Consequências da Especificação Incorreta do Modelo

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Consecuencias de una mala especificación del
modelo
Luis Frank
Depto. Métodos Cuantitativos
Facultad de Agronoḿıa
Universidad de Buenos Aires
Mayo, 2022
Introducción
Hasta el momento asumimos que nuestro modelo era coherente
con el verdadero proceso generador de datos. Sin embargo, suele
suceder en la práctica que por desconocimiento
▶ omitamos variables relevantes para explicar y, o bien
▶ incluyamos variables irrelevantes entre los regresores.
La pregunta que nos interesa responder entonces es ¿qué
consecuencias acarrea excluir del modelo variables que son
relevantes, o bien incluir variables que son irrelevantes? Es decir,
▶ qué consecuencias cabe esperar de una mala especificación.
Para responder esta pregunta reescribamos el modelo clásico como
y =
[
X1 X2
] [ β1
β2
]
+ ϵ con ϵ ∼ N(0, σ2In). (1)
Regresión particionada
El sistema de ecuaciones normales que resulta de minimizar la
suma de errores al cuadrado es ahora[
X′1X1 X
′
1X2
X′2X1 X
′
2X2
] [
b1
b2
]
=
[
X′1y
X′2y
]
,
y la solución para b1 que surge de la primera ecuación es
b1 = (X
′
1X1)
−1X′1(y− X2b2). (2)
En general, se verifica que
b1 ̸= (X′1X1)−1X′1y,
salvo que los regresores sean ortogonales entre śı, es decir que
X′1X2 = 0, situación que rara vez se da en la práctica.
Regresión particionada (cont.)
Introduciendo (2) en la segunda ecuación del sistema obtenemos
X′2 (In −M1)X2 b2 = X′2 (In −M1) y,
donde M1 = X1
(
X′1X1
)−1
X′1. La solución para b2 es
b2 =
[
X′2 (In −M1)X2
]−1
X′2 (In −M1) y. (3)
Notemos que
(a) In −M1 es una matriz idempotente, de modo que definiendo
X̃2 = (In −M1)X2 es posible calcular b2 por OLS
simplemente regresando y sobre X̃2;
(b) podemos calcular b1 en dos etapas primero con (3) (o por
OLS con X̃2) y luego con (2).
Omisión de variables relevantes
Recordemos el modelo (1) pero supongamos que (por descono-
cimiento) omitimos las variables X2. Si estimamos β1 por OLS
b̃1 = (X
′
1X1)
−1X′1y.
La esperanza de b̃1 es
E (b̃1|X) =
(
X′1X1
)−1
X′1E (X1β1 + X2β2 + ϵ|X)
= β1 +
(
X′1X1
)−1
X′1X2β2
donde resulta evidente que b̃1 es un estimador sesgado, salvo que
ocurra que X′1X2 = 0 o β2 = 0.
Para calcular la varianza de b1 conviene (sin pérdida de
generalidad) intercambiar b1 por b2 en (2) y (3) de modo que
b1 =
[
X′1 (In −M2)X1
]−1
X′1 (In −M2) y.
Omisión de variables relevantes (cont.)
Luego, la var(b1|X) es
var(b1) = σ
2
[
X′1(In −M2)X1
]−1
X′1 (In −M2)X1
[
X′1 (In −M2)X1
]−1
= σ2
[
X′1 (In −M2)X1
]−1
,
̸= σ2(X′1X1)−1
La diferencia entre las inversas de var(b̃1) var(b1) es
var(b̃1)
−1 − var(b1)−1 = σ−2X′1X1 − σ−2X′1 (In −M2)X1
= σ−2X′1M2X1,
donde la matriz del lado derecho es positva definida ya que puede
ser expresada como B′AB donde A = (X′2X2)
−1 y B = X′2X1.
Esto significa que para cualquier combinación lineal de b̃1 y b1
var(w′b̃1)
−1 > var(w′b1)
−1 o var(w′b̃1) < var(w
′b1).
Es decir, la varianza de del estimador sesgado b̃1 es siempre
menor que la del estimador insesgado b1.
Inclusión de variables irrelevantes
Recordemos una vez más el modelo clásico
y = X1β1 + ϵ con ϵ ∼ N
(
0, σ2In
)
,
pero supongamos que por error incluimos variables irrelevantes X2,
y =
[
X1 X2
] [ β1
0
]
+ ϵ con ϵ ∼
(
0, σ2In
)
(4)
En este caso, cabe esperar que
▶ E (b2) = 0 y que por lo tanto b1 sea un estimador insesgado
de β1.
▶ var(w′b1) > var(w′b̃1) (ver sección anterior) siendo ahora b̃1
el estimador correcto y b1 el estimador de variables
irrelevantes.
Es decir, la incluisión de variables irrelevantes produce estimadores
insesgados aunque ineficientes.