Autocorrelação e suas consequências

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Autocorrelación
Luis Frank
Depto. Métodos Cuantitativos
Facultad de Agronoḿıa
Universidad de Buenos Aires
Mayo, 2022
Definición de autocorrelación o correlación serial en el error
Definición. Es la presencia de elementos interdependientes en el
vector ϵ, aún cuando todos los elementos sean idénticamente
distribuidos. En otras palabras, cov(ϵi , ϵi ′) ̸= 0.
Causas de la autocorrelación
▶ Especificación incorrecta del modelo por omisión de variables
relevantes.
▶ Especificación incorrecta de la forma funcional del modelo.
▶ Respuesta rezagada de algunas variables económicas.
▶ Manipulación de datos, como promediado, interpolación o
extrapolación.
Consecuencias
▶ Posible sesgo de estimación, es decir, E (bOLS) ̸= β
▶ Pérdida de eficiencia en la estimación de β
Detección de autocorrelación
Ejemplo. supongamos que ajustamos el siguiente modelo a un
conjunto de datos
yi = β0 + β1xi + ϵi donde ϵi ∼ N(0, σ2),
Los residuos revelan un patrón de autocorrlación atribuible a
(a) algún tipo de manipulación de los datos, e.g. media movil;
(b) mala especificación del error, ya que cov(ϵi , ϵi ′) ̸= 0;
(c) forma funcional incorrecta, ya que en verdad debeŕıa ser
cuadrática, exponencial, etc.
Autocorrelación de primer orden
En presencia de autocorrelación en el error el verdadero modelo es
y = Xβ + ϵ ϵ ∼ N(0, σ2Ω)
Para el caso particular de autocorrelación de primer orden, el
modelo expresado en forma escalar es
yi = β1 + β2 xi2 + · · ·+ βk xik + ϵi
ϵi = ρ ϵi−1 + νi νi ∼ N(0, σ2ν) y cov(νi , νi ′) = 0
Notemos que, dada la relación de recurrencia entre valores
consecutivos de ϵ, en i-ésimo valor puede escribirse como
ϵi = ρ ϵi−1 + νi
ϵi = ρ (ρ ϵi−2 + νi−1) + νi = ρ
2ϵi−2 + ρ νi−1 + νi
...
Autocorrelación de primer orden (cont.)
Extendiendo la sustitución anterior hasta el término ϵi−p llegamos
a la expresión general
ϵi = ρ
pϵi−p +
p−1∑
j=0
ρjνi−j (1)
Luego, tomando ĺımites para p → ∞ en ambos lados de la igualdad
lim
p→∞
ϵi = lim
p→∞
ρpϵi−p + lim
p→∞
p−1∑
j=0
ρjνi−j =
∞∑
j=0
ρjνi−j
y asumiendo que |ρ| < 1
var(ϵi ) =
∞∑
j=0
ρ2j var(νi−j) =
σ2ν
1− ρ2
(2)
Autocorrelación de primer orden (cont.)
Por otra parte, a partir de la ecuación (1) se deduce también que
cov(ϵi , ϵi−p) = cov
ρpϵi−p + p−1∑
j=0
ρjνi−j , ϵi−p
 = ρpσ2 (3)
ya que cov(νi−j , ϵi−p) = 0 para todo p > j . Finalmente, utilizando
todos estos resultados
σ2Ω =
σ2ν
1− ρ2

1 ρ ρ2 . . . ρn−1
ρ 1 ρ
. . .
...
ρ2
. . .
. . .
. . . ρ2
...
. . .
. . .
. . . ρ
ρn−1 . . . ρ2 ρ 1

(4)
Detección de autocorrelación
Prueba de rachas. El test de rachas se fundamenta en la
distribución teórica que tendŕıa la cantidad de valores positivos o
negativos consecutivos en los residuos OLS, si éstos fueran
independientes. El estad́ıstico de prueba es K , cuyos parámetros
son
µK =
2 (n1n2)
(n1 + n2)
+ 1 y σ2K =
2 (n1n2)(2n1n2 − n1 − n2)
(n1 + n2)2(n1 + n2 − 1)
(5)
donde K es la cantidad de rachas, n1 es la cantidad de residuos
positivos y n2 es la cantidad de residuos negativos. Luego, el
intervalo de probabilidad del número de rachas K bajo H0 de
ausencia de autocorrelación es
P [µK − 1, 96σK < K < µK + 1, 96σK ] = 1− α
La aproximación normal es válida para n1, n2 > 10. En caso
contrario se debe recurrir a tablas de probabilidad exactas .
Detección de autocorrelación (cont.)
Ejemplo (Prueba de rachas) Los residuos de una regresión de 24
valores son
Del recuento surge que n1 = 13 y
n2 = 11 y la cantidad de recahas es
k = 14. Luego,
µK =
2 (13× 11)
24
+ 1 = 12, 92
σ2K =
286 (286− 24)
242(24− 1)
= 5, 66
Los ĺımites del intervalo son 8,26 y
17,58. En consecuencia no
rechazamos la hipótesis nula.
Nro. ei Nro. ei
1 0,22 13 -0,18
2 0,18 14 0,16
3 -0,58 15 -0,11
4 0,20 16 0,00
5 0,16 17 -0,08
6 -0,34 18 -0,40
7 0,36 19 -0,27
8 0,15 20 0,34
9 0,38 21 -0,09
10 0,13 22 -0,24
11 0,48 23 0,22
12 -0,29 24 -0,40
Detección de autocorrelación (cont.)
Prueba de Durbin-Watson. La hipótesis nula de esta prueba es
“los errores no presentan autocorrelación de orden 1.” El
estad́ıstico de prueba es
d =
∑n
i=2(ei − ei−1)2∑n
i=1 e
2
i
= 2 (1− r)− e
2
1 + e
2
n∑n
i=1 e
2
i
(6)
El estad́ıstico calculado se compara con los estad́ısticos cŕıticos dL
y dU, y se sigue la siguiente regla de decisión:
▶ si 0 < d < dL hay evidencia de autocorrelación positiva
▶ si dL < d < dU indesición
▶ si dU < d < 4− dU no hay autocorrelación
▶ si 4− dU < d < 4− dL indecisión
▶ si 4− dL < d < 4 hay evidencia de autocorrelación negativa
Detección de autocorrelación (cont.)
▶ El estad́ıstico r es el coeficiente de autocorrelación de primer
orden. Con muestras “suficientemente grandes” el segundo
término del lado derecho es despreciable de modo que
d ≈ 2 (1− r) siendo r =
∑n
i=2 eiei−1∑n
i=1 e
2
i
(7)
Detección de autocorrelación (cont.)
▶ El estad́ıstico Durbin-Watson no es válido para regresiones
con valores rezagados de la variable dependiente, o regresores
estocásticos en general.
▶ Si la muestra es suficientemente grande, el estad́ıstico DW se
distribuye aproximadamente
√
n
(
1− 1
2
d
)
≈ N(0, 1) (8)
Ejemplo (Durbin-Watson). Calculamos el estad́ıstico DW con los
mismo residuos del ejemplo anterior.
d =
(0, 18− 0, 22)2 + · · ·+ (−0, 4− 0, 22)2
0, 222 + · · ·+ (−0, 4)2
= 2, 24.
Los ĺımites de DW para α = 0, 05 y k − 1 = 3 (k=cantidad de
regresores) grados de libertad son dL = 1, 101 y dU = 1, 656 por lo
cual no rechazamos H0.
Detección de autocorrelación (cont.)
Prueba de Breusch-Godfrey. Este test presenta la ventaja de
que permite probar hipótesis sobre la existencia de autocorrelación
de orden p. El protocolo de prueba es el siguiente:
(1) Planteamos el modelo y = Xβ + ϵ donde el error sigue un
proceso autorregresivo de orden p o AR(p) .
ϵi = ρ1 ϵi−1 + ρ2 ϵi−2 + ρ3 ϵi−3 + · · ·+ ν con ν ∼ N(0, σ2ν)
(2) Planteamos la regresión auxiliar
yi = β0 + β1 xi1 + · · ·+ βk xik + ρ1 ϵi−1 + ρ2 ϵi−2 + · · ·+ ν
(3) Calculamos el estad́ıstico R2 de esta regresión reemplazando
los errores por los correspondientes residuos.
(4) Ponemos a prueba la hipótesis nula H0: ρi = 0 (para todo i)
mediante el estad́ıstico (n − p)R2, el que se distribuye χ2(p)
donde p es el orden del proceso AR e igual a la cantidad de
rezagos de los residuales.
Detección de autocorrelación (cont.)
Prueba de Ljung-Box Esta prueba se basa en la prueba Q de
Box-Pierce y es asintóticamente equivalente a la prueba de
Breusch-Godfrey. El estad́ıstico de prueba es
Q = n (n + 2)
p∑
j=1
r2j
n − j
donde rj =
∑n
i=j+1 eiei−j∑n
i=1 e
2
i
. (9)
Bajo H0 (ausencia de autocorrelación) Q se distribuye χ
2
(p).
Ejemplo (Ljung-Box) Con los residuos del ejemplo anterior
calculamos Q para probar autocorrelación de orden p = 2.
r1 =
(0, 18× 0, 22) + · · ·+ (−0, 4× 0, 22)
0, 222 + · · ·+ (−0, 4)2
= −0, 18
r2 =
(−0, 58× 0, 22) + · · ·+ [−0, 4× (−0, 24)]
0, 222 + · · ·+ (−0, 4)2
= −0, 08
Q = 24 (24 + 2)
[
(−0, 18)2
24− 1
+
(−0, 08)2
24− 2
]
= 0, 99 << χ2(2) = 5, 99
Medidas remediales
▶ Si la estructura de autocorrelación es conocida, es decir que
cov(ϵ) = Ω es conocida, podemos estimar insesgada, eficiente
y consistentemente β por GLS.
▶ Si la estructura de autocorrelación es desconocida, Ω debe
ser estimada consistentemente y reemplazada por su
estimador Ω̂ en el estimador MCG al que ahora llamamos GLS
“factible”.
Estimador de Cochrane-Orcutt. Se trata de un estimador
iterativo que permite estimar Ω(ρ) consistentemente. El protocolo
es el siguiente.
(1) Calculamos b = (X′X)−1X′y y los residuales e = y− Xb.
(2) Estimamos ρ1, . . . , ρp mediante la regresión auxiliar
ei = ρ1ei−1 + · · ·+ ρpei−p + ν con ν ∼ N(0, σ2ν)
Medidas remediales (cont.)
(3) Reestimamos los βj mediante
yi −
p∑
h=1
ρ̂hyi−h = β1
(
1−
p∑
h=1
ρ̂h
)
+ β2
(
xi2 −
p∑
h=1
ρ̂hxi−h,2
)
+
+β3
(
xi3 −
p∑
h=1
ρ̂hxi−h,3
)
+ · · ·+ ν con ν ∼ N(0, σ2ν)
(4) Obtenemos nuevos residuales con el vector b estimado en el
paso (3) y las matricesX e y originales.
(5) Calculamos nuevos ρ̂1, . . . , ρ̂p. Si la máxima diferencia entre
ρ̂m es menor a δ = 0, 001, paramos; si no, volvemos a (3).
(6) Finalmente, calculamos var .est(b) con el último vector b
obtenido.
Modelos autorregresivos de heteroscedasticidad condicional
(ARCH)
Algunas pruebas de autocorrelación (e.g. Durbin-Watson) son
inválidas ante la presencia de una estructura del error ARCH. Ésta
es una estructura de autocorrelación similar a la anterior, pero en
la varianza de los ϵi .
Para probar la presencia de una estructura ARCH planteamos la
regresión auxiliar
e2i = ρ0 + ρ1e
2
i−1 + · · ·+ ρpe2i−p + ν con ν ∼ N(0, σ2ν)
y calculamos su R2. Bajo la hipótesis nula, nR2 ∼ χ2(p). conviene
realizar esta prueba antes de probar correlación seriel del error.
	Definición de autocorrelación