Guia-2-cuarto-medio-segundo-semestre-Taller-de-PSU - Blanca Rosa Jorquera Gutiérrez

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Departamento de Matemáticas 
Profesor: Néstor Albano 
 
 
GUIA N° 2 SÍNTESIS Y EVALUACIÓN FORMATIVA. IV MEDIO. 
 
NOMBRE: ______________________________________ IV_____ 
RESOLUCIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE REDUCCIÓN 
OA: Mostrar que comprenden la resolución de sistemas de ecuaciones por el método de 
reducción y la aplicación de la fórmula, en la resolución de ecuaciones de segundo grado. 
Es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos 
encontrar una solución común. Ejemplo: 
 
Pasos para resolver un sistema de ecuaciones, por el método de reducción: 
1) Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por un numero tal que las ecuaciones 
resultantes tengan un coeficiente en común y diferente signo . 
2) Realizamos una resta (o suma según sea el caso de los signos de los coeficientes) 
para desaparecer (eliminar) una de las incógnitas. 
3) Se resuelve la ecuación resultante. 
4) El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 
5) Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. 
 
Ejemplo1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
 -2 
 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 2 5
6 4 2
x y
x y
+ =ìï
í
- =ïî
3 4 2 (1)
2 5 9 (2)
x y
x y
- =ìï
í
+ =ïî
Multiplicamos ambas ecuaciones por los coeficientes de la variable x o y, los 
cruzamos, de ser necesario, cualquiera de los dos coeficientes, lo elegimos negativo.
3 4 2 
2 5 9 
x y
x y
- =ìï
í
+ =î
66 8 4 
 
6 15 27 
xx y
x y
-
ï
- + = -ìï ®í
+ =ïî
8 4 hora sumamos las ecuaciones y cancelamos x, luego 
6
Ay
x
+ = -
15 27 Luego despejamos la variable y. 
23
 0 23 23 23 23 y= 1 1 
23
 
y
x y y y
+ =
+ = = ® = ® =
ìï
í
ïî
 Despejamos x en la ecuación (1) y sustituimos la y=1
3 4 2 Despejamos x
2 4 2 4(1) 2 4 63 2 4 ahora sustituimos y=1 luego 2
3 3 3 3
El sistema es compatible determinado. (
x y
yx y x x x
- =
+ + += + ® = ® = = = =
 Tiene una unica solución)
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. 
 
 
 
 -2 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-4 
 2 
 
 
 
 
: Tiene una única solución y la representación son dos rectas que se cortan en un puntoCompatible determinado
4 
Ejemplo 2: 
2 2 8
4 
2 2 8 Multiplicamos por los coeficientes de la variable x cruzados y cambiamos signo 
22 2 8 
2 2 8 
x y
x y
x y
x y
xx y
x y
+ =ìï
í
+ =ïî
+ =ìï
í
+ =ïî
-- - = -ìï ®í
+ =ïî
2y- 8= - Luego sumamos y cancelamos 
2x 2y+ 8= 
 0 0 ( Tiene infinitas soluciones)
Ahora todo cancela. Al cancelar todo, podemos decir; que el sistema es compatible indeterminado.
ì
ï
í
ïî
=
C : Tiene infinitas soluciones, la representación son dos rectas que coinciden.ompatible indeterminado
2 10
Ejemplo 3.
2 4 5
2 10 En esta ocación voy a eliminar la y, cruzamos los coeficientes de y
2 4 5 para multiplicar el sistema y a cambiamos el signo de alguno de los dos. 
x y
x y
x y
x y
+ =ìï
í
+ =ïî
+ =ì
í
+ =
44 8 40
4 8 10
x y
luego
x y
ï
ïî
-- - =ìï
í
+ =ïî
8x - 40 En está oportunidad todo cancela, pero exixte una contradicción,
4
y =
8x + 10 la contradicción es la siguiente 0=50, cuando eso ocurra el 
 0 50 sistema es incompatible. ( No tiene solución)
y
ìï
í
=ïî
=
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Incompatible: No tiene solución, la representación son dos rectas paralelas. 
 
 
 
 
Actividad 1: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones e indicar, si es; compatible 
determinado, compatible indeterminado e incompatible. 
 
Ecuación de 2do. Grado. 
Si en una ecuación la incógnita se encuentra elevada al cuadrado, decimos que es 
una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se 
caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso 
ninguna). Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la 
siguiente forma: ax 2 + bx + c = 0, Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que 
sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 5 22 3 3 2
) )
2 4 2 6 6 4
x y x y
a b
x y x y
+ = - + =ì ìï ï
í í
- = + =ï ïî î
2
2
Ejemplo: Resolver utilizando la ecuación de 2do. grado: 3x 5 2 0
: La ecuación de seguno grado tiene la forma: ax .
 3 5 c= 2 , sustituyamos eso valores en la ecua
x
Solución bx c
Entonces a b
- - =
+ +
= = - -
2
2
2
4ción. 
2
( 5) ( 5) 4 (3) ( 2)
; xp ( 5) 25 , 2
2 (3)
4 (3) ( 2) 24 multiplicamos los números y los signos.
5 25 24 5 49Luego resolvemos 
6
b b acx
a
x E licando todo número elevado a la es positivo
x x
- ± -
=
- - ± - - × × -
= - =
×
- × × - =
± + ±
= ® =
1 1
2
2
5 7 12 2 2
6 65 7
6 6 5 7 2
6
x x
x
x =
+
= = = ® =
±
® = =
- -
=
26
2
1 1
3 3
x
ì
ï
ï
í
ï = - ® = -ï
î
2 4:
2
b b acFórmula x
a
- ± -
=
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2 Sacamos factor común x 
 
 
 
:
5 0 
 
 
 
 
Ejemplos
x x+ =
Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas
21er.Caso : ax +bx=0 
a) 2
1
 
Para que, una multiplicación sea igual a cero, 
 2 6 0 Sacamos factor común 2x
( 5) 0 2x ( 3) 0 
x =0 
x x
x x x
- =
+ = × - =
 b)
1primer término, ó el segundo; es igual a cero. 
despejamos x, pasamos el número del otro lado 
0 2x=0 x= 0 entonces 0
2
5 0 
x
x
® = =
+ =
2 2
 
de la igualdad y cambiamos el signo 
3 0 Despejamos la x
5 3 entonces 3
x
x x x
- =
= - = =
2 2
2
 50 
 :
 2 50 0 10 0
2 50 
En primer lugar pasamos el al segundo
Ejemplos
x x
x
- = + =
=
2
b)
2do. Caso : ax +c=0
a)
2
2
 . 
 2 2do. , . 
 10 10 
50 25 
2
miembro cambiado de signo
Pasamos el coeficiente al miembro dividiendo
x x
x
= - ® = ± - Ï
= =
!
1
2
 Por ser el radicando negativo no tiene
5 solución en los números reales.
25
5 S
x
x
x
= +
= ± =
= - .
 
e efecúa la raíz cuadrada en los dos miembros
ìï
í
ïî
2
 
 
4
 : ² 0
² . 
b ac
Dada una ecuación de segundo grado completa ax bx c
se llamadiscriminantede la ecuación
b-
+ + =
-
± -
b 4ac
Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado
:
 
 
2
 . 
 ( 
El discriminante permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones Podemos distinguir tres cas
a
os
®
21) b -4ac>0 La ecuación, tiene dos soluciones, que son dos números reales distint
2
2
2
2
.
Ejemplo: 5 6 0 1 b= 5 6 
Observemos el discriminante: 4 Sustituimos los valores de a,b y c 
4 ( 5) 4 (1) (6) 25 24 1 y 1>0 Aplicamos:
2
( 5)
x x a c
b ac
b b ac
a
x
- + = = - =
-
- ± -
- - × × = - =
- -
=
os)
1 12
2 2
5 1 6 3
2 2( 5) 4 (1) (6) 5 25 24 5 1 5 1
2(1) 2 2 2 5 1 4 2
2 2
x x
x x
+ì = = ® =ï± - - × × ± - ± ± ï= = =í
-ï = = ® =ïî
Discriminante
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Profesor: Néstor Albano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad 2: Resolver utilizando la fórmula de la ecuación de segundo grado 
 
Actividad 3: Indicar como son las soluciones de las ecuaciones según el discriminante. 
 
 
Apoyo en: 
https://www.youtube.com/watch?v=0ilTVp5uRz8 
 https://www.youtube.com/watch?v=BxrJmKdPHRs 
https://www.youtube.com/watch?v=_VXB-K4rsdA 
 
 
2) 3 10 8 0a x x+ - =
2
2
2
 ( )
Ejemplo: 2 1 0 1 b= 2 1
Observemos el discriminante: 4 Sustituimos los valores de a,b y c 
 ( 2) 4 (1) (1)
x x a c
b ac
- + = = - =
-
- - × × =
22) b -4ac=0 La ecuación tine una solución doble
2
1 12
2 2
2
44 4 0 Aplicamos: 
2
2 0 2 1
2 2( 2) ( 2) 4 (1) (1) 2 4 4 2 0 2 0
2(1) 2 2 2 2 0 2 1
2 2
 ( ) 
Ejemplo: 1 0
b b ac
a
x x
x
x x
x x
- ± -
- =
+ì = = ® =ï- - ± - - × × ± - ± ± ï= = = = í
-ï = = ® =ïî
+ + =
23) b -4ac<0 La ecuación no tiene soluciones reales
2
2
2
2
4 Aplicamos: 1 b=1 1
2
Observemos el discriminante: 4 Sustituimos los valores de a,b y c
(1) (1) 4 (1) (1) 1 1 4(1) 4 (1) (1) 1 4 3 y 3 0 
2(1) 2
b b ac a c
a
b ac
x
- ± -
= =
-
- ± - × × ± -
- × × = - = - - < = = =
1 3 
2
Las raices cuadradas negativas no existe en el conjunto de los números reales. No hay solución.
Ï
± -
Ï!
Nota : El simbolo , significa no pertenece
2 2) x 6 9 0 b) 3x 8 6 0a x x- + = + + =
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Profesor: Néstor Albano 
 
 
EVALUACIÓN FORMATIVA EN TIEMPO DE PANDEMIA 
NOMBRE: _______________________________________ CURSO: _______________ 
1. Resolver utilizando la fórmula de la ecuación de segundo grado. 
 
 
2. Resolver la siguiente expresión algebraica: 
 
 
3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, por el método de reducción e 
indicar el tipo de sistema. 
 
 
 
4. Indicar como son las soluciones de las ecuaciones, según el discriminante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 3 1 5 10 8
) )
5 6 28 2 4 9
x y x y
a b
x y x y
- = + =ì ìï ï
í í
+ = - + =ï ïî î
2 2) 3 18 0 ) 4 6 5 0a x x b x x+ - = + + =
24 11 3 0x x- - =
23(4 2) 6(3 4)x x+ + -