ejercicios vectores para profundizar-RESOLUCION

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Ejercicios de vectores para profundizar 
1) Sean los vectores = (3; 1), = (-1; 3) y = (1; 2). 
a) Expresar el vector como combinación lineal de los vectores y . Verificar gráficamente.
b) Los vectores y , ¿son linealmente dependientes o independientes? Justificar.
a) 
Resolvemos el sistema aplicando el método de sustitución.
Despejamos de la primer ecuación 
Sustituimos en la segunda ecuación
 
Verificación
b) Si y son linealmente dependientes =k 
=k 
	
	
	Como las “k” obtenidas son diferentes los vectores son linealmente independientes
Otra forma: 
Si y son linealmente independientes se verifica:
 
 
 
Resolvemos el sistema:
Despejamos de la ecuación 1: 
Sustituímos en la ecuación 2: 
 los vectores son linealmente independientes.
2) Si , y , calcule .
3) 
4) Sean A, B, C y D los vértices de un cuadrado con centro en el origen 0, ordenados en el sentido de las manecillas del reloj. Si a= y b= , encuentrar en términos de a y b.
Le damos un valor arbitrario a las coordenadas de los puntos A, B, C y D; de modo que quede derminado un cuadrado.
Se resuelve el sistema de ecuaciones que queda determinado y y .
5) Sea , y . Pruebe que es un triángulo rectángulo.
Si uno de sus ángulos es recto
 o o 
 
 es rectángulo
6) 
7) Dados los vectores: y . Determinar el valor de para que:
a) los vectores sean perpendiculares, 
b) los vectores sean paralelos
c) formen un ángulo de 45° 
a) Si 
b) Si 
c) Si 
 
8) Dados los vectores y , se pide:
a) Hallar los ángulos que forma el vector con los ejes coordenados y verificar la propiedad que cumplen los cosenos directores.
b) Calcular el producto escalar . ¿Son perpendiculares? Justificar.
c) Hallar el ángulo entre ambos vectores.
d) La proyección de sobre .
a) ; ; 
Verificación propiedad cosenos directores:
b) 
 si no son perpendiculares.
c) 
d)