09 - Control por feedback - Control de sistemas mecánicos - Juan Ignacio Larrain

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ICM2813 Control de Sistemas Mecánicos
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Matalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
Controlador: Prorporcional, Integral, y Derivativo
Tito Arevalo-Ramirez
5 de abril de 2023
1
Con todo lo que hemos aprendido hasta el momento diseñare-
mos un controlador meniate prueba y error
En nuestro diseño nos interesa:
Transiente
Estado estacionario
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Contents
Diseño de Controlador PID
Proporcional
Integral
Derivativo
Ejemplos
Método de diseño de Ziegler-Nichols
Lazo Abierto
Lazo cerrado
Gracias
3
Diseño de Controlador PID
El controlador se diseñará para un planta de segundo orden
Consideremos el siguiente sistema:
donde:
G (s) =
A
s2 + a1s + a2
Gc(s) =? Gs(s) = 1
Y (s)
R(s)
=
Gc(s)G (s)
1 + Gc(s)G (s)
4
Utilizaremos Matlab para diseñar nuestro controlador heuŕısti-
camente
Si a1 = 1,4; a2 = 1;A = 1 tendremos la siguiente respuesta:
¿Qué hacemos para mejorar la respuesta?
5
Utilizaremos Matlab para diseñar nuestro controlador heuŕısti-
camente
Si a1 = 1,4; a2 = 1;A = 1 tendremos la siguiente respuesta:
¿Qué hacemos para mejorar la respuesta?
Asumamos que nuestro controlador es Gc(s) = kp
5
Cuando Gc(s) = kp tenemos un controlador proporcional
La función de transferencia estará dada por:
Y (s)
R(s)
=
kpG (s)
1 + kpG (s)
Por ende la ecuación caracteŕıstica del sistema será:
s2 + a1s + (a2 + kpA) = 0
si recordamos que:
H(s) =
ω2n
s2 + 2ζωns + ω2n
¿Qué pasará cuando se modifique el valor de la constante kp? (Matlab)
6
En resumen el controlador proporcional..
• Permite variar el tiempo de respuesta
• Incrementa el sobrepaso
• Reduce el error de posición en estado estable
¿Cómo mejoramos la respuesta?
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Cuando Gc(s) =
kI
s
tenemos un controlador integral
El problema del controlador proporcional es que se requiere una ganancia
kp muy grande para tener un error de posición cercano a cero.
Recordemos que ess = 0 cuando kp →∞ y existe al menos un
integrador en el sistema 1s
En base a esto, podemos definir nuestro controlador como Gc(s) =
kI
s ,
entonces:
Y (s)
R(s)
=
kI
s G (s)
1 + kIs G (s)
¿Cómo será la respuesta de nuestro sistema?
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Cuando Gc(s) =
kI
s
tenemos un controlador integral
Si Gc(s) =
1
s
El error en estado estable parece ser cero, pero la respuesta transitoria
sigue siendo ”mala”, ¿Qué paso? (Matlab)
8
En resumen el controlador integral..
• Permite obtener un error de posición de cero en estado estable
• La constante de integración se puede escoger independientemente
para obtener una respuesta dinámica aceptable
• si la constante de integración es muy alta puede causar inestabilidad
• Variaciones en los parámetros de la planta son tolerados. El
controlador integral es robusto. (Matlab)
• A pesar de tener error de posición cero en estado estable, se tiene
un error de velocidad constante (Sistema tipo 1)
¿Qué desventaja podrá tener en controlador integral? (Saturación)
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El ultimo término es el controlador derivativo, también conoci-
do como taza de realimentación
El controlador Proporcional e Integral pueden tener problemas de
estabilidad y en general son lentos.
El controlador Derivativo permite acelerar la respuesta transitoria y a la
vez reducir el máximo sobrepaso. El controlador se lo define como:
Gc(s) = kDs
Aplicando nuestro controlador derivativo tendremos
Y (s)
R(s)
=
kDsG (s)
1 + kDsG (s)
10
El ultimo término es el controlador derivativo, también conoci-
do como taza de realimentación
Aplicando nuestro controlador derivativo tendremos
Y (s)
R(s)
=
kDsG (s)
1 + kDsG (s)
¿Qué sucedió? 10
Para entender que sucedió en el controlador derivativo, anali-
cemos el diagrama de bloques
Si la entrada es una señal paso u(t) = 1
Si observamos la diferencia entre la
entrada y salida, para el estado
estacionario tendremos una
respuesta constante. ¿Cuál es la
derivada de una constante?
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En resumen el controlador Derivativo..
• Generalmente no se lo usa nunca solo; se lo combina con un
controlador proporcional
• No entrega información acerca del estado deseado
• Si el error (diferencia entre entrada y salida) es constante, su
respuesta será cero.
• ”Conoce”la pendiente de la señal del error, por ende se puede
anticipar al comportamiento del error.
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Las expresiones matemáticas de los controladores aprendidos el
d́ıa de hoy son
Controlado Dominio del tiempo Dominio de s
Proporcional u(t) = kpe(t) U(S) = kPE (S)
Integral u(t) = kI
∫ t
t0
e(τ)dτ U(S) = kIs E (s)
Derivativo u(t) = kD
de(t)
dt U(S) = kDsE (s)
Proporcional-Integral u(t) = kpe(t) + kI
∫ t
t0
e(τ)dτ U(S) = (kp +
kI
s )E (s)
PID u(t) = kpe(t) + kD
de(t)
dt + kI
∫ t
t0
e(τ)dτ U(S) = (kp + kDs +
kI
s )E (s)
Observación Generalmente, si se tiene un término integral, también se
tendrá un término proporcional. Si el sistema es de segundo orden o
superior, se requiere un PID para tener una dinámica arbitraria.
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Ejemplo: controlador Proporcional-Integral-Derivativo
Consideremos la siguiente planta que describe un motor DC, donde la
entrada es un voltaje U(s) y la salida es la rapidez angular Y (s)
Y (s)
U(s)
=
kt
(Jms + b)(Las + Ra) + ktke
donde Jm = 1,13 · 10−2 Nms2/rad, b = 0,028 Nms2/rad, La = 10−1,
Ra = 0,45 Ω, kt = 0,067 Nm/amp, y ke = 0,067 Vs/rad
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Al añadir cada parte P, I, D del controlador obtenemos una
mejor respuesta
Si kp = 3,KI = 15,KD = 0,3 la respuesta del sistema será
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Método de diseño de Ziegler-Nichols
El ajuste que hemos realizado hasta el momento ha sido
heuŕıstico, ahora aprenderemos a realizarlo de un forma anaĺıti-
ca
El primer paso es analizar la respuesta del sistema en lazo abierto.
Particularmente, Ziegler-Nichols encontraron que la respuesta de un gran
número de sistemas a la entrada paso, tienen una curva caracteŕıstica
similar curva de reacción
Y (s)
U(s)
=
Ae−std
τs + 1
Las constantes se pueden determinar
a partir de la respuesta escalón
unitario del proceso en lazo abierto.
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Usando los valores de la curva de reacción, Ziegler-Nichols de-
finieron un método para ajustar el controlador PID
Criterio cuártico Los parámetros del controlador darán como resultado
una respuesta transitoria al escalón con una taza de decaimiento de
aproximadamente 25 %.
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Los valores de las constantes del controlador PID se pueden
determinar mediante la siguiente tabla
La función de transferencia del controlador se reescribe como:
Gc(s) = kp
(
1 +
1
TI s
+ TDs
)
donde kI = Kp/TI y KD = kpTD
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El método de diseño basado en lazo abierto se lo utiliza con
sistemas estables y de primer orden (o que su respuesta sea
similar).
En el caso que no se pueda usar el método en lazo abierto, los
parámetros del controlador se pueden determinar evaluando la Amplitud
y frecuencia de oscilación marginales
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La ganancia cŕıtica ku y periodo de oscilación Pu permiten en-
contrar los parámetros del controlador PID
20
Gracias
La diapositiva de esta clase se inspiró en
Referencia Caṕıtulo
[1] 4.3, 4.
21
G. F. Franklin, J. D. Powell, A. Emami-Naeini, and J. D.
Powell.
Feedback control of dynamic systems, volume 4.
Prentice hall Upper Saddle River, 2002.
N. S. Nise.
Control system engineering, john wiley & sons.
Inc, New York, 2011.
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	Diseño de Controlador PID
	Proporcional
	Integral
	Derivativo
	Ejemplos
	Método de diseño de Ziegler-Nichols
	Lazo Abierto
	Lazo cerrado
	Gracias