Flexion en vigas

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RESISTENCIA DE
MATERIALES
PARTE II
WINSTON ACEIJAS PAJARES
Ingeniero Mecánico
RESISTENCIA DE MATERIALES PARTE II
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, 
por cualquier medio, sin autorización escrita del autor.
© Reservados todos los derechos, Winston Aceijas Pajares. 2011
Hecha e impresa en Lima - Perú 
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Se tiraron 500 ejemplares.
PROLOGO
	
Este libro está diseñado para estudiantes de tercer año de ingeniería que llevan un primer curso de mecánica de cuerpos deformables.
Luego de haber discutido en el primer texto la transformación del esfuerzo en un punto, aquí se resuelve problemas que involucran a flexión y torsión en vigas; y estabilidad de columnas.
El primer capítulo se ha elaborado con la idea de repasar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector por la acción de las cargas externas sobre vigas, aprendidos previamente en el curso de Estática. Luego se realiza el análisis de la distribución de esfuerzos normales y sus correspondientes deformaciones, la discusión incluye a vigas de dos o más materiales. Se estudian también la distribución de los esfuerzos cortantes.
En el siguiente capítulo se trata del cálculo de deflexiones: pendiente y flecha, primero, el caso de vigas isostáticas; y luego los problemas de vigas estáticamente indeterminadas.
Tratamiento especial se hace a las vigas continuas y se presentan algunas aplicaciones de la teoría en la solución de problemas de ingeniería. 
A diferencia de la primera edición, en el capítulo sobre elementos estructurales a carga de compresión, se presenta relaciones empíricas establecidas por la AISC para el cálculo de la carga crítica en columnas.
En cuanto a los problemas resueltos, se recomienda al lector que primero entienda el enunciado y trate de resolver por sí mismo, usando sus conocimientos de teoría que son imprescindibles conocerlos antes. Las soluciones presentadas son al detalle, complementando así los aspectos teóricos de la asignatura, por lo que sugerimos no tratar de memorizar los procedimientos utilizados; sino considerarlos como una orientación para la solución de las preguntas.
Aprovecho la oportunidad para agradecer los comentarios y sugerencias de los estudiantes que utilizaron ya la primera edición del Texto de RESISTENCIA DE MATERIALES parte 2; y debo manifestar que esto fue el incentivo principal para la elaboración de esta segunda edición.
Es mi deseo, amigos estudiantes, que este libro sea de su agrado y se constituya en una contribución efectiva a su formación como profesionales de la ingeniería.
Lima, enero del 2012.
WINSTON N. ACEIJAS PAJARES
.
ÍNDICE
Pág.
PROLOGO 
· Flexión en vigas 1
· Relaciones entre carga, fuerza cortante y momento 2
· Construcción de los diagramas de V y M 5
· Problemas9
· Esfuerzos y deformaciones axiales en vigas14
· Vigas con sección asimétrica 15
· Elementos hechos de, varios materiales20
· Problemas25
· Carga axial, excéntrica65
· Esfuerzos cortantes 69
· Problemas 71
· Deflexiones de vigas111
· Métodos de Cálculo113
· Doble integración115
· Uso de funciones singulares118
· Método de área de momentos131
· Problemas de aplicación133
· Diagrama de momentos reducidos por partes142
· Método de Superposición145
· Vigas con dos planos de carga150
· Vigas hiperestáticas165
· Métodos de doble integración166
· Métodos de Supervisión171
· Problemas
· Columnas195
· Pandero de columnas largas rectas197
· Teoría de Euler198
· Cargas críticas199
· Límite de validez de la carga de Eluer201
· Columnascon otras condiciones de soporte202
· Columnascon cargas excéntricas204
· Problem208
· Fórmulas empíricas 212
· Problemas214
· Fórmulas empíricas de la SSRC y AISC217
· Problemas223
· Apéndice 227
· Tablas de Flechas y pendientes228
· Tablas de Propiedades de las secciones 235
FLEXION EN VIGAS
Un elemento estructural razonablemente largo respecto a sus dimensiones laterales y que soporta cargas perpendiculares a su eje longitudinal se denomina viga. Cualquier miembro estructural, ya sea un eje, un trabe en un puente o en un edificio, etc; que se flexiona bajo la aplicación de cargas, puede considerarse como viga. Al igual que los diagramas de fuerza normal y de momento torsor, los diagramas de fuerza cortante y de momento flector proporcionan información importante para determinar la fuerza cortante y el momento máximos en una viga. Una vez determinado el momento flector interno en una sección se puede calcular el esfuerzo por flexión.
El diseño de una viga incluye 2 partes: en la primera se determinan los esfuerzos internos así como las deflexiones (flecha) producidas por las cargas. La segunda parte está relacionada con la selección del material y la mejor sección transversal que resista tales esfuerzos y deflexiones.
Tipos de Vigas.- La clasificación más generalizada consiste en agruparlas en: vigas estáticamente determinadas y estáticamente indeterminadas.
Vigas Isostáticas. Son aquellas en las cuales puede determinarse las reacciones en los apoyos con las ecuaciones de equilibrio. Una viga simplemente apoyada, descansa sobre soportes en sus extremos que permiten la rotación; una viga en voladizo está fija (sin rotación) en un extremo.
Figura (6.1 a) Ejemplos de vigas isostáticas
Figura 6.1 b E jemplos de vigas hiperestáticas
Vigas Hiperestáticas. Cuando se tiene más reacciones incógnitas que ecuaciones de la estática, se dice que la viga es estáticamente indeterminada. Una viga en voladizo con apoyo en el extremo, una viga con doble empotramiento y una viga apoyada sobre tres o más apoyos (viga continua), son ejemplos de vigas hiperestáticas.
4.1 	Relaciones entre carga, Fuerza Cortante y Momento Flector
Las cargas que actúan normalmente pueden ser: peso propio de la viga, concentradas, distribuidas (uniformemente o no), y par. Para el cálculo de reacciones, las cargas distribuidas pueden remplazarse por sus resultantes que actúan en el centro de gravedad del área de la carga distribuida.- Las reacciones son las fuerzas y/o pares que actúan en los soportes.
El cortante vertical V (N o Kgf) en cualquier sección es una suma algebraica de todas las fuerzas que actúan paralelas a (y sobre) un lado de la sección: V = ∑Fv.
a) Considerando el efecto de cargas externas
b) Considerando las fuerzas internas en la sección
Figura 6.2. 	Convención de signos para fuerza cortante y momento flector en las vigas.
El momento flexionante M (N-m o Kgf-m) en cualquier sección es la suma algebraica de los momentos de las fuerzas externas que actúan sobre la viga en un lado de la sección, respecto a uno de los ejes principales centroidales de inercia de la sección.
Convención de signos. La Figura (6.2) ilustra la convención de signos que se usa comúnmente para la interpretación correcta de las ecuaciones y diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores.
Los Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector
Son gráficos que muestran la magnitud de la fuerza cortante o del momento flector a lo largo de la viga.
La construcción del diagrama de fuerzas cortantes y del diagrama de momentos flectores se simplifica gracias a ciertas relaciones existentes entre carga, fuerza cortante y momento flector. A fin de obtener estas gráficas matemáticas, considérese la figura (6.3) que ilustra un ejemplo de viga simplemente apoyada que soporta una carga distribuida w N/m
Fig. 6.3
Separamos el tramo de viga de longitud y trazamos el diagrama de cuerpo libre correspondiente:
Condición de equilibrio: 	
En el límite, para: 
Esta relación indica que la pendiente dela curva, de fuerza cortante (para la viga del ejemplo) es negativa, y numéricamente igual a la carga distribuida en ese punto.
También, escribiendo el equilibrio de momentos: 
Ordenando convenientemente se tiene:
En el límite, para se tendrá:
	(6.2) 
(pendiente de la curva de momentos)
Integrando (6.2) entre las secciones C y D
Lo que nos indica que,es el área bajo la curva de fuerza cortante entre C y D.
Construcción de los diagramas V y M
Según lo indicado para V, se deduce que en la sección de la viga donde se aplica una carga concentrada, en el diagrama de las fuerzas cortantes deberá aparecer un salto brusco de magnitud igual a la de la fuerza exterior. - En forma similar, en la sección donde se aplica un par de fuerzas, en el diagrama de los momentos flectores deberá aparecer un salto brusco de magnitud igual a la de este par de fuerzas exterior.
Para vigas que no soportan momentos distribuidos (que originan flexión), al dibujar los DFC y DMF, así como al comprobarlos, debe usarse las relaciones diferenciales (6.1) y (6.2) entre M, V y w y las que de estas se deducen.
Deducciones esenciales de las relaciones (6.1) y (6.2):
1.	La fuerza cortante es la pendiente de la recta tangente al diagrama de momentos flectores en la sección dada; y la intensidad de la carga distribuida (w) lo es de la tangente al diagrama de fuerzas cortantes.
2.	En la sección de la viga donde la fuerza cortante es cero el momento flector tiene un valor extremo y en la sección donde la fuerza es cortante pasa bruscamente por su valor nulo, el gráfico de M pierde su monotonía.
4.	En cada tramo de la viga la variación de la magnitud del momento flector entre dos secciones cualquiera es igual al área del diagrama de las fuerzas cortantes entre estas dos secciones; siempre y cuando no actúe sobre este tramo pares concentrados exteriores.
5.	Si el eje x va dirigido hacia la izquierda desde el extremo derecho de la viga, entonces:
6. 	La concavidad de la curva del diagrama de momentos tiene la misma dirección que la carga distribuida.
En general, es conveniente trazar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector por debajo del diagrama de cuerpo libre de la viga.
En la figura (6.4) se muestran diagramas para algunos tipos de carga. 
Figura (6.4). Diagramas de fuerza cortante y momento flector
Ejemplo 6.1. Para la viga cargada según se muestra, trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flector.
Calculo de reacciones:
∑Mc = 0: 
∑FY = 0	
Conocidas las reacciones en los apoyos, procedemos al trazado de los diagramas de fuerza contante y momento flector siguiendo las instrucciones dadas anteriormente; o bien obteniendo previamente las ecuaciones de V y M como funciones de x.
PROBLEMA 6.2. Trazar diagramas de fuerza cortante y momento flector de la viga con voladizo que se muestra en la Figura.
SOLUCIÓN 
Diagrama de cuerpo libre:
Equilibrio en la viga
 : xxxxx
∑FY = 0:
	RA = 3 + 6 + (3×2) – 12 
RA = 3
Determinadas las reacciones, se completa los valores de las cargas externas actuantes en la viga.
PROBLEMA 6.3. Para la viga de sección circular que se muestra, hacer los gráficos de fuerza cortante y momento flector.
Unidades de longitud en mm
SOLUCIÓN:
Como son cargas inclinadas consideramos los planos de carga xz y xy para dibujar los gráficos de fuerza cortante y momento flector de la viga 
Tenemos, para las componentes de en la dirección del eje x:
Cálculo de reacciones en los apoyos:RAx y RBx
→	RAx + RBx = - 0,485
→
Resolviendo, tenemos: 
RAx= - 4,363 KN
RBx = 3,878 KN
En la siguiente figura se muestra el diagrama de fuerza cortante y momento flector
 Considerando ahora como cargas a las componentes de en la dirección del eje Y.
Plano y – z
Cálculo de reacciones 
	RAy + TBy = 22,34
	
Resolviendo tenemos: RAy = 9,83 KN		RBy = 12,51 KN
Ejemplo 6.4. Construir los diagramas de fuerzas cortantes y momento flector de la viga con articulación flotante. 
SOLUCION
Para condición de articulación flotante, el momento flector en la sección B, es nulo.
 Para resolver descomponemos la viga en dos:
AB: Simplemente apoyado
BC: En forma de voladizo
Para ambos tipos de vigas, la figura (6.4) nos proporciones sus respectivos diagramas de fuerza cortante y momento flector.
6.2 	ESFUERZOS Y DE FORMACIONES AXIALES EN VIGAS
El objetivo principal del estudio de vigas es determinar los esfuerzos normales en primera instancia, y luego las deformaciones que genera el sistema de cargas actuante. 
Hipótesis:
1. El material de la viga observa la Ley de Hooke.
2. El módulo de elasticidad a la tracción y a la comprensión es el mismo.
3. La configuración geométrica de la viga es tal que la flexión y no el pandeo es el modo primario de falla.
4. Las secciones planas originalmente perpendiculares al eje longitudinal de la viga (permanecen planas) y perpendiculares al eje longitudinal después de la flexión: esto es cualquier sección transversal no se encorva ni se alabea.
5. En la viga deformada, los planes de dichas secciones tiene una intersección común; es decir una recta originalmente paralela al eje longitudinal de la viga se convierte en arco de circunferencia.
FLEXIÓN PURA
Si en los extremos de la viga actúan momentos flectores iguales y opuestos (en el mismo pleno longitudinal), se dice que está sometida a flexión pura.
La figura (6.5) ilustra ejemplos de vigas a flexión pura.
Figura 6.5. Ejemplos de vigas a flexión pura. 
Obsérvese que en los tramos de flexión pura la fuerza cortante es nula.
VIGAS CON SECCION SIMETRICA 
6.2.1. Flexión Simétrica: 
Primero estudiaremos los esfuerzos y deformaciones de un elemento prismático que posee un plano de simetría y es sometido en sus extremos a momentos flectores iguales y opuestos Mz que actúan en el plano de simetría.
Consideramos el sistema coordenado de manera que el eje Y es eje de simetría y el origen está en el centroide de la sección.
 Figura 6.6 Esquema de viga sometida a momento flector Mz
En la figura (6.6), el plano de corte Q divide la viga en dos. Separamos la porción izquierda y trazamos su diagrama de cuerpo libre (Figura 6.7), mostrando las fuerzas internas en el material.
La parte superior de la sección, soporta comprensión y la parte inferior tracción; y por lo tanto, el eje Z viene a ser el neutro (sobre cuyos puntos es esfuerzo es nulo).
Figura 6.7 Fuerzas dF actuantes en dA 
Condición de Equilibrio
La ecuación (6.4) verifica la característica de par del momento MZ, pues la fuerza de tracción y la comprensión se anulan mutuamente.
La ecuación (6.5) resulta trivial si por hipótesis el eje Y es eje de simetría de la sección (nótese que cualquier con Z positivo tiene su “simétrico” con Z negativo).
Concluimos que la (distribución real de esfuerzos es estáticamente indeterminada) pues la ecuación (6.6) resulta insuficiente. Para obtener la ecuación complementaria analizaremos las deformaciones producidas en el elemento.
En la Figura (6.8) se muestra una porción de viga deformada.- La deformación del elemento causada por el momento flector M es medida con la (curvatura) de la superficie neutra.- La curvatura es definida como el inverso del radio de curvatura.
Consideramos la fibra paralela a la superficie neutra a una distancia “y”.
Podemos escribir para la deformación longitudinal en el tramo CD.			
Figura 6.8 Esquema de viga deformada 
Relaciones geométrica: 
 …. (6.8)
En (6.7):
 ….. (6.9)
La relación (6.9) nos indica que la deformación unitaria longitudinal de una fibra cualquiera es directamente proporcional a su distancia “y” de la fibra neutra.
Si utilizamos (6.9) en la Ley de Hooke:
 (6.10)
Que nos muestra que el esfuerzo normal varía linealmente con la distancia desde la superficie neutra.
Ahora, reemplazamos de (6.10) en la ecuación de equilibrio (6.6)
 (6.11)
De estática, la expresión: es el momento de inercia de la sección respecto al eje z.- Reemplazando en (6.11) y ordenando tenemos:
 (6.12)
Que viene a ser la expresión de la curvatura de la línea neutra.
Despejando de (6.10) y reemplazando en (6.11)
 (6.13)
Finalmente, el esfuerzo normal:
	(6.14)
Cuya presentación gráfica se muestra en la Figura (6.9). El esfuerzo máximo se producirá en Y = Ymáx= C
 (6.15)
(C se toma como C1 ó C2)
De (6.14) y (6.15): (6.16)
Figura 6.9. Esquema de la distribución del esfuerzo normalPara verificar que el eje centroidal Z y el eje neutro coinciden, sustituimos (6.16) en la ecuación de equilibrio (6.5) 
Y de Estática sabemos que: “el producto de inercia con respecto a los ejes y –z será cero, si estos ejes son los ejes centroidales principales de la sección transversal”, con lo que se comprueba que el eje neutro es el eje z.
En la ecuación (6.15) a la relación: S = Iz/c, se le denomina módulo elástico de la sección o momento resistente, y como puede verse depende únicamente de la geometría de la sección.- Valores de “s” para secciones de uso común se encuentra en tablas y manuales.
(6.15 a)
De esta ultima relación, se concluye que es recomendable seleccionar una sección transversal con el mayor valor de “S” posible.
Ejemplo: Para el caso de una sección rectangular de dimensiones b y h.
Su módulo resistente será:
Por tanto, a igualdad de áreas “A” de la sección transversal de forma rectangular, la viga con mayor altura h tendrá el mayor módulo de sección y será más efectiva para resistir a la flexión, salvo limitación por inestabilidad.
ELEMENTOS HECHOS DE VARIOS MATERIALES
Para un elemento hecho de dos o más materiales con módulos de Young diferentes, nuestra aproximación para la determinación del esfuerzo normal en el elemento debe ser modificado.
La deformación normal mantiene su variación lineal con la distancia “y” desde el eje neutro de la sección porque no depende del material. Sin embargo no podemos asumir que el eje neutro pase por el centroide de la sección transversal.
Figura (6.10) Distribución de esfuerzos y deformaciones en una barra de dos materiales (EA < EB ).
El esfuerzo normal en cada material puede determinarse por la conocida relación.
 (6.10 repetida)
Analicemos las condiciones de equilibrio para un tramo de viga como la que se muestra en la figura 6.11.
(6.16)
 (6.17)
Figura 6.11
En la sección transversal debe actuar únicamente el par M.
Se sabe que para los momentos de primer orden se cumple:
 (6.18) 
Dividiendo entre EA y haciendo n = EB / EA, tenemos:
Donde e son las distancias de la L. N, a los C. G. de la porción de material A y B respectivamente.
Localización del eje neutro.
Fig. 6.12
Considérese el sistema de ejes Y’- Z’ para la sección transversal, en el que la distancia “y” fija la posición del eje neutro e , son las distancias del eje Z’ a los centros de gravedad de los materiales A y B.
De la ecuación (6.18): 
De acuerdo a la Figura (6.12) podemos escribir:
de donde:
 (6.19)
Ecuación que determina la posición del eje neutro 
Con (6.20)
En general para un elemento de varios materiales:
 (6.21) 
ESFUERZO NORMAL
Figura (6.11) repetida
Segunda condición de equilibrio:
 (6.22)
Como la curvatura es única y está en relación directa con los esfuerzos.
Reemplazando valores estas expresiones en (6.23)
 (6.23)
Si n = Eb / Ea:
 (6.24)
Si la viga de dos materiales tiene una sección transversal como la que se muestra la Figura (6.12)
Figura (6.12) sección de dos materiales
El momento flexionante M es soportado por los dos materiales:
			MA + MB = M		(6.25)
Una relación ya obtenida anteriormente, entre la curvatura y el momento flexionante es:
(6.26)
De (6.26) despejando y reemplazando en (6.25)
Luego 
 (6.28)
Los esfuerzos normales que generan los momentos y según la ecuación (6.14), son:
Reemplazando (6.27) y (6.28)
 (6.24 Repetida) 
PROBLEMA 1: Determinar el máximo valor de P que se le puede aplicar a la viga de dos materiales cuya sección se indica, sabiendo que los esfuerzos admisibles a tracción y comprensión son: 
Acero: σT=1200 kg/cm2 σc=800 kg/cm2	E=2,1 x 106 kg/cm2
Aluminio: σT=1000 kg/cm2 σc= 600 kg/cm2	E= 0,7 x 106 kg/cm2
		SOLUCION
Por conveniencia, consideramos al aluminio como material A y al acero como material B.
Localización del eje neutro:
Fórmula (6.20)
Cálculo de los esfuerzos normales: σAcero y σAl
Primero evaluamos los momentos de inercia:
Según el DMF de la viga tenemos dos opciones para considerar los valores máximos de los esfuerzos de compresión y tracción: Sección en x = 2 m. y la sección en x = 4 m.
Sección en x=2 m. 
Utilizando la ecuación (6.24) para el esfuerzo normal.
 (T) 
 (C)
Sección en x = 4 m.
Corresponde a la ubicación del apoyo B.
 (C)
 (T)
Para determinar el valor máximo de P comprendemos los esfuerzos máximos obtenidos con los esfuerzos admisibles. 
Material A (aluminio) 
Material B (acero)
Por lo tanto,
METÓDO DE LA SECCIÓN TRANSFORMADA 
Consiste en asumir que la sección transversal es de un solo material (normalmente el de menor E), pero obviamente, de geometría diferente. Veamos seguidamente el análisis respectivo.
De las relaciones (6.17) tenemos: (6.29)
M
M+
D
M
V
V+
D
V
w 
×
D
x
+
-
+
-
+
-
curva parabolica
R
B
R
A
P
w
w (x)
R
A
R
B
+
+
+
+
+
+
Curva de3er grado
R
A
R
B
P
/
2
DFC
-P/
2
DMF
WL 
/8
2
P
P
L
/2
L
/2
2P
+
-3PL
/2
-
w
L
+
-
-wL
/8
DFC
DMF
L
M
M
+
+
-
-
L
1
L
2
R
A
R
B
DMF
DFC
2
wL
50 KN
w = 30 KN/m
1 m
3,00 m
1,5 m
A
B
D
y
C
x
50 KN
w = 30 KN/m
A
B
D
y
C
x
64,06
45
-25,94
DFC
(KN)
-105,94
R
A
R
C
2,14 m
68,54
DMF
(KN-m)
-33,75
3 KN
6 KN
A
B
C
D
E
3 KN/m
2 m
2 m
2 m
2 m
x
R
A
R
D
3 KN
6 KN
3 KN/m
2 m
2 m
2 m
2 m
x
R
A
R
B
-6
6
-6
DFC
(KN)
DMF
(KN-m)
6
 3
3 KN
6 KN
3 KN/m
P
1
P
2
P
1
P
2
600.00
1800.00
1200.00
1800.00
600.00
Y
P
2 = 8 KN
Y
Z
P
1 = 6 KN
45°
60°
X
R 100
P
2X
P
2X
X
Z
P
1X
P
1X
R
AX
R
BX
P
2X
P
2X
X
Z
P
1X
P
1X
R
AX
R
BX
4.24
- 0.12
- 4.12
0.12
4,0
2,54
2,32
- 2,62
- 2,4
DFC
(KN)
DMF
(KN-m)
P
2y
P
2y
Y
Z
P
1y
P
1Y
R
Ay
R
By
5,58
-1,34
6,93
-5,58
- 2.55
-4,16
DFC
(KN)
DMF
(KN-m)
- 4,24
7,5
5,9
w
A
y
2a
a
B
C
Articulación
Flotante
DFC
(KN)
w a
DMF
(KN-m)
w
A
y
F
B
R
A
R
A
F
B
2
2
-wa
2
DFC
DMF
P
´
 a
B
A
B
P
P
P
DFC
DMF
A
M
M
x
y
z
Q
Mz
Mz
x
y
z
M
y
dF = 
s
x
×
d
A
dF = 
s
x
×
d
A
(Compresión)
(Tracción)
z
z
r
r - 
y
y
D
x
d
x
y
A'
B'
B
D'
Línea
Neutra
O
q
x
C
y
Mz
s
máx
(Compresión)
s
máx
(Tracción)
Superf. neutra
C1
C2
h
y
b
z
B
A
L. N
(e
x
)
A
(s
x
)
B
(e
x
)
B
(s
x
)
A
x
dF
A
dF
B
M
Z
L. N.
M
Z
A
B
B
A
L. N
y'
z'
y
y'
B
y'
A
y'
A
-y
x
dF
A
dF
B
M
Z
M
Z
=M
z
y
y
B
y
A
B
A
r
A
B
P
P
B
B
2 m
2 m
1 m
A
l
Ac
8
8
8
8 cm
8 cm
A
B
P
P
B
B
2 m
2 m
1 m
y
Z
7 cm
9 cm
Z'
(1)
(2)
(1)
(3)
c
T
T
c
DMF
kgf-m
50 P
-100P
Vigas simplemente apoyadas
Vigas con voladizo
P 
1
P 
1
P 
2
P 
3
P
P
w
P 
1
M
P 
2
Vigas en voladizo
w
w
P 
1
w
w
P
P 
1
P 
2
V
(+)
V
V
V
(-)
(+)
(-)
M
M
M
M
(+)
M
M
V
(+)
V
w
A
C
 
'
D
X
X
L
R
A
R
B
C