03 - Modelamiento matemático - Control de sistemas mecánicos - Juan Ignacio Larrain

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ICM2813 Control de Sistemas Mecánicos
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Matalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
Transformada de Laplace
Tito Arevalo-Ramirez
21 de marzo de 2023
1
Hoy aprenderemos una forma distinta de resolver ecuaciones
diferenciales
Recordemos que
• Los procesos f́ısicos se describen mediante ecuaciones diferenciales
• Una vez que conocemos el comportamiento del sistema, es necesario linealizar
Nuestro objetivo de clase es
• Conocer el proceso para resolver ecuaciones diferenciales usando la transformada
de Laplace
2
Contents
Introducción
Sistemas lineales invariantes en el tiempo
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace, ejemplos
Transformada inversa de Laplace
Expansión en fracciones parciales
Ejemplo práctico de la transformada de Laplace
Spoiler: Análisis mediante la transformada de Laplace
Gracias
Referencias
3
Introducción
Además de simplificar la resolución de ecuaciones diferenciales,
la transformada de Laplace otorga perspectivas importantes pa-
ra el análisis de sistemas de control
Ecuación Diferencial
M
d2y(t)
dt2
+ b
dy(t)
dt
+ ky(t) = r(t)
Ecuación Algebraica
Ms2Y (s) + bsY (s) + kY (s) = R(s)
¿Cuál de estas ecuaciones será más fácil de resolver?
4
Además de simplificar la resolución de ecuaciones diferenciales,
la transformada de Laplace otorga perspectivas importantes pa-
ra el análisis de sistemas de control
• Ventajas en control
• Análisis de estabilidad
• Análisis de sistemas no lineales
• Facilitan el proceso de diseño de procesos de control
4
Antes de continuar es importante definir que es un sistema
lineal invariante en el tiempo
Un sistema lineal invariante en el tiempo se describen por. . .
an
dny(t)
dtn
+ an−1
dn−1y(t)
dtn−1
+ · · · + a1
d1y(t)
dt1
+ a0y(t) =
bm
dmu(t)
dtm
+ bm−1
dm−1u(t)
dtm−1
+ · · ·+ b1
d1u(t)
dt1
+ b0u(t)
5
Antes de continuar es importante definir que es un sistema
lineal invariante en el tiempo
Un sistema lineal invariante en el tiempo se describen por. . .
an
dny(t)
dtn
+ an−1
dn−1y(t)
dtn−1
+ · · · + a1
d1y(t)
dt1
+ a0y(t) =
bm
dmu(t)
dtm
+ bm−1
dm−1u(t)
dtm−1
+ · · ·+ b1
d1u(t)
dt1
+ b0u(t)
Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes.
• Los parámetros del sistema no cambian en el tiempo
5
Antes de continuar es importante definir que es un sistema
lineal invariante en el tiempo
Un sistema lineal invariante en el tiempo se describen por. . .
an
dny(t)
dtn
+ an−1
dn−1y(t)
dtn−1
+ · · · + a1
d1y(t)
dt1
+ a0y(t) =
bm
dmu(t)
dtm
+ bm−1
dm−1u(t)
dtm−1
+ · · ·+ b1
d1u(t)
dt1
+ b0u(t)
• ¿Cuál es un ejemplo de un sistema variante en el tiempo?
5
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace permite obtener una representación
algebraica de las ecuaciones diferenciales
La transformada de Laplace de un función f (t) se define como:
L{f (t)} = F (s) =
∫ ∞
0−
e−st f (t)dt (1)
donde s = σ + jω
• ¿Por qué el ĺımite inferior de la integral es importante?
• ¿Puedo determinar la transformada de Laplace de cualquier
ecuación diferencial?
6
El procedimiento común para resolver ecuaciones diferenciales
se puede resumir en cuatro pasos
• Obtener la ecuación diferencial
lineal
• Encontrar la transformada de
Laplace
• Resolver la ecuación algebraica
• Determinar la transformada
inversa de Laplace
7
Un caso sencillo para apreciar la transformada de Laplace es
encontrar la transformada de la función paso (aka Heaviside
function)
Considere que
u(t) =
{
0, t < 0
1, t ≥
Si aplicamos la definición (1) tenemos que:
u(s) =
∫ +∞
0−
u(t)e−stst =
∫ +∞
0−
1 · e−st
=
(
1
−s
e−st
)∣∣∣∣+∞
0−
=
1
−s
(0− 1)
=
1
s
En este caso la ROC = {s : R{s} > 0} 8
Un caso más complejo puede ser el siguiente
Śı f (t) = e−at , ¿Cuál será su transformada?
L{eat}(s) =
∫ +∞
0−
e−ate−stdt
=
∫ +∞
0−
e−(s+a)stdt
= − 1
s + a
e−(s+a)t
∣∣∣∣+∞
0−
=
1
s + a
¿Es este procedimiento es aburrido (Fome)?
9
Para nuestra suerte existen tablas con las transformadas de
Laplace más comunes
10
Para nuestra suerte existen tablas con las transformadas de
Laplace más comunes
10
Para nuestra suerte existen tablas con las transformadas de
Laplace más comunes
10
Para nuestra suerte existen tablas con las transformadas de
Laplace más comunes
10
Aśı mismo es importante conocer las propiedades de la trans-
formada de Laplace
Dado que: L{f (t)} = F (s)
Entones, F (s)F1(S),F2(s), denotan la transformada de Laplace de f (t), f1(t), f2(t).
• Linealidad
L{K1f1(t) + K2f2(t)} = K1F1(s) + K2F2(s)
donde K1,K2 son constantes complejas
• Diferenciación ← Esta propiedad nos interesa
• L{ df (t)dt } = sF (s)− f (0
−)
• L{ d
2f (t)
dt2 } = s
2F (s)− sf (0−)− ḟ (0−)
• L{ d
nf (t)
dtn } = s
nF (s)−
∑n
k=1 s
n−k dk−1f (0−)
dtk−1
• Integración
L
{∫ t
0−
f (ξ)dξ
}
=
F (s)
s
11
La transformada inversa de Laplace nos permite encontrar la
expresión en tiempo de una función en frecuencia (Dominio de
s)
La transformada inversa de define como:
f (t) =
1
2πj
∫ σ+j∞
σ−j∞
F (s)e+stds
• Encontremos la transformada inversa de: F1(s) = 1/(s + 3)2
• Pero sin usar la definición
12
La transformada inversa de Laplace nos permite encontrar la
expresión en tiempo de una función en frecuencia (Dominio de
s)
La transformada inversa de define como:
f (t) =
1
2πj
∫ σ+j∞
σ−j∞
F (s)e+stds
• Encontremos la transformada inversa de: F1(s) = 1/(s + 3)2
• Pero sin usar la definición
L{tu(t)} =
1
s2
& L{e−atu(t)} = 1
s + a
⇒ L−1{F (s)} = e−3ttu(t)
12
Determinemos la transformada inversa de la siguiente función
F1(s) =
s3 + 2s2 + 6s + 7
s2 + s + 5
(2)
• ¿Se puede realizar mediante tablas?
13
Existen expresiones en el dominio de Laplace más complicadas
que no permiten encontrar de forma simple su expresión en
tiempo
La expansión mediante fracciones parciales permite
• Expresar una función en términos simples
• Inferir efectos y caracteŕısticas del sistema en base a sus ráıces o
valores propios
La condición básica para descomponer en fracciones parciales es:
• Que el orden del Numerador debe ser menor que el del
Denominador
• ¿Si esto no se cumple entonces qué hacemos?
14
Determinemos la transformada inversa de la siguiente función
(Ahora si)
F1(s) =
s3 + 2s2 + 6s + 7
s2 + s + 5
(3)
• ¿Se cumple la condición necesaria para realizar la expansión?
15
Determinemos la transformada inversa de la siguiente función
(Ahora si)
F1(s) =
s3 + 2s2 + 6s + 7
s2 + s + 5
(3)
• ¿Se cumple la condición necesaria para realizar la expansión?
Dividiendo tenemos expresiones más simples:
F1(s) = s + 1 +
2
s2 + s + 5
(4)
15
Determinemos la transformada inversa de la siguiente función
(Ahora si)
Dividiendo tenemos expresiones más simples:
F1(s) = s + 1 +
2
s2 + s + 5
(3)
Entonces la transformada inversa se puede escribir como
f1(t) =
dδ(t)
dt
+ δ(t) + L−1{ 2
s2 + s + 5
} (4)
15
Determinemos la transformada inversa de la siguiente función
(Ahora si)
Entonces la transformada inversa se puede escribir como
f1(t) =
dδ(t)
dt
+ δ(t) + L−1{ 2
s2 + s + 5
} (3)
Aún nos falta un término
f1(t) =
dδ(t)
dt
+ δ(t) + L−1{ 2
s2 + s + 5
} (4)
Para encontrar este término aprenderemos expansión por fracciones
parciales
15
¿Cómo se realiza la expansión por fracciones parciales?
Caso 1: Ráıces del denominador son reales y distintas
Consideremos que
F (s) =
2
(s + 1)(s + 2)
16
¿Cómo se realiza la expansión por fracciones parciales?
Caso 1: Ráıces del denominador son reales y distintas
Consideremos que
F (s) =
2
(s + 1)(s + 2)
La expresión anterior se puede reescribir como:
F (s) =
2
(s + 1)(s + 2)
=
k1
(s + 1)
+
k2
(s + 2)
16
¿Cómo se realiza la expansión por fracciones parciales?
Para encontrar la primera constante podemos hacer lo siguiente:
(s + 1)F (s) = (s + 1)
2
(s + 1)(s + 2)
= (s + 1)
k1
(s + 1)
+
k2
(s + 2)
Entonces tenemos que
2
(s + 2)
= k1+
k2(s + 1)
(s + 2)
Finalmente si s → −1, encontramos
k1 = 2
16
Con la información de k1, k2 obtenemos una expresión más sen-
cilla para la función en el dominio de s
El procedimiento anterior se repite y encontramos k2
F (s) =
2
(s + 1)(s + 2)
=
2
(s + 1)
+
−2
(s + 2)
(5)
De tal forma f (t) se puede expresar como:
f (t) = (2e−t − 2e−2t)u(t) (6)
17
La expresión general para determinar las constantes de las fra-
ciones parciales es
F (s) =
N(s)
D(s)
=
N(s)
(s + p1)(s + p2) · · · (s + pm)(s + pn)
=
K1
s + p1
+
K2
s + p2
+ · · ·+ Km
s + pm
+
Kn
s + pn
Para determinar cada constante km multiplicamos la expresión
anterior por el denominador correspondiente, y evaluamos en −pm
(s + pm)N(s)
(s + p1)(s + p2) · · · (s + pm) · · · (s + pn)
∣∣∣∣
s→−pm
= km
18
Bonus Segundo caso para la expasión en fracciones parciales
[3]
F (s) =
N(s)
D(s)
=
N(s)
(s + p1)r (s + p2) · · · (s + pm)(s + pn)
=
K1
(s + p1)r
+
K2
(s + p1)r−1
+ · · ·
+
Kr
(s + p1)
+
Kr+1
s + p2
+
Kn
s + pn
19
Bonus Segundo caso para la expasión en fracciones parciales
[3]
ki =
1
(i − 1)!
d i−1(s + p1)
rF (s)
d i−1
∣∣∣∣
s→−p1
i = 1, 2, · · · , r
Tercer caso: Ráıces del denominador complejas [3]
19
Recordemos el sistema masa, resorte amortiguador de la clase
pasada
Ecuación Diferencial
M
d2y(t)
dt2
+ b
dy(t)
dt
+ ky(t) = r(t)
Si aplicamos la transformada de Laplace tenemos:
M
(
s2Y (s)− sy(0−)− dy(0
−)
dt
)
+ b(sY (S)− y(0−)) + kY (S) = R(s)
20
Recordemos el sistema masa, resorte amortiguador de la clase
pasada
Por simplicidad asumimos que r(t) = 0, y(0−) = y0,
dy(0−)
dt = 0, entonces
M
(
s2Y (s)− sy0
)
+ b(sY (S)− y0) + kY (S) = 0
Despejando Y (s)
Y (s) =
(Ms + b)y0
Ms2 + bs + k
=
p(s)
q(s)
=
(s + b/M)y0
s2 + b/Ms + k/M
=
20
En base a los resultados anteriores podemos definir términos
importantes
Notemos que
• El denominador se conoce como ecuación caracteŕıstica
• Las ráıces de q(s) se conocen como polos
• Las ráıces de p(s) se conocen como ceros
• Los polos y ceros son frecuencias cŕıticas
21
Para valores espećıficos de las constantes del resorte, masa, y
amortiguador tenemos que la respuesta en tiempo se expresa
en función de exponenciales
Śı b/M = 3, k/M = 2, y0 = 1, tenemos que:
Y (s) =
(s + 3)
(s + 1)(s + 2)
=
2
(s + 1)
− 1
(s + 2)
=
p(s)
q(s)
Entonces la transformada inversa será
y(t) = L{Y (s)} = 2e−t − 1e−2t
22
Spoiler: Análisis mediante la
transformada de Laplace
En función de las ráıces de la ecuación caracteŕıstica podemos
conocer el tipo de respuesta que tendrá el sistema
Reescribamos la expresión del sistema masa, resorte, amortiguador tal que
Y (s) =
(s + b/M)y0
s2 + b/Ms + k/M
=
(s + 2ζωn)y0
s2 + 2ζωn + ω2n
Note que ζ representa el radio de amortiguación (es adimensional) y ωn
es la frecuencia natural del sistema.
Los polos del sistema se puede expresar como:
s1, s2 = −ζωn ± ωn
√
ζ2 − 1
23
En función de las ráıces de la ecuación caracteŕıstica podemos
conocer el tipo de respuesta que tendrá el sistema
Si los polos se expresan como:
s1, s2 = −ζωn ± ωn
√
ζ2 − 1
La respuesta en tiempo será:
y(t) =
y0√
1− ζ2
e−ζωnt sin(ωn
√
1− ζ2t + θ)
• ζ > 1 las ráıces son reales, entonces
el sistema es sobre-amortiguado
• ζ < 1 las ráıces son complejas,
entonces el sistema es
sub-amortiguado
• ζ = 1 las ráıces son reales y se
repiten, entonces el sistema es
cŕıticamente-amortiguado
23
Gracias
Referencias
La diapositiva de esta clase se inspiró en
Referencia Caṕıtulo
[2] 3.1.1-3.1.7
[1] 2.4
[4] Appendix A
[3] 2.2
24
R. C. Dorf and R. H. Bishop.
Modern control systems solution manual, 2011.
G. F. Franklin, J. D. Powell, A. Emami-Naeini, and J. D.
Powell.
Feedback control of dynamic systems, volume 4.
Prentice hall Upper Saddle River, 2002.
N. S. Nise.
Control system engineering, john wiley & sons.
Inc, New York, 2011.
K. Ogata et al.
Modern control engineering, volume 5.
Prentice hall Upper Saddle River, NJ, 2010.
24
	Introducción
	Sistemas lineales invariantes en el tiempo
	Transformada de Laplace
	Transformada de Laplace, ejemplos
	Transformada inversa de Laplace
	Ejemplo práctico de la transformada de Laplace
	Spoiler: Análisis mediante la transformada de Laplace
	Gracias
	Referencias