2A - Cinética Partículas - Dinámica de sistemas mecánicos - Juan Ignacio Larrain

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Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte A
ICM2803 - Dinámica de Sistemas Mecánicos
David E. Acuña-Ureta, Ph.D.
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Metalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
20 de Septiembre, 2022
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte A 20 de Septiembre, 2022 1 / 46
El contenido de esta presentación ha sido basado mayormente en el siguiente libro:
A. V. Rao, “Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach,”
Cambridge University Press, 2005.
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Contenidos
1 Tipos de fuerza comunes
Fuerzas de contacto
Fuerzas de resorte
Fuerzas centrales
Fuerzas gravitacionales
Fuerza de gravedad
2 Marcos de referencia inerciales
3 Leyes de Newton para una part́ıcula
4 Ejemplo
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte A 20 de Septiembre, 2022 3 / 46
Tipos de fuerza comunes
Contenidos
1 Tipos de fuerza comunes
Fuerzas de contacto
Fuerzas de resorte
Fuerzas centrales
Fuerzas gravitacionales
Fuerza de gravedad
2 Marcos de referencia inerciales
3 Leyes de Newton para una part́ıcula
4 Ejemplo
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de contacto
Contenidos
1 Tipos de fuerza comunes
Fuerzas de contacto
Fuerzas de resorte
Fuerzas centrales
Fuerzas gravitacionales
Fuerza de gravedad
2 Marcos de referencia inerciales
3 Leyes de Newton para una part́ıcula
4 Ejemplo
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de contacto
Fuerza aplicada por una superficie
Considere una part́ıcula de masa m que se mueve en un marco de referencia arbi-
trario A mientras está sujeta a deslizarse sobre una superficie ŕıgida S (es decir,
S define un marco de referencia). Además, sea C el punto en S que está in-
stantáneamente en contacto con la part́ıcula, y sean r⃗ y r⃗SC la posición de la
part́ıcula y la posición de C en S, respectivamente, medidas con respecto a un
punto O, donde O está fijo en el marco de referencia A. Entonces, suponiendo que
S puede ser descrito por una función diferenciable, existe un plano bien definido,
denominado T SC , que es tangente a S en C. En consecuencia, sea n⃗ el vector uni-
tario ortogonal a T SC en C, y sean u⃗ y w⃗ dos vectores unitarios que se encuentran
en T SC de manera que {u⃗, w⃗, n⃗} sigue la regla de la mano derecha.
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de contacto
Fuerza aplicada por una superficie
Figure: Part́ıcula que se desliza con fricción a lo largo de una superficie S.1
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de contacto
Fuerza aplicada por una superficie
En general, la fuerza ejercida por una superficie S sobre la part́ıcula se puede
descomponer en:
1 Una fuerza N⃗ = Nn⃗ que es ortogonal al plano tangente T SC .
2 Una fuerza F⃗f = Ff,uu⃗+ Ff,ww⃗ que se encuentra en el plano tangente T SC .
Entonces la fuerza total ejercida por S sobre la part́ıcula, denotada F⃗S , está dada
por
F⃗S = N⃗ + F⃗f .
Observación (Nomenclatura)
La fuerza N⃗ se denomina fuerza de reacción o fuerza normal ejercida por la
superficie S sobre la part́ıcula, mientras que la fuerza F⃗f se denomina fuerza de
fricción ejercida por la superficie sobre la part́ıcula.
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de contacto
Fuerza de reacción de una superficie
La fuerza de reacción de una superficie S sobre una part́ıcula se encuentra en la
dirección ortogonal al plano tangente en el punto de contacto entre la part́ıcula
y la superficie. Supongamos ahora que la ecuación para la superficie S se puede
describir como
f(r⃗) = 0,
donde r⃗ es la posición de un punto particular en S. Entonces, a partir del cálculo,
sabemos que la normal a S en r⃗ se encuentra en la dirección del gradiente de S en
r⃗.
Definición (Dirección normal a una superficie)
Denotando el gradiente de la función f como ∇f , el vector unitario normal a S
en r⃗ está dado por
n⃗ =
∇f
||∇f ||
.
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de contacto
Fuerza de reacción de una superficie
Observación (Dirección normal a una superficie)
Si en vez de la ecuación de la superficie (f(r⃗) = 0) se tuviera una
parametrización de esta, digamos r⃗S = r⃗S(t, s) en las coordenadas t y s, entonces
el vector normal podŕıa calcularse alternativamente como
n⃗ =
∂r⃗S
∂t ×
∂r⃗S
∂s∣∣∣∣∂r⃗S
∂t ×
∂r⃗S
∂s
∣∣∣∣ .
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de contacto
Fuerza de reacción por una curva
Supongamos ahora que consideramos el caso de una part́ıcula que se desliza a
lo largo de una curva ŕıgida, C, en R3 (es decir, la curva C define un marco de
referencia). Ahora, mientras que una curva se puede considerar como un caso
degenerado de una superficie (es decir, una curva es un objeto unidimensional en
R3 mientras que una superficie es un objeto bidimensional en R3), es importante
entender que, salvo por su signo, la unidad normal a una superficie se define de
forma única, mientras que la unidad normal a una curva no es única. En particular,
existe un número infinito de direcciones que son ortogonales a una curva. En
consecuencia, en lugar de utilizar los resultados obtenidos anteriormente para una
superficie, es preferible considerar las fuerzas de contacto ejercidas por una curva
sobre una part́ıcula por separado de las fuerzas ejercidas por una superficie sobre
una part́ıcula.
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de contacto
Fuerza de reacción por una curva
Ahora, para el caso de una curva definida por una función diferenciable, sabemos
que el movimiento de la part́ıcula se puede descomponer en una base intŕınseca
{e⃗t, e⃗n, e⃗b} en relación con el marco de referencia de la curva (es decir, el marco
de referencia C). Además, sabemos que las direcciones de e⃗n y e⃗b son ortogonales
a la curva. En consecuencia, la fuerza de reacción ejercida por una curva sobre una
part́ıcula se puede escribir como
N⃗ = N⃗n + N⃗b = Nne⃗n +Nbe⃗b.
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de contacto
Fuerza de reacción por una curva
Figure: Fuerza de reacción N⃗ ejercida por una curva ŕıgida, C, sobre una
part́ıcula.1
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de contacto
Fuerzas de fricción: Fricción de Coulomb
El supuesto fundamental en la fricción de Coulomb es que la fuerza de fricción F⃗f
es proporcional a la fuerza normal. Además, la constante de proporcionalidad se
llama coeficiente de fricción de Coulomb. Hay dos tipos de fricción de Coulomb:
estática y dinámica.
Definición (Ley de fricción estática de Coulomb)
La fricción estática de Coulomb surge cuando la velocidad relativa entre la
part́ıcula y el punto instantáneo de contacto de la part́ıcula con la superficie es
cero, es decir, v⃗rel = 0. Para este caso tenemos:
||F⃗f || ≤µs||N⃗ ||,
donde la constante µs es conocida como coeficiente de fricción estático de
Coulomb.
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de contacto
Fuerzas de fricción: Fricción de Coulomb
Definición (Ley de fricción dinámica de Coulomb)
La fricción dinámica de Coulomb surge cuando la velocidad relativa entre la
part́ıcula y el punto instantáneo de contacto de la part́ıcula con la superficie es
distinto de cero, es decir, v⃗rel ̸= 0. Para este caso tenemos:
F⃗f = −µd||N⃗ ||
v⃗rel
||v⃗rel||
,
donde la constante µd es conocida como coeficiente de fricción dinámico de
Coulomb.
Observación (Fricción dinámica de Coulomb)
La fuerza de fricción dinámica de Coulomb se obtiene utilizando la velocidad
relativa entre la part́ıcula y la superficie, no la velocidad de la part́ıcula.
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de contacto
Fricción viscosa
La suposición fundamental en la fricción viscosa es que la fuerza de fricción es
proporcional a v⃗rel y tiene una constante de proporcionalidad c llamada coeficiente
de fricción viscosa.
Definición (Fricción viscosa)
La fuerza de fricción viscosa se define como
F⃗f = −cv⃗rel.
Observación (Fricción viscosa)
Al igual que con la fricción dinámica de Coulomb, la fuerza de fricción viscosa se
obtiene utilizando la velocidad relativa entre la part́ıcula y la superficie, no la
velocidad de la part́ıcula.
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de resorte
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1 Tipos de fuerza comunes
Fuerzas de contacto
Fuerzas de resorte
Fuerzas centrales
Fuerzas gravitacionales
Fuerza de gravedad
2 Marcos de referencia inerciales
3 Leyes de Newton para una part́ıcula
4 Ejemplo
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de resorte
Fuerza de resorte lineal
Considere una part́ıcula de masa m acoplada a un resorte sin masa y que se mueve
en un marco de referencia arbitrario A. Además, sea O un punto fijo en A, y
sean r⃗Q y r⃗ la posición del punto de unión del resorte y la posición de la part́ıcula,
respectivamente, en relación con el punto O (note que el punto de unión Q puede
estar fijo o moverse en el marco de referencia A). A continuación, suponga que la
fuerza del resorte satisface las siguientes propiedades:
1 (Ley de Hooke) La fuerza del resorte es proporcional a la longitud
comprimida o estirada del resorte.
2 La fuerza del resorte tiene una constante positiva de proporcionalidad K.
3 La fuerza del resorte se encuentra a lo largo de la ĺınea que conecta Q y P .
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de resorte
Fuerza de resorte lineal
Figure: Part́ıcula adherida a un resorte lineal con constante de resorte K y largo
natural ℓ0.
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de resorte
Fuerza de resorte lineal
Denotemos la longitud del resorte por ℓ. Entonces está dada por
ℓ = ||r⃗ − r⃗Q||
Denotemos el largo natural o largo de fuerza cero del resorte por ℓ0. Entonces el
estiramiento del resorte, denotado por ∆ℓ, está dado por
∆ℓ = ℓ− ℓ0.
Por las Propiedades (1)-(2), la magnitud de la fuerza generada por el resorte,
denotada como ||F⃗s||, está dada por
||F⃗s|| = K|∆ℓ| = K |ℓ− ℓ0| .
Además, aplicando la Propiedad (3) y denotando al vector unitario que va de r⃗Q a
r⃗ como u⃗s, la dirección de la fuerza del resorte está dada por
u⃗s =
r⃗ − r⃗Q
||r⃗ − r⃗Q||
.
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de resorte
Fuerza de resorte lineal
Puede dar se que ∆ℓ sea positivo o negativo. Analicemos cada caso:
Caso 1: ∆ℓ < 0 (Compresión)
En el caso en que ℓ − ℓ0 < 0, se dice que el resorte está comprimido. El resorte
ejerce una fuerza sobre la part́ıcula en la dirección de r⃗Q a r⃗, es decir, la fuerza
del resorte está en la dirección u⃗s. Sin embargo, debido a que ℓ − ℓ0 < 0 cuando
el resorte está comprimido, tenemos
|ℓ− ℓ0| = − (ℓ− ℓ0) .
La fuerza de compresión del resorte está dada por
F⃗s = −K (ℓ− ℓ0) u⃗s.
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de resorte
Fuerza de resorte lineal
Caso 2: ∆ℓ > 0 (Extensión)
En el caso en que ℓ − ℓ0 > 0, se dice que el resorte está extendido o estirado. El
resorte ejerce una fuerza sobre la part́ıcula en la dirección de r⃗ a r⃗Q, es decir, la
fuerza del resorte está en la dirección −u⃗s. Sin embargo, debido a que ℓ− ℓ0 > 0
cuando el resorte está extendido, tenemos
|ℓ− ℓ0| = (ℓ− ℓ0) .
La fuerza de extensión del resorte está dada por
F⃗s = K (ℓ− ℓ0) (−u⃗s) = −K (ℓ− ℓ0) u⃗s.
Definición (Fuerza de resorte lineal)
Independientemente de si el resorte está comprimido o extendido, la fuerza
ejercida por el resorte sobre la part́ıcula está dada por
F⃗s = −K (ℓ− ℓ0) u⃗s.
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de resorte
Fuerza de resorte curviĺıneo
Consideremos una part́ıcula unida a un resorte sin masa y que se mueve en un
marco de referencia arbitrario A tal que la part́ıcula se desliza a lo largo de una
curva ŕıgida C (es decir, C define un marco de referencia) y el resorte se ajusta a
la forma de C. Además, suponga que un extremo del resorte está ubicado en un
punto Q en C mientras que el otro extremo del resorte está unido a la part́ıcula (se
observa que el punto Q puede estar fijo o moverse con respecto a C).
Definición (Fuerza de resorte curviĺıneo)
Independientemente de si el resorte está comprimido o extendido, la fuerza
ejercida por el resorte sobre la part́ıcula está dada por
F⃗s = −K (ℓ− ℓ0) e⃗t.
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas de resorte
Fuerza de resorte curviĺıneo
Figure: Part́ıcula deslizante sobre una curva C adherida a un resorte lineal con
constante de resorte K y largo natural ℓ0.
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas centrales
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Fuerzas de contacto
Fuerzas de resorte
Fuerzas centrales
Fuerzas gravitacionales
Fuerza de gravedad
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3 Leyes de Newton para una part́ıcula
4 Ejemplo
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas centrales
Fuerzas centrales
Sea A un marco de referencia arbitrario y O un punto fijo en A. Además, sea r⃗ la
posición de una part́ıcula de masa m donde r⃗ se mide con relación al punto O.
Definición (Fuerza central)
Una fuerza F⃗c que actúa sobre m se dice que es una fuerza central relativa al
punto O si actúa a lo largo de la ĺınea que conecta la part́ıcula y el punto O. Por
lo tanto, una fuerza central se puede escribir como
F⃗c = Fce⃗r,
con e⃗r =
r⃗
||r⃗|| .
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas centrales
Fuerzas centrales
Figure: Part́ıcula bajo la influenciade una fuerza central F⃗c relativa a un punto
O.1
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas gravitacionales
Contenidos
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Fuerzas de contacto
Fuerzas de resorte
Fuerzas centrales
Fuerzas gravitacionales
Fuerza de gravedad
2 Marcos de referencia inerciales
3 Leyes de Newton para una part́ıcula
4 Ejemplo
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas gravitacionales
Ley de Gravitación Universal de Newton
Un caso particular de una fuerza central es la llamada fuerza gravitacional. Las
fuerzas gravitacionales surgen de la atracción de un cuerpo sobre otro. Esta ley
se conoce comúnmente como Ley de Gravitación Universal de Newton. Considere
dos part́ıculas de masa M y m, respectivamente. Entonces, la Ley de Gravitación
Universal de Newton establece que la fuerza de atracción gravitacional de M sobre
m, denotada F⃗g:
1 es igual y opuesta a la fuerza de atracción de m sobre M ,
2 es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre M y m,
3 es proporcional al producto de M y m,
4 y se encuentra en la dirección de m a M , mientras que la fuerza de atracción
gravitacional de m sobre M se encuentra en la dirección de M a m.
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas gravitacionales
Ley de Gravitación Universal de Newton
Figure: Esquema de la Ley de Gravitación Universal de Newton entre part́ıculas de
masa M y m. La cantidad F⃗g es la fuerza de atracción gravitacional de M sobre
m, mientras que la cantidad −F⃗g es la fuerza de atracción gravitacional de m
sobre M .1
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Tipos de fuerza comunes Fuerzas gravitacionales
Ley de Gravitación Universal de Newton
Utilizando las Propiedades (1)-(4), la ley de gravitación de Newton se puede cuan-
tificar de la siguiente manera. Primero, a partir de la propiedad (1), −F⃗g es la
fuerza de atracción gravitacional de m sobre M . Luego, de las propiedades (2)-
(3), la magnitud de F⃗g se puede escribir como
Fg = ||F⃗g|| =
GmM
r2
,
donde r es la distancia entre M y m.
Definición (Fuerza de atracción gravitacional)
Sea e⃗r el vector unitario en la dirección de M a m. Entonces la fuerza de
atracción gravitacional de M sobre m está dada por
F⃗g = −Fg e⃗r = −
GmM
r2
e⃗r = −
GmM
r3
r⃗.
la cantidad G es denominada constante de gravitación.
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Tipos de fuerza comunes Fuerza de gravedad
Contenidos
1 Tipos de fuerza comunes
Fuerzas de contacto
Fuerzas de resorte
Fuerzas centrales
Fuerzas gravitacionales
Fuerza de gravedad
2 Marcos de referencia inerciales
3 Leyes de Newton para una part́ıcula
4 Ejemplo
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Tipos de fuerza comunes Fuerza de gravedad
Fuerza de gravedad
Un caso especial de fuerza gravitacional es la fuerza gravitacional ejercida por
un cuerpo grande sobre un cuerpo pequeño cuando el cuerpo pequeño está muy
cerca del cuerpo grande. Un ejemplo de tal situación es una pequeña masa cerca
de un planeta. Supongamos que M es la masa del cuerpo grande y m es la
masa del cuerpo pequeño donde m ≪ M . Además, sea el cuerpo grande una
esfera homogénea de radio R y centro en el punto O. Consecuentemente, se puede
demostrar que la fuerza de atracción gravitacional del cuerpo grande sobre el cuerpo
pequeño es equivalente a la de una part́ıcula de masa M ubicada en el centro de
la esfera. Por otra parte, supongamos que el cuerpo pequeño de masa m a una
distancia h de la superficie del cuerpo esférico grande (donde h ≪ R).
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Tipos de fuerza comunes Fuerza de gravedad
Fuerza de gravedad
Figure: Esquema de la fuerza de atracción gravitacional, F⃗g, de una gran esfera
homogénea de masa M sobre un pequeño cuerpo de masa m, con m ≪ M .1
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Tipos de fuerza comunes Fuerza de gravedad
Fuerza de gravedad
Por la Ley de Gravitación Universal de Newton, la fuerza de atracción gravitacional
de M sobre m está dada por
F⃗g = −
GmM
r2
e⃗r = −
GmM
(R+ h)
2 e⃗r,
donde h es la altura sobre la esfera en la dirección de e⃗r, donde e⃗r es el vector
unitario en la dirección de O a m. La magnitud de F⃗g viene dada por
||F⃗g|| = Fg =
GmM
(R+ h)
2
=
GmM
R2
(
1 + hR
)2 .
Como h ≪ R, entonces h/R ≪ 1. Esto implica que
Fg ≈
GmM
R2
= m
GM
R2
.
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Tipos de fuerza comunes Fuerza de gravedad
Fuerza de gravedad
Entonces, para valores pequeños de h, la fuerza de atracción gravitacional de M
sobre m es aproximadamente
F⃗g ≈ −m
GM
R2
e⃗r.
Definición (Aceleración de gravedad)
La aceleración local debida a la gravedad se define como
g⃗ = −GM
R2
e⃗r = −ge⃗r,
con g = GMR2 .
Observación (Aceleración de gravedad)
En el caso de la Tierra, el módulo de la aceleración de gravedad a nivel de la
superficie del mar vale g = 9.80665[m/s2].
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Tipos de fuerza comunes Fuerza de gravedad
Fuerza de gravedad a pequeña escala
También es importante notar que a pequeña escala se puede suponer que la di-
rección e⃗r es una constante y a menudo se denota como e⃗v. Bajo esta aproximación,
la fuerza de gravedad se puede escribir como
F⃗g = −mge⃗v
Por conveniencia, la dirección e⃗v se denomina dirección vertical local o simple-
mente dirección vertical. Además, la aceleración de gravedad, denotada g⃗, queda
expresada como
g⃗ = −ge⃗v
Definición (Fuerza de gravedad - Pequeña Escala)
La fuerza de gravedad local puede ser expresada como
F⃗g = mg⃗ = −mge⃗v.
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Marcos de referencia inerciales
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Fuerzas de contacto
Fuerzas de resorte
Fuerzas centrales
Fuerzas gravitacionales
Fuerza de gravedad
2 Marcos de referencia inerciales
3 Leyes de Newton para una part́ıcula
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Marcos de referencia inerciales
Marcos de referencia inerciales
Antes de proceder a describir las leyes de Newton, es importante enfatizar
que, mientras que el movimiento se puede observar en un marco de
referencia arbitrario (no inercial), las leyes del movimiento de una
part́ıcula son válidas solo en un marco de referencia inercial. Por lo
tanto, a partir de este punto, con solo unas pocas excepciones, todas las
cantidades cinemáticas se definirán relativas a un sistema de referencia
inercial.
Observación (Notación)
Para mayor claridad, en el desarrollo de la teoŕıa, el supeŕındice N de la
izquierda siempre denotará movimiento como visto por un observador en
un marco de referencia inercial. Finalmente, al resolver problemas, el
supeŕındice F de la izquierda denotará un marco de referencia inercial fijo,
mientras que cualquier otra letra caligráfica (por ejemplo, A o B) denotaráun marco de referencia general (no inercial).
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Leyes de Newton para una part́ıcula
Contenidos
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Fuerzas de contacto
Fuerzas de resorte
Fuerzas centrales
Fuerzas gravitacionales
Fuerza de gravedad
2 Marcos de referencia inerciales
3 Leyes de Newton para una part́ıcula
4 Ejemplo
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Leyes de Newton para una part́ıcula
Leyes de Newton
1 Primera Ley de Newton (Inercia): Un objeto en movimiento tiende a
permanecer en movimiento a menos que actúe sobre él una fuerza externa.
Un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo a menos que una fuerza
externa actúe sobre él.
2 Segunda Ley de Newton (Dinámica): Sea F⃗ la fuerza total o resultante
que actúa sobre una part́ıcula de masa m. Luego,
F⃗ = mN a⃗.
3 Tercera Ley de Newton (Acción y Reacción): Para cada acción, hay una
reacción igual y opuesta.
Observación (Cinética y cinemática)
La segunda ley de Newton establece el fundamento de la dinámica. El lado
izquierdo de la ecuación (F⃗ ) denota las causas del movimiento y corresponde a la
cinética, mientras que el lado derecho (particularmente la aceleración a⃗) proviene
de un análisis geométrico y corresponde a la cinemática.
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Leyes de Newton para una part́ıcula
Leyes de Newton
Sean N y A dos marcos de referencia inercial y no inercial, respectivamente. Además, sean P la
posición de una part́ıcula en R3 y Q un punto fijo en A. La segunda ley de Newton nos dice que
F⃗ = mN a⃗P .
De acuerdo a lo visto anteriormente, por análisis cinemático de una part́ıcula, se sabe que su
aceleración está dada por (Cinemática, Parte C, Diapositiva 28):
N a⃗P =
N a⃗Q +
Aa⃗P/Q +
N α⃗A × r⃗P/Q + 2N ω⃗A × Av⃗P/Q + N ω⃗A ×
(
N ω⃗A × r⃗P/Q
)
.
Sin embargo, si aplicáramos la segunda ley de Newton desde el marco de referencia no inercial
A, tendŕıamos que
F⃗︸︷︷︸
Reales
−m
(
N a⃗Q +
N α⃗A × r⃗P/Q + 2N ω⃗A × Av⃗P/Q + N ω⃗A ×
(
N ω⃗A × r⃗P/Q
))
︸ ︷︷ ︸
Ficticias
= mAa⃗P/Q.
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Ejemplo
Contenidos
1 Tipos de fuerza comunes
Fuerzas de contacto
Fuerzas de resorte
Fuerzas centrales
Fuerzas gravitacionales
Fuerza de gravedad
2 Marcos de referencia inerciales
3 Leyes de Newton para una part́ıcula
4 Ejemplo
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Ejemplo
Ejemplo: Caso Newtoniano
- Análisis cinemático:
r⃗P = le⃗r
N v⃗P =
N d
dt
(r⃗P ) =��
��*
0
A d
dt
(r⃗P ) +
N ω⃗A × r⃗P = lθ̇e⃗θ
N a⃗P =
N d
dt
(
N v⃗P
)
= −lθ̇2e⃗r + lθ̈e⃗θ
- Análisis cinético:
F⃗ = F⃗g = mg cos(θ)e⃗r −mg sin(θ)e⃗θ
- Segunda Ley de Newton:
F⃗ = mN a⃗P
⇔ F⃗g = m
(
−lθ̇2e⃗r + lθ̈e⃗θ
)
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Ejemplo
Ejemplo: Caso NO Newtoniano
- Análisis cinemático:
r⃗P = le⃗r
Av⃗P =
A d
dt
(r⃗P ) = 0⃗
Aa⃗P =
A d
dt
(
Av⃗P
)
= 0⃗
- Análisis cinético:
F⃗ = F⃗g = mg cos(θ)e⃗r −mg sin(θ)e⃗θ
- Segunda Ley de Newton no aplica:
F⃗ ̸= mAa⃗P , pues F⃗g ̸= 0⃗, pero
F⃗ + F⃗Ficticias = m
Aa⃗P , donde
F⃗Ficticias = −m
(
−lθ̇2e⃗r + lθ̈e⃗θ
)
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Fin de la presentación
Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte A
ICM2803 - Dinámica de Sistemas Mecánicos
David E. Acuña-Ureta, Ph.D.
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Metalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
20 de Septiembre, 2022
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	Fuerzas de contacto
	Fuerzas de resorte
	Fuerzas centrales
	Fuerzas gravitacionales
	Fuerza de gravedad
	Marcos de referencia inerciales
	Leyes de Newton para una partícula
	Ejemplo
	Fin de la presentación