Teoría de conjuntos_Resumen

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Capítulo 8.- TEORIA DE CONJUNTOS 
 
Introducción 
 
La teoría de conjuntos es una de las partes de la matemática que se desarrolló desde fines del 
siglo XIX. Ha introducido términos como pertenencia, inclusión, unión y otros con significados 
rigurosos y su uso sin dudas ha permitido mejorar la presición del lenguaje en áreas de conocimiento 
como la teoría de relaciones y funciones, la teoría de las probabilidades y otras. Conocerla, al menos 
en sus aspectos fundamentales, es una necesidad para cualquier estudiante de ciencias, por ello su 
presencia en la curríula de matemática para Ingeniería Agronómica. 
 
NOCIONES DE CONJUNTO Y DE ELEMENTO 
 
Un conjunto es cualquier agrupación o colección de objetos o entidades. 
Un elemento es cada uno de los objetos que forman un conjunto. 
 
Los conjuntos se designan o anotan generalmente con una letra mayúscula. Sus elementos se 
encierran entre llaves y si son literales, generalmente se usan minúsculas. 
Por ejemplo, el conjunto A, formado por los elementos 1, 2 y 3, se anota así: 
 3,2,1=A 
 
DEFINICION ( O DETERMINACION) DE UN CONJUNTO 
 
Un conjunto está definido o está determinado cuando se conocen todos y cada uno de los 
elementos que lo forman. 
Se usan dos maneras para definir un conjunto: 
a) extensión o enumeración 
b) comprensión. 
 
DEFINICION POR EXTENSION O ENUMERACIÓN 
 
Un conjunto está definido por extensión o enumeración cuando para conocer los elementos que 
lo forman, éstos se nombran o enumeran uno a uno. 
Ejemplo: si decimos que el conjunto M está formado por los elementos –5 y 7, y anotamos 
 7;5−=M , lo hemos definido por extensión. 
 
DEFINICION POR COMPRENSION 
 
Un conjunto está definido por comprensión cuando sus elementos se conocen a través de una 
propiedad que les es común a ellos y sólo a ellos. 
Esa propiedad suele adquirir la forma de una función proposicional que se transforma en una 
proposición verdadera (V) sólo cuando a su/s variable/s se le/s asignan como valores los elementos de 
ese conjunto. 
En el caso de conjuntos de interés matemático la función proposicional suele tener forma de 
una ecuación, o también de una inecuación. 
Ejemplo: el mismo conjunto M del caso anterior puede ser definido por comprensión así: 
 0352/ 2 =−−= xxxM 
El símbolo “x/…” se lee: x, tal que… 
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EQUIVALENCIA DE AMBAS DEFINICIONES 
 
Analicemos la equivalencia de las dos formas de definición utilizadas. 
En la definición por comprensión, la función proposicional usada es la ecuación de segundo 
grado en una incógnita, 03522 =−− xx , que sólo se satisface como igualdad para sus raíces , que 
calculamos a continuación, con la fórmula de Baskara: 
 
a
cabb
x
.2
..42 −−
=
2
122
1.2
)35.(1.4)2()2( 2 
=
−−−−−
= . 
De allí, 71 =x y 52 −=x 
 
Estos dos números son, precisamente, los elementos de M enumerados en la otra forma usada. 
Concluimos entonces que ambas formas definen al mismo conjunto y, por ello, son 
equivalentes. 
Debe entenderse también que la función proposicional 03522 =−− xx , permite comprender 
que el conjunto M está formado por los números –5 y 7, aún cuando éstos no sean nombrados 
explícitamente, pues ellos son los únicos números que la transforman en una proposición verdadera. 
 
DOS CONJUNTOS ESPECIALES 
 
Es frecuente, en esta teoría, la referencia a dos conjuntos que debemos distinguir como 
especiales: 
a) el conjunto vacío (simbolizado con  ) 
b) el conjunto universal (simbolizado con U) 
 
El conjunto vacío es el que no tiene elementos. 
El conjunto universal es el que reúne a todos los elementos de que se trata. 
 
DIAGRAMAS DE VENN-EULER 
 
Los diagramas de Venn-Euler están formados por curvas que encierran a los elementos de un 
conjunto del cual se necesita proponer un gráfico representativo. La letra mayúscula que lo nombra se 
coloca afuera de la curva. 
Ejemplo: 
 A 
 
 
 
Si  3,2,1=A , el gráfico será 
 
 A x1 
 x 2 
 x 3 
 
 
 
El único conjunto que se representa gráficamente de un modo distinto es el universal U, pues 
para él se utiliza un rectángulo y su nombre se coloca en el interior, generalmente en el ángulo superior 
izquierdo. 
 3 
 U 
 
 
 
 
 
 
Es también frecuente el uso de los dos diagramas que siguen, llamados diagramas de 
distribución, cuya utilidad se apreciará en sus aplicaciones. 
 
U 
 A B U B 
 
 A 
 
 
 C 
 
 
LA PERTENENCIA 
 
La pertenencia es un concepto que permite observar la posición de un elemento cualquiera, con 
respecto a un conjunto, también cualquiera. 
Así, dados un elemento y un conjunto cualesquiera, diremos que: 
a) el elemento pertenece al conjunto, o bien 
b) El elemento no pertenece al conjunto. 
Los símbolos usuales son )(pertenece y  (no pertenece). 
Ejemplo: sea  0352/ 2 =−−= xxxM . 
a) M− 5 es una proposición V (verdadera). 
b) M7 es una proposición V. 
c) M2 es una proposición V. 
d) M25,4 es una proposición F (falsa). 
e) M− 5 es una proposición F. 
En síntesis: la pertenencia sólo se debe usar para comparar la posición de un elemento con 
respecto a un conjunto. 
El formato usual es 
 [elemento][conjunto], o bien [elemento] [conjunto], 
en donde los corchetes se deben interpretar como los lugares que en general han de ocupar las 
entidades que se comparan. 
 
LA INCLUSION 
 
La inclusión es un concepto que permite comparar la ubicación de un conjunto con respecto a 
otro conjunto. 
 
Definición: un conjunto A está incluido en otro conjunto B si, y sólo si, todos los elementos de 
A lo son también de B. 
 
Los símbolos usuales en este caso son: 
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•  (…está incluido en…) 
•  (…no está incluido en…) 
•  (…incluye a…) 
Con estos símbolos, podemos enunciar la definición de inclusión así: 
 
BxAxBA  
 
o, usando el condicional contrarrecíproco (equivalente): 
 
AXBxBA  
 
Propiedades de la inclusión: 
 
1º) Propiedad Reflexiva: todo conjunto está incluido en sí mismo. AAA  : 
 
2º) Propiedad Transitiva: CACBBA  
 
 
 
 
 
 
 
 
3º) El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto. AA  : 
 
4º) Todo conjunto está incluido en el Universal: UAA  : 
 
 
 U 
 
 A 
 
 
 
 
 
 
CONJUNTOS IGUALES 
 
Definición: ABBABA = 
 
Propiedades de la igualdad de conjuntos: 
 
1º) Propiedad Reflexiva: AAA = : 
2º) Propiedad Simétrica: ABBA == 
3º) Propiedad Transitiva: CACBBA === 
 
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OPERACIONES CON CONJUNTOS 
 
I- UNION DE DOS CONJUNTOS 
 
Definición:  BxAxxBABAC == / 
 
Gráficamente: U 
 A B 
 
 
 
 BA 
 
 
Propiedades: 
 
1º) Propiedad de Idempotencia: AAA = 
 
2º) Propiedad Conmutativa: ABBA = 
 
3º) Propiedad Asociativa: ( ) ( )CBACBA = 
 
Casos particulares: 
 
1º) Si un conjunto está incluido en otro, la unión de ambos es el conjunto incluyente. 
 BBABA = 
Gráficamente: 
 
 
 B 
 A 
 
 
 AB 
Por lo tanto: 
a) AA = ; 
b) UUA = . 
 
II- INTERSECCION DE DOS CONJUNTOS 
 
Definición:  BxAxxBABAC == / 
Gráficamente: 
 U 
 A B 
 
 
 
 
AB 
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Propiedades: 
 
1º) Propiedad de Idempotencia: AAA = 
 
2º) Propiedad Conmutativa: ABBA = 
 
3º) Propiedad Asociativa: ( ) ( )CBACBA = 
 
Casosparticulares: 
 
1º) Si un conjunto está incluido en otro, la intersección de ambos es el conjunto incluido. 
 ABABA = 
Gráficamente: 
 
 B 
 A 
 
 
 AB 
Resulta, entonces, que: 
c)  =A ; 
d) AUA = . 
 
2º) Si la intersección de dos conjuntos es el conjunto vacío, los dos conjuntos se dicen disyuntos, y 
recíprocamente. 
= BA A es disyunto con B 
Gráficamente: 
 U 
 
 A B 
 
 
 
III- COMPLEMENTACION DE CONJUNTOS 
 
Definición: se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos de U, que 
no pertenecen a A. 
El complemento de A se denota con A´, o con A . Usaremos preferentemente la segunda 
notación. Entonces: 
  AxUxxA = / , o bien,  AxxA = / 
En forma gráfica: 
 U 
 
 A 
 
 
 A 
 
Propiedades de la complementación: 
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1º) Propiedad Involutiva: AA =)( 
 
2º) ABBA  
 
 
PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS 
 
La unión y la intersección de conjuntos se relacionan a través de dos propiedades que se 
enuncian simbólicamente a continuación: 
 
 I) Propiedad distributiva de la unión, con respecto a la intersección 
 
 ( ) ( ) ( )CBCACBA = 
 
 II) Propiedad distributiva de la intersección, con respecto a la unión 
 
( ) ( ) ( )CBCACBA = 
 
LEYES DE DE MORGAN 
 
A su vez, la unión y la intersección de conjuntos se relacionan con la complementación de 
conjuntos a través de otras dos propiedades que se enuncian simbólicamente a continuación: 
 
I) Primera ley de De Morgan 
 
( ) BABA = 
 
II) Segunda ley de De Morgan 
 
( ) BABA = 
 
IV- DIFERENCIA DE DOS CONJUNTOS 
 
Definición:  BxAxxBABAC =−−= / 
 
Gráficamente: 
 
 U 
 
 A B 
 
 
 
 
 A - B 
Observación: la diferencia de conjuntos no es conmutativa. 
 A-B  B-A 
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Propiedades: 
 
1º) A-B = A B 
 
2º) Propiedad distributiva de la intersección con respecto a la diferencia: 
 
( ) ( ) ( )CBCACBA −=−