Torsão em Materiais e Eixos de Transmissão

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RESISTENCIA DE MATERIALES
CAPITULO III
TORSION
OBJETIVOS:
1. Definir par de torsión calcula r la magnitud de del par de torsión ejercido en un miembro estructural sujeto a carga torsional
2. Definir entre las tres variables criticas que intervienen en la transmisión de potencia, par de torsión y velocidad de rotación.
3. Calcular el esfuerzo cortante máximo de un miembro sometido a una carga torsional.
1.- PAR DE TORSION
Torsión se refiere a la deformación de la barra cargada por momentos (o pares de torsión) que tienden a producir una rotación a rededor de un eje longitudinal de una barra, por ejemplo a hacer girar un desarmador, la mano aplica una par torsional a la manija y tuerce el vástago del desarmador. Otros ejemplos de barras de torsión son los ejes de inpulsion en automóviles, ejes de transmisión, ejes de hélices, barras de dirección y taladrado.
· Par torsional T= F x d
2.- ESFUERSO CORTANTE TORSIONAL EN MIENBROS DE SECCIONES TRANS VERSALES CIRCULARES.
Cuando un miembro se somete a un par de torsión externo, en el material del cual esta hecho el miembro se desarrolla un par de torsión resistente interno, el cual es el resultado de los esfuerzos generados en el material. 
3.- BARRAS CIRCULARES DE MATERIALES ELASTICOS NO LINEALES
Los sentidos y magnitudes de los esfuerzos cortantes correspondientes se pueden determinar por simple inspección .en la figura se muestra que T tiende a girar en el extremo derecho de la barra en sentido anti horario cuando se ve desde la derecha y por tanto los esfuerzo cortantes actúan sobre el elemento ubicado en la superficie de la barra tendrá las direcciones según se muestre la figura .
Las magnitudes de los esfuerzos cortantes de puede determinas por medio de la ley de Hooke en cortante
Domde G es el modulo de elasticidad y es la deformación unitaria en radianes. Al combinar esta ecuación con las ecuaciones de deformaciones unitarias obtenemos
 : es el esfuerzo cortante máximo en la superficie exterior de la barra.
 : es el esfuerzo cortante en el punto interno
c: es el radio de la sección transversal
4.- FORMULA DE TORSION
La distribución de los esfuerzos cortantes que actúan sobre una sección transversal que se ilustra en la figura, dado que estos esfuerzos que actúan en forma continua alrededor de sección transversal, tiene una resultante en forma de un momento igual al par de torsión T que actúa sobre la barra.
Para hallar las resultante, consideremos un elemento de área A localizada a una distancia radial del eje de la barra. La fuerza cortante que actúa sobre el elemento es igual a A donde es el esfuerzo cortante. El momento de fuerza de la barra es igual
El momento resultante es la suma de toda el área de la sección transversal de todo los momentos elementales.
T=
Donde Ip
Ip= es el momento polar de inercia de la sección transversal circular.
Para un circulo de radio r y diámetro d el momento polar de inercia es 
 Ip=
Por lo tanto el esfuerzo cortante máximo
La ecuación en conocida como la formula de torsión muestra en esfuerzo cortante máximo es proporcional al par aplicado Te inversamente proporcional al momento el momento de inercia
unidades 
T es expresado en el SI en newton. Metro (N.m)
r espresado en metro (m)
Ip expresado en metros elevado ala cuarta ()
Al sustituir por el diámetro la escuacion de torsión presenta la siguente forma
5.- ANGULO DE TORSION
El angulo de torsión por unidad del longitud de una barra material elástico lineal	 puede relacionarse ahora con el par de torsión aplicado.
Para una barra en torsión pura en Angulo toral de torsión es igual al angulo de torsión por unidad de longitud multiplicado multiplicado por longitud de la barra
6.-TUBOS CIRCULARES
Los tubos circulares resisten con mas eficiencia las cargas de torsión que barras solidas, los esfuerzos cortantes en una barra circular solida son máximos en el borde exterior de la sección transversal y cero en el centro. En un eje solido la mayor parte del material esta sometido a un esfuerzo considerablemente menor que el esfuerzo cortante máximo
 
El análisis de un tubo circular en casi el mismo que una barra solida. Puede usarse las expresiones básicas para los esfuerzos cortantes. Ahora en radio esta limitado a una diferencia. Por tanto el momento polar de inercia ahora se escribe asi
7.- DISENO DE EJES TRANSMISION
El uso mas importante de los ejes circulares es transmitir las potencia mecánica de un dispositivo o maquina a otra. Como es el caso de los ejes de los automóviles, le hélices de un barco o el eje de una bicicleta, la potencia se transmite por el movimiento rotatorio del eje y la cantidad de potencia transmitida depende de la magnitud del par y la velocidad de rotación.
En general el trabajo efectuado por un par de magnitud constante es igual al producto del par por el ángulo que gira
 La potencia es la velocidad con las que se efectúa trabajo
Como w es 2 entonces obtenemos
Las unidades de potencia
P: se expresa en watts(W)
PROBLEMAS
EJERCICIO 1
Una barra solida de acero con una sección transversal de d=1.5pulgy una longitud de 54 pulg y un modulo de elasticidad de G=11.5x10^6lb/pulg^2la barra esta sometido a pares de torsión T que actúan en sus extremos
a) si los pares T=250lb.pie. cuál es el esfuerzo cortante máximo de la barra?.cual es el ángulo de torsión?
	
Solución
Como la barra tiene una sección transversal solida entonces podemos encontrar el cortante máximo con la siguiente formula.
 
Del mismo modo obtenemos el ángulo de torsión con la ecuación del momento polar de inercia
El ángulo obtenido es de 1.62 grados.
PROBLEMA 2
Se va a manufacturar un eje de un acero como una barra circular solido como un tubo circular. Se requiere que el eje trasmita un par de 1200n.m sin que exceda el esfuerzo permisible de 40Mpa y el ángulo de torsión por unidad de longitud permisible de 0.75 grados/metros (el modulo de elasticidad en cortante del acero es de 78Gpa).
a) determinar el diámetro requerido de eje solido
b) determinar el diámetro exterior d2 requerido para el eje hueco si en el espasor t es una decima del diámetro exterior
solucion
a) el diámetro del eje solido d se establece a partir del esfuerzo cortante permisible o el angulo de torsion por unidad de longitud permisible. En el caso del esfuerzo cortante permisible reordenamos la ecuación y nos da
En el caso del ángulo de torsión por unidad de longitud permisible, encontramos primero el momento polar de inercia
Puesto que el momento de inercia es el diámetro requerido es
b) El eje hueco de nuevo el diamtro requerido se basa en el esfuerzo cortante permisible o bien el angulo de torsión por unidad de longitud permisible.
El momento porla de inercia para una eje hueco es 
En el caso de esfuerzo cortante permisible es
Reordenamos la ecuación y obtenemos 
En el caso del angulo permisible usamos la ecuación,
Donde
 
Despejamos d2 y obtenemos
EJEMPLO 3
Un eje hueco con y un eje solido elaborados con el mismo material tienen la misma longitud y el mismo radio externo R. el radio interno del eje hueco es de 0.6R. suponiendo que ambos ejes están sometidos al mismo par de torsión. Comparar sus esfuerzos cortantes angulos de torsión y peso.
Solución
Los esfuerzos cortantes máximos dados por las formulas de torsión son proporcionales a 1/Ip ya que los pares y radios son iguales. Para el eje hueco obtenemos
Para el eje solido
Por lo tanto, la razón de de del esfuerzo cortante máximo del eje hueco y el solido
La comparación de angulos. Los angulos de torsión también son proporcionales de 1/Ip porque los para T las longitudes L y los modulos de elasticidad G son los mismos para cada eje por tanto la razón es la misma para que los esfuerzos cortantes.
En la comparación de pesos. El peso de los ejes son proporcionales a sus áreas transversales, en consecuencia el peso del eje solido es proporcional a y el peso del eje hueco es proporcional a
Por lo tanto, la razón del peso del eje hueco con el peso deleje solido es
EJEMPLO 4 
Un motor que impulsa un eje solido circular de acerode40hpa un engranaje B. el esfuerzo cortante permisible en el acero es 6000lb/pulg^2
a) cual es el diámetro requerido para este eje, si esta operando a 500 rpm? 
b)cual es el diámetro requerido si opera a 3000 rpm?
Solución
a)el motor operando a 500 rpm. Conocida la potencia y la velocidad de rotación podemos encontrar el par T que actua sobre eje y usamos la siguiente ecuación.
El esfuerzo cortante máximo en le eje puede obtenerse con la formula modificada de torsión
Despejamos en esta ecuación el diámetro d, sustituimos por y obtenemos
b) el motor operando en 3000 rpm. Seguimos el mismo procedimiento del inciso a.
En este ejemplo se muestra que a mayor velocidad de rotación, menor es el tamaño requerido para el eje.
EJEMPLO 5
Un eje solido de acero ABC con 50 mnde diámetro es impulsado en A por un motor que transmite 50KW al eje de 10herz, los engranajes B y C impulsan la maquinaria que requiere una potencia igual 35 KW y15KW, respectivamente. Calcule el esfuerzo máximo cortante en el eje (G=80Gpa) 
Solución
Comenzamos con el análisis determinado los pares aplicados al eje por el motor y los dos engranajes
Los pares internos en los 2 segmentos del eje se encuentran 
Ambos pares internos actúan en le mismo sentido, por lo que los angulos de torsión en los segmentos AB y BC se suman para determinar el angulo de torsión total el angulo de torsión y el esfuerzo cortante AB se encuentran de la manera acostumbrada.
Las cantidades correspondientes para el segmento BC.
El esfuerzo cortante máximo en el eje ocurre en el segmento AB yes igual a
También el ángulo de torsión total entre el motor A y el engranaje en C es 
CONCLUCIONES
1. Los pares de torsión son aplicados en diferentes tipos de barra planas o circulares 
2. Cualquier elemento sometido a torsión presenta un esfuerzo cortante
3. Diversos ejes de transmisión son analizados por la torsión lo cual permiten el diseño de tal