TP1_RegresionSimple

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Trabajo Práctico Nro. 1 de Econometŕıa
(Modelo de Regresión Lineal Simple)
[1.1] La tabla 1.1 muestra el rendimiento de máız (en quintales por hectárea) a distintas dosis
de fertilizante (en libras por acre) en el mismo establecimiento, entre 1971 y 1982.
(a) Trace un diagrama de dispersión y determine por inspección si existe una relación lineal
aproximada entre las variables
(b) Estime los parámetros de la recta de regresión que explicaŕıa la relación entre el rendi-
miento y y la variable independiente x.
(c) Interprete el significado de los estimadores de los parámetros b0 y b1.
(d) Plantee las hipótesis nula y alternativa para probar la significatividad estad́ıstica (al 5%)
de las estimaciones. Indique cuál es la la distribución muestral de b0 y b1, y qué distribución
debe emplearse para probar las hipótesis plateadas.
(e) Cuanto más cerca de la ĺınea de regresión caigan las observaciones, tanto mayor será la
variabilidad total de y explicada por la ecuación. Realice las pruebas de bondad de ajuste
y de correlación para los estimadores de los parámetros.
[1.2] A partir de los datos de la tabla 1.2 sobre consumo e ingreso de 15 familias ajuste una
recta de regresión consumo-ingreso de acuerdo al siguiente modelo
consumoi = β0 + β1 ingresoi + ϵi donde ϵi ∼ N(0, σ2).
(a) Obtener la propensión marginal a consumir.
(b) Construir un intervalo de confianza del 95% para el coeficiente de regresión.
(c) Interpretar la ordenada al origen.
(d) Calcular el coeficiente de determinación.
(e) Comprobar si se rechazan o no las siguientes hipótesis (α = 5%): β1 = 0, β1 = 0, 5,
β1 = 0, 1, β1 = −0, 1.
(f) Verificar la hipótesis de que el consumo no depende del ingreso.
(g) Predecir el consumo de una familia con ingreso igual a 70 unidades monetarias y de otra
con ingreso igual a 120 unidades monetarias.
[1.3] Los datos de la tabla 1.3 corresponden al crecimiento de los precios y de la cantidad de
dinero en un páıs para un peŕıodo de 10 años. Se pide:
(a) Estimar la regresión de la inflación con respecto al crecimiento de la cantidad de dinero.
Calcular R2 y verificar la significatividad de cada uno de los coeficientes del modelo.
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(b) La autoridad económica basa su poĺıtica monetaria en la relación existente entre estas
dos variables. ¿Está justificado el planeamiento de dicha poĺıtica?
[1.4] El agua como recurso limitante para la producción. La producción agropecuaria depende
en última instancia del crecimiento de las plantas. Una serie de estudios ha mostrado que, en los
pastizales, la tasa de acumulación de biomasa vegetal [g/m2.año], denominada productividad
primaria neta, guarda aproximadamente una relación lineal con la cantidad de lluvia anual
[mm]. Por ejemplo, Sala et al. (1988, Ecology 69(1):40-45) estimaron que para los pastizales del
centro de los Estados Unidos, la relación es aproximadamente:
PPNA = −34 + 0, 6PMA
donde PPNA es la productividad primaria neta aérea [g/m2/año] y PMA la precipitación media
anual en [mm]. Se midió la productividad primaria neta del pastizal (PPN) en 16 parcelas de
100 m2 cada una tomadas al azar en 4 áreas con diferentes valores de lluvias anual promedios.
Los datos obtenidos figuran en la tabla 1.4.
(a) Construir un diagrama de dispersión utilizando los datos de la tabla.
(b) Para cada valor de precipitación media anual, calcular separadamente el estimador pun-
tual de la PPN promedio del pastizal.
(c) Representar dichos estimadores en el diagrama de dispersión con un śımbolo diferente del
utilizado para representar a los datos de las parcelas.
(d) ¿El gráfico obtenido parece concordar con la idea de que la productividad primaria pro-
medio es una función lineal del promedio anual de precipitaciones?
(e) Comparar la recta trazada con los promedios calculados para cada valor de lluvia anual
promedio.
(f) Formular un modelo de regresión adecuado para estos datos.
(g) Obtener los estimadores puntuales de la ordenada al origen y de la pendiente por el
método de mı́nimos cuadrados. Interprete en términos del problema.
(h) Trace la recta correspondiente sobre el diagrama de dispersión e identifique su ordenada al
origen y su pendiente. (i) Calcule los residuales. ¿Para cuál valor de lluvia anual promedio
tienen mayores valores absolutos? ¿Cuánto suman los residuales?
(j) Calcular el estimador puntual de la varianza de la variable respuesta.
(k) Calcular intervalos del 95% de confianza para la ordenada al origen y para la pendiente.
(l) Poner a prueba la hipótesis nula H0: La pendiente es igual a cero.
(m) Calcular una banda de confianza para la recta de regresión.
[1.5] En la tabla 1.5 se presenta información sobre el producto interno bruto (PIB) de los
EE.UU. entre 1972-1991.
(a) Grafique el PIB en dólares corrientes y constantes de 1987 en función del tiempo.
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(b) Sea y el PIB y x el tiempo medido cronológicamente, comenzando por 1 en 1972, 2 en
1973, hasta 20 en 1991. Vea si el siguiente modelo se ajusta a los datos del PIB:
yi = β1 + β2 xi + ϵi, ϵi ∼ N(0, σ2).
(c) Estime este modelo para el PIB en dólares corrientes y constantes.
(d) ¿Cómo se interpretaŕıa β2?
(e) ¿Hay diferencia entre el β2 estimado para el PIB en dólares corrientes y el estimado para
el PIB en dólares constantes? ¿Cómo explicaŕıa esta diferencia?
(f) De los resultados obtenidos ¿qué puede decir sobre la naturaleza de la inflación en los
EEUU a lo largo del peŕıodo muestral?
[1.6] Suponga que está a cargo de una autoridad monetaria central en un páıs mı́tico. Se le dan
los datos de la tabla 1.6 sobre la cantidad de dinero e ingreso nacional (ambos en millones de
dólares) entre 1987 y 1996.
(a) Haga una gráfica de estos puntos en un diagrama de dispersión. Luego estime la regresión
del ingreso nacional y sobre la cantidad de dinero x y haga la gráfica de la recta en el
diagrama de dispersión.
(b) ¿Cómo interpreta el intercepto y la pendiente de la recta de regresión?
(c) Si tuviera el control sobre el suministro de dinero y deseara lograr un nivel de ingreso
nacional de 12,0 en 1997, ¿en qué nivel estableceŕıa el suministro de dinero? Expĺıquelo.
[1.7] Los datos de la tabla 1.7 representan la cantidad demandada de papa (en kilogramos/per
cápita, y) y los precios por kilogramo (x) correspondientes a una muestra de 100 familias. La
teoŕıa económica establece una clara relación entre estas dos variables. Conteste las siguientes
cuestiones.
(a) Verifique si existe relación entre ellas y analice la naturaleza de la misma. ¿Es lineal?
¿Podŕıa tener algún otro perfil diferente del lineal?
(b) Suponiendo que dicha relación funcional es lineal, estime los parámetros de la misma
y contraste las restricciones emanadas de la teoŕıa. ¿Cómo interpretar los parámetros
estimados?
(c) Ahora realice las siguientes transformaciones z = ln y y w = lnx. Ajuste una relación
lineal entre las variables en transformadas z y w. ¿Cuál es la diferencia con los resultados
del punto anterior? Ahora realice la transformación w = x2 y ajuste una regresión de y
en w. ¿Qué conclusiones extrae?
(d) Evalúe las elasticidades-precio en los dos casos anteriores (en la media de las distribuciones
de cantidades y precio) y compare los resultados.
(e) Realice una gráfica de los residuos y compare la distribución obtenida con la distribución
de los kilogramos demandados de papa por las 100 familias.
(f) Proponga intervalos de confianza para la predicción de los kilos de papa demandada por
una familia media a precios medios. Si se incrementa el precio medio en un 25%, ¿cómo
vaŕıa la cantidad demandada, en la muestra analizada?
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Ejercicios teóricos
[1.8] El método de mı́nimos cuadrados permite ajustar la recta “óptima” a una muestra
de observaciones, es decir, aquella que minimiza la suma de errores (distancia entre los
puntos observados y la ĺınea estimada) al cuadrado :
mı́n
{
n∑
i=1
(yi − ŷi)2
}
(a) ¿Respecto de qué variable se minimiza esta suma decuadrados?
(b) Deduzca las ecuaciones “normales” que conducen a los estimadores mı́nimo cuadráti-
cos ordinarios.
(c) Dichos estimadores ¿son insesgados? Demúestrelo.
(d) ¿Por qué es importante que el estimador sea eficiente?
(d) ¿Qué es un estimador consistente?
[1.9] Considere el siguiente modelo:
yi = β0 + β1
1
xi
+ ϵi donde ϵi ∼ N(0, σ2).
(a) ¿Es un modelo de regresión lineal?
(b) ¿Cómo estimaŕıa los parámetros del modelo?
(c) De un ejemplo, definiendo las variables, en el que esperaŕıa que β0 y β1 fueran
mayores que cero.
(d) ¿Cómo definiŕıa a β1 en términos del ejemplo que presentó en el punto anterior?
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