Esfuerzo cortante y flexion torsional

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Esfuerzo cortante torsional y deflexión torsional
	
FACULTAD DE INGENIERÍA
CARRERA DE INGENIERÍA DE MINAS 
	UNIDAD II
CURSO:
Resistencia de materiales 
TEMA:
Esfuerzo cortante torsional y deflexión torsional
INTEGRANTES:
Daban Guevara, Esmilda
Palomino Barrera, Antonella Marilin
Rojas castillo, Alexis.
Torres Buga, Eduardo
Villanueva Chunque, Yordi
Quispe Vásquez, Luis
DOCENTE:
FECHA DE PRESENTACIÓN DE PRÁCTICA:
25/09/15
ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL Y DEFLEXIÓN TORSIONAL
OBJETIVOS
· Definir par de torsión y calcular el par de torsión que se ejerce en un miembro estructural sujeto a una carga torsional. 
· Definir la relación entre las tres variables críticas que intervienen en la transmisión de potencia: potencia, par de torsión y velocidad de rotación. 
· Manejar las unidades de potencia, par de torsión y velocidad de rotación tanto en el sistema métrico decimal como en el sistema estadounidense. 
· Calcular el esfuerzo cortante máximo en un miembro estructural sometido a una carga de torsión. 
· Definir el momento polar de inercia y calcular su valor para flechas redondas sólidas (o macizas) y huecas. 
· Calcular el esfuerzo cortante en un punto cualquiera de un elemento sometido a torsión. 
· Especificar un diseño conveniente por esfuerzo cortante para un miembro estructural sometido a torsión.
· Definir el módulo de sección polar y calcular su valor para flechas redondas sólidas y huecas. 
· Determinar el diámetro que se requiere de una flecha para que soporte, con seguridad, un par de torsión dado.
· Comparar el diseño de flechas sólidas y huecas con base en la masa de las mismas requerida para soportar un cierto par de torsión al mismo tiempo que se limita el esfuerzo cortante torsional a un cierto valor de diseño.
· Aplicar factores de concentración de esfuerzo a elementos estructurales que se someten a torsión. 
· Calcular el ángulo de torsión de un miembro estructural que se somete a torsión. 
· Definir el módulo de cortante de elasticidad. 
· Analizar el método para calcular el esfuerzo cortante y la deflexión torsionales en el caso de elementos estructurales de secciones transversales no circulares. 
· Describir las formas generales de elementos estructurales que disponen de una rigidez torsional relativamente elevada.
PAR DE TORSIÓN, POTENCIA Y VELOCIDA D DE ROTACIÓN
Una tarea necesaria cuando se trata de calcular el esfuerzo cortante torsional y la deflexión torsional es la comprensión del concepto de par de torsión y la relación entre las tres variables críticas que intervienen en la transmisión de potencia: par de torsión, potencia y velocidad de rotación.
La figura N° 1. Muestra una llave de cubo con extensión que se utiliza para apretar un perno. El par de torsión, que se aplica tanto al perno, como a la extensión, es el producto de la fuerza aplicada y la distancia de la línea de acción de la fuerza del eje del perno.
Figura N° 1. Llave con la que se aplica un par de torsión en tornillo.
Par de torsión
 
Donde:
F: fuerza
D: distancia 
UNIDADES:
En el sistema internacional es N.m y en el sistema ingles lb.plg o lb.pie
Ejemplo 01 
Para la llave de la figura N°1, calcule la magnitud del par de torsión que se aplicó en el perno si se ejerce una fuerza de 50N en un punto de 250 mm del eje del cubo.
Ejemplo 02.
La fleche motriz del bote que se ilustra en la figura 5-2 transmite 95kW de potencia cuando gira a 525 rpm. Calcule el par de torsión en la flecha.
	Objetivo: calcular el par de torsión en la flecha.
	P=95 kW= 95000 W = 95000 N.m/s; n= 525 rpm
	Análisis: la ecuación (5-2) se resolverá para T con el fin de calcular el par de torsión.
			P= Tn; luego, T= P/n
	Pero n debe expresarse en rad/s, como a continuación se determina:
		
	El par de torsión es:
		
POTENCIA 
La potencia se define como la velocidad de transferencia de energía.
La magnitud del par de torsión en una flecha de transmisión de potencia depende la cantidad de potencia que soporta y de la velocidad de rotación.
Se establece la siguiente relación:
Donde:
T: par de torsión 
n: velocidad de rotación 
UNIDADES:
En unidades estadounidenses 
n = velocidad de rotación (rpm) 
P = potencia (caballos de fuerza, hp)
Ejemplo 03
Calcule la potencia, en caballos de fuerza, transmitida por una flecha que genera un par de torsión de 15 000 Ib- plg a 525 rpm.
Solución:
Objetivo: Calcular la potencia transmitida por la flecha.
Datos: T = 15 000 Ib plg; n = 525 rpm
Análisis: Se usará la ecuación (5-4) directamente porque Ty n están en las unidades propias de Ib plg y rpm. La potencia se calculará en caballos de fuerza.
Resultados:
 La potencia es: 
ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE SECCIÓN TRANSVERSAL CIRCULAR
Cuando un miembro estructural se somete a un par de torsión externo, en el material del que está hecho el miembro estructural se desarrolla un par de torsión resistente interno, el cual es el resultado de los esfuerzos generados en el material.
La figura N° 2. Muestra una barra circular que se sometió a un par de torsión, T. La sección N gira con respecto a la sección M como se indica. Si se aísla un elemento en la superficie de la barra, se verá que se sometió a fuerzas cortantes que actúan en las caras paralelas a las secciones transversales M y N, como se ilustra. Estas fuerzas cortantes crean esfuerzos cortantes en el elemento. Para que el elemento sujeto a esfuerzo esté en equilibrio, en las caras superior e inferior del elemento deben actuar esfuerzos cortantes de la misma magnitud.
La figura N° 2. Esfuerzo cortante torsional de una barra circular
La figura N° 3. Distribución del esfuerzo cortante en una sección transversal de la barra.
El elemento sometido a esfuerzo cortante de la figura N°2. Es el análisis del esfuerzo cortante directo. Si bien la forma en que se produce los esfuerzos difiere, la naturaleza del esfuerzo cortante torsional es la misma del esfuerzo cortante directo en el caso de un elemento infinitesimal 
 Cuando la barra circular se somete al par de torsión externo, el material en cada uno de sus secciones se deforma de tal modo que las fibras en la superficie externa experimentan la máxima deformación. En el eje central de la barra, no se produce deformación entre el centro y la superficie externa, existe una variación lineal de la deformación en la posición radial R 
Como el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación se puede decir que el esfuerzo cortante máximo ocurre en las superficies externa, que aún una variación lineal del esfuerzo con la posición radial R y que en centro ocurre un nivel de esfuerzos nulo. La figura N° 3 ilustra estas observaciones.
FORMULA PARA EL ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL
La derivación de la fórmula para el esfuerzo cortante máximo que actúa en la superficie externa de la barra de demostrará en que la siguiente sección. Por ahora, se establece la fórmula para el esfuerzo cortante torsional como:
Donde 
T= Par de torsión aplicado en la sección de interés. 
C = radio de la sección transversal 
J= momento polar de inercia de la sección transversal circular.
UNIDADES:
En el SI se mide en Pa y sus derivados
Por la variación lineal del esfuerzo y la deformación con la posición en la barra como se ilustra en la figura 5-4, el esfuerzo, r, en cualquier posición radml, r, puede calcularse por medio de:
Un parámetro útil para diseño, es el módulo de sección polar (Zp):
Zp = J / R (61)
tmax = T / Zp (62)
Para el diseño de elementos circulares sometidos a torsión, MOTT, 1999, sugiere los siguientes valores de esfuerzo cortante admisible (td), como se muestran en el cuadro 12:
Cuadro 12: Diseño de elementos circulares sometidos a torsión.
	Tipo de carga
	Esfuerzo cortante admisible
	Torsión estática
	Sy / 4
	Torsión cíclica
	Sy / 8
	Impacto o choque torsional
	Sy / 12
Ejemplo 04 
Calcule el esfuerzo cortante torsional máximo en la porción media, donde el diámetro es 9.5 mm, de la extensión de la llave de cubo que se exhibe en la figura 5-1.El par de torsión aplicado es de 10.0 N.m.
	Objetivo: calcular el esfuerzo cortante torsional máximo en la extensión.
		Par de torsión= T=10.0 N.m; diámetro= D= 9.5 mm
Análisis: se usa la ecuación (5-6) para calcular J y la ecuación (5-5) para calcular el esfuerzo cortante máximo. Además, c= D/2 = 9.5 mm/2= 4.75 mm.
		
		
Ejemplo 05
Calcule el esfuerzo cortante torsional máximo que se desarrollara en una flecha circular solida de 1.25 plg de diámetro, si transmite 125 hp cuando gira a 525 rpm.
	Objetivo: calcular el esfuerzo cortante torsional máximo en la flecha.
Potencia=P=125 hp; velocidad de rotación =n=525 rpm; diámetro de la flecha=D= 1.25 plg
Análisis: se resuelve la ecuación (5-4) para el par de torsión, T. Se usa la ecuación (5-6) para calcular J y la ecuación (5-5) para calcular el esfuerzo cortante máximo. Por otra parte, c=D/2=1.25 plg/2=0.625 plg.
	Ecuación (5-4):
		Potencia=P= Tn/63000
	Si se resuelve para el par de torsión T se obtiene:
		T=
Recuérdese que esta ecuación da el valor del par de torsión de manera directa en lb.plg cuando P está en caballos de fuerza y n en rpm. Por lo tanto:
		
		
	Y por último:
		
DERIVACION DE LA FORMULA PARA EL ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL
La forma estándar de la fórmula para el esfuerzo, o cortante torsional en una barra circular que se sometió a un par detorsión ex temo se presentó como Inecuación (5-5) y su uso se ilustro en los ejemplos 5-4 y 5-5. Esta sección demostrará la derivación de dicha fórmula. Las figuras 5-3 y 5- 4 ilustran la naturaleza general de las cargas de torsión v el efecto del par de torsión en el comportamiento de la barra circular 
En esta derivación, se supone que el material de la barra se comporta según la ley de Hooke; esto es, el estuca es directamente proporcional a la deformación. Propiedades de la barra son homogéneas e isotópicas; es decir, el material reacciona igual. Asimismo, se supone que la barra es de sección transversal constante cerca de la sección de interés,
Si se consideran dos secciones transversales M y N en diferentes lugares de la barra, y si la sección N gira a un Angulo 0 con respecto a la sección M las fibras del material experimentarán una deformación que alcanza su valor máximo en la superficie externa de la barra y que varía linealmente con la posición radial hasta un valor nulo en el centro de la misma.
Puesto que en el caso de materiales elásticos que obedecen a la Ley Hooke, el esfuerzo es proporcional a la deformación, el esfuerzo máximo también ocurrirá en el exterior de la barra, como se muestra en la figura 5-4 Se muestra también ocurrirá en el lineal del esfuerzo R como la posición radial r en la sección transversal. Así pues, por la proporción de triángulos semejantes
Por consiguiente, el esfuerzo cortante en cualquier radio puede expresarse como una función del esfuerzo cortante máximo que actúa en la superficie externa de la flecha.
Es de hacerse notar que el esfuerzo cortante f actúa de modo uniforme en una pequeña área anular, dA, de la flecha, como se ilustra en la figura 5-5. Ahora bien, como la fuerza es igual al esfuerzo por el área, la fuerza en el área de dA: 
					 (esfuerzo)	 (área)
El siguiente paso es considerar que el par de torsión dT se generó por esta fuerza es el producto de dF por la distancia radial a dA Luego:
					 (Fuerza) (Radio)
Esta ecuación es el par de torsión resistente interno desarrollado en la pequeña área dA. El par de torsión total que actúa en toda el área seria la suma de todos los pares de torsión individual que actúan en todas las áreas de sección transversal. El proceso de suma se logra mediante la técnica matemática de integración, que a continuación se ilustra 
En el proceso de integración, las contantes tales como r y c se sacan del signo integral, y la ecuación de escribe como: 
	
	
	
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