Matematica-2020

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Introducción a la Matemática 
 
Índice 
 
Presentación de la materia 1 
 
UNIDAD N°1: NÚMEROS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS 5 
 
INTRODUCCIÓN 7 
1. NÚMEROS NATURALES 7 
1.1 Operaciones en los Naturales 8 
 
2. NÚMEROS ENTEROS 10 
2.1 Operaciones en los enteros 10 
 
3. NÚMEROS RACIONALES 13 
3.1 Operaciones en los Racionales 14 
 
4. NÚMEROS IRRACIONALES 18 
 
5. NÚMEROS REALES 19 
5.1 Relaciones de orden en los Reales 19 
5.2 Valor absoluto de un número real 20 
5.3 Operaciones en . 21 
5.3.1 Potenciación 22 
5.3.2 Radicación 23 
5.3.3 Potencia de Exponente Negativo 24 
 5.3.4 Potencia de Exponente Fraccionario 24 
5.3.5 Racionalización del Denominador 26 
 
6. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 28 
 
7. EJERCICIOS INTEGRADORES 30 
RESPUESTAS DE ACTIVIDADES Y EJERCICIOS UNIDAD N°1 33 
 
 
UNIDAD N°2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 39 
 
INTRODUCCIÓN 41 
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 42 
1.1 Clasificación de las Expresiones Algebraicas 44 
1.2 Valor numérico de una expresión algebraica 45 
 
2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS 46 
2.1 Monomios 46 
2.2 Polinomios 47 
2.3 Polinomios en una indeterminada 49 
 
3. OPERACIONES ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 50 
3.1 Suma o Adición 50 
3.2 Diferencia o Sustracción 52 
 
 
 
3.3 Multiplicación o Producto 53 
3.3.1 Producto de Binomios Conjugados 54 
 3.3.2 Potenciación 55 
3.4 División o Cociente 57 
3.4.1 Regla de Ruffini 60 
3.4.2 Teorema del Resto 62 
3.4.3 Divisibilidad entre polinomios 63 
 
4. FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 63 
4.1 Factor común 64 
4.2 Factor común por grupos 64 
4.3 Trinomio cuadrado perfecto 66 
 4.4 Cuatrinomio cubo perfecto 66 
4.5 Diferencia de cuadrados 67 
4.6 Suma o Diferencia de potencias de igual grado 68 
 
5. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO 70 
 
6. EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS 74 
6.1 Simplificación de Expresiones Algebraicas 75 
6.2 Suma y Resta de Fracciones Algebraicas 76 
6.3 Producto de Fracciones Algebraicas 78 
6.4 Cociente de Fracciones Algebraicas 78 
 
7. EJERCICIOS INTEGRADORES 81 
RESPUESTAS DE ACTIVIDADES Y EJERCICIOS UNIDAD N°2 85 
 
 
UNIDAD N°3: ECUACIONES E INECUACIONES 99 
 
INTRODUCCIÓN 101 
1. ECUACIONES 101 
1.1 Ecuación lineal con una incógnita 104 
1.2 Ecuación cuadrática con una incógnita 109 
1.2.1 Ecuación de segundo grado incompleta 115 
1.2.2 Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado 116 
1.3 Ecuaciones fraccionarias 118 
 
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 122 
2.1 Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 122 
2.2 Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas 131 
 
3. INECUACIONES 135 
3.1 Generalidades 135 
3.2 Notación de Intervalos 137 
3.3 Resolución de Inecuaciones 138 
 
4. EJERCICIOS INTEGRADORES 145 
RESPUESTAS DE ACTIVIDADES Y EJERCICIOS UNIDAD N°3 149 
PRIMERA AUTOEVALUACIÓN 157 
SOLUCIONES 1° AUTOEVALUACIÓN 158 
 
 
UNIDAD N°4: LÓGICA SIMBÓLICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS 165 
 
INTRODUCCIÓN 167 
 
1. CONCEPTO DE CONJUNTO, NOTACIÓN Y REPRESENTACIÓN 167 
2. CONJUNTOS ESPECIALES 170 
2.1 El conjunto Universal o Referencial 170 
2.2 Conjunto vacío 171 
2.3 Conjunto unitario 171 
3. LA LÓGICA SIMBÓLICA Y EL USO DEL LENGUAJE 171 
4. CONECTIVOS LÓGICOS 172 
5. OPERACIONES LÓGICAS 174 
5.1 Negación 175 
5.2 Conjunción lógica 176 
5.3 Disyunción lógica 177 
5.4 Disyunción Exclusiva 177 
5.5 Condicional 178 
5.6 Bicondicional 181 
6. EMPLEO DE MÁS DE UN CONECTIVO LÓGICO 182 
6.1 Clasificación de las proposiciones compuestas 184 
6.2 Equivalencia Lógica 185 
7. FUNCIONES PROPOSICIONALES 186 
7.1 Cuantificadores 188 
7.1.1 Cuantificador Existencial 188 
7.1.2 Cuantificador Universal 189 
7.2 Negación de los Cuantificadores 190 
8. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 193 
8.1. Complementación 193 
8.2 Intersección entre conjuntos 194 
8.3 Unión de conjuntos 195 
8.4 Diferencia entre conjuntos 197 
8.5 Diferencia simétrica 198 
9. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 200 
9.1 Igualdad de Conjuntos 200 
9.2 Inclusión – Subconjuntos 201 
10. CONJUNTOS ORDENADOS 203 
 10.1 Par Ordenado y Producto Cartesiano 203 
EJERCICIOS INTEGRADORES 206 
RESPUESTAS DE ACTIVIDADES Y EJERCICIOS UNIDAD N°4 209 
 
 
UNIDAD N°5: RELACIONES Y FUNCIONES 221 
 
INTRODUCCIÓN 223 
1. RELACIONES 223 
2. RELACIÓN INVERSA 229 
3. RELACIONES FUNCIONALES 230 
4. DOMINIO NATURAL 236 
5. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES 238 
EJERCICIOS INTEGRADORES 244 
RESPUESTA A LAS ACTIVIDADES Y EJERCICIOS UNIDAD N°5 247 
 
 
UNIDAD N°6: FUNCIONES ESPECIALES 255 
 
INTRODUCCIÓN 257 
1. FUNCIÓN LINEAL 258 
 1.1 Pendiente o coeficiente angular 
 1.2 Ordenada al origen 
260 
261 
 
 1.3 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 263 
2. FUNCIÓN CUADRÁTICA 266 
 2.1 Significado de los parámetros 268 
 2.2 Aplicaciones de la Función cuadrática 273 
3. FUNCIÓN EXPONENCIAL 274 
3.1 Definición y características de la función 274 
4. FUNCIÓN LOGARÍTMICA 278 
4.1 Definición y características de la función 279 
5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 285 
55..11 ¿¿QQuuéé eess llaa ttrriiggoonnoommeettrrííaa?? 228855 
5.2 ¿Qué son las razones trigonométricas? 285 
5.3 Sistemas de medición de ángulos 288 
5.4. Funciones trigonométricas 290 
5.4.1 Seno 291 
55..44..22 CCoosseennoo 292 
5.4.3 Tangente 294 
5.4.4 Relaciones recíprocas 295 
5.4.5 Definición y carac. de las funciones trigonométricas 296 
5.4.6 Funciones trigonométricas de ángulos complementarios 297 
5.4.7 Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios, 
 que difieren en , opuestos y congruentes. 298 
5.4.8 Representación gráfica de las Funciones Trigonométricas 299 
 
6. EJERCICIOS INTEGRADORES 303 
RESPUESTA A LAS ACTIVIDADES Y EJERCICIOS UNIDAD N°6 308 
SEGUNDA AUTOEVALUACIÓN 325 
SOLUCIONES A LA SEGUNDA AUTOEVALUACIÓN 328 
 
 
Presentación de la materia 
 
 
 
1 
 
Presentación de la materia 
 
La presente asignatura busca contribuir a la formación matemática 
básica de un estudiante universitario, a través de la revisión de 
conceptos y herramientas matemáticos adquiridos en la escuela media. 
Sobre esta base se apunta a nivelar los conocimientos. La ejercitación, 
la correcta formalización lógico-simbólica de las ideas y la transferencia 
de los contenidos teóricos a situaciones problemáticas constituyen parte 
de la labor indispensable que se requiere para lograr cierta ductilidad en 
el análisis matemático y en el manejo algebraico. 
 
Objetivos 
 
Con esta orientación general, nos proponemos que el alumno logre los siguientes 
objetivos: 
 
 Revisar en forma ordenada los aprendizajes logrados en el nivel medio. 
 Rescatar los conocimientos matemáticos básicos para iniciarse en su carrera 
universitaria. 
 Favorecer el desarrollo del razonamiento deductivo y aplicado en la 
resoluciónde problemas. 
 Relacionar los conceptos centrales de las distintas unidades, utilizándolos 
conjuntamente en forma flexible en diferentes situaciones problemáticas. 
 
 
Contenidos generales 
 
Tomo 1: 
Unidad 1: Números y Operaciones Aritméticas 
Unidad 2: Expresiones Algebraicas 
Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones 
 
Tomo 2: 
Unidad 4: Lógica Simbólica y Teoría Conjuntos 
Unidad 5: Relaciones y Funciones 
Unidad 6: Funciones Especiales 
 
 
Metodología 
 
Se propone un estilo de trabajo que combina la utilización del material impreso, 
especialmente diseñado para esta asignatura, con la posibilidad del intercambio 
entre docentes y alumnos, a través de lo que denominamos tutorías presenciales. 
 
El material impreso es el eje de esta propuesta, contiene el basamento teórico 
que requiere cada tema con explicaciones en detalle, ejemplificaciones, actividades 
de aprendizaje y ejercitación adicional con respuestas, cuyo seguimiento por parte 
del alumno permitirá detectar errores, clarificar dudas y realizar una autoevaluación. 
 
En las tutorías se desarrollan los temas más importantes (no la totalidad de los 
contenidos), haciendo que los alumnos tengan activa participación en lo casos 
planteados y consulten sus dudas. 
Te invitamos a ver la 
presentación de 
Introducción a la 
matemática en el Aula 
Virtual de la asignatura. 
 
 2 
Sistema de evaluación 
 
Para alcanzar la regularidad se requiere la aprobación, con nota de 4 (cuatro) o 
más, de dos evaluaciones parciales, pudiendo ser recuperada sólo una de ellas por 
ausencia o aplazo. 
Aquellos alumnos que cumplan con el requisito de aprobar los dos primeros 
parciales con nota no inferior a seis (6) en cada uno de ellos alcanzarán la promoción 
directa de la asignatura. 
En caso de no aprobar 2 parciales o no asistir a los mismos, el alumno accederá a 
la categoría de libre. 
Quienes no estén promocionados deberán rendir un examen final cuya 
calificación será aprobado o reprobado. 
La escala de notas en las evaluaciones a utilizar y sus correspondientes valores 
numéricos serán las establecidas en la ordenanza 482/09. 
Adicionalmente, la promoción de la materia (directa o por examen final) 
requiere no adeudar materias del secundario y haber realizado la inscripción 
definitiva. 
 
 
Bibliografía básica 
 
STANECKA, Nancy; RACAGNI, Josefina; MARGARÍA, Oscar; GONZÁLEZ, Mariana; 
STÍMOLO, María Inés; CARO, Patricia. INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 2018 
 
 
Bibliografía complementaria 
 
 DÍAZ Margarita, OTTONELLO Susana. Curso de Nivelación 2000. Introducción a 
la Matemática. Fac. de Ciencias Económicas. U. N. C. 
 
 OTTONELLO Susana, DÍAZ Margarita, LIMA de CASTELLAO Sonia, MUSTAFÁ 
Cristina, CARO Patricia, STANECKA Nancy. Curso de Nivelación 2007 
Introducción a la Matemática. Fac. de Ciencias Económicas. U. N. C. 
 
 MUSTAFÁ Cristina, STANECKA Nancy, PENDITO María Inés, MARGARÍA Oscar, 
MONTERO Laura, BARALDI Ruth, CARO Patricia , STIMOLO María Inés. Curso de 
Nivelación 2007 Notas Complementarias Introducción a la Matemática. Fac. de 
Ciencias Económicas. U. N. C 
 
 ALONSO, Raquel, CARRANZA, Susana. Matemática 7 (EGB). Editorial 
Santillana. 
 
 BUTELER, Diana y otros. Matemática I y Matemática IX. Editorial Santillana. 
Buenos Aires. 
 
 DUARTE Betina, Matemáticas para ingresar a la Universidad. Editorial Granica. 
Buenos Aires. 
 
 ENGLEBERT, PEDEMONTI, SEMINO. Matemática III. Editorial A-Z. Buenos Aires. 
 
 ETCHEGOYEN, Susana. Matemática I (Polimodal). Editorial Kapeluz. Buenos 
Aires. 
 
 KACZOR, Pablo, SHIAPOSCHINK, Ruth, FRANCO, Eleonora y otros. Matemática I 
(Polimodal). Editorial Santillana. Buenos Aires. 
 
Presentación de la materia 
 
 
 
3 
 KISBYE, Patricia, SAYAGO, Silvina, STANECKA, Nancy, VARGAS, Laura. 
Elementos de Matemática. Curso Preuniversitario 2006. U.N.C. 
 
 LATORRE, María, SPIVAK, Laura, KACZOR, Pablo y otros. Matemática VIII y IX 
(EGB). Editorial Santillana. Buenos Aires. 
 
 ROJO, Armando, SÁNCHEZ, Silvia, GRECO, Mario. Matemática III. Editorial 
Ateneo. Buenos Aires. 
 
 SEVESO DE LAROTONDA, Julia. Matemática VII, VIII y IX (EGB) . Editorial 
Kapeluz. Buenos Aires. 
 
 VARELA, Leopoldo y FONCUBERTA. Matemática Dinámica III. Editorial Kapeluz. 
Buenos Aires. 
 
 VAZQUEZ de TAPIA, Nelly, TAPIA DE BIBILONI, A. Matemática III. Editorial 
Estrada. Buenos Aires. 
 
 
Páginas de Internet consultadas: 
 
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/marco_contenidos.htm 
http://www.matematicas.net/paraiso/download.php?id=analisis/ap_logica_ci.zip 
http://hp.fciencias.unam.mx/lytc/ 
http://www.sectormatematica.cl/libros.htm 
 
Números y operaciones aritméticas
Unidad 1
Objetivos especí�cos 
• Reconocer los conjuntos numéricos. 
• Revisar las operaciones básicas y sus propiedades.
• Lograr un manejo adecuado de estas operaciones.
Contenidos
Números Naturales: Operaciones en los Naturales. Números Enteros: 
Operaciones en los Enteros. 
Números Racionales: Operaciones en los Racionales. Números Irracionales. Números Reales
: Relaciones de Orden en los Reales, Valor absoluto. Operaciones en los Reales, Potenciación, 
Radicación, Potencia de exponente negativo, Potencia de exponente fraccionario, 
Racionalización del Denominador. Números Complejos. 
 
 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desafío 1 
 
La mamá de Lucas conocía que el viaje de egresados de su 
hijo tenía un costo $80.000 pagando de contado. 
En base a sus posibilidades presupuestarias, decidió 
entregar la cuarta parte del total y pagar el resto con 
tarjeta de crédito. 
 
Sin embargo, como no tenía saldo suficiente en una tarjeta 
de crédito, tuvo que recurrir al pago con 2 tarjetas, de 
acuerdo al siguiente esquema: 
 el 30% del total del viaje con Tarjeta Nexos, que excepcionalmente tenía 
un descuento del 20%, sobre el monto de lo cargado a dicha tarjeta. 
 El resto con Tarjeta Raíces en 12 cuotas mensuales y con un recargo del 
15% para todo el período. 
¿Cuánto fue el costo total del Viaje de 
Lucas? 
 
Como se puede observar nos encontramos con 
un pequeño problema relacionado con la 
economía familiar. Sería muy bueno que 
pudiéramos resolverlo ahora o quizás, sería 
mejor avanzar en la revisión de todos los 
temas de esta unidad y luego ver que simple 
resulta responder a este desafío. 
 
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
7 
INTRODUCCIÓN 
 
¿Cómo y porqué surgieron los números? 
 
El hombre primitivo en su necesidad de contar objetos, crea una aritmética 
no formal, contando en principio con los dedos de la mano o utilizando piedras 
pequeñas. 
Mucho tiempo después, en las culturas orientales; caldea, egipcia, china e 
india, aparecen los primeros elementos matemáticos expuestos de manera 
transmisible. 
 
En la actualidad el uso universal del sistema decimal de 
números, la suma de ellos, el producto, la división, son 
conocimientos matemáticos, estructurados y clasificados, que 
resultan básicos para el hombre de hoy. 
 
Para representar cantidades y medidas estamos habituados a 
trabajar con números, por ejemplo: 
 
 
Natalia recibió 250 mensajes en WhatsApp en menos de una hora. 
 
 
La temperatura mínima fue de 3 grados centígrados. 
 
 
Se estima que la inflación en el último semestre será del 4,7%. 
 
 
El perímetro de la circunferencia es 2 por radio. 
 
 
Podemos observar que los números que usamos como parte de nuestra 
comunicación se expresan de distinta manera (250; 3; 4,7; 2 ) y en sí mismos 
pretenden simbolizar diferentes hechos, por lo que deben ser identificados y 
caracterizados claramente para poder operar con ellos. 
 
Sin pretender ser muy rigurosos, nos proponemos repasar cada uno de los 
conjuntos numéricos y recordar sus características, a partir del conocimiento que 
poseemos de las operaciones básicas. Nos detendremos en las definiciones 
formales de las operaciones, sus elementos y propiedades más relevantes. 
Seguramente con esta base podremos abordar los temassiguientes con 
mayor facilidad. 
 
 
1. NÚMEROS NATURALES 
 
En función de lo que fue el inicio en la construcción de la ciencia 
matemática, se considera que los primeros números que aparecen son los que 
aprendimos de muy pequeños y que hoy llamamos naturales. 
 
 
 
 8 
Los números naturales son los que usamos para contar o enumerar y se los 
simboliza con la letra . 
 1, 2, 3, 4, ... , , 1, ...n n  
 
Observemos que el conjunto de los números naturales: 
 
 Tiene un primer elemento, el uno (1). 
 Cada natural (excepto el 1) se puede obtener agregando 1 al número 
natural anterior. 
 No tiene un último elemento. 
 
¿Cómo simbolizarías el número natural anterior a n? 
 
Podemos representar gráficamente a los naturales en una recta, 
considerando un segmento de referencia fijo u, que servirá para separar un 
natural del inmediato siguiente, comenzado con el número 1. 
 
Ahora, formalicemos cuales son las operaciones que se definen entre los 
números naturales. 
 
 
1.1 Operaciones en los Naturales 
 
 
La suma o adición de dos números naturales a y b es otro número natural a + b 
que se obtiene de agregarle a uno de ellos tantas unidades como represente el 
otro. 
 
 
Cada uno de los números que intervienen en la suma se llama sumando y el 
número que los reúne o agrupa se denomina suma. 
La multiplicación o producto de dos números naturales a y b es otro número 
natural a . b que se obtiene de sumar uno de ellos tantas veces como indique el 
otro. 
 
 
 
Cada uno de los números que intervienen en la multiplicación se llama 
factor y el número que resulta se denomina producto. 
 
 
 
b veces 
 
 
 a + b = c 
sumandos 
suma 
 u 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
+ + + + + + + + + + 
 a . b = c 
factores 
 producto 
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
9 
¡Tengamos cuidado! 
La resta y la división no 
gozan de las propiedades 
conmutativa y 
asociativa. 
 
Propiedades de la suma y el producto de números naturales 
 
PROPIEDAD SUMA PRODUCTO 
Conmutativa a + b = b + a a . b = b . a 
Asociativa (a + b) + c= a + (b + c) (a . b) . c = a . (b . c) 
Distributiva del 
producto con 
respecto a la suma. 
a . (b + c) = a . b + a . c 
 
 
 
 
 
 
En los naturales también podemos definir otras operaciones: 
 
 La resta o sustracción como la operación inversa de la 
suma: 
 
 a  b = c si y sólo si b + c = a 
 
Cada uno de los números que intervienen en la resta recibe un nombre, 
habrá que diferenciar entre el minuendo, el sustraendo y la diferencia o 
resta. 
 
 
 
 
 
 
 La división o cociente como la operación inversa del producto: 
 
a : b = c si y sólo si b . c = a 
 
Cada uno de los números que intervienen en la división recibe un nombre, 
habrá que diferenciar entre el dividendo, el divisor y el cociente. 
 
En el conjunto de los naturales podemos sumar y multiplicar sin 
problemas, dado que el resultado de sumar o multiplicar números naturales 
es otro número natural. 
 
Pensemos qué ocurre en los siguientes casos: 
3  5 = ? 3  3 = ? 
 
a  b = c resta o diferencia 
sustraendo minuendo 
 a : b = c cociente dividendo 
divisor 
La suma y el producto de 
números naturales 
poseen ciertas 
propiedades que 
facilitan el cálculo y son 
de importancia teórica. 
¿Las recordamos? 
 
 
 10 
¿Pero cuando restamos 
dos naturales la 
diferencia es siempre un 
natural? 
 
La imposibilidad de obtener diferencias como estas en el 
conjunto de los números naturales hace necesaria la creación de 
un nuevo conjunto de números. Surgen así los denominados 
números enteros. 
 
 
2. NÚMEROS ENTEROS 
 
 
Los números enteros están formados por los naturales, el cero y los naturales 
precedidos por el signo menos (a los cuales llamamos "enteros negativos"). Se 
los simboliza con la letra . 
 ... , 3, 2, 1 , 0 , 1, 2, 3, ...    
 
 
Al igual que en los números naturales podemos representar 
los enteros sobre una recta en la que se elige un punto como 
origen, identificándolo con el número cero. Luego usando un 
segmento unidad de referencia se ubica el resto de los números 
enteros, estableciendo que los números positivos están a la 
derecha de ese origen mientras que los negativos se ubican a la 
izquierda. 
 
 Observemos que: 
 Cada número entero, salvo el cero, consta de un signo (+ ó ) y de su 
valor absoluto, que es la distancia del número al cero. 
 Cada entero tiene asociado su correspondiente opuesto, que está 
representado por el mismo número natural pero con signo diferente. Por 
ej. 4 es el opuesto de 4, 3 es el opuesto de 3. 
 El conjunto de los números enteros es discreto, esto significa que entre 
dos números enteros sólo puede existir una cantidad finita de números 
enteros. 
 En ellos no hay primer elemento, ni último elemento, por lo tanto existen 
infinitos números enteros. 
 
 
2.1 Operaciones en los enteros 
 
Las operaciones que hemos definido en los naturales y sus propiedades 
siguen siendo válidas al trabajar con enteros, repasemos como operar con estos 
números. 
 
1) Para sumar números enteros habrá que considerar: 
 
+ + + + + + + + + + 
u 
4 3 2 1 0 1 2 3 4 
5 
Ellos vienen a dar 
solución a la resta de 
números naturales, en el 
caso en el que el 
minuendo es menor o 
igual al sustraendo, pero 
además estos números 
nos ayudarán a 
representar 
temperaturas, deudas, 
pérdidas, etc. 
 
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
11 
Suma de 
números 
enteros: 
a + b Ejemplo 
Si a y b tienen el 
mismo signo 
La suma tendrá el mismo signo 
de los sumandos y se suman los 
valores absolutos 
5 + 7 = 12 
 
(5) + (7) = 12 
Si a y b tienen 
distinto signo 
La suma tendrá el mismo signo 
del mayor de los sumandos y 
se restan los valores absolutos 
5 + 7= 2 
 
5+ (7) = 2 
Si uno de los 
sumandos es cero 
El cero sumado a izquierda ó a 
derecha de un número da el 
mismo número, se dice que 0 es 
el elemento neutro de la 
suma. 
a + 0 = 0+ a = a 
 
 
2) Para multiplicar habrá que tener presente la regla de signos: 
 
Producto de 
números 
enteros: 
a . b Ejemplo 
a y b tienen el 
mismo signo 
Se multiplican valores absolutos 
de los factores y el producto 
tendrá signo positivo. 
5 . 7 = 35 
 
(5) . (7) = 35 
a y b tienen 
distinto signo 
se multiplican valores absolutos 
de los factores y el producto 
tendrá signo negativo. 
(5) . 7 = 35 
 
5. (7) = 35 
Si uno de los 
factores es cero. El producto es cero. 
a . 0 = 0 
0 . b = 0 
 
3) Si multiplicamos un número entero a izquierda o a derecha por 1 (uno) 
se obtiene el mismo número. Se dice que 1 es el elemento neutro del producto. 
 
En símbolos 
a .1 = 1 . a = a 
 
Ahora, veamos cómo a partir de lo recordado anteriormente es posible obtener 
el resultado de operaciones combinadas 
 
Por ejemplo: 
 Resolvamos   1 2 3 2 4 1 (2 3) 1 1            
 
Para resolver habrá que tener presente lo siguiente: 
 Un signo menos delante de un paréntesis corchete o llave nos indica que 
estamos multiplicando por (1). 
 Los signos más (+) y menos () separan términos. 
 Salvo que existan paréntesis corchetes ó llaves, hay que multiplicar y 
dividir primero y luego sumar o restar (jerarquía de las operaciones). 
 La regla de signos también se aplica a la división.12 
Este ejercicio se puede desarrollar de distintas formas, optaremos por suprimir 
primero los paréntesis luego los corchetes y finalmente las llaves respetando lo 
que nos indica el signo que los precede y luego asociando los valores de acuerdo 
a si son positivos o negativos. 
 
  1 2 3 2 4 1 (2 3) 1 1             1 2 3 2 4 1 2 3 1 1            
  1 2 3 4 1 3 1 1        
 1 2 3 4 1 3 1 1         
 (1 3 1 3) (2 4)      
 8 6  
 2 
 
A continuación te proponemos que realices la siguiente actividad: 
 
 
 Actividad 1 
 
Resuelva las siguientes operaciones con números enteros: 
 
a)  2 ( 1).( 3) .( 1) 3.( 2).(1 2)         
b)   5 3 1 2 4 3 5 2 4 2 3 1               
c)    ( 3)( 1)( 2) 5.2 . ( 2)( 1) 2        
d)  2. 2 ( 3).( 1).( 4) 5.2 (4 3)         
e) ( 1)( 3)( 1) ( 4).( 2) (5 3).( 1)          
f)  2 . 2 ( 15).( 3) : (4 3) 5.2       
g)  ( 1)( 7) 20 : ( 1) ( 4) (5 3) : ( 1)          
h)   3 (5 4) : 3.(4 : 4) 4.( 6) 24 ( 1)       
 
En  podemos sumar, restar y multiplicar, sin inconvenientes. 
 
Pero . . . ¿Qué podemos afirmar sobre la división? 
 
 
En general para dividir recurrimos a un esquema como el 
siguiente: 
 
 
 
 
 
donde r recibe el nombre de resto, siendo a, b y c dividendo, divisor y 
a b 
r c 
 
Tenga en cuenta… 
Al dividir dos enteros el 
cociente no es 
necesariamente un 
número entero. 
Pensemos qué ocurre en 
los siguientes casos: 
3 : 5 = ? 8 : 3 = ? 
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
13 
cociente respectivamente. 
 
Se puede observar que entre los elementos de la división se 
verifica la siguiente igualdad: 
 
 
 
 
 
Esta fórmula es lo que se denomina algoritmo de la división. 
 
Por ejemplo: 
 
El algoritmo de la siguiente división es 2 . 3 + 1 = 7 
 
 
 
Si el resto es cero se dice que la división es exacta, y entonces el cociente 
de la división pertenece al conjunto de los enteros. 
Pero cuando la división no es exacta, debemos recurrir a una nueva 
extensión del campo numérico, incorporando los números fraccionarios a los 
enteros. Esto dio lugar a los denominados números racionales. 
 
 
3. NÚMEROS RACIONALES 
 
Una forma alternativa de representar la división de 
números enteros es a través de las conocidas fracciones. 
En una fracción 
a
b
 , a se llama numerador y b 
denominador, con la condición de que b es distinto de cero 
¿porqué? 
 
Los números enteros junto a los fraccionarios conforman 
el conjunto de los números racionales. 
 
 
Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como un cociente 
de enteros con denominador distinto de cero. Se los simboliza con la letra . 
/ 0
a
a b b
b
          
  
 
 Otra forma de representar a los racionales es como números decimales con 
una cantidad finita de cifras decimales ó con infinitas cifras decimales pero 
periódicas. 
En el siguiente cuadro resumimos las formas de representación y algunos 
ejemplos de números racionales: 
 
 
b . c + r = a 
Observemos que todo 
entero puede expresarse 
como una fracción, es 
decir 
para cualquier entero a. 
 
7 2 
1 3 
 
Importante 
Si el divisor es cero 
(b = 0) se dice que el 
cociente es 
indeterminado. La 
división por cero no está 
definida. 
 
 14 
Formas de representación de los números racionales 
Fracciones 
10
4
 ; 
8
10
 ; 
6
16
 ; 
18
11
 
Números con una cantidad finita de 
cifras decimales. 
 
4,0
10
4
 ; 25,1
8
10
 
Números que presentan cifras decimales 
que se repiten periódicamente. 
 
...666,2
6
16

, 
...6111,0
18
11

 
 
Ahora repasemos como se opera con fracciones. 
 
3.1 Operaciones en los Racionales 
 
Suma de racionales: 
Dados dos racionales 
a
b
 y 
c
d
 , la suma será 
.
a c a d c b
b d b d

  
 
Por ejemplo: 
4 2 4.5 2.7 34
7 5 35 35

   
 
Las propiedades enunciadas para la suma de enteros siguen siendo válidas al 
operar con racionales. 
 
Otros ejemplos nos serán útiles para recordar variantes en la forma de 
operar. 
 
 Si tenemos fracciones con el mismo denominador el resultado será otra 
fracción del mismo denominador, cuyo numerador resulta de la suma de 
los numeradores de las fracciones dadas: 
 
8 5 8 5 13
3 3 3 3

   
 
 Al sumar dos fracciones de distinto denominador se puede tomar como 
denominador al mínimo común múltiplo entre b y d. 
 
3 1 6 1 7
5 10 10 10

   
 
 Todo número entero se puede pensar como un cociente de enteros. 
 
3 3 1 3 5 8
1
5 5 1 5 5

     
 
 
 
 
 
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
15 
 
Actividad 2 
 
Resuelva los siguientes ejercicios con números racionales. 
 
a) 
3 2
4 4
  d) 
2 5 1
3 6 2
   
 
b) 
5 7
4 3
  
 
e) 
1 8
2
5 3
    
 
c) 
5 7
4 3
  
 
f)
5 8 4
6 3 2
   
 
Producto de racionales: 
 
Dados dos racionales 
a
b
 y 
c
d
 el producto será 
.
.
a c a c
b d b d
  
 
 
 
Cociente de racionales: 
 
Dados dos racionales 
a
b
 y 
c
d
 el cociente será 
.
:
.
a c a d
b d b c
 
 
De la última definición surge que podemos pensar a la división de números 
racionales como un producto, invirtiendo la fracción divisora, es decir: 
 
 :
a c a d
b d b c
  
 
 
Propiedad de existencia de elemento inverso 
El producto de números racionales cumple con todas las propiedades 
mencionadas para el caso de los números enteros, pero además para cada 
racional 
a
b
, con 0a  , existe su inverso b
a
 tal que 1
a b
b a
  
 
A partir de esto se deduce que en el producto de fracciones se puede 
simplificar numeradores con denominadores. 
 
Por ejemplo: 
9 7 8 9
4 3 5
  
3
11
7
4 3

2
8 3.7.2 42
5 5 5
   
 
En el producto se 
multiplica los 
numeradores entre sí y 
denominadores entre sí. 
 
En el cociente se 
multiplica “cruzado” 
 
 
 16 
Una aplicación muy común de las fracciones lo constituye el cálculo de 
porcentajes. 
Un determinado porcentaje es la parte de un todo y se denota con el 
símbolo “ % ”. La idea en que se basa es que el total está dividido en 100 partes. 
 
Por ejemplo: 
 
Se realizó una compra de útiles en una librería mayorista por $3.000. A este 
importe hay que agregarle el 21% del IVA, ¿cuánto es el monto a pagar de IVA? 
 
Para responder observemos que el 21% de 3.000 se puede calcular como: 
 
21
3.000 630
100
  
 
En síntesis, se deberá pagar adicionalmente $630 en concepto de IVA. 
 
 
 Actividad 3 
 
Resuelva 
a) 
3 2
7 5
  
g) ¿Cuánto es el 35% de 200 y cuánto es el 8% 
de 400? (Recuerda, que para obtener un 
porcentaje debes multiplicar por una fracción) 
 
b) 
5 7
4 3
   
 
h) Entre tres hermanos deben repartirse 1.200 
pesos. El primero se lleva 7/15 del total, el 
segundo 5/12 del total y el tercero el resto. 
¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno? 
 
c) 
5 8
4 5
  
 
i) 
2 3 5 8 1 1
:
5 4 4 5 2 4
       
 
 
d) 
5 6 1
3 5 2
     
 
 
 
j)
2 2 1 9
: ( 4) : :
5 5 2 4
                         
 
e) 
1 7
:
3 3
    
 k)
3 4 5 1
1 : 1
4 3 9 3
       
 
 
 
f) 
5 10 4
:
6 3 2
  
 
 
 
 
 
Las operaciones ya definidas de adición, sustracción, 
multiplicación y división, están presentes también al trabajar 
con los números racionales, pero aún podemos incorporar a 
nuestra revisión dos operaciones más: la potenciación y la 
radicación. 
 
 
Te invitamos a ver un video 
sobre el tema en el Aula 
Virtual, en recursos y 
Materiales de la Unidad 1. 
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
17 
na b
 
Dado un número racional a y un número natural n llamamos potencia enésima 
de a, al número que se obtiene de multiplicar a por si mismo tantas veces como 
indique n. 
 
 
 
 
 
Esta expresión se lee “a elevado a la n”. El número a se denomina base y n 
recibe el nombre de exponente. 
 
 
 
 
 
 
Por ejemplo: 4 42 2 . 2 . 2 . 2 2 16   
 
Como la potenciación indica el producto de n veces un mismo factor, para su 
cálculo aplicaremos la regla de signos de la multiplicación. Por ejemplo: 
 
3 3( 1) ( 1) . ( 1) . ( 1) ( 1) 1        
 
Veamos que ocurre al efectuar el cálculo de otras potencias: 
 
Potencia Base Exponente Resultado 
42.222  Positiva Par Positivo 
     42.22 2  Negativa Par Positivo 
82.2.223  Positiva Impar Positivo 
      82.2.22 3  Negativa Impar Negativo 
 
Si bien no hemos realizado una demostración formal, podemos observar que 
la potencia sólo es negativa cuando la base es negativa y el exponente impar, 
esta observación se puede generalizar a cualquier potencia. 
Asociada a la potencia definimos su operación inversa, la que recibe el 
nombre de “radicación” 
 
 
Dado un número racional a y un n natural llamamos raíz enésima de a al 
número b que elevado a la n nos da a, exceptuando el caso en el que 
0 y para n . 
 
En símbolos: 
nn a b b a   
 
Donde es el operador radical, a es el radicando y n es el índice de la 
raíz 
 
Por ejemplo: 4 16 2 pues 42 = 16 
 
an = a . a . …. a 
n veces 
base 
exponente potencia 
 
 18 
 3 ( 1) 1   pues 3( 1) 1   
 
La introducción de los números fraccionarios soluciona el problema de la 
división no exacta, pero la operación de radicación presenta un nuevo 
inconveniente. 
Si el resultado de la radicación se puede expresar como cociente de dos 
enteros, diremos que la radicación se puede realizar en el conjunto de los 
números racionales. 
Por ejemplo: 
2
3
4
9
 
 
 
Actividad 4 
 
Calcule las siguientes potencias y raíces 
 
a) 33  b) 23  c)  33  d)  23  
e) 16
25
 f) 
3 8 = g) 3 8  h) 1
49
 
 
 
Pero esto no siempre es posible. 
 
 Un número con infinitas cifras decimales no periódicas, no puede ser 
transformado en un cociente de enteros. 
 Las raíces no exactas como 2 no se puede expresar como un 
cociente de enteros y por lo tanto no es un número racional. 
 
Estas observaciones nos llevan a definir un nuevo conjunto numérico: los 
números irracionales. 
 
 
4. NÚMEROS IRRACIONALES 
 
 
Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como un 
cociente de enteros y su expresión decimal es infinita no periódica. 
 
 
 
 
Ejemplos de algunos números irracionales: 
 
 
 Número  que corresponde a la relación entre el perímetro de una 
circunferencia y su diámetro. 
 = 3,1415926535… 
 
 Número e base de los logaritmos naturales o neperianos 
 
e = 2,7182818284…. 
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
19 
 
 2 es la medida de la diagonal de un cuadrado de lado igual a la 
unidad. 
 
4142135623,12  … 
 
Podríamos seguir dando ejemplos de números irracionales, pero lo 
importante es saber que lo que los caracteriza es que no pueden expresarse 
como cociente de enteros. 
Ahora si consideramos los distintos tipos de números revisados hasta aquí 
obtenemos el conjunto numérico más importante con el cual se trabaja de 
manera habitual es el de los llamados números Reales. 
 
 
5. NÚMEROS REALES 
 
 
El conjunto de los números Reales está formados por los números racionales y 
los números irracionales y se denota por . 
 
 
Los números reales “llenan” por completo la recta numérica, por eso se la 
llama recta real, a cada punto de la recta le corresponde un número real, y a 
cada número real, un punto en la recta. 
 
 
 
 
 
 
Antes de continuar con las operaciones y como complemento de los 
conceptos ya enunciados revisemos las relaciones de orden en los reales y el 
concepto de valor absoluto. 
 
 
5.1 Relaciones de orden en los Reales: 
 
La idea de comparación en Matemática exige rigurosidad y establece, entre 
otras cosas, lo que se da en llamar relaciones de orden en el conjunto de los 
números reales. 
Recordemos cuál es la simbología utilizada para expresar la relación de 
orden entre dos números. 
 Para describir la relación de orden entre 2 y 2 usamos : 
 
2 = 2 
 Para describir la relación de orden entre 3 y 7 usamos: 
 
3 < 7 
 Para describir la relación de orden entre 1 y 5 : 
 
1 > 5 
 
 3 2 1 0 1 2 3 4 ... 
 3 4 
 
 20 
Estas relaciones están basadas en el orden natural de los números reales en 
la recta numérica; esto es, si “a” esta a la izquierda de “b” en la recta numérica 
entonces a < b, si “a” esta a la derecha de “b” en la recta numérica entonces 
a > b, y si “a” y “b” están en la misma posición entonces a = b. 
 
 
Diremos entonces que: 
Dados a y b, números reales, se verifica alguna de las siguientes 
relaciones entre ellos: 
a) " a es igual a b ", en símbolos: a = b 
b) " a es menor que b ", en símbolos: a < b 
c) " a es mayor que b ", en símbolos: a > b 
 
En términos matemáticos, en el primer caso estamos frente a una 
igualdad, mientras que en los otros dos casos se habla de desigualdades. 
 
También habrá desigualdades que involucran la posibilidad de igualdad 
como se ve a continuación: 
 a  b (se lee: a es menor o igual que b) 
 a  b (se lee: a es mayor o igual que b) 
 
5.2 Valor absoluto de un número real 
 
Como ya adelantamos al introducir los números enteros el valor absoluto 
de un número “a” puede interpretarse como la distancia de “a” al origen en la 
recta numérica. 
 
Pero demos otra versión del concepto de valor absoluto. 
 
El valor absoluto de un número “a” se denota ay se define: 
 
si a  0 entonces a= a 
 si a  0 entonces a= a 
 
 
Por ejemplo: 
 
 
4 = 4 ; pues 4 es mayor que 0 
 
 5=  (5) = 5 ; pues 5 es menor que 0. 
 
Por cualquiera de las dos vías conceptuales se observa que, el valor 
absoluto de un número es un valor no negativo. 
 
Propiedades del valor absoluto. 
 
 El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores 
absolutos de los factores. 
 En símbolos: 
 
a. b=a.b 
 
 Un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto. 
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
21 
En símbolos: 
a=  a 
 
 El valor absoluto de la suma es menor o a lo sumo igual que la suma de 
los valores absolutos. 
En símbolos: 
a + ba+b 
 
 
 
Actividad 5 
 
Calcule el valor absoluto en cada caso: 
 
a)7= b) 9= c) 0= d) 35= e)35=5.3 Operaciones en . 
 
Hemos definido los conjuntos numéricos y las operaciones 
algebraicas rescatando la terminología matemática apropiada 
para cada una de ellas. Las operaciones definidas en los 
racionales se extienden al conjunto de los números reales. 
El siguiente cuadro resume las propiedades que se tienen 
presentes al sumar o multiplicar números reales. 
 
 
PROPIEDADES SUMA PRODUCTO 
Conmutativa a + b = b + a a . b = b . a 
Asociativa (a + b) + c= a + (b + c) (a . b) . c= a . (b . c) 
Elemento neutro 
0 es el neutro de la suma: 
Para todo a real 
a + 0 = 0 + a = a 
1 es el neutro del producto: 
Para todo a real 
a . 1 = 1. a = a 
Elemento simétrico 
Para cada a real 
 
a +( a) = (a) + a = 0 
Para cada real a  0 
1 1
 = 1a a
a a
   
Distributiva a . (b + c) = a . b + a . c 
 
Notemos que la propiedad distributiva vincula las dos operaciones. 
 
Las operaciones de potenciación y radicación de números reales requieren de 
un estudio más detallado. 
 
5.3.1 Potenciación 
 
Anteriormente hemos definido esta operación y sus elementos, a 
continuación, analizaremos algunas propiedades importantes a aplicar en la 
resolución de operaciones en donde se incluye la potenciación: 
 
En esta unidad y en las 
restantes será de gran 
utilidad conocer las 
propiedades de las 
operaciones, motivo por 
el cual nuestro próximo 
objetivo será recordarlas 
y revisar su modo de 
aplicación. 
 
 22 
 
Propiedades de la potenciación 
 
En símbolos: Ejemplo: 
Es distributiva respecto del 
producto. 
( . ) .n n na b a b  2 2 22 . 3 2 . 3 
Es distributiva con respecto a la 
división. 
n n
n
a a
b b
    
 3
33
2
8
2
8






 
El producto de 2 o más potencias 
de igual base es igual a otra 
potencia de la misma base, cuyo 
exponente es la suma de los 
exponentes de las potencias dadas. 
 
 
.n m n ma a a  
 
 
2 3 2 3 52 . 2 2 2  
 
El cociente de potencias de igual 
base es igual a otra potencia de la 
misma base, cuyo exponente 
resulta de la diferencia entre la 
potencia del numerador y la del 
denominador. 
 
n
n m
m
a
a
a
 
 
5
5 2 3
2
2
2 2
2
  
La potencia de una potencia es 
igual a otra potencia de la misma 
base elevada al producto de los 
exponentes. 
 
  .mn n ma a 
 
 23 3.2 62 2 2  
 
 ¿Qué sucede con el cero en la operación de potenciación? Aquí damos un 
resumen, intenta analizar el porqué de cada afirmación. 
 
 Toda potencia de base cero y exponente distinto de cero, es igual a cero. 
 En símbolos 00 n , para n distinto de cero. 
 
 Toda potencia de exponente cero y base distinta de cero, es igual a 1. 
En símbolos 10 a , para a distinto de cero. 
 
 El cero como base y exponente, es decir 00 no está definido. 
 
 
 
Actividad 6 
 
Resolver, aplicando propiedades cuando corresponda: 
 
a) 2(5 3) e) 25( 1) 3    
 
b) 
4
1
3
2





  f) 
2 2
31 1( 1) 4
2 2
                  
     
 
c) 
 32 3
6
3 2
6

 g) 
02 2
31 1 4
2 2
                  
    
 
d)  
325
1
          
 h) 
 
 
 4.
4
4
5
7








 
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
23 
 
 
 
5.3.2 Radicación 
 
Hemos definido la operación de radicación como la operación inversa de la 
potenciación. 
En base a la definición calculemos las siguientes raíces: 
 
 283  porque 823  
 
 283  porque 3( 2) 8   
 
 2164  porque 1624  
 
 4 16 no tiene solución dentro de los Reales, porque no existe ningún 
número real que elevado a exponente cuatro de como resultado un 
número negativo. Este caso será, como veremos luego, el motivo para 
crear un nuevo conjunto de números. 
Establezcamos a continuación algunas propiedades de la radicación: 
 
Propiedades de la radicación En símbolos: Ejemplo: 
Es distributiva respecto del 
producto. 
 
. .n nn a b a b 
 
4 . 9 4. 9 
Es distributiva con respecto a la 
división. 
n
n
n
a a
b b
 
3
3
3
512 512
8 8
 
La raíz emésima, de la raíz 
enésima de un número real a, es 
igual a la raíz de índice m.n de 
dicho número. 
 
.n n mm a a 
 
2. 33 664 64 64  
 
Estas propiedades pueden ser ejercitadas a través de la siguiente 
actividad. 
 
 
Actividad 7 
 
Resolver, aplicando propiedades cuando corresponda: 
a) 16 121  b)
7
2
4
  c) 1 82 .
2 5
   
 
 
d)
1
256
 e) 
32
2
 
 
 
 
 
 
 
 24 
 
Actividad 8 
 
Establezca la VERACIDAD O FALSEDAD de las siguientes afirmaciones y 
justifique adecuadamente. 
a)  22 es igual a 22 Verdadero-Falso 
b)  23 2 es igual a 2 23 2 Verdadero-Falso 
c) La radicación es distributiva respecto de la 
suma 
Verdadero-Falso 
 
 
5.3.3 Potencia de Exponente Negativo 
Sabemos que 32 2 . 2 . 2 8  pero . . . ¿qué ocurre si tenemos 32 ? 
 
 3 factores 
¿Podemos indicar que tenemos 3 factores? ¿Qué significa el exponente 
negativo? 
 
Para responder estos interrogantes observemos que 32 puede ser 
pensado como un cociente de potencias de igual base: 
 
5
2
3
2
2
2  
 
Si expresamos las potencias como productos y luego simplificamos: 
 
2
3
5 3
2 2 . 2 1
2
2 2. 2 .2 .2 .2 2
      
 
Obtenemos: 
3
3
2
1
2 




 
 
Este procedimiento se puede generalizar y entonces afirmamos que toda 
potencia de exponente negativo se puede transformar en una potencia tal que: 
 
 la base es la inversa de la base de la potencia dada. 
 el exponente es positivo y de igual valor absoluto que el exponente de la 
potencia dada. 
 
En símbolos: 
1
n
na
a
     
 
 
5.3.4 Potencia de Exponente Fraccionario 
 
Toda potencia de exponente fraccionario es igual al radical cuyo índice es 
el denominador del exponente (m) y cuyo radicando es la base de la potencia 
(a), elevada al numerador del exponente dado (n). 
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
25 
 
En símbolos: 
 
 
 
 
Por ejemplo 
 
Si tenemos 2
3
16 podemos expresarlo de una manera alternativa. 
 
El exponente fraccionario nos está indicando que 16 está sometido a la 
operación de potenciación con exponente 3 (el numerador de la fracción) y a la 
operación de radicación de índice 2 (el denominador de la fracción). 
 
 
Por lo tanto: 
 
2 32
3
1616  
 
Resolvemos: 
 
6440961616 2 32
3
 
 
 
¿Qué sucede si el exponente es, además de fraccionario, negativo? 
 
Por ejemplo: 
2
1
5
9







 
 
 
 
resolvemos: 
3
5
9
5
9
5
9
5
5
9 2
1
2
1












 
 
En general, toda potencia de exponente fraccionario y negativo, es igual a 
la recíproca del radical cuyo índice es el denominador del exponente 
fraccionario (m) y cuyo radicando es la base de la potencia (a) elevada a un 
exponente igual al numerador del exponente dado (n). 
 
En símbolos: 
 
1nm
nm
a
a

 
 
En todos estos casos especiales de la operación de potenciación, son 
aplicables las propiedades que hemos enunciado. 
 
 

n
m nma a
 
 26 
 
Actividad 9 
 
Resuelva los siguientes ejercicios 
a) 35 b) 
2
5
3







 c) 6
1
64 d) 
3
1
64
27






 e) 
2
327

 f) 
3
24
9
    
 
 
 
 
5.3.5 Racionalización del Denominador 
 
Al resolver algunas operaciones, el resultado puede contener una raíz en el 
denominador. 
 
 
 
Por ejemplo: 
3
2
 
 
Podemos proponernos transformar la raíz del denominador en un número 
racional, obteniendo una fracción equivalente. En esto consiste la 
“racionalización del denominador”. 
 
¿Cómo hacemos, en nuestro ejemplo, para transformar la fracción de manera 
que en el denominador se presente un número racional? 
 
 
Primero, multiplicamosnumerador y denominador por 3 
 
3
3
.
3
2
 
 
resolvemos en el numerador y denominador: 
 
   2 2
2. 3 2. 3 2 3 2 3
33. 3 3 3
   
 
 
y de esta manera hemos transformado la raíz del denominador en un número 
racional, obteniendo una expresión equivalente a la original. 
 
Veamos otro ejemplo: 
 
2
5
7
1
5
 
 
 
 
 
multiplicamos numerador y denominador por 
3
5
1
5
 
 
 
 
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
27 
 
y resolvemos 
 
3 3 3 3
5 5 5 5
2 3 2 3 5
5 5 5 5 5
1 1 1 1
7. 7. 7.
5 5 5 57
.
11 1 1 1 1
. 55 5 5 5 5
       
       
         
         
         
         
 
 
 
En general, dado: 
m nb
a
 
 
para racionalizar el denominador, debemos multiplicar numerador y 
denominador por 
 
m nmb  
porque: 
 
bbbb m mm nmm n . 
 
y b será el nuevo denominador 
 
 
Actividad 10 
 
Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones: 
 
a) 
18
2
 b) 
3 2
1
 
 
 
Actividad 11 
 
Resuelva los siguientes ejercicios combinados 
 
 
a)  2 8 6 1 33 4 (5 3) 2 . 2 2 3 27 8       
 
b) 
2 3 22 6
3 3 2
10 2 3 3 7
3 2 : 2 7 7 3
                           
 
 
 
 28 
c) 
2
2 2 441 11 3 ( 2) ( 1)
7 3
             
 
 
d) 
5
22 5
0
3 2 2
5 2 1
7 1
(2 3 . 3 ) 4


              
 
 
e)    
2
0 2 2 441 12 3 5 ( 3) ( 1)
2 2
              
 
 
Nuestro trabajo se desarrollará casi exclusivamente sobre el conjunto de los 
números reales, pero como anticipamos, puede ocurrir que nos encontremos con 
una raíz de índice par y radicando negativo. Por ejemplo hemos observamos que 
4 16 no está definida dentro de los reales. 
Para dar solución a la radicación en este último caso se recurre a los 
llamados números imaginarios y con ellos a los complejos. 
 
6. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 
 
La unidad imaginaria se simboliza i y tiene la propiedad de que elevada al 
cuadrado da 1. 
Observemos que de acuerdo a la definición: 
2 21 1i i    
De esta manera podremos expresar el resultado de cualquier raíz cuadrada 
de un número negativo. Son ejemplos de ello: 
16 16 1 4 i    15 15 1 15 i    
 
Como consecuencia de la aparición de los números Imaginarios se combinan 
linealmente números reales y números imaginarios, surgen los números 
Complejos 
Un número se dice complejo si resulta de la suma de una parte real y otra 
imaginaria. Es decir z es un número complejo si z = a + b i siendo a y b números 
reales.Por ejemplo: 3 + 4 i ,  5 + i , 7 2  8 i 
 
Finalmente diremos que dos números se dicen complejos conjugados si 
poseen la misma parte real y sus correspondientes partes imaginarias son de 
signo contrario. Si z denota un número complejo su conjugado se simboliza z . 
Por ejemplo: 
 
 Si z =3 + 4 i entonces su conjugado es 3 4 i z 
 Si z =7 2  8 i entonces su conjugado es 7 2 8 i z 
 
En el Aula Virtual, en la 
sección “Recursos y 
Materiales” encontrarás 
la resolución detallada 
al ejercicio e) de esta 
actividad. 
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
29 
A modo de síntesis podemos resumir los conjuntos numéricos que hemos 
analizados de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el Aula Virtual, en la 
sección “Recursos y 
Materiales” encontrarás 
un resumen de la 
Unidad 1. 
Enteros () 
Fraccionarios 
 
Racionales () 
Irracionales 
 
Reales () 
Imaginarios 
 
Complejos 
 
Naturales () 
 
Cero (0) 
 
Opuestos de 
los Naturales 
 
 30 
 
7. EJERCICIOS INTEGRADORES 
 
Te proponemos resolver los siguientes ejercicios que pretenden integrar 
todo lo aprendido en esta unidad. 
 
 
Ejercicio 1 
 
I. En un curso de 60 alumnos el 55% tiene buenas notas, el 35% tiene notas 
regulares y el resto malas notas. ¿Cuántos alumnos obtuvieron malas 
notas? 
 
II. En un colegio hay elecciones para el centro de estudiantes. Por Juan 
votaron 280 estudiantes, por Karina votaron 125 y por Antonio 95. ¿Qué 
porcentaje obtuvo Juan del total de los votos? 
 
Ejercicio 2 
 
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? 
 
a) La suma de dos números reales es un número real. 
b) La suma de dos números racionales es un número racional. 
c) El producto de dos números racionales es un número racional. 
d) El producto de dos números irracionales es un número irracional. 
e) El producto de dos números reales es un número real. 
 
 
Ejercicio 3 
Resolviendo 
3 25 9
3 . 2 1
 

 . 0( 4 8)  se obtiene: 
 
a) 
1
3
 b) 
1
3
 c) 5
3
 d) 20
3
 e) 2 
 
 
Ejercicio 4 
 
Resolver: 
 
a) Me informan que he consumido 4/9 del crédito en mi celular. Si pagué por 
$180, cuánto es el crédito en pesos que aún me queda? 
 
b) Un viaje de egresados costó 20.000 por estudiante. Juan pagó 11/25 partes 
del viaje en efectivo y el 45% en 10 cuotas iguales, pero previamente se había 
entregado una seña al momento del contrato. ¿Cuánto fue lo que Juan pagó en 
efectivo, cuánto pagó en cuotas y de cuánto fue la seña? 
 
 
 
 
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
31 
Ejercicio 5 
 
Resuelva aplicando propiedades cuando sea posible. 
 
a)      12 2 3 2 0 01 2 .3 5 .5 2 6 ( 1)          b) 
99
3 4
( 1) 27 : 3
2 2 256

  

 
c) 
1
1 2
2
2 35 21 . 7 28 ( 2) .2 10
9 3
                   
 
 
Ejercicio 6 
 
Complete las siguientes expresiones, indicando con el símbolo  si el número 
está incluido en el conjunto y con  si no lo está. 
 
a) 0,333........  b) 2 ...........  c) 
2
4
...........  
d) 3 .........  e) 
3
1
 ...........  f) 6...........  
 
Ejercicio 7 
 
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique. 
 
a) La suma de dos números naturales es siempre un número natural. 
b) La diferencia de dos números naturales es siempre un número natural. 
c) El cociente entre dos números enteros es siempre un número entero. 
d) Existen infinitos números enteros entre el 5 y el 25. 
e) Existen infinitos números racionales entre 3
1 y 1. 
f) La raíz cuadrada de todo número natural impar es siempre un número 
irracional. 
 
 
Ejercicio 8 
 
Obtenga el resultado en cada caso, puede dejar indicado los números 
irracionales y debe racionalizar el denominador de ser necesario. 
 
a) 
2 3
5 10
  b) 3 3 3
3
      
 
c) 
26 6 4.3.8
3.2
    d) 
23 ( 3) 4.( 2).( 2)
2.2
      
 
 
 
 
 
 32 
Ejercicio 9 
 
Resuelva los siguientes ejercicios 
 
a)  
2
9
3
3 3 1 15( 1) 1 2
1 2 3 41
5
 
             
 
 
b) 
   
1
22
2 13
5
6 603
6 3 21 2 5
5 2 3



 
     
 
.
( ) .
 
 
 
c)    
2 2
12
1 0
7 5 1 6 3.2
: ( 7) : 3 1 . 2. 5 . 4
2 6 2 7 6

               
     

 
 
 
d) 
   1 3 4 022
33 3
4 .4 5 ( 1)25 ( 4)7
1
16 5 2 . 4 ( 2)
:
                 
 
 
 
e) 
2
3
3 3 1 15 2
1 2 3 41
5
 
            
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el Aula Virtual 
encontrarás una 
Autoevaluación que te 
recomendamos realizar. 
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
33 
RESPUESTAS DE ACTIVIDADES Y EJERCICIOS 
UNIDAD N°1: 
 
 
Actividad 1 
 
a) En este caso podemos separar en dos términos, resolver cada uno de ellos 
respetando la jerarquía de las operaciones y aplicando regla de signos del 
producto. 
 
  2 ( 1).( 3) .( 1) 3.( 2).(1 2)          2 3 .( 1) 3.( 2).( 1)      
 1.( 1) 3.2  1 6  
 5 
 b) 5 c) 16 d) 7 e) 3 f) 3 g) 1 h ) 0 
 
Actividad 2 
 
a) 
3 2 5
4 4 4
  
 
b) 
5 7 15 28 43
4 3 12 12

   
 
c) 
5 7 15 28 13
4 3 12 12

    
d) 
2 5 1 4 5 3 6
1
3 6 2 6 6
 
     
e) 
1 8 3 30 40 13
2
5 3 15 15
  
     
 
f)
5 8 4 5 16 12 1
6 3 2 6 6
 
    
 
 
Actividad 3 
 
a) 
3 2 6
7 5 35
  b) 
5 7 35
4 3 12
    
c) 
1 2
1 1
5 8 5 8
2
4 5 4 5
 
  
  
 
d) 1 e) 
1
7
 f) 
9
4
 
g) 
35
200 . 70
100
 
  70 es el 35% de 200. 
 
 
 
h) Primer hermano: 
 
7
1200 . 560
15
 
 
 
 
 
8
400 . 32
100
 
 32 es el 8% de 400. 
 
 
Segundo hermano: 
 
5
1200 . 500
12
 
Tercer hermano: 
 1200-(560+500) = 140 
 
i) 
37
10
 
 
 
j) 
1
4
 
 
 
k) 1 
 
 
 34 
 
Actividad 4: 
 
a) 33 27 b) 23 9 c)  33 27  d)  23 9  
 
e) 16 4
25 5
 f) 3 8 2   g) 3 8  2 h) 1 1
49 7
 
 
 
Actividad 5 
 
a)7= 7 b) 9= 9 c) 0= 0 d) 3  5= 2 e)35= 2 
 
 
Actividad 6 
 
a) 
2(5 3) 64  b)
4 4
2 1 1
1
3 3 81
                
 
c) 
 
 
32 3 6 9 6 9
9 6 3
66 6 6
3 .2 3 2 3 2
2 2 8
6 3 23 . 2
     
 
d)   325 301 ( 1) 1       e)    2 25( 1) 3 2 4     
 
f) 
2 2 4
3 6 21 1 1( 1) 4 ( 1). . 2 2 4
2 2 2
                                    
 
 
g) 
02 2
31 1 4
2 2
                     
 1 h) 
 
 
 
7
3
5
4
. 4 ( 4) 64
4
         
 
 
 
Actividad 7 
 
a) 16 121 137  b) 7 1 12
4 4 2
   
 
c) 
1 8 5 8
2 . 4 2
2 5 2 5
         d) 
8
8
1 1 1
256 2 2
    
 
 
e) 
32 32
16 4
22
   
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
35 
 
Actividad 8 
 
a) Podemos afirmar que 2 22 2es igual a  ? FALSO. 
 
  22 4  , pues el exponente afecta al signo menos y por lo tanto el 
resultado es positivo. 
 22 4  , pues el exponente no afecta al signo menos. 
 
 
b) Podemos afirmar que 2 2 23 2 3 2es igual a  . FALSO 
 
 
  2 2 23 2 3 2   
 
 
 
c) La radicación es distributiva respecto de la suma. FALSO 
Por ejemplo: 
 
4949  
 
 
Actividad 9 
 
a) 3
1
5
125
  b) 
2
3 25
5 9
    
 c) 
1
6 66664 64 2 2   
d) 
1
3 333
33
3 3 3
27 27 3 3 3
64 64 4 44
       
 e) 
2
3
22 63 3
1 1 1 1
27
3 927 3

    
 
f) 
3 33 2 6 3
24 9 3 3 3 27
9 4 2 2 2 8
                                                    
 
 
Actividad 10 
 
 a)
2 2
318
 b) 
3
3
1 4
22
 
 
 
Actividad 11 
 
a)  2 8 6 1 33 4 (5 3) 2 . 2 2 3 27 8        2 2 112 2 2 2 81 2   
  12 10 9 2
2
   
 
7
2
 
 2 23 2 5 25   
 
2 23 2 9 4 13    
 
 36 
b) 
2 3 22 6
3 3 2
10 2 3 3 7
3 2 : 2 7 7 3
                           
1 2
100 64 3 3
27 2 7 7
               
 
 
36 3
25 7
     
 
 
6 3
5 7
  
 
 
57
35
 
 
c) 
2
2 2 441 11 3 ( 2) ( 1)
7 3
             
2 211 9 ( 2) 3 1
7
        
 
 
1
1 9 4.10
7
    
 
1
1 49
7
   
 
 
1
1 7
7
   
 0 
 
d) 
5
22 5
0
3 2 2
5 2 1
7 1
(2 3 . 3 ) 4


              
5
2
3
25 32
1 1 4
(2 1)
       
 
 
5
7
1 1 16
7
       
 
 15 
 
 
e) 1 4 5 
 
 
 
 
 
 
RESPUESTAS DE EJERCICIOS INTEGRADORES 
 
Ejercicio 1 
I. 6 alumnos obtuvieron malas notas. 
II. Juan obtuvo el 56% de los votos. 
 
En el Aula Virtual, en la 
sección “Recursos y 
Materiales” encontrarás 
la resolución detallada 
al ejercicio e) de esta 
actividad. 
Unidad 1: Números y operaciones aritméticas 
 
 
 
37 
Ejercicio 2 
Opción d) 
La afirmación: El producto de dos números irracionales es un número irracional 
Es Falsa. Por ejemplo: 3. 3 3 (3 no es número irracional) 
 
Ejercicio 3 
Opción b) 
 
 0
3 25 9
( 4 8)
3 . 2 1
     

3 16 3 4 1
1 .1
3 33 . 1
    
 
Ejercicio 4 
a) Me queda 100 pesos de crédito. 
b) En efectivo: 
11
20.000 8.800
25
  En cuotas: 45 20.000 9.000
100
  
 Seña: 20.000 (8.800 9.000) 2.200   
 
Ejercicio 5 
 
 a)      12 2 3 2 0 01 2 .3 5 .5 2 6 ( 1)             
121 (2.3) 5 2 1 1

     
 
  11 36 .7.2
1
14
35
2
5
  
 

 
 
b) 
99
3 4
( 1) 27 : 3
2 2 256

 
 4
1 9 1 3 2 3 1
2 2 4 4 4256
         
 
c)
1
1 2
2
2 35 21 . 7 28 ( 2) .2 10
9 3
                   
 
 
1
1 2
2
2 34 2. 7. 4.7 2 .2 10
9 3
                 
1
2
52 2. 7.2 2 10
3 3
               
 
1
2 22 3
36 .6 9
3 2
              
 
 
 
 
 38 
Ejercicio 6 
a) 0,333   b) 2   c)
2
4
   d) 3  e) 
3
1
   f)6   
 
 
Ejercicio 7 
 
a) Verdadera, para cada par de números naturales la suma se define como: 
agregar al primero tantas unidades como indique el segundo, y por definición de 
los naturales el resultado será otro natural. 
b) Falsa, por ejemplo 3  3 =0. 
c) Falsa, por ejemplo 3 : 2= 1,5 . 
d) Falsa, podemos enumerar y contar una cantidad finita de números enteros 
entre el 5 y el 25. 
e) Verdadera, pues entre dos racionales siempre existe otro racional, por 
ejemplo (1/3 + 1)/2, luego entre este último y 1 podremos encontrar otro 
racional, sumando ambos y dividiendo por dos y así sucesivamente deducimos 
que existen infinitos números racionales entre 3
1 y 1. 
f) Falsa, por ejemplo la raíz cuadrada 1 es un número racional. 
 
Ejercicio 8 
 
a) 
3 2
5
 b) 6 c) 151
3
i  d) 3 7
4 4
i 
 
 
Ejercicio 9 
 
a) 
26
25
 b) 9 c) 
7
2
 d) ̶ 1 e) 25 
 
 
 
 
 
 
Expresiones algebraicas
Unidad 2
Objetivos especí�cos 
• Conceptualizar las Expresiones Algebraicas, reconociendo su valor instrumental en la 
resolución de problemas. 
• Analizar y aplicar las operaciones entre Expresiones Algebraicas Enteras.
• Comprobar el sentido y utilidad del factoreo de Expresiones Algebraicas para simpli�car 
el proceso de resolución de operaciones.
Contenidos
Expresiones Algebraicas: Clasi�cación, Valor numérico. 
Expresiones Algebraicas Enteras: Monomios, Polinomios, Polinomios en una indeterminada. 
Operacionesentre Expresiones Algebraicas: Suma, Diferencia. 
Producto: Producto de Binomios Conjugados, Potenciación, Cociente: Regla de Ru�ni, 
Teorema del Resto, Divisibilidad entre polinomios. Factoreo de Expresiones Algebraicas: 
Factor Común, Factor Común por Grupos, Trinomio Cuadrado Perfecto, 
Cuatrinomio Cubo Perfecto, Diferencia de Cuadrados, Suma o 
Diferencia de Potencias de Igual Grado. Descomposición Factorial de un Polinomio. 
Expresiones Algebraicas Fraccionarias, Fracciones algebraicas equivalentes. 
Simpli�cación de expresiones algebraicas. Operaciones con 
Expresiones Algebraicas Fraccionarias: Suma y resta de Expresiones Algebraicas Fraccionarias, 
Producto de Expresiones Algebraicas Fraccionarias, Cociente de Expresiones Algebraicas Fraccionarias. 
 
 
 
 
 
 
 40 
UNIDAD N°2: 
 
 
 
 
 
 
 
Desafío 2 
 
Una pareja de atletas aficionados se está preparando para una carrera. Para su 
entrenamiento alterna entre una serie de circuitos de diferentes distancias: uno 
largo, uno mediano y uno corto. 
 Ayer repitieron dos veces el circuito largo, dos 
veces el mediano y una vez el corto. 
 Hoy recorrieron un tercio del largo y dos veces 
el mediano. 
 Mañana correrán una vez y media el corto y 
cuatro veces el largo. 
 Finalmente, pasado mañana su recorrido será 
una vez el circuito largo, tres veces el mediano 
y dos veces el corto. 
 
¿Te animás a expresar simbólicamente el recorrido de cada uno de estos cuatro días y 
luego calcular el total? 
 
 
 
 
Unidad 2: Expresiones algebraicas 
 
 
 
 
41 
INTRODUCCIÓN 
 
En esta unidad nos introduciremos en una de las herramientas más poderosa de la 
Matemática: el Álgebra, a la que podemos considerar como “el lenguaje de los 
símbolos”. 
Los primeros avances en esta 
área se registran en las 
civilizaciones de Babilonia y Egipto, 
entre el cuarto y tercer milenio 
antes de Cristo y su desarrollo 
continúa hasta nuestros días. 
 
 
 
Los matemáticos pasaron de la Aritmética, que se ocupa de los números 
concretos, al Álgebra cuando intentaron generalizar cálculos, esto significa realizar 
operaciones donde las letras representan números. 
 
En el siglo XVI comenzó la etapa del Álgebra Simbólica, que es la que utilizamos 
hoy y que nos permite expresar los enunciados en forma más breve, generalizar 
situaciones y representar cantidades desconocidas. 
 
 
 
Números y letras vinculados entre sí a 
través de operaciones serán los 
protagonistas de esta unidad y nosotros 
aprenderemos a trabajar con ellos. 
 
 
 
 
Veamos qué opina este personaje al respecto… 
Posiblemente, nos encontremos en una posición parecida a la del personaje 
anterior. Sin embargo, al finalizar esta unidad estaremos familiarizados con las 
Expresiones Algebraicas y podremos realizar operaciones entre ellas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42 
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
No son pocas las ocasiones en las que nos encontramos con la necesidad de 
expresar enunciados en forma más breve, generalizar situaciones o representar 
cantidades desconocidas. 
 
 
 Consideremos los siguientes avisos: 
 
Aquí podríamos estar interesados en encontrar una 
expresión que nos indique la superficie de los lotes 
cualesquiera sean sus dimensiones. Suponga que se nos 
informa que los terrenos que se comercializan tienen 
forma rectangular y que su base mide 10 mts. más que 
su altura, tal como muestra la siguiente figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ¿Cómo determinamos la superficie de este lote? 
Superficie = x (x+10) 
 
 
En este segundo aviso, podríamos preguntarnos: 
 
 
¿Cómo representar, de manera general, el 
“interés” a pagar para importes diferentes de 
préstamos, a un año de plazo? 
 
Interés = 
7
100
x 
 
En la expresión anterior x simboliza el “importe 
del préstamo”, según el caso. 
 
 
 
Observemos los segundos miembros de las expresiones obtenidas. ¿Cuáles 
son sus características? 
 
 Intervienen números 
 Intervienen letras 
 Intervienen operaciones algebraicas 
 
Estas expresiones se llaman expresiones algebraicas. 
 
x 
x +10 
 
¡EFECTIVO 
EN EL ACTO! 
 
Créditos a sola firma 
Mínimos requisitos 
 
 
 
A un año de plazo 
Tasa de interés anual: 7% 
 
 
CRÉDITO S.A. 
 
Recuerde: 
La superficie de un 
rectángulo se calcula 
como el producto de la 
base por la altura. 
Su perímetro está dado 
por la suma de sus lados. 
Unidad 2: Expresiones algebraicas 
 
 
 
 
43 
Una expresión algebraica es toda combinación de números, expresados por letras, o 
por letras y cifras, vinculadas entre sí mediante las operaciones de suma, 
sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. 
 
 
En las expresiones algebraicas podemos identificar: 
 
 Expresión 
Algebraica 
 
 
 
 
 
Letras Números Operaciones 
 
 
 
 
Se denominan 
variables o 
indeterminadas 
 Se denominan 
constantes o 
coeficientes de 
la 
indeterminada 
 Suma, Resta, 
producto, 
división, 
potencia, 
radicación 
 
En los ejemplos anteriores tenemos: 
 
EXPRESIÓN 
ALGEBRAICA CONSTANTES INDETERMINADAS OPERACIONES 
 
x (x + 10) 
 
 
1 y 10 
 
 
x 
 
suma y producto 
7
100
x 
7
100
 x producto 
 
 
Actividad 1 
Escriba la expresión algebraica correspondiente a cada uno de los siguientes 
enunciados: 
 
a) La suma de dos números consecutivos. 
b) El cuadrado de un número, disminuido en 3. 
c) El cuadrado de la suma de dos números. 
d) El doble de la edad de una persona, hace tres años. 
e) La diferencia de los cubos de un número natural y el siguiente. 
 
 
Actividad 2 
 
En cada uno de los siguientes enunciados establezca la VERACIDAD O FALSEDAD 
de la afirmación y justifique adecuadamente. 
a) La expresión algebraica que corresponde a la diferencia de los cuadrados de 
dos números es 2)( yx  . 
 
 
 
 
 
 
 44 
b) La mitad de la diferencia entre dos números puede expresarse 
algebraicamente como y
x

2
. 
c) es la expresión algebraica que corresponde a la suma de las 
raíces cuadradas de dos números. 
 
 
Actividad 3 
 
Complete el siguiente cuadro identificando, en cada expresión algebraica, las 
constantes, las indeterminadas y las operaciones involucradas. 
 
EXPRESIÓN 
ALGEBRAICA 
CONSTANTES INDETERMINADAS OPERACIONES 
yyx 3
6
1 2  
 
255
7
yzx 
 
 
 
 
 
1.1 Clasificación de las Expresiones Algebraicas 
 
Las expresiones algebraicas pueden clasificarse de acuerdo a las operaciones a las 
que están sometidas las letras que en ella figuran: 
 
 
 
 
Entera 
Las indeterminadas están 
sometidas a las operaciones de 
adición, sustracción, 
multiplicación y potenciación 
con exponente entero no 
negativo 
Ejemplos: 
24pq 
3 118
3
x y x 
4 218z z z  
Racional 
 
 
Fraccionaria 
Por lo menos una de las 
indeterminadas, figura como 
divisor en un cociente o como 
base de una potencia con 
exponente entero negativo 
Ejemplos: 
3 15x y
x
 
4 3 22( )z t v  
 
 
 
 
 
Irracional 
 Por lo menos una de las 
indeterminadas se encuentra 
sometida a operaciones de 
radicación o potenciación con 
exponente fraccionario 
Ejemplos: 
1
5
2
x y 
1/ 2 23 6 9a b c  
 
 
 
 
 
2/12/1 yx 
Recuerde: 
Esta clasificación está íntimamente relacionada con la de los números pero para 
clasificar las expresiones algebraicas se considera únicamente a qué tipo de 
operaciones están sometidas las indeterminadas. 
Te invitamos a ver 
un video sobre el 
tema en el aula 
virtual, en recursos 
y Materiales de la 
Unidad 2. 
Unidad 2: Expresiones algebraicas 
 
 
 
 
45 
 
 
Actividad 4 
 
Complete el siguiente cuadro: 
 
EXPRESIÓN 
ALGEBRAICA CONSTANTES INDETERMINADAS OPERACIONES CLASIFICACIÓN 
5 21( ) 3
2
a x  
 
 
1/ 4(7 ) 7st  
 
 
 
 
 
 
 
1.2 Valor numérico de una expresión algebraica 
 
Considere el ejemplo de los lotes dado al comenzar el capítulo. Según el anuncio, 
los terrenos que se comercializaban eran de forma rectangular y su superficie (S) 
estaba dada por la siguiente expresión: 
 
S(x)= x (x+10) 
¿Cuál será la superficie del lote si se sabe que x = 15 mts.? Para determinarla 
procedemos de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hemos calculado el valor numérico de la expresión algebraica S para x = 15. 
 
 
El valor numérico de una expresión algebraica para x = a, es el número que se 
obtiene reemplazando en la expresión la indeterminada x por a y resolviendo las 
operaciones indicadas. 
 
 
Actividad 5 
El resultado del siguiente cálculo 
 
 
1
:
1
a a
a
aa



 , siendo a un número 
entero mayor que 1, es: 
a) un número natural; 
b) un número entero negativo; 
c) un número fraccionario, no entero; 
d) un número irracional; 
e) no se puede establecer ninguna conclusión. 
Reemplazamos en S a x por 15. S(15)=15 .(15 +10) 
Resolvemos las operaciones indicadas S(15)=15.25 
S(15)=375 
 
 
 
 
 
 
 46 
Actividad 6 
 
Señale la única alternativa correcta, justificando su elección. 
 
A. El valor numérico de la expresión algebraica 235 32 ssss  para s = 2 es: 
a) 38 
b)  26 
c) 32 
d)  18 
e) Ninguna de las alternativas anteriores es correcta. 
 
B. El valor numérico de la expresión algebraica 
)84(
316 84
zxy
zyx


 para x =1/4, 
y = ( – 1/2) – 1 y z = – 2 es: 
 
a) 5/9 
b) 7/2 
c) 5/7 
d) 2/7 
e) Ninguna de las alternativas anteriores es correcta. 
 
 
2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS 
 
Considere nuevamente los ejemplos de expresiones algebraicas 
enteras: 
 
24 pq 3
1
18
3
x y x 4 218z z z  
 
 
 ¿Qué cantidad de términos tiene cada una de las expresiones anteriores? 
Como habrá observado, las expresiones algebraicas pueden tener un 
solo término o más de uno. Esto permite clasificarlas en monomios y 
polinomios. 
 
 
2.1 Monomios 
 
Un monomio es aquella expresión algebraica entera que tiene un solo término, es 
decir, que las indeterminadas están vinculadas solamente por las operaciones de 
multiplicación y potenciación con exponente entero no negativo. 
 
 
En todo monomio podemos identificar un coeficiente numérico y una parte 
literal. 
 
Por ejemplo 
MONOMIO COEFICIENTE 
NUMÉRICO 
PARTE LITERAL 
 24 p q  4 p q
2 
3 2x y z 1 3 2x y z 
Recuerde: 
Los operadores + y – 
son los que separan 
términos. 
Unidad 2: Expresiones algebraicas 
 
 
 
 
47 
 
Es muy importante, para realizar operaciones con monomios, identificar la parte 
numérica y la literal. Esta última, también nos permite determinar el grado de un 
monomio: 
 
El grado de un monomio 
Está dado por la suma de 
los exponentes de las 
indeterminadas. 
Ejemplo: 
42
5
st es de grado 5 
El grado de un monomio 
respecto a una de sus 
indeterminadas 
Está dado por el 
exponente de dicha 
indeterminada 
Ejemplo: 
42
5
st es de grado 1 en s y 
de grado 4 en t 
 
Además, podemos indicar que: 
 
 Dos o más monomios son homogéneos cuando tienen el mismo grado. 
Por ejemplo, 4 2 3 5
2
; 3 ; 5
5
st x y p son monomios homogéneos de grado 5. 
 
 Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte 
literal. 
Por ejemplo, 4 4 4
2
; 3 ; 5
5
st st st son monomios semejantes. 
 
 
 2.2 Polinomios 
 
Un polinomio es aquella expresión algebraica entera en la que las indeterminadas 
están vinculadas solamente por las operaciones de suma, resta, multiplicación y 
potenciación con exponente entero no negativo. En definitiva, un polinomio puede 
definirse como una suma algebraica de monomios. 
 
Algunos polinomios reciben nombres particulares según el número de monomios 
no semejantes que lo forman. Así decimos que un polinomio es un: 
 
 Binomio cuando resulta de la suma de dos monomios. 
 Trinomio cuando está constituido por tres monomios. 
 Cuatrinomio en caso de tener cuatro monomios. 
 Polinomio de cinco, seis,…,n términos si tiene más de cuatro monomios. 
 
Los conceptos que veremos a continuación, serán utilizados al realizar 
operaciones entre polinomios: 
 
 Un polinomio es nulo cuando todos sus coeficientes numéricos son iguales a 
cero. 
 El grado de un polinomio es igual al del monomio de mayor grado de los que 
lo forman. 
 
Por ejemplo, considere el polinomio 3 2
1
18 6
3
x y x xy  
 
 
 
 
 
 
 
 48 
 
TÉRMINOS DEL POLINOMIO 
yx318 x
3
1
 
26xy 
Grado 4 1 3 
 
por lo tanto, el polinomio es de grado 4. 
 
 El grado de un polinomio respecto a una de sus indeterminadas está 
dado por el mayor exponente con que figure esa indeterminada. 
 
 
El polinomio yyxyxxy  23324 53
5
2
 es de grado 3 en x y de 
grado 4 en y. 
 
 
Por ejemplo, el polinomio 3 2 3
1
3 5 3 7
4
y y y y    , los términos 33y y 
33y se anulan y el grado del polinomio es 2. 
 
 Un polinomio está ordenado según las potencias decrecientes de una 
indeterminada cuando el exponente de la misma en cada término es menor o igual 
que en el anterior. 
 
Por ejemplo, yyxyxxy  23324 53
5
2
 está ordenado de acuerdo a las 
potencias decrecientes respecto de y. 
 
 Un polinomio está ordenado según las potencias crecientes de 
una indeterminada cuando el exponente de la misma en cada término es 
mayor o igual que en el anterior. 
Por ejemplo, 23324 53
5
2
yxyxxy  está ordenado de acuerdo a 
las potencias crecientes respecto de x. 
 Un polinomio es completo con respecto a una de sus 
indeterminadas cuando en el mismo figuran todas las potencias menores 
que la de mayor exponente. 
 
Por ejemplo, yyxyxxy  23324 53
5
2
 es completo respecto a x 
pero incompleto respecto a y (falta y0 ). 
 
 
Identificar que un polinomio es completo, será útil para 
realizar la operación de la división. 
 
 
 Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los términos 
semejantes tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo. Decimos que: 
Recuerde: 
Para determinar el grado de 
un polinomio, o el grado de 
un polinomio respecto de una 
de sus indeterminadas, hay 
que reducir previamente los 
términos semejantes, si los 
hubiera. 
 
Recuerde: 
Para que un polinomio esté 
completo respecto a una de 
sus indeterminadas debe 
figurar también un término 
de grado cero para dicha 
indeterminada. 
 
Unidad 2: Expresiones algebraicas 
 
 
 
 
49 
 
 
P(x) es opuesto a Q(x) si P(x) = – Q(x). 
 
Por ejemplo, 
 
2 3 2 32 2( ) 3 5 1 ( ) 3 5 1
5 5
P x x x x Q x x x x         
P(x) y Q(x) son polinomios opuestos. 
 
 
Dos binomios son conjugados cuando se diferencian únicamente en un signo. 
 
Por ejemplo, 
2
2
2
( ) 3
5
2
( ) 3
5
P x x x
Q x x x
 
 
 
P(x) y Q(x) son binomios conjugados. 
 
 
2.3 Polinomios en una indeterminada 
 
Se llama polinomio de grado n en la indeterminada x a toda expresión algebraica 
entera de la forma P(x) = a0 + a1x + a2x
2 + .... + anx
n, siendo a0, a1, a2, .... ,an 
números reales y n un número que pertenece a los enteros no negativos. 
 
Observe el siguiente polinomio en x y analice: 
4 227 3
5
 x x 
 
¿Cuál es coeficiente del término de mayor grado? 
 
4 227 3
5
 x x 
 
 
 
¿Cuál es el término de grado cero, es decir, aquel en el que no figura la 
indeterminada? 
4 227 3
5
 x x 
 
 
Por lo tanto: 
 
Polinomio 
4 227 3
5
x x  
Coeficiente principal 3 
Término independiente 7 
Recuerde: 
x0 = 1 
 
Dicho término se llama término independiente. 
 
Dicho coeficiente se llama coeficiente principal. 
 
 
 
 
 
 
 50 
Actividad 7 
 
En cada uno de los siguientes enunciados establezca la VERACIDAD O FALSEDAD de la 
afirmación y justifique adecuadamente. 
 
a) 5 es un monomio de grado cero. 
b) La indeterminada de mayor grado de un monomio, determina el grado del mismo. 
c) 2 2 3 3
3
2 ; 3 ;
7
x z x z xz constituyen monomios no homogéneos de grado 4. 
d) El polinomio 4 3 2 4 43 3 2 6x y x y x y xy x y    es de grado 4 respecto a x. 
e) La indeterminada de mayor grado de un polinomio, determina el grado del mismo. 
f) 4 3 2 5
1
5 2
3