MECANICA_DE_MATERIALES

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MECÁNICA
DE MATERIALES
JAMES M. GERE BARRY J. GOODNO
OCTAVA EDICIÓN
Mecánica de materiales
Octava edición
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Mecánica de materiales
Octava edición
James M. Gere
Profesor Emérito, Stanford University
Barry J. Goodno
Georgia Institute of Technology
Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur
Traducción:
Lorena Peralta Rosales
María del Pilar Carril Villarreal
Traductoras profesionales
Revisión técnica:
José Nicolás Ponciano Guzmán
Instituto Tecnológico de Morelia
Tecnológico de Monterrey,
Campus Morelia
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Impreso en México
1 2 3 4 5 6 7 19 18 17 16
© D.R. 2016 por Cengage Learning Editores, S.A. de
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en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal
del Derecho de Autor, sin el consentimiento
por escrito de la Editorial.
Traducido del libro
Mechanics of materials
Eight edition
James Gere, Barry J. Goodno
Publicado en inglés por Cengage Learning © 2013
ISBN: 978-1-111-57773-5
Datos para catalogación bibliográfi ca:
Gere, James; Goodno, Barry J.
Mecánica de materiales
Octava edición
eISBN: 978-607-522-390-2
Visite nuestro sitio en:
http://latinoamerica.cengage.com
Mecánica de materiales
Octava edición
James Gere, Barry J. Goodno
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Estúdio Bistrô
Imágenes de portada:
©Shutterstock
Composición tipográfi ca:
Ediciones OVA
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James Monroe Gere ix
Prefacio xi
Símbolos xviii
Alfabeto griego xx
1. TENSIÓN, COMPRESIÓN Y CORTANTE 2
1.1 Introducción a la mecánica de materiales 4
1.2 Repaso de estática 6
1.3 Esfuerzo normal y deformación unitaria 
normal 27
1.4 Propiedades mecánicas de los materiales 37
1.5 Elasticidad, plasticidad y termofl uencia 45
1.6 Elasticidad lineal, ley de Hooke y relación 
de Poisson 52
1.7 Esfuerzo cortante y deformación unitaria 
cortante 57
1.8 Esfuerzos y cargas permisibles 68
1.9 Diseño por cargas axiales y cortante directo 74
Resumen y repaso del capítulo 80
Problemas 83
2. ELEMENTOS CARGADOS AXIALMENTE 118
2.1 Introducción 120
2.2 Cambios de longitud de elementos cargados 
axialmente 120
2.3 Cambios de longitud en condiciones 
no uniformes 130
2.4 Estructuras estáticamente indeterminadas 138
2.5 Efectos térmicos, desajustes y deformaciones 
previas 149
2.6 Esfuerzos sobre secciones inclinadas 164
2.7 Energía de deformación 176
*2.8 Carga de impacto 187
*2.9 Carga repetida y fatiga 195
*2.10 Concentraciones de esfuerzos 197
*2.11 Comportamiento no lineal 205
*2.12 Análisis elastoplástico 210
Resumen y repaso del capítulo 216
Problemas 218
3. TORSIÓN 254
3.1 Introducción 256
3.2 Deformaciones torsionales de una barra 
circular 257
3.3 Barras circulares de materiales linealmente 
elásticos 260
3.4 Torsión no uniforme 272
3.5 Esfuerzos y deformaciones unitarias 
en cortante puro 283
3.6 Relación entre los módulos de elasticidad 
E y G 290
3.7 Transmisión de potencia por ejes 
circulares 291
3.8 Elementos de torsión estáticamente 
indeterminados 296
3.9 Energía de deformación en torsión 
y cortante puro 300
3.10 Torsión de ejes prismáticos no circulares 307
3.11 Tubos de pared delgada 316
*3.12 Concentraciones de esfuerzos en torsión 324
Resumen y repaso del capítulo 328
Problemas 330
4. FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS 
FLEXIONANTES 352
4.1 Introducción 354
4.2 Tipos de vigas, cargas y reacciones 354
4.3 Fuerzas cortantes y momentos fl exionan-
tes 361
4.4 Relaciones entre cargas, fuerzas cortantes 
y momentos fl exionantes 371
4.5 Diagramas de fuerza cortante y de momento 
fl exionante 375
Resumen y repaso del capítulo 388
Problemas 390
5. ESFUERZOS EN VIGAS (TEMAS BÁSICOS) 402
5.1 Introducción 404
5.2 Flexión pura y fl exión no uniforme 404
5.3 Curvatura de una viga 405
5.4 Deformaciones longitudinales en vigas 407
5.5 Esfuerzos normales en vigas 
(materiales linealmente elásticos) 412
5.6 Diseño de vigas para esfuerzos 
de fl exión 426
5.7 Vigas no prismáticas 435
5.8 Esfuerzos cortantes en vigas con sección 
transversal rectangular 439
CONTENIDO
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vi Contenido
5.9 Esfuerzos cortantes en vigas con sección 
transversal circular 448
5.10 Esfuerzos cortantes en las almas de vigas con 
patines 451
*5.11 Trabes armadas y fl ujo cortante 458
*5.12 Vigas con cargas axiales 462
*5.13 Concentraciones de esfuerzos en fl exión 468
Resumen y repaso del capítulo 472
Problemas 476
6. ESFUERZOS EN VIGAS (TEMAS AVANZADOS) 506
6.1 Introducción 508
6.2 Vigas compuestas 508
6.3 Método de la sección transformada 517
6.4 Vigas doblemente simétricas con cargas 
inclinadas 526
6.5 Flexión de vigas asimétricas 533
6.6 Concepto de centro de cortante 541
6.7 Esfuerzos cortantes en vigas 
con secciones transversales abiertas 
de pared delgada 543
6.8 Esfuerzos cortantes en vigas de patín 
ancho 546
6.9 Centros de cortante en secciones abiertas 
de pared delgada 550
*6.10 Flexión elastoplástica 558
Resumen y repaso del capítulo 566
Problemas 569
7. ANÁLISIS DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN 588
7.1 Introducción 590
7.2 Esfuerzo plano 590
7.3 Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes 
máximos 598
7.4 Círculo de Mohr para esfuerzo plano 607
7.5 Ley de Hooke para esfuerzo plano 623
7.6 Esfuerzo triaxial 629
7.7 Deformación plana 633
Resumen y repaso del capítulo 648
Problemas 652
8. APLICACIONES DEL ESFUERZO PLANO 
(RECIPIENTES A PRESIÓN, VIGAS Y CARGAS 
COMBINADAS) 670
8.1 Introducción 672
8.2 Recipientes esféricos a presión 672
8.3 Recipientes cilíndricos a presión 678
8.4 Esfuerzos máximos en vigas 685
8.5 Cargas combinadas 694
Resumen y repaso del capítulo 712
Problemas 714
9. DEFLEXIONES DE VIGAS 728
9.1 Introducción 730
9.2 Ecuaciones diferenciales de la curva 
de defl exión 730
9.3 Defl exiones por integración de la ecuación 
del momento fl exionante 735
9.4 Defl exiones por integración de las ecuaciones 
de la fuerza cortante y de la carga 746
9.5 Método de superposición 752
9.6 Método de área-momento 760
9.7 Vigas no prismáticas 769
9.8 Energía de deformación por fl exión 774
*9.9 Teorema de Castigliano 779
*9.10 Defl exiones producidas por impacto 791
*9.11 Efectos de la temperatura 793
Resumen y repaso del capítulo 798
Problemas 800
10. VIGAS ESTÁTICAMENTE 
INDETERMINADAS 820
10.1 Introducción 822
10.2 Tipos de vigas estáticamente 
indeterminadas 822
10.3 Análisis de la curva de defl exión con 
ecuaciones diferenciales 825
10.4 Método de superposición 832
*10.5 Efectos de la temperatura 845
*10.6 Desplazamientos longitudinales 
en los extremos de una viga 853
Resumen y repaso
del capítulo 856
Problemas 858
11. COLUMNAS 868
11.1 Introducción 870
11.2 Pandeo y estabilidad 870
11.3 Columnas con extremos articulados 878
11.4 Columnas con otras condiciones 
de soporte 889
11.5 Columnas con cargas axiales excéntricas 899
11.6 Fórmula de la secante para columnas 904
11.7 Comportamiento elástico e inelástico 
de columnas 909
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Contenido vii
11.8 Pandeo inelástico 911
11.9 Fórmulas para diseño de columnas 916
Resumen y repaso del capítulo 934
Problemas 936
12. REPASO DE CENTROIDES Y MOMENTOS 
DE INERCIA 954
12.1 Introducción 956
12.2 Centroides de áreas planas 956
12.3 Centroides de áreas compuestas 959
12.4 Momentos de inercia de áreas planas 962
12.5 Teorema de los ejes paralelos para momentos 
de inercia 965
12.6 Momentos polares de inercia 969
12.7 Productos de inercia 971
12.8 Rotación de ejes 974
12.9 Ejes principales y momentos de inercia 
principales 976
Problemas 980
REFERENCIAS Y NOTAS HISTÓRICAS 987
APÉNDICE A: PROBLEMAS DE REPASO PARA EL 
EXAMEN DE FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA 
(FUNDAMENTALS OF ENGINEERING, FE) 995
APÉNDICE B: SISTEMAS DE UNIDADES 
Y FACTORES DE CONVERSIÓN 1037
APÉNDICE C: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1051
APÉNDICE D: FÓRMULAS MATEMÁTICAS 1057
APÉNDICE E: PROPIEDADES DE ÁREAS 
PLANAS 1063
APÉNDICE F: PROPIEDADES DE LOS PERFILES 
ESTRUCTURALES DE ACERO 1069
APÉNDICE G: PROPIEDADES DE LA MADERA 
ESTRUCTURAL 1081
APÉNDICE H: DEFLEXIONES Y PENDIENTES 
DE VIGAS 1083
APÉNDICE I: PROPIEDADES DE LOS 
MATERIALES 1089
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS 1095
ÍNDICE DE NOMBRES 1123
ÍNDICE ANALÍTICO 1125
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ix
JAMES MONROE GERE
(1925-2008)
James Monroe Gere, Profesor Emérito de Ingeniería Civil en la Stanford Uni-
versity, murió el 30 de enero de 2008 en Portola Valley, California. Nació el 14 
de junio de 1925 en Syracuse, NY. En 1942, a la edad de 17 años, ingresó al U.S. 
Army Air Corps y desempeñó su servicio militar en Inglaterra, Francia y Ale-
mania. Después de la Segunda Guerra Mundial obtuvo el grado de ingeniero 
y la maestría en ingeniería civil en el Rensselaer Polytechnic Institute, en 1949 y 
1951, respectivamente. Entre 1949 y 1952 trabajó como instructor y después 
como investigador asociado en Rensselaer. Se le otorgó una de las primeras be-
cas NSF y decidió estudiar en Stanford University. En 1954 obtuvo su grado de 
Ph.D. y se le ofreció un cargo en la Facultad de Ingeniería civil, dando inicio así 
a una carrera de 34 años en la que hizo que los estudiantes participaran en temas 
estimulantes de ingeniería mecánica, estructural y sísmica. Fue jefe de departa-
mento y decano asociado de ingeniería y en 1974 fue cofundador del John A. 
Blume Earthquake Engineering Center en Stanford. En 1980 también fue fun-
dador y presidente del Stanford Committee on Earthquake Preparedness, que 
exhortó a los miembros del campus universitario a asegurar y reforzar el equipo 
de ofi cina, mobiliario y otros objetos que pudieran representar un peligro para 
la vida en caso de sismo. Ese mismo año fue uno de los primeros extranjeros en 
ser invitado a estudiar la ciudad devastada por un sismo de Tangshan, China. 
Jim se jubiló de Stanford en 1988, pero continuó siendo un miembro muy apre-
ciado en la comunidad de Stanford, ya que en su tiempo libre aconsejó y guió a 
estudiantes en varias excursiones a la zona sísmica de California.
Jim Gere fue conocido por su comportamiento sociable, su alegre persona-
lidad y maravillosa sonrisa, su afi ción al atletismo y su capacidad como docente 
en ingeniería civil. Fue autor de nueve libros sobre diversos temas de ingeniería; 
el primero en 1972: Mecánica de materiales, un libro inspirado por su maestro 
y mentor Stephan P. Timoshenko. Sus otros libros famosos, que se utilizan en 
cursos de ingeniería en todo el mundo, incluyen: Teoría de estabilidad elásti-
ca, en coautoría con S. Timoshenko; Análisis matricial de estructuras y Álgebra 
matricial para ingenieros, los dos en coautoría con W. Weaver; Distribución de 
momentos; Tablas sísmicas: manual de diseño estructural y construcción, en coau-
toría con H. Krawinkler y Terra Non Firma: Comprensión y preparación para 
sismos, en coautoría con H. Shah.
El profesor Gere, respetado y admirado por los estudiantes, profesorado y 
personal de Stanford University, siempre sintió que la oportunidad de trabajar 
y servir a los jóvenes, tanto dentro como fuera del aula, fue una de sus mayo-
res alegrías. Le gustaba caminar y a menudo visitaba los Parques Nacionales 
de Yosemite y Grand Canyon. Realizó más de 20 ascensos al Half Dome, en 
Yosemite, y realizó varias excursiones a pie al “sendero John Muir”, recorrien-
(Ed Souza/Stanford News Service)
Jim Gere en la Biblioteca 
Timoshenko en Stanford, 
mostrando una copia de la 2a. 
edición de este libro (fotografía 
cortesía de Richard Weingardt 
Consultants, Inc.)
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x James Monroe Gere
do hasta 50 millas en un día. En 1986 llegó hasta el campamento base del Monte Everest, y le salvó la vida a un 
compañero de viaje. James fue un corredor activo y completó el Maratón de Boston a la edad de 48 años, con 
un tiempo de 3:13 horas.
John Gere siempre será recordado por todos los que lo conocieron como un hombre considerado y amoroso, 
que con su buen humor hizo más placenteros los aspectos de la vida y el trabajo. Su último proyecto (en progreso y 
ahora continuado por su hija Susan, en Palo Alto, California), fue un libro basado en las memorias de su bisabuelo, 
un coronel (112d NY) en la Guerra Civil.
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xi
La mecánica de materiales es un tema central de ingeniería que, junto con la estática, 
debe estudiar toda persona que tenga interés en la resistencia y el desempeño 
físi co de las estructuras, ya sean naturales o hechas por el hombre. En el nivel uni-
versitario, la estática se enseña por lo general durante el primero o segundo año y es 
un prerrequisito para el curso de mecánica de materiales que le sigue. Los dos cursos 
son obligatorios para la mayoría de los alumnos de ingeniería mecánica, estructural, 
civil, biomédica, petrolera, nuclear, aeronáutica y aeroespacial. Además, muchos 
estudiantes de áreas tan diversas como ciencia de materiales, ingeniería industrial, 
arquitectura e ingeniería agrícola también encuentran útil estudiar este tema.
UN PRIMER CURSO DE MECÁNICA DE MATERIALES
En la actualidad, en muchos programas universitarios de ingeniería se imparten 
las materias de estática y mecánica de materiales en grupos grandes, conformados 
por estudiantes de las distintas disciplinas de la ingeniería que se mencionaron. 
Los profesores de las diversas secciones paralelas deben cubrir el mismo material y 
todos los temas principales deben presentarse para que los estudiantes se preparen 
bien para los cursos más avanzados que requerirán sus programas específi cos de 
grado. Un prerrequisito esencial para el éxito en un primer curso de mecánica 
de materiales es una base sólida de estática, lo que incluye no sólo comprender 
los conceptos fundamentales, sino también competencia al aplicar las leyes del 
equilibrio estático para resolver problemas de dos y tres dimensiones. Esta octava 
edición comienza con una nueva sección de repaso de estática, en la que se revisan 
las leyes del equilibrio y las condiciones de frontera (o apoyo), así como los tipos 
de fuerzas aplicadas y las resultantes del esfuerzo interno, todo ello basado e infe-
rido de un diagrama de cuerpo libre bien trazado. Se incluyen numerosos ejemplos 
y problemas al fi nal de cada capítulo para ayudar al estudiante a repasar el análisis 
de armaduras planas y espaciales, ejes en torsión, vigas y estructuras planas y 
espaciales y para reforzar los conceptos básicos aprendidos en el curso anterior.
A muchos profesores les gusta presentar la teoría básica de la fl exión de vi-
gas, por poner un ejemplo, y luego utilizan ejemplos de
la vida real para motivar 
el interés del estudiante en el tema de fl exión y diseño de vigas, etc. En muchos 
casos, las estructuras del campus ofrecen fácil acceso a vigas, estructuras y unio-
nes sujetas con pernos que pueden analizarse en clase, o en problemas de tarea, 
para obtener las reacciones en los apoyos, fuerzas y momentos en los elementos 
y esfuerzos en las uniones. Además, el estudio de las causas de fallas en las es-
tructuras y componentes también ofrece al estudiante la oportunidad de iniciar 
el proceso de aprendizaje a partir de diseños reales e incluso de errores anterio-
res de ingeniería. Varios problemas nuevos de ejemplo, además de los nuevos o 
revisados de fi nal de capítulo en esta octava edición se basan en componentes 
o estructuras reales y son acompañados de fotografías para que el estudiante 
pueda visualizar el problema real al lado del modelo simplifi cado de mecánica y 
los diagramas de cuerpo libre que utilizará en su análisis.
En cada vez más universidades se está usando software de tecnología avan-
zada para captura de cátedra (o en el aula) en los cursos de licenciatura con 
grupos grandes de matemáticas, física e ingeniería y las numerosas fotografías 
nuevas y mejores gráfi cos de la octava edición se diseñaron para apoyar este 
modo mejorado de impartir cátedra.
PREFACIO
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xii Prefacio
LO NUEVO EN LA OCTAVA EDICIÓN DE 
MECÁNICA DE MATERIALES
Los temas principales que se estudian en el libro son el análisis y diseño de ele-
mentos estructurales sometidos a tensión, compresión, torsión y fl exión, inclui-
dos los conceptos fundamentales que se mencionan en los párrafos anteriores. 
Otros temas importantes son las transformaciones de esfuerzo y deformación 
unitaria, cargas combinadas, esfuerzos combinados, defl exiones de vigas y es-
tabilidad de columnas. Entre los temas especializados adicionales se incluyen 
los siguientes: concentraciones de esfuerzos, cargas dinámicas y de impacto, ele-
mentos no prismáticos, centros de cortante, fl exión de vigas de dos materiales 
(o vigas compuestas), fl exión de vigas asimétricas, esfuerzos máximos en vigas, 
métodos basados en energía para calcular las defl exiones de vigas y vigas está-
ticamente indeterminadas. En el capítulo 12 se presenta material de repaso de 
centroides y momentos de inercia.
Como ayuda para el estudiante, cada capítulo inicia con la Perspectiva gene-
ral del capítulo, donde se esbozan los temas que se estudiarán en el mismo, y termi-
na con un Resumen y repaso del capítulo, en el que se destacan los puntos clave y 
las principales fórmulas matemáticas que se presentaron en el capítulo para un 
repaso rápido (en preparación para exámenes sobre el material). Cada capítulo 
comienza también con una fotografía de un componente o una estructura que 
ilustra los conceptos clave que se estudiarán en el mismo.
Algunas de las características notables de esta octava edición, que se han 
agregado como material nuevo o actualizado para satisfacer las necesidades de 
un curso moderno de mecánica de materiales, se enumeran a continuación.
 • Repaso de estática. Se incluye en el capítulo 1 una sección titulada Repaso 
de estática. La nueva sección 1.2 incluye cuatro problemas de ejemplo que 
ilustran el cálculo de las reacciones de apoyo y las resultantes de esfuerzo in-
terno para estructuras de armaduras, vigas, ejes circulares y estructuras pla-
nas. Veintiséis problemas de fi nal de capítulo sobre estática proporcionan al 
estudiante estructuras de dos y tres dimensiones que pueden utilizarse como 
práctica, repaso o problemas de tarea de diferente grado de difi cultad.
 • Ampliación de las secciones Perspectiva general del capítulo y Resumen y 
repaso del capítulo. Estas secciones se han ampliado y ahora incluyen las 
ecuaciones fundamentales que se presentan en el capítulo. Estas secciones 
le sirven al estudiante como repaso de los temas y ecuaciones más impor-
tantes que se presentaron en cada capítulo.
 • Mayor énfasis en ecuaciones de equilibrio, constitutivas y de esfuerzo-des-
plazamiento/compatibilidad en las soluciones de los problemas. Las solu-
ciones de los problemas de ejemplo y de fi nal de capítulo se han actualizado 
para subrayar el proceso ordenado de escribir explícitamente las ecuacio-
nes de equilibrio, constitutivas y de esfuerzo-desplazamiento/compatibili-
dad antes de intentar llegar a la solución.
 • Cobertura ampliada/nueva de temas. Los siguientes temas se han agregado o 
ampliado: concentraciones de esfuerzos en barras con carga axial (sección 
2.10); torsión de ejes no circulares (sección 3.10); concentraciones de es-
fuerzos en fl exión (sección 5.13); análisis de secciones transformadas para 
vigas compuestas (sección 6.3), y provisiones de códigos actualizadas 
para el pandeo de columnas de acero, aluminio y madera (sección 11.9).
 • Nuevos problemas de ejemplo y de fi nal de capítulo. Se han agregado 48 nue-
vos problemas de ejemplo. Además, hay 287 problemas nuevos de fi nal de 
capítulo y 513 revisados de los 1230 que se presentan en la octava edición.
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Prefacio xiii
 • Nuevo apéndice A. El nuevo apéndice A presenta 106 problemas de repaso 
del tipo que contiene el examen de FE en Mecánica de materiales, los cua-
les abarcan todos los temas principales que se presentan en el libro y son 
representativos de los que quizás aparecerían en tal examen. Cada uno de 
los problemas se presenta en el formato del examen de FE. Se espera que 
el repaso cuidadoso de estos problemas sirva como guía útil para quien se 
prepara para presentar este importante examen.
EJEMPLOS
A lo largo del libro se presentan ejemplos para ilustrar los conceptos teóricos y 
mostrar cómo se pueden emplear en situaciones prácticas. En algunos casos se 
agregan nuevas fotografías que muestran las estructuras o componentes reales 
de ingeniería para reforzar el vínculo entre la teoría y la práctica. En los ejem-
plos en clase y en el libro, es apropiado comenzar con modelos simplifi cados 
de análisis de la estructura o componente, y el o los diagramas de cuerpo libre 
asociados para ayudar al estudiante a entender y aplicar la teoría pertinente en 
el análisis de ingeniería del sistema. Los ejemplos del libro varían en extensión 
de una o cuatro páginas, dependiendo de la complejidad del material que se 
ilustra. Cuando el énfasis recae en los conceptos, los ejemplos se resuelven en 
términos simbólicos para ilustrar mejor las ideas, y cuando el énfasis se centra 
en la resolución de problemas, los ejemplos son de carácter numérico. En ciertos 
ejemplos seleccionados se agrega una representación gráfi ca de los resultados 
(por ejemplo, esfuerzos en vigas) para incrementar la comprensión del estudian-
te de los resultados del problema.
PROBLEMAS
En todos los cursos de mecánica, la resolución de problemas es una parte impor-
tante del proceso de aprendizaje. Este libro ofrece más de 1230 problemas de tarea 
y de análisis en el aula, los cuales se encuentran al fi nal del cada capítulo, de 
manera que se puedan encontrar con facilidad y no interrumpan la presentación 
del tema principal. Además, en general, los problemas se presentan en orden cre-
ciente de difi cultad, alertando así a los estudiantes del tiempo necesario para su 
resolución. Las respuestas de todos los problemas se encuentran al fi nal del libro.
Como ya se señaló antes, en esta edición se incluye un nuevo apéndice que 
contiene más de 100 problemas del tipo del examen de FE. Numerosos estu-
diantes en Estados Unidos presentan en cuanto se gradúan este Examen de Fun-
damentos de ingeniería, ya que es el primer paso en el camino para lograr el 
registro como ingeniero profesional. Estos problemas abarcan todos los temas 
principales que se incluyen en el libro y son representativos de los que tal vez 
aparecerán en un examen de FE. La mayoría de estos problemas se expresan en 
unidades SI, que es el sistema de unidades que se usa
en el propio examen de 
FE, y requieren una calculadora de ingeniería para obtener la solución. Cada 
uno de los problemas se presenta en el formato del examen de FE. El estudiante 
debe seleccionar entre cuatro respuestas disponibles (A, B, C o D), y sólo una 
de ellas es la correcta. La solución detallada de cada problema está disponible 
para descarga en el sitio web del estudiante. Se espera que el repaso cuidadoso 
de estos problemas sirva como guía útil para el estudiante que se prepara para 
este importante examen.
Se ha hecho un esfuerzo considerable para revisar y corregir las pruebas del 
libro con el objetivo de eliminar errores, pero si encontrara alguno, sin importar 
lo trivial que parezca, por favor notifíqueme por correo electrónico (bgoodno@
ce.gatech.edu), para que podamos corregirlo en la siguiente reimpresión.
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xiv Prefacio
UNIDADES
En los ejemplos y problemas se utilizan tanto el sistema internacional de uni-
dades (SI) como el sistema inglés de uso acostumbrado en Estados Unidos. En 
el apéndice B se explican ambos sistemas y se incluye una tabla de factores de 
conversión. Para los problemas que requieren soluciones numéricas, los pro-
blemas impares se expresan en unidades inglesas y los pares en unidades SI. 
Esta convención facilita conocer de antemano cuál sistema de unidades se usa 
en cualquier problema específi co. Además, en el apéndice F se incluyen tablas 
que contienen propiedades de perfi les estructurales de acero, tanto en unidades 
inglesas como en SI, de manera que la resolución de análisis de vigas y de los 
ejemplos de diseño y los problemas al fi nal de cada capítulo se pueda llevar a 
cabo en unidades inglesas o SI.
RECURSOS COMPLEMENTARIOS EN INGLÉS 
PARA EL PROFESOR
Para los profesores se encuentra disponible un Instructor´s Manual, tanto en 
versión impresa como digital. La versión digital está a disposición de los pro-
fesores registrados en el sitio web de Cengage Learning. Este sitio web también 
incluye un conjunto completo de diapositivas PowerPoint que contienen todas 
las representaciones gráfi cas del libro y un conjunto de diapositivas PowerPoint 
de todas las ecuaciones y problemas de ejemplo para uso de los profesores du-
rante la clase o en sesiones de repaso.
Para acceder a estos materiales adicionales del curso, visite www.cengage-
brain.com. En la página de inicio de cengagebrain.com, busque el ISBN de su 
título (que aparece en la contraportada de su libro) utilizando el cuadro de bús-
queda en la parte superior de la página. Esto lo llevará a la página del producto, 
donde encontrará estos recursos.
S. P. TIMOSHENKO (1878-1972) 
Y J. M. GERE (1925-2008)
Numerosos lectores de este libro reconocerán el nombre de Stephen P. Timo-
shenko, que tal vez sea el nombre más famoso en el campo de la mecánica aplica-
da. Timoshenko es reconocido como el precursor más extraordinario del mundo 
en mecánica aplicada. Contribuyó con muchas ideas y conceptos nuevos y se 
hizo famoso tanto por su erudición como por su enseñanza. Por medio de sus 
numerosos libros ejerció un efecto profundo en la enseñanza de la mecánica, no 
sólo en Estados Unidos, sino en cualquier parte donde se estudie la mecánica. 
Timoshenko fue maestro y mentor de James Gere, y estimuló la primera edición 
de este libro de James M. Gere, publicada en 1972; la segunda edición y cada 
subsiguiente de este libro fueron escritas por James Gere en el transcurso de su 
larga y distinguida carrera como autor, educador e investigador en Stanford 
University. James Gere inició en 1952 sus estudios de doctorado en dicha uni-
versidad, de donde en 1988 se jubiló como profesor, después de haber escrito 
este y otros ocho libros reconocidos y respetados sobre mecánica e ingeniería 
estructural y sísmica. Permaneció activo en Stanford University como Profesor 
Emérito hasta su deceso en enero de 2008.
Al fi nal del libro, en la primera referencia de la sección Referencias y notas 
históricas, se presenta una biografía breve de Timoshenko y en la edición de 
00_Prelim_GERE.indd xiv 12/12/14 11:11
Prefacio xv
agosto de 2007 de la revista STRUCTURE aparece un artículo titulado “Ste-
phen P. Timoshenko: Father of Engineering Mechanics in the U.S.” de Richard 
G. Weingardt, P.E. Este artículo proporciona una perspectiva histórica excelen-
te sobre este y muchos otros libros sobre ingeniería mecánica escritos por estos 
autores.
AGRADECIMIENTOS
Es imposible agradecer a todos los que contribuyeron de alguna manera en este 
libro, pero tengo una gran deuda con mis profesores de Stanford University, en 
especial con mi mentor, amigo y autor principal, James M. Gere.
Agradezco a mis numerosos colegas que enseñan Mecánica de materiales 
en diversas instituciones del mundo, que han proporcionado sus comentarios y 
crítica constructiva sobre el libro; vaya mi agradecimiento para todos estos revi-
sores anónimos. Con cada nueva edición, sus consejos han derivado en mejoras 
signifi cativas, tanto en contenido como en pedagogía.
Expreso mi aprecio y agradecimiento a los revisores que proporcionaron 
comentarios específi cos para esta octava edición:
Jonathan Awerbuch, Drexel University
Henry N. Christiansen, Brigham Young University
Remi Dingreville, NYU—Poly
Apostolos Fafi tis, Arizona State University
Paolo Gardoni, Texas A & M University
Eric Kasper, California Polytechnic State University, San Luis Obispo
Nadeem Khattak, University of Alberta
Kevin M. Lawton, University of North Carolina, Charlotte
Kenneth S. Manning, Adirondack Community College
Abulkhair Masoom, University of Wisconsin—Platteville
Craig C. Menzemer, University of Akron
Rungun Nathan, The Pennsylvania State University, Berks
Douglas P. Romilly, University of British Columbia
Edward Tezak, Alfred State College
George Tsiatis, University of Rhode Island
Xiangwu (David) Zeng, Case Western Reserve University
Mohammed Zikry, North Carolina State University
00_Prelim_GERE.indd xv 12/12/14 11:11
xvi Prefacio
También quiero agradecer a mis colegas de ingeniería estructural y mecá-
nica del Georgia Institute of Technology; muchos de ellos me dieron valiosos 
consejos sobre varios aspectos de las revisiones y adiciones que condujeron a 
la presente edición. Es un privilegio trabajar con todos estos educadores y po-
der aprender de ellos en las interacciones y discusiones casi diarias acerca de la 
ingeniería estructural y mecánica en el contexto de la investigación y la educa-
ción superior. Deseo manifestar mi agradecimiento a mis muchos estudiantes, 
actuales y del pasado, que han ayudado a conformar este libro en sus distintas 
ediciones. Por último, deseo agradecer el excelente trabajo de Germán Rojas, 
PhD., PEng., que comprobó con cuidado las soluciones de muchos de los ejem-
plos nuevos y problemas al fi nal de cada capítulo.
Los aspectos de edición y producción del libro siempre estuvieron en manos 
hábiles y experimentadas, gracias al personal talentoso y conocedor de Cengage 
Learning. Su objetivo fue el mismo que el mío: producir la mejor nueva edición 
posible del libro, sin comprometer ningún aspecto de este.
Las personas con las que he tenido contacto personal en Cengage Lear-
ning son Christopher Carson, director ejecutivo, Global Publishing Program, 
Christopher Shortt, publisher, Global Engineering Program, Randall Adams 
y Swati Meherishi, Acquisitions Editors, que proporcionaron guía y orienta-
ción a lo largo del proyecto; Hilda Gowans, Senior Developmental Editor en el 
área de ingeniería, que siempre estuvo disponible para brindarme información 
y ánimo; Kristiina Paul, que administró todos los aspectos de la nueva selección 
de fotografías e investigación sobre los permisos; Andrew Adams, que creó el 
diseño de la portada del libro, y Lauren Betsos, Global Marketing Manager, 
que desarrolló material promocional de apoyo. Quiero reconocer el trabajo de 
Rose Kerman, de RPK Editorial Services, y el de su personal, que editaron el
manuscrito y lo administraron durante todo el proceso de producción. A cada 
una de estas personas le expreso mi más sincero agradecimiento por un trabajo 
bien realizado. Ha sido un placer trabajar con ustedes casi todos los días para 
producir esta octava edición.
Estoy muy agradecido por la paciencia y el aliento proporcionados por mi 
familia, en especial mi esposa, Lana, durante todo este proyecto.
Por último, me siento muy complacido de seguir trabajando en este pro-
yecto, por invitación de mi mentor y amigo, Jim Gere. Esta octava edición ha 
cumplido ya su cuadragésimo aniversario de publicación. Estoy comprometido 
con la excelencia continua del libro y agradeceré todo tipo de comentarios y 
sugerencias. Por favor siéntase en libertad de expresarme sus comentarios en 
bgoodno@ce.gatech.edu.
Barry J. Goodno
Atlanta, Georgia
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Prefacio xvii
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 A área
 Af, Aw área de un patín; área del alma
 a, b, c dimensiones, distancias
 C centroide, fuerza de comprensión, constante de integración
 c distancia del eje neutro a la superfi cie exterior de una viga
 D diámetro
 d diámetro, dimensión, distancia
 E módulo de elasticidad
 Er, Et módulo de elasticidad reducido; módulo de elasticidad tangente
 e excentricidad, dimensión, distancia, cambio de volumen unitario 
(dilatación)
 F fuerza
 f fl ujo cortante, factor de forma para fl exión plástica, fl exibilidad, 
frecuencia (Hz)
 fT fl exibilidad torsional de una barra
 G módulo de elasticidad en cortante
 g aceleración de la gravedad 
 H altura, distancia, fuerza o reacción horizontal, caballo de potencia
 h altura, dimensiones
 I momento de inercia (o segundo momento) de un área plana
 Ix, Iy, Iz momentos de inercia con respecto a los ejes x, y y z 
 Ix1, Iy1 momentos de inercia con respecto a los ejes x1 y y1 (ejes girados)
 Ixy producto de inercia con respecto a los ejes xy
 Ix1y1 producto de inercia con respecto a los ejes x1y1 (ejes girados)
 IP momento polar de inercia
 I1, I2 momentos principales de inercia
 J constante de torsión
 K factor de concentración de esfuerzo, módulo de elasticidad volu-
métrico, factor de longitud efectiva para una columna
 k constante de resorte, rigidez, símbolo de 2P/EI
 kT rigidez a la torsión de una barra
 L longitud, distancia
 LE longitud efectiva de una columna
 ln, log logaritmo natural (base e); logaritmo común (base 10)
 M momento fl exionante, par, masa 
 MP, MY momento plástico para una viga; momento de fl uencia para una 
viga
 m momento por unidad de longitud, masa por unidad de longitud
 N fuerza axial
 n factor de seguridad, entero, revoluciones por minuto (rpm)
 O origen de coordenadas 
 O′ centro de curvatura
 P fuerza, carga concentrada, potencia
 Pperm carga permisible (o carga de trabajo)
SÍMBOLOS
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Símbolos xix
 Pcr carga crítica para una columna
 PP carga plástica para una estructura
 Pr, Pt carga de módulo reducido para una columna; carga de módulo 
tangente para una columna
 PY carga de fl uencia para una estructura
 p presión (fuerza por unidad de área)
 Q fuerza, carga concentrada, momento estático de un área plana
 q intensidad de carga distribuida (fuerza por unidad de distancia)
 R reacción, radio
 r radio, radio de giro (r 2I/A)
 S módulo de sección de la sección transversal de una viga, centro de 
cortante
 s distancia, distancia a lo largo de una curva
 T fuerza de tensión, par de torsión, temperatura
 TP, TY par de torsión plástico; par de torsión de fl uencia
 t espesor, tiempo, intensidad de par de torsión (par de torsión por 
unidad de distancia)
 tf, tw espesor del patín; espesor del alma
 U energía de deformación
 u densidad de energía de deformación (energía de deformación por 
unidad de volumen)
 ur, ut módulo de resistencia; módulo de tenacidad
 V fuerza cortante, volumen, fuerza vertical o reacción
 v defl exión de una viga, velocidad
 v′, v″, etc. dv/dx, d2v/dx2, etc.
 W fuerza, peso, trabajo
 w carga por unidad de área (fuerza por unidad de área)
 x, y, z ejes rectangulares (origen en el punto O)
 xc, yc, zc ejes rectangulares (origen en el centroide C)
 x, y, z coordenadas del centroide
 Z módulo plástico de la sección transversal de una viga
 α ángulo, coefi ciente de dilatación térmica, razón adimensional
 β ángulo, razón adimensional, constante de resorte, rigidez
 βR rigidez a la rotación de un resorte
 γ deformación unitaria por esfuerzo cortante, densidad de peso (peso 
por unidad de volumen)
 γxy, γyz, γzx deformaciones unitarias por esfuerzos cortantes en los planos xy, 
yz y zx
 γx1y1 deformación unitaria por esfuerzo cortante con respecto a los ejes 
x1y1 (ejes girados)
 γθ deformación por esfuerzo cortante para ejes inclinados
 δ defl exión de una viga, desplazamiento, alargamiento de una barra 
o un resorte
 ΔT diferencial de temperatura
 δP, δY desplazamiento plástico, desplazamiento de fl uencia
 ε deformación unitaria normal
 εx, εy, εz deformaciones unitarias normales en las direcciones x, y y z
 εx1, εy1 deformaciones unitarias normales en las direcciones x1 y y1 (ejes 
girados)
 εθ deformación unitaria normal para ejes inclinados
 ε1, ε2, ε3 deformaciones unitarias normales principales
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xx Símbolos
 ε′ deformación unitaria lateral en esfuerzo uniaxial
 εΤ deformación unitaria térmica
 εY deformación unitaria de fl uencia
 θ ángulo, ángulo de rotación del eje de una viga, razón de torsión
de 
una barra en torsión (ángulo de torsión por unidad de longitud)
 θp ángulo con respecto a un plano principal o a un eje principal
 θs ángulo con respecto a un plano de esfuerzo cortante máximo
 κ curvatura (κ = 1/ρ)
 λ distancia, acortamiento por curvatura
 ν relación de Poisson
 ρ radio, radio de curvatura (ρ = 1/κ), distancia radial en coordenadas 
polares, densidad de masa (masa por unidad de volumen)
 σ esfuerzo normal
 σx, σy, σz esfuerzos normales sobre planos perpendiculares a los ejes x, y y z 
 σx1, σy1 esfuerzos normales sobre los planos perpendiculares a los ejes x1y1 
(ejes girados)
 σθ esfuerzo normal sobre un plano inclinado
 σ1, σ2, σ3 esfuerzos normales principales
 σperm esfuerzo permisible (o esfuerzo de trabajo)
 σcr esfuerzo crítico para una columna (σcr = Pcr/A)
 σpl esfuerzo en el límite de proporcionalidad
 σr esfuerzo residual
 σT esfuerzo térmico
 σU, σY esfuerzo último; esfuerzo de fl uencia
 τ esfuerzo cortante
 τxy, τyz, τzx esfuerzos cortantes sobre planos perpendiculares a los ejes x, y y z 
y actuando paralelos a los ejes y, z y x
 τx1y1 esfuerzo cortante sobre un plano perpendicular al eje x1 y actuando 
paralelo al eje y1 (ejes girados)
 τθ esfuerzo cortante sobre un plano inclinado
 τperm esfuerzo permisible (o esfuerzo de trabajo) en cortante
 τU, τY esfuerzo último en cortante; esfuerzo de fl uencia en cortante
 φ ángulo, ángulo de torsión de una barra en torsión
 ψ ángulo, ángulo de rotación
 ω velocidad angular, frecuencia angular (ω = 2πf)
ALFABETO GRIEGO
A α NAlfa ν Ni
B β Beta Ξ ξ Xi
Γ γ Gama O
δ Delta Π π Pi
E ε Épsilon ρ Rho
Z ζ Zeta Σ σ Sigma
H η Eta τ Tau
Θ θ Theta υ Upsilon
I ι Iota Φ φ Fi
K κ Kappa
Ómicron
P
T
X χ Ji
Λ λ Lambda Ψ ψ Psi
M μ Mi Ω ω Omega
ο
*Una estrella junto a un número de sección indica que se trata de un tema especializado.
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Mecánica de materiales
00_Prelim_GERE.indd xxi 12/12/14 11:11
4 Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante
 1.1 INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA 
DE MATERIALES
La mecánica de materiales es una rama de la mecánica aplicada que trata del 
comportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a diversas cargas. Otros nom-
bres para este campo de estudio son resistencia de materiales y mecánica de los 
cuerpos deformables. Los cuerpos sólidos que se consideran en este libro inclu-
yen barras sometidas a cargas axiales, ejes en torsión, vigas en fl exión y colum-
nas en compresión.
El objetivo principal de la mecánica de materiales radica en determinar los 
esfuerzos, deformaciones unitarias y desplazamientos en estructuras y sus com-
ponentes, causadas a las cargas que actúan sobre ellas. Si podemos determinar 
estas cantidades para todos los valores de las cargas, incluyendo las que causan 
la falla, tendremos una representación completa del comportamiento mecánico 
de esas estructuras.
Comprender el comportamiento mecánico resulta esencial para el diseño 
seguro de todo tipo de estructuras, ya sean aeroplanos y antenas, edifi cios y 
puentes, máquinas y motores o barcos y naves espaciales. Es por esta razón que 
la mecánica de materiales es una disciplina básica en muchos campos de la inge-
niería. La estática y la dinámica también son esenciales, pero estos temas tratan 
principalmente con las fuerzas y movimientos asociados con partículas y cuer-
pos rígidos. En la mecánica de materiales, la mayoría de los problemas comienza 
con un examen de las fuerzas internas y externas que actúan sobre un cuerpo 
deformable estable. Primero se defi nen las cargas que actúan sobre el cuerpo, 
junto con sus condiciones de soporte, luego se determinan las fuerzas de reac-
ción en los soportes y las fuerzas internas en los elementos que lo componen, 
utilizando para ello las leyes fundamentales del equilibrio estático (siempre que 
sea isostático). Para realizar el análisis estático apropiado de una estructura, 
resulta esencial un diagrama de cuerpo libre bien elaborado.
En la mecánica de materiales, vamos un paso más allá de los conceptos 
expuestos en la estática, hasta analizar los esfuerzos y deformaciones unitarias 
dentro de cuerpos reales; es decir, cuerpos de dimensiones fi nitas que se defor-
man con cargas. Para determinar los esfuerzos y deformaciones unitarias se uti-
lizan las propiedades físicas de los materiales, así como numerosas leyes y con-
ceptos teóricos. Más adelante se verá que la mecánica de materiales proporciona 
mayor información esencial con base en las deformaciones del cuerpo, lo cual 
permite resolver los problemas llamados estáticamente indeterminados (lo que 
no es posible si sólo se emplean las leyes de la estática).
Los análisis teóricos y resultados experimentales desempeñan papeles igual-
mente importantes en la mecánica de materiales. Se emplean teorías para de-
ducir fórmulas, y ecuaciones para predecir el comportamiento mecánico, pero 
esas expresiones no se pueden usar en un diseño práctico, a menos que se co-
nozcan las propiedades físicas de los materiales. Esas propiedades se conocen 
sólo después de que se han efectuado experimentos cuidadosos en el laboratorio. 
Además, no todos los problemas prácticos facilitan al análisis teórico, y en esos 
casos son necesarias las pruebas físicas.
El desarrollo histórico de la mecánica de materiales es una mezcla fascinan-
te, tanto de teoría como de experimentación; la teoría ha señalado el camino 
para obtener resultados útiles en algunos casos y en otros lo ha hecho la experi-
mentación. Algunos personajes famosos, como Leonardo da Vinci (1452-1519) 
y Galileo Galilei (1564-1642), realizaron experimentos para determinar la resis-
tencia de alambres, barras y vigas, si bien no desarrollaron teorías adecuadas 
(respecto a las normas actuales) para explicar los resultados de sus pruebas. En 
contraste, el famoso matemático Leonhard Euler (1707-1783) desarrolló la teo-
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Tensión, compresión 
y cortante
1 C A P Í T U L O
Esta torre de tele-
comunicaciones es un 
conjunto de muchos 
elementos que trabajan 
principalmente en ten-
sión y compresión. (Peter 
budella/Shutterstock)
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PERSPECTIVA GENERAL DEL CAPÍTULO
En este capítulo se presenta una introducción a la me-
cánica de materiales, que analiza los esfuerzos, las de-
formaciones unitarias y los desplazamientos en barras de 
diferentes materiales sometidas a cargas axiales aplica-
das en los centroides de sus secciones transversales. Tras 
un breve repaso de los conceptos básicos de la estática, 
aprenderemos acerca del esfuerzo normal (σ) y la de-
formación unitaria normal (ε) en materiales empleados 
en aplicaciones estructurales; luego identifi caremos las 
propiedades clave de diversos materiales, como el mó-
dulo de elasticidad (E), fl uencia (σy) y esfuerzos de rup-
tura (σu), a partir de gráfi cas del esfuerzo (σ) en función 
de la deformación unitaria (ε). También grafi caremos el 
esfuerzo cortante (τ) en función de la deformación uni-
taria por esfuerzo cortante (γ) e identifi caremos el coefi -
ciente de elasticidad en cortante (G). Si estos materiales 
sólo se desempeñan en el modo elástico, el esfuerzo y la 
deformación unitaria están relacionadas por la ley de 
Hooke para esfuerzo normal y deformación unitaria 
normal (σ = E • ε), y también para el esfuerzo cortante 
y la deformación unitaria en cortante (τ = G • γ ). Vere-
mos que los cambios en las dimensiones laterales y en 
el volumen dependen de la relación de Poisson (ν). De 
hecho, las propiedades de los materiales E, G y ν, están 
directamente relacionadas entre sí y no son propiedades 
independientes del material.
El ensamblaje de barras para formar estructuras 
(como armaduras) nos lleva a considerar los esfuerzos 
cortante promedio (τ) y de aplastamiento (σb) en sus 
uniones, así como los esfuerzos normales que actúan 
sobre el área neta de la sección transversal (si está en 
tensión) o sobre toda el área de la sección transversal 
(si está en compresión). Si restringimos
los esfuerzos 
máximos en cualquier punto a valores permisibles me-
diante el uso de factores de seguridad, podemos iden-
tifi car los niveles permisibles de las cargas axiales para 
sistemas simples, como cables y barras. Los factores de 
seguridad relacionan la resistencia real con la requerida 
de los elementos estructurales y toman en considera-
ción una variedad de incertidumbres, como variaciones 
en las propiedades del material y la probabilidad de 
una sobrecarga accidental. Por último, consideraremos 
al diseño, que es el proceso iterativo mediante el que 
se determina el tamaño apropiado de los elementos 
estructurales para cumplir con diversos requisitos tan-
to de resistencia como de rigidez para una estructura 
en particular sometida a una variedad de cargas dife-
rentes.
El capítulo 1 está organizado de la siguiente manera:
1.1 Introducción a la mecánica de materiales 4
1.2 Repaso de estática 6
1.3 Esfuerzo normal y deformación unitaria 
normal 27
1.4 Propiedades mecánicas de los materiales 37
1.5 Elasticidad, plasticidad y termofl uencia 45
1.6 Elasticidad lineal, ley de Hooke y relación de 
Poisson 52
1.7 Esfuerzo cortante y deformación unitaria 
cortante 57
1.8 Esfuerzos y cargas permisibles 68
1.9 Diseño por cargas axiales y cortante directo 74
 Resumen y repaso del capítulo 80
 Problemas 83
01_Cap01_GERE.indd 3 10/12/14 15:27
1.1 Introducción a la mecánica de materiales 5
ría matemática de las columnas, y en 1744 calculó la carga crítica de una colum-
na, mucho antes que existiera alguna evidencia experimental que demostrara la 
importancia de sus resultados. Sin ensayos apropiados para apoyar sus teorías, 
los resultados de Euler permanecieron sin usar durante más de cien años, aun-
que en la actualidad constituyen la base del diseño y análisis de la mayoría de 
las columnas.*
 Problemas
Al estudiar la mecánica de materiales, descubrirá que el tema se divide de ma-
nera natural en dos partes: la primera, en comprender el desarrollo lógico de 
los conceptos, y la segunda, aplicar estos conceptos a situaciones prácticas. Lo 
primero se logra estudiando las deducciones, explicaciones y ejemplos que apa-
recen en cada capítulo, y lo segundo se logra resolviendo los problemas de fi nal 
de capítulo. Algunos de los problemas son de carácter numérico y otros son 
simbólicos (o algebraicos).
Una ventaja de los problemas numéricos es que las magnitudes de todas las 
cantidades son evidentes en cada etapa de los cálculos, lo que permite observar 
si los valores son o no razonables. La ventaja principal de los problemas simbó-
licos es que conducen a fórmulas de propósito general. Una fórmula presenta 
las variables que afectan los resultados fi nales; por ejemplo, en la solución es 
posible cancelar una cantidad, un hecho que no sería evidente en una solución 
numérica. Además, una solución algebraica muestra la manera en que cada va-
riable afecta los resultados, como cuando una variable aparece en el numerador 
y otra en el denominador. Además, una solución simbólica permite comprobar 
las dimensiones en cada etapa del trabajo.
Por último, la razón más importante para resolver problemas de manera 
algebraica es obtener una fórmula general que se pueda emplear para muchos 
problemas distintos. En contraste, una solución numérica sólo se aplica a un 
conjunto de circunstancias. Como los ingenieros deben ser expertos en las dos 
clases de soluciones, usted encontrará una mezcla de problemas numéricos y 
simbólicos en todo el libro.
Los problemas numéricos requieren trabajar con unidades específi cas de 
medida. Con base en la práctica actual de la ingeniería moderna, en este libro 
se utiliza tanto el Sistema Internacional de unidades (SI) como el sistema inglés 
(que se acostumbra en Estados Unidos). En el apéndice B se proporciona una 
descripción de ambos sistemas, donde también se encuentran muchas tablas úti-
les, incluida una de factores de conversión.
Todos los problemas se localizan al fi nal de los capítulos con sus números 
respectivos y los números subsiguientes identifi can las secciones a las que per-
tenecen. En el caso de los problemas que requieren soluciones numéricas, los 
impares se plantean en unidades inglesas y los pares en unidades del SI.
En el apéndice C se describen con detalle las técnicas para resolver problemas, 
además de una lista de procedimientos ingenieriles sólidos. Además, este apéndi-
ce incluye secciones sobre homogeneidad dimensional y cifras signifi cativas. Es-
tos temas son especialmente importantes, debido a que cada ecuación debe ser 
homogénea dimensionalmente, y cada resultado numérico debe expresarse con 
el número adecuado de dígitos signifi cativos. En este libro los resultados numé-
ricos fi nales, en general, se presentan con tres dígitos signifi cativos, cuando un 
número inicia con los dígitos 2 a 9, y con cuatro dígitos signifi cativos cuando 
un número inicia con el dígito 1. Con frecuencia los valores intermedios se registran 
con dígitos adicionales para evitar perder precisión, debido al redondeo de cifras.
*La historia de la mecánica de materiales, iniciando con Leonardo da Vinci y Galileo Galilei, se encuentra en las refe-
rencias 1.1, 1.2 y 1.3.
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6 Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante
 1.2 REPASO DE ESTÁTICA
En su curso previo de estática usted estudió el equilibrio de los cuerpos rígidos 
sometidos a gran variedad de distintas fuerzas o sujetos, de tal modo que el cuerpo 
quedaba estable y en reposo. En consecuencia, un cuerpo sujeto de forma apropia-
da no puede emprender movimiento de cuerpo rígido, debido a la aplicación de 
fuerzas estáticas. Usted trazó diagramas de cuerpo libre de todo el cuerpo, o de sus 
partes más importantes, y luego aplicó las ecuaciones de equilibrio para calcular 
las fuerzas y momentos de reacción externos o las fuerzas y momentos internos en 
puntos críticos. En esta sección se repasarán las ecuaciones básicas del equilibrio 
estático, y luego se aplicarán a la solución de estructuras de ejemplo (tanto bi 
como tridimensionales) utilizando operaciones escalares y vectoriales (suponien-
do que tanto aceleración como velocidad son iguales a cero). La mayoría de los 
problemas en mecánica de materiales requiere que el primer paso sea un análisis 
estático, de manera que se conozcan todas las fuerzas que actúan sobre el sistema 
y causan su deformación. Una vez identifi cadas todas las fuerzas externas e inter-
nas de interés, en los siguientes capítulos podremos continuar con la evaluación de 
tensiones, deformaciones unitarias y alteraciones de barras, ejes, vigas y columnas.
Ecuaciones de equilibrio
La fuerza resultante R y el momento resultante M de todas las fuerzas y mo-
mentos que actúan sobre un cuerpo en equilibrio, sea rígido o deformable, son 
iguales a cero. La suma de los momentos se puede tomar sobre cualquier punto 
arbitrario. Las ecuaciones de equilibrio resultantes se pueden expresar en forma 
vectorial de la siguiente manera:
 (1.1)
 
R gF 0
M gM g (r F) 0 (1.2)
donde F es uno de los varios vectores de fuerza que actúan sobre el cuerpo y r 
es un vector de posición que va desde el punto en el que se toman los momentos 
hasta un punto a lo largo de la línea de aplicación de cualquier fuerza F. A ve-
ces resulta conveniente escribir las ecuaciones de equilibrio en su forma escalar, 
utilizando un sistema de coordenadas cartesiano, ya sea bidimensional (x, y) o 
tridimensional (x, y, z), de la siguiente forma
 gFx 0 gFy 0 gMz 0 (1.3)
La ecuación (1.3) se puede utilizar para problemas bidimensionales o problemas 
en un plano, pero en tres dimensiones se requieren tres ecuaciones de fuerza y 
tres de momento:
 (1.4)
 gMx 0 gMy 0 gMz 0
gFx 0 gFy 0 gFz 0
 (1.5)
Si el número de fuerzas desconocidas es igual al número de ecuaciones de equi-
librio independientes, dichas ecuaciones son sufi cientes para encontrar todas las 
fuerzas de reacción o internas desconocidas que actúan sobre el cuerpo, y el pro-
blema se conoce como estáticamente determinado. Si el cuerpo o estructura está 
forzado por soportes adicionales (o redundantes), el problema es estáticamente 
indeterminado y no es posible resolverlo utilizando sólo las leyes del equilibrio está-
tico. Con las estructuras estáticamente indeterminadas, también debemos exami-
nar las deformaciones estructurales, como se estudiará en los siguientes capítulos.
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1.2 Repaso de estática 7
Fuerzas aplicadas
Las cargas externas que se aplican a un cuerpo o estructura pueden ser fuerzas o 
momentos concentrados o distribuidos. Por ejemplo, la fuerza FB (en unidades 
de libras, lb; o newtons, N) de la fi gura 1.1 es una carga puntual o concentrada 
y se supone que actúa en el punto B del cuerpo, mientras que el momento MA es 
un momento o par concentrado (en unidades de lb-ft o N ∙ m) que actúan en el 
punto A. Las fuerzas distribuidas pueden actuar solas o en forma paralela a un 
elemento y tener una intensidad constante, como la carga lineal q1 al elemento 
BC (fi gura 1.1) o la carga lineal q2 que actúa en la dirección –y sobre el elemen-
to inclinado DF; tanto q1 como q2 tienen unidades de intensidad de fuerza (lb/ft 
o N/m). Las cargas distribuidas también pueden tener una variación lineal (u 
otra) con alguna intensidad pico q0 (como sobre el elemento ED en la fi gura 
1.1). Las presiones superfi ciales p (con unidades lb/ft2 o Pa), como sería el vien-
to que actúa sobre la superfi cie de un anuncio (fi gura 1.2), se desarrollan sobre 
una región designada del cuerpo. Por último, una fuerza de volumen w (con 
unidades de fuerza por unidad de volumen: lb/ft3 o N/m3), como es el propio 
q1
q2
3
3
4
4
q0
C
A
a
b
D
F
B
FB
MA
dc
e
y
x
Figura 1.1
Estructura de armadura plana
Wp
P
Ws
y
p
z
H
x
Figura 1.2
Viento sobre un anuncio
01_Cap01_GERE.indd 7 10/12/14 15:27
8 Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante
peso distribuido del anuncio o poste de la fi gura 1.2, actúa por todo el volumen 
del cuerpo y la podemos reemplazar por el componente peso W actuando en el 
centro de gravedad (c.g.) del anuncio (Ws) o poste (Wp). De hecho, es posible 
reemplazar toda carga distribuida (fuerza lineal, superfi cial o de volumen) por 
una fuerza estáticamente equivalente en el centro de gravedad de la carga dis-
tribuida al evaluar el equilibrio estático global de la estructura utilizando las 
ecuaciones (1.1) a (1.5).
Diagramas de cuerpo libre (DCL)
Una parte esencial del análisis estático de un cuerpo rígido o deformable es el dia-
grama de cuerpo libre (DCL o FBD, por sus siglas en inglés). Si se va a obtener 
una solución de equilibrio correcta, todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, 
o componente del mismo, se deben trazar sobre el DCL. Esto incluye las fuerzas 
y momentos aplicados, las fuerzas y momentos de reacción, y todas las fuer-
zas de conexión entre los componentes individuales. Por ejemplo, el DCL global 
de la armadura plana de la fi gura 1.1 se aprecia en la fi gura 1.3a; en este DCL se 
muestran todas las fuerzas aplicadas y de reacción, y también aparecen las cargas 
concentradas estáticamente equivalentes para todas las cargas distribuidas. Las 
fuerzas estáticamente equivalentes Fq0, Fq1 y Fq2, todas actuando en el c.g. de la 
carga distribuida correspondiente, se usan en la solución de la ecuación de equili-
brio para representar a las cargas distribuidas q0, q1 y q2, respectivamente.
A continuación, en la fi gura 1.3b se ha desensamblado la armadura plana, 
de modo que se pueden elaborar distintos DCL para cada parte de la armadura, 
exponiendo así las fuerzas del pasador de unión en D (Dx, Dy). Ambos DCL 
deben mostrar todas las fuerzas aplicadas, así como las fuerzas de reacción Ax y 
Ay en el nodo del pasador de soporte A, y Fx y Fy en el nodo del pasador de so-
porte F. Se deben determinar fuerzas que se transmiten entre los elementos de 
la armadura EDC y DF en el pasador de conexión D si la interacción apropiada 
de ambos elementos se tomará en cuenta en el análisis estático.
En el ejemplo 1.2 se analizará la estructura de armadura plana de la fi gura 
1.1, para encontrar las fuerzas de reacción en los nodos A y F, además de las 
fuerzas del pasador de conexión en el nodo D, todo esto utilizando las ecuacio-
nes de equilibrio 1.1 a 1.3. Los DCL que se presentan en las fi guras 1.3a y 1.3b 
son parte esencial de este proceso de solución. Se suele utilizar una convención 
de signos estáticos en la solución de las reacciones de soporte; las fuerzas que ac-
túan en las direcciones positivas de los ejes coordinados se consideran positivas, 
y se utiliza la regla de la mano derecha para los vectores de momento.
Fuerzas de reacción y condiciones de soporte
Para satisfacer las ecuaciones de equilibrio, resulta esencial una apropiada fi ja-
ción del cuerpo o estructura. Se debe presentar un arreglo y número sufi ciente de 
soportes para evitar que un cuerpo rígido se mueva bajo la acción de las fuerzas 
estáticas. Una fuerza de reacción en el soporte se representa mediante una sola fl e-
cha atravesada por una diagonal (vea la fi gura 1.3), mientras que una restricción 
de momento en el soporte se representa mediante una doble fl echa curvada (bi-
céfala) o una fl echa curvada con una diagonal. Las fuerzas y momentos de reac-
ción a menudo son resultado de la acción de fuerzas aplicadas de los tipos antes 
descritos (es decir, fuerzas concentradas, distribuidas, superfi ciales y de volumen).
Se pueden considerar una gran variedad de condiciones de soporte di-
ferentes, dependiendo de si el problema es bidimensional o tridimensional. 
Los soportes A y F de la estructura de armadura plana que se muestran en 
las fi guras 1.1 y 1.3 son soportes de pasador, mientras que se puede conside-
01_Cap01_GERE.indd 8 10/12/14 15:27
1.2 Repaso de estática 9
rar que la base de la estructura tridimensional del anuncio de la fi gura 1.2 es 
un soporte fi jo o con abrazadera. En la tabla 1.1 se muestran algunos de los 
supuestos más comunes de condiciones ideales para los soportes en dos y tres 
dimensiones. Las fuerzas o momentos de restricción o transmitidos, relaciona-
Figura 1.3
a) Diagrama de cuerpo libre 
global de la estructura de arma-
dura plana de la fi gura 1.1, y 
b) diagramas de cuerpo libre por 
separado de las partes A a la E y 
DF de la estructura de armadura 
plana de la fi gura 1.1
q1C
Fq1
q0
Fq0
q2
Fq2
E D
D
Dy
Dy Dx
Dx
En el punto D: Resultante
En el punto A: Resultante
Fy
FxF
B
FB
3
4
MA
(b)
Ax
Ay
A
y
x
q1
C
e
Fq1
Fq2
3
4
q0
Fq0
E
a
b
D
Fy
Fx
F
B
FB
3
4
MA
(a)
Ax
Ay
A
dc
y
x
01_Cap01_GERE.indd 9 10/12/14 15:27
10 Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante
Tipos de soporte 
o conexión
Diagrama simplifi cado 
de soporte o conexión
Visualización de las fuerzas 
y momentos de restricción o 
fuerzas de conexión
1) Soporte de rodillo
Puente con soporte de rodillo 
(Archivo en línea del Earthquake 
Engineering).
Soporte de rodillo horizontal 
(limita el movimiento en las 
direcciones y e –y)
Restricciones rodillo vertical
Soporte de rodillo volteado o 
inclinado
x y
z
a) Soporte de rodillo bidimen-
sional
R
x
y
Rx x
y
R
θ
x
y
b) Soporte de rodillo tridimen-
sional
z x
y
Ry
2) Soporte de pasador
Puente son soporte de pasador 
(Cortesía del Ing. Joel Kerkhoff)
Soporte de pasador en un viejo 
puente de armadura 
(© Barry Goodno)
F
Soporte de pasador en F de la 
fi gura 1.1
yx
z
a) Soporte de pasador bidimen-
sional
x
Rx
y
Ry
Rx
y
Ry
x
b) Soporte de pasador tridimen-
sional
Rz
RyRx
yx
z
Tabla 1.1
Reacciones y fuerzas de 
conexión en 2D o 3D para 
el análisis estático
01_Cap01_GERE.indd 10 10/12/14 15:27
1.2 Repaso de estática 11
3) Soporte deslizable
Camisa sin fricción en un eje 
vertical
Rx x
y
Mz
4) Soporte sujeto o fi jo A A
Soldadura
Poste
Placa base
Pilar de concreto
Soporte fi jo en la base de un pos-
te de anuncio (Vea la fi gura 1.2)
a) Soporte fi jo bidimensional
Rx
Ry
Mz
x
y
Rx
Ry
Mz
x
y
b) Soporte fi jo tridimensional
Rz
RxMz Mx
x
z
y
My
Ry
5) Soportes elásticos o de muelle a) Muelle traslacional (K)
−kyδy
−kxδx
ky
kx δx
δy
x
y
Tabla 1.1 (continuación)
01_Cap01_GERE.indd 11 10/12/14 15:27
12 Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante
dos con cada tipo de soporte o conexión aparecen en la tercera columna de la 
tabla (sin embargo, no se trata de DCL). Las fuerzas y momentos de reacción 
para la estructura tridimensional del anuncio de la fi gura 1.2 se muestran en el 
DCL de la fi gura 1.4a: sólo las reacciones Ry, Rz y Mx son diferentes de cero, 
b) Muelle giratorio (kr)
Rx
Ry
Mz = kr θz
x
y θz
kr
6) Conexión con pasador (de las 
fi guras 1.1 y 1.3)
Conexión con pasador en un 
puente antiguo (© Barry Goodno)
D
Conexión con pasador en D entre 
los componentes EDC y DF de la 
armadura plana (fi gura 1.1)
D
D
Dy
Dy
Dx
Dx
7) Conexión ranurada (conexión 
modifi cada de la que se muestra 
en las fi guras 1.1. y 1.3)
Conexión ranurada alterna en D 
sobre la armadura plana (Observe 
que la armadura plana de la 
fi gura 1.1 es inestable si en D se 
utiliza esta conexión ranurada en 
lugar de un pasador)
D
D
Dy
Dy
8) Conexión rígida (las fuerzas 
y momentos internos de los 
componentes se unen en C de la 
armadura plana de la fi gura 1.1)
q1C
Fq1
B
3
4
Conexión rígida en C sobre la 
armadura plana
Mc
Nc
Vc
Nc
Vc
Mc
Tabla 1.1 (continuación)
01_Cap01_GERE.indd 12 10/12/14 15:27
1.2 Repaso de estática 13
ya que las cargas de la estructura del anuncio y del viento son simétricas res-
pecto al plano yz. Si el anuncio es excéntrico en relación con el poste (fi gura 
1.4b), sólo la reacción Rx es igual a cero en caso de que la carga del viento sea 
en la dirección –z. (En el problema 1.7-16, al fi nal del capítulo 1, encontrará 
un examen más detallado de las fuerzas de reacción provocadas por la presión 
del viento al actuar sobre la estructura del anuncio de la fi gura 1.2; también 
se calculan las fuerzas y tensiones en los pernos de la placa base. Asimismo, se 
analizan varias estructuras excéntricas de anuncios en los problemas al fi nal 
del capítulo 8).
Fuerzas internas (resultantes 
de tensión)
En nuestro estudio de la mecánica de materiales, investigaremos las deforma-
ciones de los componentes o elementos que constituyen al cuerpo defor mable 
global. Con el fi n de calcular la deformación de los elementos, primero debe-
mos encontrar las fuerzas y momentos internos (es decir, las resultantes de 
tensión internas) en los puntos clave a lo largo de los elementos de toda la 
estructura. De hecho, a menudo elaboraremos representaciones gráfi cas de 
la fuerza axial interna, del momento de torsión, de la cortante transversal y 
del momento de fl exión a lo largo del eje de cada elemento del cuerpo, para 
identifi car con facilidad los puntos o zonas críticos dentro de la estructura. 
El primer paso es hacer un corte de sección paralelo al eje de cada elemento, 
para poder elaborar un DCL que muestre las fuerzas internas pertinentes. Por 
ejemplo, si se hace un corte en la parte superior del elemento BC de la arma-
dura plana de la fi gura 1.1, la fuerza axial (Nc), la fuerza cortante transversal 
(Vc) y el momento de fl exión (Mc) internos en el nodo C se pueden exponer 
como se muestra en la última fi la de la tabla 1.1. En la fi gura 1.5 se muestran 
dos cortes adicionales, realizados en los elementos ED y DF de la armadura 
Wp
Mx
Rz
Ry
P
Ws
y
z
H
x
(a)
Wp
Mx
Mz
Rz
Ry
My
P
Ws
y
z x
(b)
Figura 1.4
a) DCL de un anuncio con estruc-
tura simétrica, y b) DCL de un 
anuncio con estructura excén-
trica
01_Cap01_GERE.indd 13 10/12/14 15:27
14 Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante
plana; ahora se puede utilizar el DCL resultante para encontrar N, V y M en 
los elementos ED y DF de la armadura plana. Las resultantes de tensión N, 
V y M se suelen tomar a lo largo y paralelas al elemento en consideración (es 
decir, se usan los ejes local o del elemento), y se emplea una convención de sig-
nos de deformación (es decir, la tensión es positiva y la compresión es negativa) 
en su resolución. En capítulos posteriores se verá cómo se usan estas (y otras) 
resultantes de tensión interna para calcular tensiones en la sección transversal 
del elemento.
Los siguientes ejemplos se presentan como un repaso de la aplicación de 
las ecuaciones de equilibrio estático en la solución de reacciones externas y 
fuerzas internas en las estructuras de celosía, vigas, eje circular y armadura. 
Primero se considera una estructura de celosía y se repasan las soluciones es-
calar y vectorial de las fuerzas de reacción. Luego se calculan las fuerzas del 
elemento, utilizando el método de nodos. Se ha visto que resulta esencial un 
DCL trazado de forma adecuada para la resolución global del proceso. El 
segundo ejemplo incluye el análisis estático de una estructura de viga para 
encontrar las reacciones y fuerzas internas en una sección específi ca a lo largo 
de ésta. En el tercer ejemplo se calculan los momentos de torsión reactivo e 
interno de un eje escalonado. Y por último, el cuarto ejemplo presenta la solu-
ción de la estructura de armadura plana que se estudia aquí. Se asignan valores 
numéricos a las fuerzas aplicadas y las dimensiones estructurales, y luego se 
calculan las fuerzas de reacción en la unión de pasador, así como una selección 
de fuerzas internas en la estructura.
Figura 1.5
Diagrama de cuerpo libre para 
las resultantes de tensión 
interna en ED y DF
D
q1
C
Fq2
q0
Fq0
q2
Fq2
E V
D
Dy
Dy
Dx
Dx
Fy
Fx
DCLDFDCLED
F
B
FB
MA
Ax
Ay
A
y
x
N
V
V
N
M
M
N
N
M M
V
01_Cap01_GERE.indd 14 10/12/14 15:27
1.2 Repaso de estática 15
• • • Ejemplo 1.1
Continúa 
La armadura plana que se muestra en la fi gura 1.6 tiene un soporte de pasador en 
A y uno de rodillo en B. Se le aplican las cargas conjuntas 2P y –P en el nodo C. En-
cuentre las reacciones de soporte en los nodos A y B, y luego calcule las fuerzas en 
los elementos AB, AC y BC. Utilice las propiedades numéricas que se le proporcionan.
Datos numéricos:
P 35 kip L 10 ft θA 60° b 0.71 L 7.1ft
Solución:
1) Use la ley de los senos para encontrar los ángulos θB y θC, luego encuentre la 
longitud (c) del elemento AB.
2) Trace el DCL, después use las ecuaciones de equilibrio de forma escalar (ecuación 
1.3) para calcular las reacciones en el soporte.
3) Encuentre las fuerzas del elemento empleando el método de nodos.
4) Repita la solución de las reacciones en el soporte, utilizando una resolución vec-
torial.
5) Calcule las reacciones de soporte y las fuerzas del elemento para una versión 
tridimensional de esta armadura plana (o bidimensional).
1) Use la ley de los senos para encontrar los ángulos θB y θC, y luego determine la 
longitud (c) del elemento AB.
 Vea la ley de los senos en el apéndice D:
 
y c La sen(θC)
sen(θA)
b 11.436 ft o c b cos (θA) L cos(θB) 11.436 ft
θB asenabL sen(θA)b 37.943° entonces θC 180° (θA θB) 82.057°
 Observe que también se podría utilizar la ley de los cosenos:
 c 3b2 L2 2bL cos(θC) 11.436 ft
2) Trace el DCL, después use las ecuaciones de equilibrio en forma escalar (ecua-
ción 1.3) para calcular las reacciones en el soporte.
 Observe que la armadura plana es estáticamente determinada, puesto que 
hay (m + r = 6) incógnitas (donde m = número de fuerzas en el elemento y 
r = número de reacciones), pero hay (2j = 2 × 3 = 6) ecuaciones de estática del 
método de nodos (donde j = número de nodos).
 Utilice las ecuaciones de equilibrio en forma escalar para encontrar las reaccio-
nes de soporte.
 Sume los momentos que actúan sobre A para obtener la reacción en By:
 By
[Pb cos (θA) (2P)b sen (θA)]
c
48.5 kip
 Sume las fuerzas con dirección y para obtener Ay:
 Ay P By 13.5 kip
 Sume las fuerzas con dirección x para obtener Ax:
 Ax 2P 70 kip
3) Encuentre las fuerzas del elemento empleando el método de nodos.
Trace los DCL de cada nodo (fi gura 1.8) y luego sume las fuerzas con direcciones x 
y y para encontrar las fuerzas del elemento.
Figura 1.6
Ejemplo 1.1: Análisis estático 
de las cargas de nodo en una 
armadura plana
Figura 1.7
Ejemplo 1.1: Diagrama de cuer-
po libre de una armadura plana
Figura 1.8
Ejemplo 1.1. Diagrama de cuer-
po libre de cada nodo de una 
armadura plana
A B
C 2P
c
θA = 60° θB
θc
L
x
y
P
b
A B
C 2P
c
θA = 60° θB
ByAy
Ax
θc
L
P
b
A B
C 2P
ByAy
Ax FAB
FAB
FAC
FAC
FBC
FBC
P
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16 Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante
• • • Ejemplo 1.1 - Continuación
 La suma de las fuerzas con dirección y en el nodo A es:
 
FAC
Ay
sen (θA)
15.59 kip
 La suma de las fuerzas con dirección x del nodo A es:
 FAB Ax FAC cos (θA) 62.2 kip
 La suma de las fuerzas con dirección y en el nodo B es:
 
FBC
By
sen (θB )
FBC 78.9 kip
 Revise el equilibrio en el nodo C. (Primero en la dirección x y luego en la direc-
ción y).
 FAC cos (θA) FBC cos (θB) 2P 0 FAC sen (θA) FBC sen (θB) P 0
4) Repita la solución de las reacciones en el soporte utilizando una resolución vec-
torial (las componentes x, y, z en formato vectorial).
 Los vectores de posición para B y C a partir de A:
 
rAB £ c0
0
≥ £11.4360
0
≥ ft rAC £ b cos (θA)b sen (θA)
0
≥ £ 3.556.149
0
≥ ft
 Los vectores de fuerza en A, B y C:
 
A £AxAy
0
≥ B £ 0By
0
≥ C £ 2PP
0
≥
 Sume los momentos cercanos al punto A, luego iguale cada expresión a cero:
 
oÁ 3 £ i j kc 0 0
0 By 0
≥ 3 4 § i j kb
2
b 13
2
0
2P P 0
¥ 4 11.436 ft By # k 554.66 ft # k # kip
entonces By
554.66
11.436
48.5 kip
MA rAB B rAC C £ 00
11.436 ft By 554.66 ft # kip
≥
 Ahora sume las fuerzas e iguale a cero cada expresión:
 Ay 35 By 13.5 kip
A B C: £ Ax 70 kipAy By 35 kip
0
≥ entonces Ax 70 kip
 Las reacciones Ax, Ay y By son las mismas que las del método de solución escalar.
5) Calcule las reacciones de soporte y las fuerzas del elemento para una versión 
tridimensional de esta armadura plana (o bidimensional).
 Para crear una armadura especial a partir de una armadura plana, se mueve el 
nodo A a lo largo del eje z una distancia z, mientras se mantiene B sobre el eje x 
01_Cap01_GERE.indd 16 10/12/14 15:27
1.2 Repaso de estática 17
Continúa 
y se limita a C para que quede situado a cierta distancia a lo largo del eje y (vea 
la fi gura 1.9); conserve las longitudes de los elementos (L, b, c) y los ángulos (θA, 
θB, θC) para los valores que se utilizan con la armadura plana. Aplique las cargas 
de nodo 2P y –P en el nodo C. Agregue un soporte tridimensional de pasador 
en A, dos sujeciones en B (By, Bz) y una sujeción en C (Cz). 
 Observe que la armadura espacial es estáticamente determinada, puesto que 
hay (m + r = 9) incógnitas (donde m = número de fuerzas sobre el elemento 
y r = número de reacciones), y a la vez existen (3j = 3 × 3 = 9) ecuaciones de 
estática a partir del método de nodos (donde j = número de nodos).
 Para empezar, encuentre las proyecciones x, y y z de los elementos a lo largo de los 
ejes coordenados. Luego encuentre los ángulos OBC, OBA y OAC en cada plano.
 
OAC atan ay
z
b 26.179°
OBC atan ay
x
b 18.254° OBA atan az
x
b 33.859°
z B
L2 b2 c2
2
6.3717 ft
x B
L2 b2 c2
2
9.49677 ft y B
L2 b2 c2
2
3.13232 ft
Trace el DCL global (vea la fi gura 1.9) y luego use una solución escalar para encon-
trar las fuerzas de reacción y sobre el elemento.
1) Sume los momentos cercanos a la recta que va hasta A, que es paralela al eje y 
(esto aislará a la reacción Bz, lo que genera una ecuación con una incógnita):
 Bzx (2P )z 0 Bz 2P
z
x
47 kip
 Esto se basa en la convención estática de signos, por lo que el signo negativo 
signifi ca que la fuerza Bz actúa en la dirección –z.
2) Para encontrar By, sume los momentos cercanos al eje z y luego sume las fuerzas 
con dirección y para obtener Ay:
 By
2P(y)
x
23.1 kip así Ay P By 11.91 kip
3) Para determinar Cz, sume los momentos cercanos al eje x:
 Cz
Ayz
y
24.2 kip
4) Para determinar Ax y Az, sume las fuerzas con direcciones x y z:
 Ax 2P 70 kip Az Cz Bz 22.7 kip
5) Por último, utilice el método de nodos para calcular las fuerzas del elemento 
(aquí se emplea una convención de signos para la deformación, de modo que si 
es positiva (+) se refi ere a tensión, y si es negativa (–) se refi ere a compresión).
 Sume las fuerzas con dirección x en el nodo A:
 
x
c
FAB Ax 0 FAB
c
x
Ax FAB 84.3 kip
 Sume las fuerzas con dirección y en el nodo A:
 
y
b
FAC Ay 0 FAC
b
y
( Ay ) FAC 27 kip
Figura 1.9
Ejemplo 1.1: Diagrama de cuer-
po libre de una armadura espa-
cial (versión extendida de una 
armadura plana)
A
O
B
C 2P
c
θA = 60°
θB
By
Bz
Ay
Az
Cz
Ax
y
y
x
x
z
z
θc L
P
b
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18 Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante
• • • Ejemplo 1.1 - Continuación
 Sume las fuerzas con dirección y en el nodo B:
 
y
L
FBC By 0 FBC
L
y
By FBC 73.7 kip
Calcule de nuevo las reacciones para la armadura utilizando una solución vec-
torial.
 Encuentre los vectores de posición (r) y unitario (e) desde el nodo A hasta los 
nodos B y C:
 
rAC £ 0y
z
≥ eAC rAC|rAC | £ 00.4410.897≥
rAB £ x0
z
≥ eAB rAB|rAB| £ 0.8300.557≥
 Sume los momentos cercanos al punto A, y luego iguale cada expresión a cero:
 
o 
y
446.02 ft # kip j 219.26 ft # kip k
3 £ i j k0 y z
2P P Cz
≥ 3 3.1323 ft # Cz i 223.01 ft # kip i
3 £ i j kx 0 z
0 By Bz
≥ 3 6.3717 ft # By i 9.4968 ft # Bz j 9.4968 ft # Byk
£6.3717 ft # By 3.1323 ft # Cz 223.01 ft # kip9.4968 ft # Bz 446.02 ft # kip
9.4968 ft # By 219.26 ft # kip
≥
MA rAB £ 0By
Bz
≥ rAC £ 2PP
Cz
≥
MA rAB B rAC C
 Si se reúnen términos semejantes de j y se despeja:
 Bz
446.02
9.4968
47 kip
 Si se reúnen términos semejantes de k y se despeja:
 
By
219.26
9.4968
23.1 kip
 Si se reúnen términos semejantes de l y se despeja:
 Cz
223.01 6.3717By
3.1323
24.2 kip
 Complete la solución al realizar una suma de fuerzas e igualar a cero:
 Ax 70 kip Ay 35 23.088 11.9 kip Az 22.7 kip
£AxAy
Az
≥ £ 0By
Bz
≥ £ 2PP
Cz
≥ £ Ax 70.0 kipAy 35.0 kip 23.088 kip
Az 22.733 kip
≥
 Las reacciones Ax, Ay, Az y By, Bz son las mismas que las que se obtienen por el 
método de solución escalar.
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1.2 Repaso de estática 19
• • • Ejemplo 1.2
La estructura de viga con soporte simple que se muestra en la fi gura 1.10 está so-
metida a un momento MA en el nodo con soporte de pasador A, a una carga inclina-
da FB en el nodo B, y a una carga uniforme con una intensidad de q1 en el segmento 
BC del elemento. Encuentre las reacciones de soporte en los nodos A y C, y luego 
calcule las fuerzas internas en el punto medio de BC. Utilice en su procedimiento los 
diagramas de cuerpo libre apropiados.
Datos numéricos (newtons y metros):
 MA 380N # m FB 200N q1 160N/m
a 3m b 2m
 
Solución
1) Elabore el DCL de toda la viga. La solución para las fuerzas de reacción en A y C 
debe comenzar con el trazado apropiado del DCL de toda la viga (fi gura 1.11). 
El DCL muestra todas las fuerzas aplicadas y de intervención.
2) Determine las fuerzas concentradas estáticamente equivalentes. Las fuerzas 
distribuidas se reemplazan por sus equivalentes estáticos (Fq1), y también se pue-
den calcular las componentes de la fuerza concentrada inclinada en B:
 
Fq1 q1b 320N FBx
4
5
FB 160N FBy
3
5
FB 120N 
3) Sume los momentos cercanos a A para encontrar la fuerza de reacción Cy. Esta 
estructura es estáticamente determinada, porque hay tres ecuaciones dispo-
nibles de la estática (ΣFx 0, ΣFy 0, y ΣM 0) y tres incógnitas de reacción 
(Ax, Ay, Cy). Es conveniente iniciar el análisis estático utilizando ΣMA 0, por-
que podemos aislar una ecuación con una incógnita y luego encontrar con faci-
lidad la reacción Cy. Se utiliza una convención de signos de la estática (es decir, 
la regla de la mano derecha o el sentido opuesto a las manecillas del reloj es 
positivo).
 
Cy
1
(a b)
cMA FBya Fq1aa b2 b d 260N