Aplicaciones Derivadas_GRUPO 1 - Parvs BJ

Vista previa del material en texto

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRIMER SEMESTRE 
PARALELO ¨B¨ 
ANÁLISIS MATEMÁTICO I 
ARIAS VELASTEGUI, SANTIAGO MATEO 
ASQUI VACA, BORIS JOSUE 
MARFETAN SALINAS, LUIS ALEXANDER 
SANCHEZ CHUNZHO, GINNA JULAY 
2020-2021
 Ejercicio No. 2 -Contaminación 
Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m3 de 
petróleo 
 
 
 
 
Calcula con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m si el espesor 
disminuye a razón de 10 hora/cm en el instante en que R = 50 m . 
Datos 
𝑉 = 100 𝑚3 
𝑅 = 50 𝑚 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −10
𝑐𝑚
ℎ
= −10−2 = −
1
102
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= ? 
 ¿Cómo se planteó el problema? 
Primero se debe entender el problema, obtener los datos respectivos, y por último analizar qué es lo 
que pide el ejercicio, en este caso como varia la altura respecto al tiempo 
Datos 
𝑉 = 100 𝑚3 
𝑅 = 50 𝑚 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −10
𝑐𝑚
ℎ
= 10−2 =
1
102
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 0 (𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛) 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= ? 
Luego debemos planear la ecuación de la cual se obtendrán todos los datos al momento de derivar 
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ 
 
 
¿Cómo se resolvió el problema? 
Primero se deriva la formula en este caso de un cilindro 
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 2𝜋𝑟ℎ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
+ 𝜋𝑟2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 
Una vez derivado hay que ubicar la variación del radio respecto al tiempo y proceder a despejarla 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝜋 (2𝑟ℎ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
+ 𝑟2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
) 
(
1
𝜋
)
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= (2𝑟ℎ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
+ 𝑟2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
) 
(
1
𝜋
) 0 = (2𝑟ℎ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
+ 𝑟2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
) 
0 = (2𝑟ℎ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
+ 𝑟2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
) 
−
𝑟2
2𝑟ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
−
r
2ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
−
50
2ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
 
Una vez en ese punto analizamos que valores nos faltan para llenar la ecuación y nos damos cuenta que 
nos falta la altura, la podemos obtener de la ecuación del volumen sin derivar 
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ 
ℎ =
𝑉
𝜋𝑟2
 
ℎ =
100
𝜋(50)2
 
una vez obtenido los valores, reemplazar en la ecuación 
50
2 (
100
𝜋(50)2
)
(10−2) =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
6.25𝜋 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
 
 
¿Cómo se interpretó? 
Luego le da resolución podemos comprender que: 
En la primera parte del problema. 
La razón de cambio de la altura en función del tiempo representara la velocidad con la que, la altura del 
cono sigue aumentado mientras transcurre el tiempo y este tiene un valor de 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 10−2 sin embargo se 
buscaba la razón de cambio entre el radio y el tiempo 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 
Para esto se tuvo que deducir varios valores que no constaban en los datos tales como la altura, que se 
despejo de la fórmula del volumen 
Finalmente, con la ecuación derivada y despejada se dio con el resultado de la razón de cambio del radio 
que es 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 6.25𝜋
𝑚
ℎ𝑜𝑟𝑎
 esto representa con que velocidad está aumentando el radio en función del 
tiempo cuando el radio vale 50 m, la velocidad oscila por los 20 metros por hora 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejercicio No. 3 – Geometría 
El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 c𝑚2 por minuto. Calcula la rapidez de variación de la 
longitud de sus lados cuando el área es de 200 c𝑚2. Se supone que el triángulo se mantiene equilátero en todo 
instante. 
 
¿Cómo se planteó el problema? 
 
 
𝑆𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒ó 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑦 á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠. 
𝑆𝑖 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿 𝑎 𝑢𝑛 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜. 
𝑠𝑢 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑠𝑢 á𝑟𝑒𝑎 
ℎ =
√3
2
 𝐴 =
√3
4
𝐿2 
𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑖𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠. 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴 = 200𝑐𝑚2 
¿Cómo se resolvió el problema? 
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝒕 𝒍𝒂 𝒇ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒕𝒆𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 á𝒓𝒆𝒂. 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
√3
4
2𝐿
𝑑𝐿
𝑑𝑡
 
 𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
 𝑦 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑦𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝐴 = 200 𝑐𝑚2. 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
√3
4
2𝐿
𝑑𝐿
𝑑𝑡
 
Reemplazando: 
200 =
√3
4
2𝐿2 
𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= −4𝑐𝑚2/𝑚𝑖𝑛 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= −
8
21.5√3
 = −0.21 𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛 
 
¿Cómo se interpretó? 
𝐸𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 − 𝟎. 𝟐𝟏 𝒄𝒎/𝒎𝒊𝒏. 
 
 
Ejercicio No. 4 – Electrotecnia 
Un globo esférico se llena con gas con un gasto constante Q = 100 litros /minuto. Suponiendo que la 
presión del gas es constante, halla la velocidad con que está aumentando el radio R del globo en el instante 
en que R=0.3 m. 
¿Cómo se planteó el problema? 
El globo al tener forma esférica trabajamos con la fórmula de volumen que seria 𝑉 =
4
3
𝜋 × 𝑅3 , ya que 
tanto V como R están a función del tiempo. Como pide el ejercicio la velocidad con que varía el radio, la 
formula tendría que ser derivada, para obtener el resultado. Para luego de derivar solo se tendría que 
remplazar con los datos dados 
¿Cómo se resolvió el problema? 
Se resuelve con la derivada de la formula del volumen: 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
4
3
𝜋3𝑅2 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4𝜋𝑅2 esta formula la usaremos para poder resolver el problema. 
Remplazar con Q= 100
𝑑𝑚3
𝑚𝑖𝑚
 
 
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= 
𝑄
4𝜋𝑅2
→
100
4𝜋32
→
25
9𝜋
 
𝑑𝑚
𝑚𝑖𝑛
 
¿Cómo se interpretó? 
Al concluir con la operación podemos de decir que cuando el r=30cm su velocidad va hacer 
aproximadamente 9
𝑐𝑚
𝑚𝑖𝑚
. 
Nota: en caso de que el resultado está en m/s, la respuesta queda así; cuando el R=0.3 m la velocidad 
con la que se inflo va hace de 1.4x10−3 
𝑚
𝑠
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejercicio No. 7 – Descarga de granos 
 
 
La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el grano proveniente de un silo a 
razón de 0.5 
𝑚3
𝑚𝑖𝑛
 . El grano forma un cono circular recto cuya altura es constantemente igual a 5/4 del 
radio de la base. Calcula: 
a) ¿A qué velocidad está subiendo el vértice del cono cuando la altura es de 1.50 m? 
b) ¿Cuál es el radio de la base del cono en ese momento y a qué velocidad está variando? 
¿Cómo se planteó el problema? 
Se encuentra primero la fórmula que represente la forma del cono de arena y está dado por: 
𝑉 =
1
3
𝜋 ∗ 𝑟2 ∗ ℎ 
Planteamos los datos desconocidos para la resolución del ejercicio. 
En el primer caso se busca como varía la altura en función del tiempo con una altura de 1.50m 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=? ; 𝑒𝑛 ℎ = 1.50𝑚 
En el segundo caso se encuentra la razón de cambio del radio en función del tiempo con el dato anterior 
ya de establecido 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=? ; 𝑒𝑛 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 
¿Cómo se resolvió el problema? 
Al existir dos partes a resolver nos enfocamos, para iniciar con su resolución, en hallar la razón de 
cambio de la altura en función del tiempo 
Para obtener la formula en función de una sola variable 
Se plantea el radio en función de la altura obteniendo como resultado: 
ℎ =
5
4
𝑟 ; 𝑟 =
4ℎ
5
 
𝑉(𝑡) =
1
3
𝜋 ∗ (
4ℎ
5
)
2
∗ ℎ 
𝑉(𝑡) =
16
75
𝜋 ∗ ℎ3 
Derivamos con respecto al tiempo. 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
16 ∗ 3
75
𝜋ℎ2 (
𝑑ℎ
𝑑𝑡
) 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
16
25
𝜋ℎ2 (
𝑑ℎ
𝑑𝑡
) 
Conociendo que: 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 0.5
𝑚3
𝑚𝑖𝑛
 
Se sustituye el valor de 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 en la ecuación planteada anteriormente 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
16
25
𝜋ℎ2 (
𝑑ℎ
𝑑𝑡
) 
Remplazamos los valores ya conocidos como ℎ = 1.5 𝑚 
0.5
𝑚3
𝑚𝑖𝑛
=
16
25
𝜋 ∗ 2.25𝑚2 ∗ (
𝑑ℎ
𝑑𝑡
) 
1
2
𝑚3
𝑚𝑖𝑛
16
25
𝜋 ∗ 2.25𝑚2
= (
𝑑ℎ
𝑑𝑡
) 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=0.11
𝑚
𝑚𝑖𝑛
 
Conociendo el dato anterior se puede resolver la segunda parte del ejercicio hallar la razón de cambio 
del radio en función del tiempo 
Para ello ya se ha establecido la fórmula de: 
𝑟(𝑡) =
4ℎ
5
 
𝑟(𝑡) =
4 ∗ 1.5𝑚
5
= 1.20 𝑚 
 
Solo nos quedaría derivar la función ya dada 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
4
5
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
4
5
∗ 0.11
𝑚
𝑚𝑖𝑛
 
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 0.088
𝑚
𝑚𝑖𝑛
 
¿Cómo se interpretó? 
Luego de da resolución podemos comprender que: 
En la primera parte del problema. 
La razón de cambio de la altura en función del tiempo representara la velocidad con la que, la altura del 
cono sigue aumentado mientras transcurre el tiempo y este tiene un valor de 0.11
𝑚
𝑚𝑖𝑛
 
Para finalizar el ejercicio nuestra segunda parte. 
Se buscó la razón de cambio del radio con respecto al tiempo en el mismo instante en que se buscó la 
variación de la altura con respecto al tiempo. 
Lo que dio un valor de 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 0.088
𝑚
𝑚𝑖𝑛
 esto representa cuanto aumentara el radio por cada minuto 
hasta llegar a 1.20 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejercicio No.14 – Variación de volumen 
Un camión descarga arena formándose un montículo que tiene la forma de cono recto circular. La altura 
h va variando, manteniéndose constantemente igual al radio r de la base. 
 
Cuando la altura es de 1m. ella está aumentando a razón de 25 cm / minuto. ¿Con qué rapidez está 
cambiando en ese instante el volumen V de arena? 
¿Cómo se planteó el problema? 
Se busca la fórmula que represente este sistema dado por un cono recto circular. 
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ 
El ejercicio nos pide buscar la rapidez con la que cambia el volumen en función del tiempo cuando ℎ =
1 𝑚 podemos definirlo como 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=? ; 𝑒𝑛 ℎ = 1 
¿Cómo se resolvió el problema? 
El ejercicio permite trabajar con una sola variable independiente, como: 
𝑟 = ℎ 
Ya que plantea que; La altura h va variando, manteniéndose constantemente igual al radio r de la base 
En este caso interpretamos los nuevos datos. 
𝑉 = 𝜋ℎ3 
Se entiende que tanto el volumen como la altura están en función del tiempo 
𝑉(𝑡) = 𝜋ℎ3 
Por esta razón al momento de derivar se obtiene. 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 3𝜋ℎ2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 
El ejercicio plantea; Cuando la altura es de 1m. ella está aumentando a razón de 25 cm / minuto. Se 
comprende lo siguiente 
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ℎ = 1𝑚; 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 25
𝑐𝑚
𝑚𝑖𝑛
 
Para poder finalizar con la resolución se realiza la respectiva sustitución de datos. 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 3𝜋(1)2(25
𝑐𝑚
𝑚𝑖𝑛
) 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 75𝜋 
𝑐𝑚
𝑚𝑖𝑛
 
¿Cómo se interpretó? 
Al finalizar los respectivos cálculos podemos decir: 
La razón de cambio del volumen en función del tiempo se encuentra ligada a la razón de cambio de la 
altura en función del tiempo, esto se debe a que, al seguir deslizándose arena en la punta de nuestro 
cono con el tiempo, la altura seguirá aumentando y por ello el volumen del cono seguirá este mismo 
proceso de aumentar con el tiempo 
El calculo que se realizo representa la velocidad con la que nuestro volumen aument1 al pasar el tiempo, 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 0.75
𝑚
𝑚𝑖𝑛
 pero se está tratando con el caso especial de que esta velocidad se da cuando la altura es 
igual a 1 m