 1
2− 2 sen 2x+ senx = 1
2 sen 2x− senx− 1 = 0.
Esta última ecuación la podemos resolver usando la fórmula
cuadrática:
senx =
1±
√
1 + 8
4
senx =
1± 3
4
senx =
4
4
= 1 ó senx =
−2
4
= −1
2
.
senx = 1 si x =
π
2
y senx = −1
2
si x =
7π
6
ó x =
11π
6
.
Con base en la periodicidad de la función seno, las soluciones
en R de la ecuación son:
x =
π
2
+ 2kπ , x =
7π
6
+ 2kπ y x =
11π
6
+ 2kπ, k ∈ Z.
Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:
2 sen 3x− 1 = 0.
Solución
sen 3x =
1
2
3x =
π
6
+ 2kπ ó 3x =
5π
6
+ 2kπ, k ∈ Z.
1
Luego, todas las soluciones en R de la ecuación son de la
forma:
x =
π
18
+
2kπ
3
y x =
5π
18
+
2kπ
3
, k ∈ Z.
Ejemplo
Halle los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación:
cosx+ 1 = senx.
Solución
Para poder expresar una de las dos funciones trigonométricas
en términos de la otra, necesitamos generar potencias
cuadradas. Para esto, elevamos al cuadrado ambos lados de
la ecuación:
(cosx+ 1)
2
= sen 2x
cos2 x+ 2 cosx+ 1 = sen 2x
cos2 x+ 2 cosx+ 1 = 1− cos2 x
2 cos2 x+ 2 cosx = 0
2 cosx (cosx+ 1) = 0
2 cosx = 0 ó cosx+ 1 = 0
cosx = 0 ó cosx = −1.
Por lo tanto
x =
π
2
+ 2kπ , x =
3π
2
+ 2kπ , x = π + 2kπ, k ∈ Z.
Ahora, como en el procedimiento para resolver la ecuación
elevamos al cuadrado, debemos determinar cuáles de estos
valores de x realmente satisfacen la ecuación original.
• Si x = π
2
, cos
π
2
+ 1 = 0 + 1 = 1 y sen
π
2
= 1.
Por lo tanto x =
π
2
+ 2kπ, k ∈ Z es solución de la
ecuación original.
• Si x = 3π
2
, cos
3π
2
+ 1 = 0 + 1 = 1 y sen
3π
2
= −1.
Por lo tanto x =
3π
2
+ 2kπ, k ∈ Z no es solución de la
ecuación original.
• Si x = π, cosπ + 1 = −1 + 1 = 0 y senπ = 0.
Por lo tanto x = π + 2kπ, k ∈ Z es solución de la
ecuación original.
Luego, las soluciones de la ecuación original son
x =
π
2
+ 2kπ y x = π + 2kπ, k ∈ Z.
Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:
cos 5x− cos 7x = 0.
Solución
Notemos que 5x = 6x− x y 7x = 6x+ x. Entonces
cos (6x− x)− cos (6x+ x) = 0
cos 6x cosx+ sen 6x senx− cos 6x cosx+ sen 6x senx = 0
2 sen 6x senx = 0.
⇒ sen 6x = 0 ó senx = 0
⇒ 6x = kπ ó x = kπ, k ∈ Z.
Entonces,
x =
kπ
6
y x = kπ, k ∈ Z
son las soluciones de la ecuación original.
Ejemplo
Encuentre todas las soluciones de la siguiente ecuación
trigonométrica en el intervalo [0, 2π):
tan4 x− 13 tan2 x+ 36 = 0.
Solución
En primer lugar, factorizamos completamente la ecuación:(
tan2 x− 9
) (
tan2 x− 4
)
= 0
(tanx+ 3) (tanx− 3) (tanx+ 2) (tanx− 2) = 0.
Por lo tanto,
tanx = −3 ó tanx = 3 ó tanx = −2 ó tanx = 2.
Ahora, con una calculadora en modo radianes, al aplicar la
función o tecla tan−1 obtenemos valores de x en el intervalo(
−π2 ,
π
2
)
:
• tanx = −3 si x = −1.249.
Sin embargo −1.249 /∈ [0, 2π), entonces, como la
función tangente es periódica, con peŕıodo π, sumamos
π:
−1.249 + π = 1.8926 ∈ [0, 2π).
Si sumamos nuevamente π
1.8926 + π = 5.0342 ∈ [0, 2π).
• tanx = 3 si x = 1.249 ∈ [0, 2π). Sumando π
1.249 + π = 4.391 ∈ [0, 2π).
• tanx = −2 si x = −1.1071.
Sin embargo −1.1071 /∈ [0, 2π), entonces, como la
función tangente es periódica, con peŕıodo π, sumamos
π:
−1.1071 + π = 2.0345 ∈ [0, 2π).
Sumando nuevamente π
2.0345 + π = 5.1761 ∈ [0, 2π).
• tanx = 2 : x = 1.1071 ∈ [0, 2π). Sumando π
1.1071 + π = 4.2487 ∈ [0, 2π).
De esta forma, las únicas 8 soluciones de la ecuación
trigonométrica en el intervalo [0, 2π) son:
x = 1.8926, x = 5.0342, x = 1.249, x = 4.391,
x = 2.0345, x = 5.1761, x = 1.1071 y x = 4.2487.
2