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Colección de Matemáticas Universitarias 1
Espacios de Lebesgue y de Lorentz
Volumen 1: Teoŕıa de la Medida y Teoŕıa de la Integración
Diego Chamorro
Imagen de portada: tejidos t́ıpicos ecuatorianos ©AMARUN
Colección de Matemáticas Universitarias, 1
Espacios de Lebesgue y de Lorentz
Volumen 1: Teoŕıa de la Medida y Teoŕıa de la Integración
Diego Chamorro
© Asociación AMARUN, Paŕıs, 2017
Depósito legal: Bibliothèque Nationale de France
Impreso en Francia
Fecha de la versión: enero 2017
ISBN 978-2-9559834-0-9
La Asociación AMARUN tiene por objetivo desarrollar las ciencias exactas en améri-
ca del sur, principalmente en páıses de la región andina (Bolivia, Colombia, Ecuador,
Perú). Entre las diversas actividades de AMARUN se encuentra la organización de
escuelas de verano en matemáticas, la producción de material pedagógico (leccio-
nes, hojas de ejercicios) y la edición de una revista de divulgación. Para mayores
informaciones sobre los proyectos y actividades, consultar www.amarun.org
Índice general
Prefacio V
1. Espacios métricos, normados y de Banach 1
1.1. Espacios topológicos y espacios métricos . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Ĺımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Propiedades uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2. Compacidad en los espacios métricos . . . . . . . . . . . 15
1.2.3. Espacios localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Espacios localmente convexos y espacios de Fréchet . . . . . . . 19
1.3.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2. Semi-normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3. Espacios definidos por familias de semi-normas . . . . . 22
1.4. Espacios normados y espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2. Tres ejemplos clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.3. Propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.4. Equicontinuidad y teorema de Ascoli-Arzelá . . . . . . . 39
1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2. Teoŕıa de la medida 49
2.1. Álgebras y funciones aditivas de conjuntos . . . . . . . . . . . . 50
2.1.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.2. Definiciones y ejemplos elementales . . . . . . . . . . . . 51
2.2. σ-álgebras y medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.1. σ-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.2. Medidas sobre σ-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2.3. Clases monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3. Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.1. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.2. Teoremas de prolongación de medidas . . . . . . . . . . 84
2.3.3. Completación de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.4. Medidas Borelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.4.1. Rápida descripción de los conjuntos Borelianos . . . . . 96
2.4.2. Regularidad de las medidas Borelianas . . . . . . . . . . 98
2.4.3. Construcción y propiedades de la medida de Lebesgue . 104
2.4.4. Conjuntos no medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
i
ii Índice general
3. Teoŕıa de la integración 121
3.1. Las limitaciones de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . 122
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.2.1. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.2.2. Propiedades válidas en µ-casi todas partes . . . . . . . . 134
3.2.3. Construcción de la integral de Lebesgue . . . . . . . . . 137
3.2.4. Espacio de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . 147
3.2.5. Integración en un subconjunto . . . . . . . . . . . . . . 152
3.3. Teoremas clásicos de la teoŕıa de la integración . . . . . . . . . 157
3.3.1. Convergencia monótona . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.3.2. Lema de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.3.3. Convergencia dominada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.3.4. Integrales dependientes de un parámetro . . . . . . . . . 163
3.3.5. Modos de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4. Integración en los espacios producto . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.4.1. σ-álgebras producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.4.2. Medidas producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.4.3. Teoremas de Fubini-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.4.4. Integrales múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.5. Relaciones entre la integral de Riemann y de Lebesgue . . . . . 192
3.5.1. Cuando la integral de Riemann y de Lebesgue coinciden 193
3.5.2. Teoremas fundamentales del cálculo integral . . . . . . . 195
3.5.3. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4. Espacios de Lebesgue 205
4.1. Espacio de funciones esencialmente acotadas . . . . . . . . . . . 206
4.1.1. Supremo Esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.1.2. Los espacios L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.1.3. Los espacios L∞, normabilidad y convergencia . . . . . 211
4.2. Espacios de funciones de potencia p-eme integrables . . . . . . 215
4.2.1. Espacios Lp definiciones, ejemplos y propiedades . . . . 216
4.2.2. Espacios Lp normabilidad, convergencia y completitud . 222
4.2.3. Desigualdades de Hölder y aplicaciones . . . . . . . . . 228
4.2.4. Los espacios de Lebesgue Lp (0 < p < 1) y L . . . . . . 242
4.3. Propiedades adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.3.1. Comparación de modos de convergencia . . . . . . . . . 249
4.3.2. Desigualdad de Jensen y aplicaciones . . . . . . . . . . . 254
4.3.3. Convexidad y continuidad de la norma . . . . . . . . . . 258
4.4. Espacios de funciones localmente integrables . . . . . . . . . . . 259
4.4.1. Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . 259
4.4.2. Estructura de los espacios locales . . . . . . . . . . . . . 261
4.4.3. Relaciones de inclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4.5. Densidad y separabilidad de los espacios de Lebesgue . . . . . . 263
4.5.1. Definiciones y propiedades generales . . . . . . . . . . . 264
4.5.2. Densidad en los espacios Lp con 1 ≤ p < +∞ . . . . . . 268
4.5.3. Densidad en los espacios L∞ . . . . . . . . . . . . . . . 273
Índice general iii
4.6. Espacios de Lebesgue discretos - espacios de sucesiones . . . . . 276
4.6.1. Espacios de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
4.6.2. Propiedades de inclusión de los espacios ℓp . . . . . . . 280
4.6.3. Densidad y de separabilidad en los espacios ℓp . . . . . 282
4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Bibliograf́ıa 291
Índice alfabético 293
Prefacio
Mi objetivo inicial al empezar a redactar estas ĺıneas era el de proporcionar
un resúmen, relativamente completo, sobre las diferentes propiedades, carac-
teŕısticas y caracterizaciones de los espacios de Lebesgue. El hecho de escoger
los espacios de Lebesgue no es totalmente fortuito pues estos espacios fun-
cionales poseen a mi parecer un perfecto equilibrio entre varios factores: son
sencillos de definir, sus propiedades son interesantes y no triviales, permiten
la construcción de muchos otros espacios funcionales y sus aplicaciones dentro
de las diferentes ramas de las matemáticas son extremadamente numerosas.
Considero además que para estudiar los espacios de Lebesgue senecesita ha-
ber asimilado algunas bases de las matemáticas y, desde este punto de vista,
especialmente por las aplicaciones posteriores, este tema constituye un puente
privilegiado entre matemáticas elementales y matemáticas avanzadas. Otra de
las razones por la cual me concentré en estos espacios es la particularidad que,
para definirlos y para estudiarlos, no se necesita presentar aspectos relativos a
la regularidad y diferenciabilidad de las funciones. En efecto, para tratar de for-
ma seria la regularidad de las funciones seŕıa necesario hacer una introducción
sobre la teoŕıa de distribuciones y ello no sólo supondŕıa un importante desv́ıo,
sino que además, desde el inicio, esta teoŕıa teńıa su lugar en otro “resúmen”
especialmente dedicado a este tema.
Pero estas páginas no sólo están dedicadas a los espacios de Lebesgue. Una
vez que se han construido y desarrollado las herramientas necesarias para la
presentación de estos espacios de funciones, es posible estudiar los espacios de
Lorentz que constituyen una generalización y un refinamiento muy útil de los
espacios de Lebesgue y, para convencer al lector de la utilidad de estos espa-
cios de Lorentz, presentaré unas aplicaciones clásicas en donde estos espacios
reemplazan los espacios de Lebesgue.
¿Cómo un texto que inicialmente deb́ıa ser un “resumen” terminó siendo un
libro de más de x × 100 páginas1? Lo interesante de esta pregunta es que su
respuesta explicará, al menos parcialmente, la articulación y la división entre
los diferentes caṕıtulos de este libro.
Veamos muy rápidamente cómo se dieron las diferentes etapas y cómo se
fueron añadiendo los caṕıtulos. Para empezar, las normas ‖ · ‖Lp que permiten
definir estos espacios nos proporcionan informaciones muy precisas sobre las
funciones y es necesario para ello utilizar la integral de Lebesgue. Era por lo
tanto muy natural empezar este programa hablando un poco sobre la cons-
trucción de esta integral, o al menos recordar sus propiedades más elementales.
Pero dado que la noción de integral se basa en la noción de medida, me fue en-
tonces necesario alargar la introducción, añadiendo un caṕıtulo más, en donde
1en donde x debe reemplazarse por 2,3 o hasta 4.
v
vi Prefacio
se trata de medidas y σ-álgebras y en donde se explica cómo construir medidas
a partir de funciones aditivas de conjuntos. Pero esto no es todo. Si deseaba
decir algo sobre el dual de los espacios de Lebesgue, era indispensable exponer
algunas propiedades de topoloǵıa, de espacios métricos y normados, de espacios
de Banach y de formas lineales. Añádase a esto un caṕıtulo sobre el producto
de convolución y otro reservado a las aplicaciones...de tal manera que nos aleja-
mos cada vez más y más de la estructura inicial, especialmente porque deseaba
obtener, en la medida de lo posible, un texto auto-contenido sin demasiadas
referencias a libros ya existentes.
Finalmente este “resumen” se dividirá en tres volúmenes y esta división tie-
ne por principal origen un curso realizado en el verano 2009 en la Escuela
Politécnica Nacional2 en Quito, Ecuador. Como se trataban de pocas horas de
clase, era totalmente imposible tocar todos estos temas y era necesario escoger
los más importantes, es decir los cuatro primeros caṕıtulos que constituyen la
base más elemental de la teoŕıa de la medida y de la integración. Esta es la
primera excusa. La segunda, mucho más importante, es que los caṕıtulos res-
tantes aún no estaban totalmente terminados. De manera que si los alumnos
deseaban tener unas notas de curso depuradas era indispensable realizar esta
división.
Indiquemos que una primera versión de este libro ha sido publicada en el
año 2009, con una reimpresión en el año 2012, en el número 4 de la colección
Cuadernos de Matemática de la Escuela Politécnica Nacional, Quito, Ecuador.
En esta segunda versión se han corregido algunos errores y ha se añadido un
par de ejemplos.
Diego Chamorro
Paŕıs, enero 2017
∗
Antes de terminar, es necesario explicar un poco el marco en el que se encuentra
la redacción de este libro. La asociación Amarun tiene por objetivo desarrollar
las ciencias exactas en el Ecuador y dentro de sus proyectos pedagógicos consta
la redacción de textos académicos. Para mayor claridad hemos dividido nuestra
labor en tres diferentes niveles. El primer nivel corresponde a temas básicos de
ciencias y es equivalente a los dos o tres primeros años de estudios universitarios.
El segundo nivel trata temas de un nivel intermedio, correspondiente a un tercer
o cuarto año de universidad y el tercer nivel se focaliza en temas cient́ıficos
más avanzados y especializados. Este libro, el primero de la serie, presenta
temas de análisis intermedio, pues consideramos que la teoŕıa de la medida y la
teoŕıa de la integración de Lebesgue forman parte del bagaje mı́nimo de todo
matemático. Esperamos que este material sirva, tanto a los estudiantes como
a los jóvenes investigadores o profesores, como un manual en dónde buscar de
forma rápida las informaciones necesarias sobre los temas presentados.
2Las notas del curso, resúmenes, ejercicios y desarrollos están disponibles aqúı:
www.amarun.org.
http://www.amarun.net/index.php?option=com_content&view=article&catid=69&id=104&Itemid=54
Prefacio vii
Advertencia.
1) Este libro está destinado a estudiantes universitarios de la carrera de
matemáticas que ya tienen al menos dos o tres años de estudios cursados.
Es decir que están familiarizados con las nociones de topoloǵıa, distancia
y espacios métricos, el cálculo “ε-δ” para los ĺımites y continuidad, cálculo
diferencial e integral, la integral de Riemann, álgebra lineal y estructuras
algebraicas.
2) Este libro expone temas totalmente clásicos: ninguno de los teoremas,
proposiciones, lemas o resultados es original. Existe una extensa literatu-
ra, recopilada en la bibliograf́ıa, y el autor de estas ĺıneas se ha basado
libremente en ella.
3) El primer caṕıtulo presenta las nociones de base necesarias y tiene por
objetivo el de fijar las notaciones. Sin duda la mayor parte de este material
es conocido del público al cual está destinado el folleto, me he permitido
entonces en esta primera versión ser conciso y árido en la exposición de
este caṕıtulo.
4) El lector encontrará en las pruebas o demostraciones comentarios del tipo
“esta verificación es sencilla” o “es fácil ver que”, esto debe entenderse
como “no es muy dif́ıcil comprender que” o “puede parecer complicado a
primera vista, pero en realidad no lo es”.
5) El objetivo de este libro es el de servir de texto de base para el estudio de
la teoŕıa de la medida y de la integración. Sin embargo, un texto escrito
nunca podrá suplantar a un curso vivo en el cual se tienen interacciones
entre el alumno y el profesor. Para remediar parcialmente este problema
rogamos al lector dirigir sus dudas, comentarios y preguntas al autor por
email:
diego.chamorro@univ-evry.fr
6) Este texto tiene un carácter teórico, es decir que me he concentrado en
la demostración de los teoremas y la exposición de las propiedades más
importantes de los objetos estudiados. Sin embargo y por razones de es-
pacio, no he podido incluir en estas primeras versiones todos los ejemplos
detallados y todos los cálculos que seŕıa deseable presentar. A pesar de
esto he tratado de dar después de cada nueva definición ejemplos simples
de los objetos definidos.
7) Este libro pretende ser auto-contenido, entendiéndose por esto que los
resultados más importantes están demostrados completamente en el texto
basándose en pocos conceptos anteriores.
8) Este texto no es exhaustivo y hay muchos temas que no son tratados aqúı.
Sin embargo tampoco es un texto minimalista: si algún curso se basa en
estas ĺıneas, el profesor tendrá necesariamente que escoger los temas que
presenta en clase y los temas que omite o deja en ejercicio.
viii Prefacio
9) Cada caṕıtulo contiene al final una pequeñalista de ejercicios que permi-
ten verificar la asimilación de las nociones expuestas.
10) El autor se considera el único responsable por los errores y las faltas
de este texto. Rogamos al lector enviar sus comentarios, sugerencias y
correcciones a la dirección de email mencionada.
1 Espacios métricos, normados y
de Banach
En este primer caṕıtulo exponemos las nociones necesarias que nos permi-
tirán estudiar con toda comodidad los espacios de Lebesgue y de Lorentz desde
el punto de vista de sus propiedades topológicas y métricas. Presentaremos aqúı
únicamente las nociones utilizadas en los cuatro primeros caṕıtulos que consti-
tuyen el Volumen 1, no es por lo tanto una exposición exhaustiva. El resto de
propiedades relativas a los espacios de Banach y a los espacios de aplicaciones
lineales, como por ejemplo las topoloǵıas débiles y la noción de dualidad, serán
expuestas en el Volumen 2.
En las secciones que siguen detallamos las diferentes estructuras con las cua-
les se pueden dotar estos espacios de funciones. La noción más general es la de
espacio métrico en el sentido que fundamentalmente todos los espacios funcio-
nales que trataremos en este libro estarán dotados de una estructura métrica
que será debidamente explicitada. La utilidad de estos espacios está dada por
el hecho que un espacio métrico nos proporciona un marco suficientemente
adecuado para tratar aspectos de convergencia uniforme y de completitud. Sin
embargo, para estudiar otro tipo de resultados esenciales es necesario conjugar
esta estructura con la estructura de espacio vectorial e introducir los espacios
de Fréchet, los espacios normados y los espacios de Banach. Estos últimos espa-
cios son los que nos proporcionan el mayor número de propiedades y es por eso
que buscaremos, siempre y cuando sea posible, dotar los espacios considerados
con este tipo de estructura. En efecto, tendremos la oportunidad de ver en los
caṕıtulos siguientes que los casos más importantes en las aplicaciones están
dados cuando los espacios de Lebesgue y de Lorentz son espacios de Banach.
Recordamos en las ĺıneas a continuación las definiciones y propiedades ele-
mentales de los espacios métricos y de los espacios compactos que serán tratados
en las Secciones 1.1 y 1.2 respectivamente. Aqúı tendremos la oportunidad de
exponer algunos resultados en el marco de los espacios topológicos localmente
compactos cuya utilidad e importancia será puesta en valor en los Caṕıtulos 2
y 4. Terminaremos este caṕıtulo introductorio con una pequeña presentación
de los espacios localmente convexos y los espacios de Fréchet en la Sección 1.3
y de los espacios normados y de los espacios de Banach en la Sección 1.4.
1.1. Espacios topológicos y espacios métricos
Una gran parte del material presentado a continuación es sin duda bien co-
nocido del lector y es por eso que nuestra exposición será relativamente rápida.
Por comodidad hemos dividido nuestra presentación en tres partes. La primera
trata sobre las definiciones elementales de topoloǵıa y de los espacios métricos,
la segunda estudia los ĺımites y la continuidad mientras que la tercera parte
1
2 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
presenta las propiedades uniformes que son esenciales para el desarrollo de los
próximos caṕıtulos.
1.1.1. Definiciones
Si X es un conjunto, notaremos P(X) el conjunto de partes de X . El Car-
dinal de un conjunto X , que notaremos1 Card(X), es el número de elemen-
tos de X . Escribimos Card(∅) = 0 y si se tiene Card(X) = N entonces
Card(P(X)) = 2N . Diremos que un conjunto X es numerable si existe una
biyección de X sobre una parte de N. Recuérdese además que en P(X) se
dispone de una relación de orden determinada por la inclusión. Si A y B per-
tenecen a P(X), notamos Ac = X \ A el complementario de A y escribimos
A \ B = A ∩ Bc. La diferencia simétrica de dos conjuntos A,B está definida
por A∆B = (A \B) ∪ (B \A).
Pasemos a la definición de espacio topológico.
Definición 1.1.1 (Espacio topológico) Una familia T de partes de un con-
junto X define una topoloǵıa sobre X si las tres condiciones son verificadas:
1) El conjunto vaćıo ∅ aśı como el conjunto X pertenecen a T ,
2) La intersección finita de elementos de T pertenece a T ,
3) La reunión cualquiera de elementos de T pertenece a T .
Los elementos de T son llamados conjuntos abiertos, sus complementarios son
llamados cerrados y el espacio (X, T ) es llamado espacio topológico.
Observemos que se tiene trivialmente dos topoloǵıas sobre un mismo conjunto
X : la topoloǵıa gruesa determinada por T = {∅, X} y la topoloǵıa discreta
dada por T = P(X). Más generalmente, si un conjunto X está dotado de dos
topoloǵıas T1 y T2 diremos que T2 es más fina que T1 si todo abierto de T1 es
un abierto de T2 y lo notaremos T1 ⊂ T2. Cuando no hay ambigüedad sobre
la topoloǵıa utilizada diremos simplemente que X es un espacio topológico sin
explicitar la familia T .
Fijemos ahora un poco de terminoloǵıa. Una topoloǵıa es separada si para
todos dos puntos distintos x1 y x2 existen dos abiertos U y V tales que x1 ∈ U ,
x2 ∈ V y U ∩ V = ∅. Hablaremos entonces de espacio topológico separado o
espacio de Hausdorff.
Para un punto x ∈ X , llamaremos una vecindad de x a un conjunto que
contiene un abierto que a su vez contiene x. Un punto x ∈ X es un punto
de acumulación de un subconjunto A de X si cada vecindad de x contiene al
menos un punto y ∈ A diferente de x. En particular un subconjunto A de X
es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación.
1La notación #(X) también es usual en la literatura.
1.1. Espacios topológicos y espacios métricos 3
Si A es un subconjunto de X , la reunión de todos los abiertos contenidos en
A se llama el interior de A y es notado
◦
A y se tiene que x ∈
◦
A si y solo si A es
una vecindad de x. La intersección de todos los cerrados que contienen a A es
llamada la adherencia o cerradura de A y es notado A. Es evidente ver que A
es cerrado y que A ⊆ A; aśı mismo tampoco es dif́ıcil ver que A = A si y solo
si A es cerrado.
Diremos además que un subconjunto A de X es denso en X si A = X ; es
equivalente decir que todo abierto no vaćıo de X tiene una intersección con A.
Un espacio X es separable si admite un subconjunto denso numerable2.
Si (X, T ) es un espacio topológico y si B es una colección de abiertos de
(X, T ); diremos que B es una base del espacio topológico (X, T ) si todo abierto
de (X, T ) es la unión de elementos de B. Se dice entonces que la base B genera
la topoloǵıa T .
Finalmente, si f : (X, T ) −→ (Y,S) es una función definida sobre un espacio
topológico (X, T ) a valores en otro espacio topológico (Y,S), entonces diremos
que f es continua en el punto x ∈ X si y solo si la imagen rećıproca de toda
vecindad del punto f(x) es una vecindad del punto x. Esta es la definición más
general de continuidad para las funciones y pronto veremos otros marcos de
trabajo en donde se dispone de otras herramientas para caracterizar la conti-
nuidad.
No nos demoraremos aqúı en exponer todas las propiedades de los espacios
topológicos generales, puesto que las topoloǵıas que utilizaremos para describir
los espacios funcionales estarán por lo general determinadas por estructuras
más ricas, como la de los espacios métricos o la de los espacios normados cuyas
definiciones recordaremos a continuación.
Definición 1.1.2 (Espacio métrico) Un espacio métrico (E, dE) está dado
por un conjunto E dotado de una aplicación dE : E × E −→ [0,+∞[, llamada
distancia o métrica, que verifica los siguientes puntos:
(D.1) Simetŕıa: para todo x, y ∈ E, dE(x, y) = dE(y, x),
(D.2) Separabilidad: dE(x, y) = 0 si y solo si x = y,
(D.3) Desigualdad triangular: para todo x, y, z ∈ E:
dE(x, y) ≤ dE(x, z) + dE(z, y).
Un ejemplo sencillo de espacio métrico está dado por el espacio eucĺıdeo n-
2El lector debe tener cuidado en no confundir las nociones distintas de espacio separadoy
de espacio separable.
4 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
dimensional dotado de su métrica usual3 (Rn, dn) en donde
dn(x, y) =
(
n∑
i=1
(xi − yi)2
)1/2
,
con x = (x1, ..., xn) y y = (y1, ..., yn). En el caso unidimensional de (R, d1)
notaremos d1(x, y) = |x− y|.
Demos un segundo ejemplo. Consideremos el espacio de sucesiones infinitas
formadas por ceros y unos notado Ω = {0, 1}N∗. Un elemento ω ∈ Ω es entonces
una sucesión de la forma ω = (ω1, ω2, · · · ) en donde ωj es igual a 0 ó 1 para
todo j. Sobre este espacio definimos una distancia de la siguiente forma:
dΩ(ω, ω
′) =
+∞∑
j=1
2−j|ωj − ω′j |. (1.1)
La verificación que esta fórmula define una distancia es sencilla y dejada al
lector.
Si (E, dE) es un espacio métrico, para todo subconjunto no vaćıo A de E la
distancia del punto x al conjunto A está definida por
dE(x,A) = ı́nf
a∈A
dE(x, a). (1.2)
Definiremos el diámetro de un subconjunto U ⊂ E de la siguiente forma:
diam(U) = sup{dE(x, y); x, y ∈ U}.
Un conjunto es entonces acotado en el sentido métrico si su diámetro es finito.
Si (E, dE) es un espacio métrico y si A es un subconjunto de E; el conjunto
A dotado de la restricción a A × A de la función dE es a su vez un espacio
métrico. La aplicación dA : A×A −→ [0,+∞[ es la métrica inducida por dE y
hablaremos del subespacio A de E en vez de subconjunto.
Llamaremos una bola abierta de centro x ∈ E y de radio r > 0 el conjunto
definido por
B(x, r) = {y ∈ E : dE(x, y) < r}. (1.3)
Las bolas cerradas están en cambio determinadas por
B(x, r) = {y ∈ E : dE(x, y) ≤ r}.
Diremos que un subconjunto A de E es un abierto si para todo x ∈ A, existe
una bola abierta centrada en x y contenida en A; un subconjunto de E es ce-
rrado si su complementario es abierto. Diremos también que un punto x0 ∈ E
es un punto de acumulación de A, si para todo ε > 0 existe al menos un punto
y 6= x0 de A tal que dE(x0, y) < ε.
3Llamada también distancia eucĺıdea.
1.1. Espacios topológicos y espacios métricos 5
Notemos además que la familia compuesta por los conjuntos abiertos defini-
dos por medio de la distancia dE es estable para la reunión (finita o infinita) y
para la intersección finita; simétricamente la familia de conjuntos cerrados es
estable por intersección (finita o infinita) y por reunión finita.
Dicho de otra manera, el espacio métrico (E, dE) está naturalmente dotado
de una topoloǵıa determinada por las bolas abiertas del tipo (1.3). Obsérvese
en particular que una topoloǵıa que se deduce de una estructura métrica es
siempre separada.
1.1.2. Ĺımites y continuidad
Describimos ahora las nociones de ĺımite y continuidad en el marco de los
espacios métricos.
Definición 1.1.3 (Convergencia de una sucesión) Sea (E, dE) un espa-
cio métrico, diremos que una sucesión de elementos (xn)n∈N de E converge
hacia un elemento x ∈ E si:
(∀ε > 0)(∃Nε ∈ N) : ∀n ≥ Nε =⇒ dE(x, xn) ≤ ε.
Sean ahora (E, dE) y (F, dF ) dos espacios métricos, sea f una aplicación de E
en F y sea A un subconjunto de E. Sean x0 ∈ A y y0 ∈ F , diremos que el ĺımite
de f(x) cuando x ∈ A tiende o converge hacia x0 es igual a y0 y lo notaremos
ĺım
x→x0
x∈A
f(x) = y0,
si para cada vecindadW de y0, existe una vecindad V de x0 tal que f(V ∩A) ⊂
W . Nótese que si el ĺımite existe, es entonces único puesto que la topoloǵıa in-
ducida por una distancia es separada.
Obsérvese también que un subconjunto A de E es cerrado si y solo si para
toda sucesión de elementos de A que converge en E, el ĺımite pertenece a A.
Definición 1.1.4 (Continuidad de una aplicación) Diremos que una apli-
cación f : (E, dE) −→ (F, dF ) es continua en el punto x0 si
ĺım
x→x0
x∈E
f(x) = f(x0).
Es equivalente decir que la imagen rećıproca de toda vecindad de f(x0) es una
vecindad de x0. En términos de ε y δ esta definición se escribe:
(∀ε > 0)(∃δε,x > 0)(∀x ∈ E) : dE(x, x0) ≤ δ =⇒ dF (f(x), f(x0)) ≤ ε. (1.4)
Diremos que f es continua sobre E, o simplemente continua, si es continua en
cada uno de los puntos de E.
Proposición 1.1.1 Una aplicación f de (E, dE) en (F, dF ) es continua si y
solo si, para toda sucesión convergente (xn)n∈N de elementos de E se tiene
f
(
ĺım
n→+∞
xn
)
= ĺım
n→+∞
f(xn).
6 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
La verificación de este hecho no es muy complicada y es dejada al lector.
La siguiente definición nos dice cómo determinar una distancia sobre el pro-
ducto cartesiano de dos espacios métricos.
Definición 1.1.5 Sean (E, dE) y (F, dF ) dos espacios métricos. Su producto
cartesiano E × F está dotado de la distancia
dE×F ((x1, y1), (x2, y2)) =
(
dE(x1, x2)
2 + dF (y1, y2)
2
)1/2
. (1.5)
La proposición a continuación nos explicita algunos resultados relativos a la
continuidad de la aplicación distancia.
Proposición 1.1.2 Sea (E, dE) un espacio métrico. Entonces:
1) para todo punto z ∈ E, la aplicación definida por x 7−→ dE(x, z) es
continua de E en [0,+∞[,
2) para todo subconjunto no vaćıo A de E, la aplicación x 7−→ dE(x,A) es
continua de E en [0,+∞[,
3) la aplicación (x, y) 7−→ dE(x, y) es continua de E × E en [0,+∞[.
Prueba. La verificación de estos puntos es una aplicación directa de la de-
sigualdad triangular. Empecemos por el primer punto y fijemos z un punto de
E. Dado que se tiene
|dE(x, z)− dE(x0, z)| ≤ dE(x, x0), (1.6)
es suficiente considerar δ = ε en la caracterización dada por la fórmula (1.4)
para obtener la continuidad de esta aplicación.
Los dos puntos restantes se deducen de manera muy similar. En efecto sea
A un subconjunto no vaćıo de E y sean x, x0 ∈ E. Se tiene entonces
dE(x,A) = ı́nf
a∈A
dE(x, a) ≤ ı́nf
a∈A
(dE(x, x0)+d(x0, a)) ≤ dE(x, x0)+ ı́nf
a∈A
dE(x0, a),
es decir dE(x,A)−dE(x0, A) ≤ dE(x, x0). Simétricamente se obtiene dE(x0, A)−
dE(x,A) ≤ dE(x, x0) lo que nos da
|dE(x,A) − dE(x0, A)| ≤ dE(x, x0), (1.7)
y esta estimación implica la continuidad de la aplicación x 7−→ dE(x,A).
Dotamos el espacio E×E de la topoloǵıa producto inducida por la distancia
(1.5). Observando que se tiene para todo (x, y) ∈ E ×E y (x0, y0) ∈ E ×E las
dos estimaciones
dE(x, y)− dE(x0, y0) ≤ dE(x, x0) + dE(y, y0) y
dE(x0, y0)− dE(x, y) ≤ dE(x, x0) + dE(y, y0),
1.1. Espacios topológicos y espacios métricos 7
se obtiene
|dE(x, y) − dE(x0, y0)| ≤ dE(x, x0) + dE(y, y0)
≤
√
2
(
dE(x, x0)
2 + dE(y, y0)
2
)1/2
, (1.8)
lo que demuestra la continuidad de la aplicación (x, y) 7−→ dE(x, y). �
La siguiente noción es de gran importancia en lo que sigue pues concierne a
la convergencia puntual o punto por punto y será frecuentemente comparada a
la Definición 1.1.9.
Definición 1.1.6 (Convergencia simple) Sean (E, dE) y (F, dF ) dos espa-
cios métricos, sea (fn)n∈N una sucesión de aplicaciones de E en F y sea A
un subconjunto de E. Diremos que la sucesión (fn)n∈N converge simplemente
sobre A hacia f si
(∀x ∈ A) (∀ε > 0) (∃Nε,x ∈ N) : n ≥ Nε,x =⇒ dF (fn(x), f(x)) ≤ ε. (1.9)
Esta noción de convergencia es un criterio poco exigente y por consecuente, en
caso de convergencia, la definición de convergencia simple es a menudo verifi-
cada.
Consideremos por ejemplo la sucesión de funciones reales (fn)n∈N definidas
sobre [0, π] y determinada por fn(x) = sin
n(x). El lector observará sin difi-
cultad que esta sucesión converge simplemente hacia la función f(x) = 0 si
x ∈ [0, π] \ {π/2} y f(π/2) = 1 para la distancia usual sobre R.
Lastimosamente, algunas propiedades (la continuidad en el caso del ejemplo
anterior) no se mantienen al pasar al ĺımite en el sentido de la convergencia
simple. Es por ello que es interesante exponer las propiedades de la sección a
continuación.
1.1.3. Propiedades uniformes
La estructura de espacio métrico nos permite disponer de ciertas propiedades
agradables, caracterizadas por el adjetivo uniforme, que reagrupamos en esta
sección.
Definición 1.1.7 (Continuidad uniforme) Sean (E, dE) y (F, dF ) dos es-
pacios métricos y sea f una aplicación de E en F . Decimos quef es unifor-
memente continua si
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x, y ∈ E) : dE(x, y) ≤ δ =⇒ dF (f(x), f(y)) ≤ ε.
Esta noción de continuidad uniforme es más restrictiva que la continuidad sim-
ple. En efecto, la función f :]0, 1] −→ R, x 7−→ 1/x es continua pero no es
uniformemente continua.
Demos una caracterización equivalente de la continuidad uniforme:
8 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Proposición 1.1.3 Sean (E, dE) y (F, dF ) dos espacios métricos y sea f una
aplicación de E en F . Entonces las proposiciones siguientes son equivalentes
1) f es uniformemente continua,
2) para todas dos sucesiones (xn)n∈N, (yn)n∈N,
dE(xn, yn) −→ 0 =⇒ dF (f(xn), f(yn)) −→ 0,
3) para todas dos sucesiones (xn)n∈N, (yn)n∈N,
dE(xn, yn) −→ 0 =⇒ dF (f(xϕ(n)), f(yϕ(n))) −→ 0,
en donde (xϕ(n)) y (yϕ(n)) son dos subsucesiones.
La demostración de este resultado queda como ejercicio.
Un caso importante de aplicaciones uniformemente continuas está dado por
las aplicaciones lipschitzianas que están determinadas por la definición:
Definición 1.1.8 (Aplicación k-lipschitziana, contractante) Sean (E, dE)
y (F, dF ) dos espacios métricos y sea f una aplicación de E en F . Si para todo
x, y ∈ E existe una constante k > 0 tal que
dF (f(x), f(y)) ≤ k dE(x, y),
entonces diremos que la aplicación f es k-lipschitziana.
En particular si 0 < k < 1 diremos que f es contractante.
Recuérdese que toda aplicación k-lipschitziana es uniformemente continua y
por lo tanto continua, pero que no se tienen las implicaciones rećıprocas (ver
el Ejercicio 1.1).
En paralelo a la Proposición 1.1.2, la aplicación distancia dE definida sobre
E × E, aśı como las aplicaciones x 7−→ dE(x, x0) y x 7−→ dE(x,A) definidas
sobre E para x0 ∈ E y A ⊂ E son uniformemente continuas. La verificación
sigue los mismos argumentos utilizados anteriormente; en particular las expre-
siones (1.6), (1.7) y (1.8) muestran que estas aplicaciones son lipschitzianas.
Pasemos ahora a la definición de convergencia uniforme.
Definición 1.1.9 (Convergencia uniforme) Sean (E, dE) y (F, dF ) dos es-
pacios métricos, sea (fn)n∈N una sucesión de aplicaciones de E en F y sea A
un subconjunto de E. Diremos que la sucesión (fn)n∈N converge uniformemente
hacia f sobre A si
(∀ε > 0) (∃Nε ∈ N) : n ≥ Nε =⇒ (∀x ∈ A) dF (fn(x), f(x)) ≤ ε. (1.10)
La expresión anterior es equivalente a
(∀ε > 0) (∃Nε ∈ N) : n ≥ Nε =⇒ sup
x∈A
dF (fn(x), f(x)) ≤ ε. (1.11)
1.1. Espacios topológicos y espacios métricos 9
Observación 1.1 Nótese que la diferencia fundamental entre la convergencia
simple y la convergencia uniforme está dada por el hecho que el parámetro Nε
depende en el caso de la convergencia uniforme solamente de ε y no del punto
x ∈ E.
Esta definición de convergencia, propia de los espacios métricos, es más fuerte
que la noción de convergencia simple presentada en la sección anterior. Más
precisamente, la convergencia uniforme implica trivialmente la convergencia
simple pero no se tiene la implicación rećıproca. Para ilustrarlo consideramos
el ejemplo siguiente.
Sea la sucesión de funciones (fn)n∈N definida por
fn : R −→ R (1.12)
x 7−→ fn(x) =
1
1 + (x− n)2 .
Para todo x ∈ R vemos que la sucesión (fn)n∈N tiende hacia cero si n → +∞,
de manera que esta sucesión de funciones converge simplemente hacia la función
cero para la distancia usual de R. Sin embargo, para todo entero natural n se
tiene que fn(n) = 1, de modo que
sup
x∈R
|fn(x) − 0| ≥ 1,
lo que contradice la Definición 1.1.9 - (1.11). Concluimos que esta sucesión de
funciones no converge uniformemente hacia la función cero.
La principal propiedad de la convergencia uniforme está dada por el impor-
tante resultado siguiente:
Teorema 1.1.1 Sean (E, dE) y (F, dF ) dos espacios métricos y sea (fn)n∈N
una sucesión de funciones de E en F que convergen uniformemente hacia una
función f . Si todas las funciones fn son continuas en el punto x0 ∈ E, entonces
f es continua en x0.
Demostración. Sea ε > 0. La sucesión de funciones (fn)n∈N converge unifor-
memente hacia f , entonces existe un entero n ∈ N tal que para todo x ∈ E se
tiene dF (fn(x), f(x)) ≤ ε. Dado que fn es continua en x0 se tiene que
(∃δ > 0)(∀x ∈ E) : dE(x, x0) ≤ δ =⇒ dF (fn(x), fn(x0)) ≤ ε.
Se deduce de esto que, para todo x ∈ E tal que dE(x, x0) ≤ δ, se tiene
dF (f(x), f(x0)) ≤ dF (f(x), fn(x))+dF (fn(x), fn(x0))+dF (fn(x0), f(x0)) ≤ 3ε.
�
Observación 1.2 Si las funciones fn son continuas sobre todo E, entonces la
función ĺımite f también es continua sobre todo E: la convergencia uniforme
conserva la continuidad lo que hace que esta noción sea absolutamente esencial
en el análisis.
10 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Recordemos ahora dos definiciones que son de gran importancia para los próxi-
mos caṕıtulos. En particular el criterio a continuación nos permite decir si una
sucesión converge, sin conocer necesariamente el ĺımite:
Definición 1.1.10 (Sucesión de Cauchy) 4 Sea (E, dE) un espacio métri-
co. Diremos que una sucesión (xn)n∈N es de Cauchy si
(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(∀n,m > N) : dE(xn, xm) ≤ ε.
Equivalentemente, una sucesión de Cauchy verifica
ĺım
n,m→+∞
dE(xn, xm) = 0.
Nótese que toda sucesión convergente es de Cauchy. En efecto, si (xn)n∈N es
una sucesión que converge hacia x entonces, por la desigualdad triangular, se
tiene
dE(xn, xm) ≤ dE(xn, x) + dE(x, xm),
lo que permite concluir. La rećıproca es falsa como se observa considerando el
ejemplo siguiente: sea E =]0,+∞[ dotado con la distancia eucĺıdea, la sucesión
xn = 1/n es de Cauchy pero no converge en E puesto que 0 /∈ E.
En el estudio de los espacios funcionales el hecho de que toda sucesión de
Cauchy sea convergente es una propiedad muy agradable y amerita la impor-
tante definición a continuación.
Definición 1.1.11 (Espacio métrico completo) Diremos que un espacio
métrico (E, dE) es completo si toda sucesión de Cauchy es convergente.
No todo espacio métrico es completo como se puede ver considerando el con-
junto de los racionales Q dotado de la distancia usual d(x, y) = |x − y|. El
resultado siguiente explicita las relaciones existentes entre conjuntos cerrados
y conjuntos completos.
Proposición 1.1.4 Sea (E, dE) un espacio métrico y A ⊂ E un subconjunto.
1) Si E es completo y si A es cerrado en E, entonces el subespacio A es
completo.
2) Si el subespacio A es completo, entonces A es cerrado en E.
Prueba. Sea (xn)n∈N una sucesión de Cauchy en A, es por lo tanto una su-
cesión de Cauchy en E y converge hacia un elemento x ∈ E por hipótesis de
completitud de E. Dado que el conjunto A es cerrado, el punto x por ser ĺımite
de elementos de A, pertenece al subconjunto A. Hemos pues demostrado que
toda sucesión de Cauchy en el subespacio A converge hacia un elemento de A.
Para el segundo punto debemos ver que si (xn)n∈N es una sucesión de elemen-
tos de A convergente en E, su ĺımite x pertenece a A. La sucesión convergente
(xn)n∈N es de Cauchy en E y por lo tanto es de Cauchy en A. Puesto que este
4Augustin Louis Cauchy (1789-1857), matemático francés.
1.2. Compacidad 11
subespacio es completo, esta sucesión debe converger hacia un elemento de A,
que no es más que x por la unicidad del ĺımite. �
Para terminar esta sección, damos una definición que nos permite comparar
dos distancias.
Definición 1.1.12 (Distancias uniformemente equivalentes) Sea E un
conjunto y sean d1 y d2 dos distancias definidas sobre E. Decimos que d1 y
d2 son uniformemente equivalentes si
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x, y ∈ E) : d1(x, y) ≤ δ =⇒ d2(x, y) ≤ ε.
y si se tiene la propiedad análoga reemplazando d1 por d2.
El lector verificará que todas las nociones y propiedades definidas en esta sec-
ción son invariantes al pasar de una distancia d1 a otra distancia d2 uniforme-
mente equivalente. Ver el Ejercicio 1.3 para más detalles.
Observación 1.3 Además de la fórmula (1.5), existen otras formas de definir
distancias sobre el espacio producto E × F , por ejemplosi escribimos
dE×F ((x1, y1), (x2, y2)) = dE(x1, x2) + dF (y1, y2)
dE×F ((x1, y1), (x2, y2)) = máx (dE(x1, x2); dF (y1, y2)) ,
obtenemos también distancias sobre E × F . El lector notará que todas estas
métricas son uniformemente equivalentes.
1.2. Compacidad
La compacidad es una de las caracteŕısticas topológicas más importantes y
un conjunto compacto posee una multitud de propiedades que hacen su estudio
particularmente atractivo en muchas aplicaciones. En esta sección recordamos
las nociones de base que no sólo nos permitirán estudiar criterios de compaci-
dad en los espacios de Lebesgue y de Lorentz sino también algunos aspectos
importantes en la teoŕıa de la medida. Descompondremos nuestra exposición
en tres partes: la primera presenta las principales caracteŕısticas de los espacios
compactos generales y en la segunda parte exponemos algunas propiedades de
la compacidad en los espacios métricos. Finalmente, terminaremos esta sección
con una breve descripción de los espacios localmente compactos cuya utilidad
será apreciada cuando estudiemos las medidas borelianas en el caṕıtulo siguien-
te.
1.2.1. Espacios compactos
Recordamos algunas definiciones elementales que son sin duda bien conocidas
del lector.
Definición 1.2.1 (Recubrimiento) Sea X un espacio topológico separado y
sea (Ui)i∈I una colección de conjuntos. Decimos que (Ui)i∈I es un recubri-
miento de X si se tiene la inclusión X ⊂ ⋃i∈I Ui. Si los conjuntos (Ui)i∈I son
abiertos, hablaremos entonces de recubrimiento abierto.
12 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
A partir de esta noción de recubrimiento tenemos la definición de espacio com-
pacto.
Definición 1.2.2 (Espacio compacto) Un espacio topológico separado es com-
pacto si de cada recubrimiento abierto de X se puede extraer un subrecubrimien-
to finito. Diremos además que un subconjunto A de un espacio topológico X
es compacto si, de igual manera, de cada recubrimiento abierto de A se puede
extraer un subrecubrimiento finito.
La siguiente noción es muy útil en algunas aplicaciones.
Definición 1.2.3 (Compacidad relativa) Sea X un espacio topológico se-
parado y A un subconjunto de X. Diremos que A es relativamente compacto en
X si su cerradura A es compacta.
Es importante observar que pasando al complementario en la Definición 1.2.2
obtenemos una caracterización análoga de la compacidad en términos de con-
juntos cerrados: un subconjunto de un espacio topológico es compacto si de toda
familia de cerrados de intersección vaćıa se puede extraer una subfamilia finita
de intersección vaćıa. El lector puede ver otras caracterizaciones equivalentes
en el Ejercicio 1.4 en donde se demuestra la
Proposición 1.2.1 Sea X un espacio topológico separado compacto y sea
(An)n∈N una sucesión decreciente de cerrados no vaćıos de X. Entonces se
tiene ⋂
n∈N
An 6= ∅.
De forma equivalente, si (Bn)n∈N es una sucesión decreciente de cerrados de
intersección vaćıa, entonces los conjuntos Bn son todos vaćıos a partir de un
cierto ı́ndice n suficientemente grande.
El caso más sencillo de compacto se tiene cuando A es una parte finita de X ,
por el contrario la recta real R no es un espacio compacto: en efecto los interva-
los de la forma ]k − 1, k+ 1[ para todo k ∈ Z forman un recubrimiento abierto
de R del cual no se puede extraer ningún subrecubrimiento finito.
Demos otro ejemplo de espacio compacto: si A es el conjunto definido por
A = {xn} ∪ {l} en donde la sucesión (xn)n∈N tiende hacia l se tiene entonces
que A es compacto. Sea en efecto (Ui)i∈I un recubrimiento abierto de A y sean
i0 tal que l ∈ Ui0 y n0 tal que xn ∈ Ui0 para n > n0. Sea además J un subcon-
junto de I finito tal que los puntos x1, ..., xn0 pertenezcan a la unión
⋃
i∈J Ui.
Tenemos entonces A ⊂ ⋃i∈L Ui en donde L = J ∪ {i0}. Lo que muestra que
este espacio es compacto.
Este último ejemplo es una motivación suficiente para estudiar las relaciones
existentes entre conjuntos cerrados y conjuntos compactos. Más precisamente
tenemos el resultado a continuación:
Proposición 1.2.2 Sea A un subconjunto de un espacio topológico separado
compacto X. Entonces A es cerrado si y solo si A es compacto.
1.2. Compacidad 13
Prueba. Supongamos que A es cerrado. Sea (Ui)i∈I un recubrimiento abierto
de X . Como A es cerrado se tiene que (Ui ∪ Ac)i∈I sigue siendo un recubri-
miento abierto de X ; existe por lo tanto un conjunto finito J ⊂ I tal que
X ⊂ ⋃i∈J Ui ∪ Ac de donde se deduce que A ⊂
⋃
i∈J Ui , es decir que A es
compacto.
Ahora suponemos que A es compacto y vamos a verificar que Ac es abierto.
Para ello sea y ∈ Ac un punto, entonces para todo x ∈ A existen dos abiertos
disjuntos5 Ux y Vx tales que x ∈ Ux y y ∈ Vx. Como A es compacto, exis-
te una parte finita de puntos J tal que A ⊂ ⋃x∈J Ux; se tiene entonces que
W =
⋂
x∈J Vx es un abierto puesto que es una intersección finita de abiertos y
además se tiene que W ⊂ Ac. Concluimos que para todo punto y ∈ Ac existe
una vecindad abierta W tal que y ∈ W ⊂ Ac. Es decir que Ac es abierto y por
lo tanto A es cerrado. �
Nótese que en la segunda parte de esta demostración no hemos utilizado nin-
guna propiedad del espacio X y esto nos permite obtener el siguiente corolario.
Corolario 1.2.1 Sea A un subconjunto de un espacio topológico separado. Si
A es compacto, entonces A es cerrado.
El siguiente teorema clásico nos indica que el producto cartesiano de conjuntos
compactos es un conjunto compacto. Si el producto es finito, la verificación
no causa mayor dificultad, por el contrario, si el producto es numerable la
demostración es un poco más delicada.
Teorema 1.2.1 (Tychonov) 6 Sea I un conjunto numerable y sea (Xi)i∈I
una colección de espacios compactos. Entonces el espacio producto
∏
i∈I Xi es
compacto.
El lector puede ver una demostración de este resultado en [5].
Para terminar esta pequeña introducción observamos que los conjuntos com-
pactos poseen las siguientes propiedades de estabilidad:
Proposición 1.2.3 Sea X un espacio topológico separado y sea (Ai)i∈I una fa-
milia de subconjuntos compactos de X. Entonces toda intersección A =
⋂
i∈I Ai
de compactos es compacta, además toda unión finita de subconjuntos compactos
es compacta.
Prueba. Sea A =
⋂
i∈I Ai la intersección de todos los compactos Ai y fijemos
un ı́ndice i0 ∈ I. Dado que todo conjunto compacto es cerrado, podemos con-
siderar esta intersección como una intersección de conjuntos cerrados y por lo
tanto se obtiene que A es un conjunto cerrado. Como se tiene que A está conte-
nido en el conjunto compacto Ai0 , entonces por la Proposición 1.2.2 podemos
decir que es un conjunto compacto.
5Esto es posible pues X es un espacio topológico separado.
6Andrëı Nikolaevitch Tychonov (1906-1993), matemático ruso.
14 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Mostremos ahora que toda unión finita de subconjuntos compactos es compac-
ta. Sean A1 y A2 dos subconjuntos compactos de X y sea (Ui)i∈I un recubri-
miento abierto de A1 ∪ A2. Se tiene en particular que (Ui)i∈I es un recubri-
miento abierto de A1 y de A2 tomados por separado y por lo tanto existen dos
conjuntos finitos de ı́ndices J1 y J2 tales que A1 ⊂
⋃
i∈J1
Ui y A2 ⊂
⋃
i∈J2
Ui.
A partir de estas inclusiones se deduce que A1 ∪ A2 ⊂
⋃
i∈J1∪J2
Ui lo que
implica que A1 ∪A2 es compacto. Finalmente, por recurrencia finita se obtiene
el resultado deseado. �
Vamos a ver ahora que los espacios topológicos compactos verifican una pro-
piedad de separación más fuerte que la propiedad de Hausdorff. Para ello es
necesario la siguiente definición.
Definición 1.2.4 (Espacio Normal) Un espacio topológico es normal si es
un espacio separado y si cada par de conjuntos cerrados disjuntos pueden ser
separados por un par de conjuntos disjuntos abiertos.
Proposición 1.2.4 Sea X un espacio topológico separado y sean K,L dos
subconjuntos compactos disjuntos de X. Existe entonces dos abiertos disjuntos
U y V de X tales que K ⊂ U y L ⊂ V.
Prueba. Podemos suponer que K y L son dos conjuntos no vaćıos y empece-
mos con el caso donde K contiene solo un punto x. Puesto que el espacio X es
separado, existe para todo y ∈ L un par de abiertos disjuntos Uy y Vy tales que
x ∈ Uy y y ∈ Vy. Dado que L es compacto, existe una familia finita y1, ..., yn
tal que los conjuntos Vy1 , ..., Vyn forman un recubrimiento de L. Definimos en-
tonces U =
⋂n
i=1 Uyi y V =
⋃n
i=1 Vyi y obtenemos los conjuntos deseados.
Pasemos ahora al caso cuando K tiene más de un elemento. Hemos verificado
que para todo x ∈ K existen dos conjuntos abiertos disjuntos Ux y Vx tales que
x ∈ Ux y L ⊂ Vx. Dado que K es compacto, existe una familia finita x1, ..., xk
tal que los abiertos asociados Ux1 , ..., Uxk forma un recubrimiento de K. Es-
to nos permite terminar la prueba si definimos U =
⋃k
i=1 Uxi y V =
⋂k
i=1 Vxi . �
Una consecuencia de esta proposición es el resultado siguiente:
Proposición 1.2.5 Todo espacio topológico separado compacto es normal.
Prueba. Obsérvese primero que todo subconjunto cerrado de un conjunto com-
pacto es compacto. Luego, aplicando la Proposición 1.2.4 se deduce fácilmente
el resultado. �
La principal aplicación del concepto de normalidad se encuentra en el resul-
tado a continuación:
Teorema 1.2.2 (Lema de Urysohn) 7 Sea X un espacio topológico normal
y sean U , V dos subconjuntos cerrados disjuntos de X. Existe entonces una
7Pavel Samouilovitch Urysohn (1898-1924), matemático ruso.
1.2. Compacidad 15
función continua
f : X −→ [0, 1],
tal que 0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ X, f(x) = 0 para todo punto x ∈ U y
f(x) = 1 para todo x ∈ V .
El lector puede ver una demostración de este resultado en [25].
1.2.2. Compacidad en los espacios métricos
En el caso de los espacios métricos tenemos la posibilidad de caracterizar los
conjuntos compactos por medio de sucesiones con la definición siguiente.
Definición 1.2.5 (Bolzano-Weierstrass) 8 Un espacio métrico (E, dE) es
secuencialmente compacto si de toda sucesión de elementos de E se puede
extraer una subsucesión convergente.
Es importante notar que esta última definición de compacidad en términos de
sucesiones sólo es válida en el marco de los espacios métricos y es equivalente
a la noción expuesta en la Definición 1.2.2. Más particularmente tenemos el
resultado siguiente.
Teorema 1.2.3 Sea (E, dE) un espacio métrico. Las dos propiedades siguien-
tes son equivalentes:
1) E es compacto,
2) E es secuencialmente compacto.
Demostración. Empecemos por la implicación 1) =⇒ 2). Sea E compacto, sea
(xn)n∈N una sucesión de E y para todo k ∈ N notamos Ak = {xn ∈ E : n ≥ k}.
No es dif́ıcil darse cuenta que la sucesión (Ak)k∈N es una sucesión decreciente
de cerrados no vaćıos, y que por lo tanto se tiene
⋂
k∈NAk 6= ∅.
Escojamos ahora un punto x ∈ ⋂k∈N Ak y contruyamos una subsucesión
(xϕ(n))n∈N de la manera siguiente:
i) fijamos x0 ∈ A0,
ii) si xϕ(n) está definido, tomamos xϕ(n+1) ∈ An+1 tal que dE(xϕ(n+1), x) <
1
2n+1 , esto es posible pues x ∈ An+1.
Esta subsucesión (xϕ(n))n∈N es entonces una subsucesión convergente de la su-
cesión (xn)n∈N.
Pasemos ahora a la verificación 2) =⇒ 1).
Llevaremos a cabo esta demostración utilizando un par de lemas y la siguiente
noción:
8Bernard Bolzano (1781-1848), matemático tcheco; Karl Weierstrass (1815-1897), matemáti-
co alemán.
16 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Definición 1.2.6 (Precompacidad) Un espacio métrico (E, dE) es precom-
pacto si para todo ε > 0 existe un recubrimiento finito de E por medio de bolas
abiertas de radio ε.
Lema 1.2.1 Todo espacio métrico secuencialmente compacto es precompacto.
Prueba. Razonemos por el absurdo y supongamos que existe un ε > 0 tal que
no existe un subrecubrimiento finito de E formado por bolas de radio ε.
Sea x0 ∈ E, entonces B(x0, ε) 6= E, además existe un punto x1 ∈ E tal que
dE(x0, x1) ≥ ε de donde se tiene B(x0, ε) ∪ B(x1, ε) 6= E. Repetimos este
proceso y obtenemos x0, ..., xn puntos tales que para todo i < j ≤ n se tiene
dE(xi, xj) ≥ ε.
Además se tiene
⋃
0≤i≤nB(xi, ε) 6= E y existe un punto xn+1 ∈ E tal que
para todo 0 ≤ i ≤ n se tenga dE(xi, xn+1) ≥ ε. Constrúımos aśı una sucesión
(xn)n∈N de E tal que dE(xi, xj) ≥ ε si i 6= j. Por lo tanto la sucesión (xn)n∈N
no posee ninguna subsucesión convergente de donde se obtiene la contradicción
deseada. �
El segundo lema necesario para la demostración del Teorema 1.2.3 es el si-
guiente.
Lema 1.2.2 Sea (E, dE) un espacio métrico secuencialmente compacto y sea
(Ui)i∈I un recubrimiento abierto de E. Entonces
(∃α > 0)(∀x ∈ E)(∃i ∈ I) : B(x, α) ⊂ Ui.
Prueba. Razonamos otra vez por el absurdo y suponemos que para todo n ≥ 1
existe un punto xn ∈ E tal que para todo i ∈ I se tiene B(xn, 1n ) 6⊂ Ui. Sea
(xn)n∈N una sucesión de elementos de E, por hipótesis existe una subsucesión
(xϕ(n))n∈N que converge hacia un punto x ∈ E. Existe además i ∈ I tal que
x ∈ Ui, y como Ui es abierto, existe r > 0 tal que B(x, 2r) ⊂ Ui. Dado que la
subsucesión (xϕ(n))n∈N converge hacia x entonces existe N ∈ N tal que para
todo n ≥ N se tenga
dE(x, xϕ(n)) < r y ϕ(n) >
1
r
.
Por lo tanto, para todo n ≥ N y para todo y ∈ B(xϕ(n), 1ϕ(n)) se tiene
dE(x, y) ≤ dE(x, xϕ(n)) + dE(xϕ(n), y) < r + r = 2r.
Entonces la bola B(xϕ(n),
1
ϕ(n) ) está contenida en Ui de donde se obtiene la
contradicción. �
Volvamos a la demostración del Teorema 1.2.3.
Sea (E, dE) un espacio métrico secuencialmente compacto y sea (Ui)i∈I un
recubrimiento abierto de E. Por el Lema 1.2.2 sabemos que existe un real α > 0
tal que para todo x ∈ E, existe un ı́ndice i ∈ I tal que B(x, α) ⊂ Ui.
Ahora, por el Lema 1.2.1 podemos recubrir E por medio de una familia
finita de bolas de radio α, es decir que existen x0, ..., xn puntos de E tales que
1.2. Compacidad 17
E ⊂ ⋃ni=0B(xi, α). Pero como para todo j con 1 ≤ j ≤ n existe ij ∈ I tal que
B(xj , α) ⊂ Uij se concluye que E ⊂
⋃n
j=0 Uij , por lo tanto E es compacto. �
Corolario 1.2.2 Todo espacio métrico compacto es separable.
Prueba. Sea (E, dE) un espacio métrico compacto. Para todo n ∈ N la unión
⋃
x∈E B
(
x, 11+n
)
es un recubrimiento abierto de E del cual se puede ex-
traer un subrecubrimiento finito
⋃Nn
k=1 B
(
xk,n,
1
1+n
)
. El conjunto {xk,n : k ∈
{0, ..., Nn}, n ∈ N} es entonces un conjunto denso numerable de E. �
Cuando X = R disponemos de la caracterización siguiente para los conjuntos
compactos. Generalizaremos este resultado con el Teorema 1.4.2.
Teorema 1.2.4 (Heine) 9 Sea A un subconjunto de R. Las proposiciones si-
guientes son equivalentes:
1) A es compacto si y solo si A es cerrado y acotado,
2) A es relativamente compacto si y solo si A es acotado.
Demostración. Supongamos que A es compacto. Por el corolario 1.2.1 A es
cerrado y solo debemos verificar que A es acotado. Puesto que A ⊂ ∪x∈A]x −
1, x+ 1[ existe un subconjunto finito B de A tal que A ⊂ ∪x∈B]x− 1, x+ 1[ y
esto implica que A es acotado.
Si suponemos ahora que A es cerrado y acotado vemos que existe un intervalo
I = [a, b] con −∞ < a < b < +∞ tal que A ⊂ I. No es dif́ıcil ver que I es
compacto y dado que A es cerrado, entonces por la Proposición 1.2.2 tenemos
que A es compacto.
Para el segundo punto empezamos suponiendo que A es relativamente com-
pacto, es decir que A es compacto y por las ĺıneas precedentes A es acotado,
puesto que A ⊂ A se tiene que A es acotado.
Si A es acotado se tiene que A es cerrado y acotado, por lo tanto A es relati-
vamente compacto. �
Veamos una aplicación de este teorema con un par de resultados en donde
estudiamos las diferentes propiedades que poseen las funciones definidas sobre
un espacio compacto. Estos resultados serán muy utilizados en la construcción
de medidas y en la demostración de teoremas importantes explicitados en los
caṕıtulos siguientes.
Proposición 1.2.6 Sea X un espacio compacto, sea Y un espacio topológico
y sea f : X −→ Y una función continua. Entonces f(X) es un compacto de Y .
Prueba. Sea(Ui)i∈I un recubrimiento abierto de f(X). Puesto que f es conti-
nua se tiene que (f−1(Ui))i∈I es un recubrimiento abierto de X ; pero dado que
X es compacto, existe un subconjunto finito J ⊂ I tal que X ⊂ ⋃i∈J f−1(Ui)
y por lo tanto f(X) ⊂ ⋃i∈J Ui; es decir que f(X) es compacto. �
9Eduard Heine (1821-1881), matemático alemán.
18 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Teorema 1.2.5 Sea X un espacio compacto y sea f : X −→ R una función
continua. Entonces la función f es acotada y sus cotas son alcanzadas.
Demostración. Sabemos por la proposición anterior que f(X) es un compac-
to de R, es decir que es cerrado y acotado lo que muestra que la función f es
acotada. Sean ahora m = ı́nf
x∈X
f(x) y M = sup
x∈X
f(x). Por definición m y M son
puntos de adherencia del conjunto f(X), pero al ser este conjunto cerrado se
tiene m,M ∈ f(X) lo que termina la demostración. �
Este teorema tiene como aplicación el teorema de Rolle, ver el Ejercicio 1.5.
Volvamos por un instante a la noción de normalidad que en el caso de los
espacio métricos toma la siguiente formulación:
Proposición 1.2.7 Sean F,G dos conjuntos cerrados disjuntos de un espacio
métrico compacto (E, dE). Entonces F y G están positivamente separados:
dE(F,G) = ı́nf
x∈F,y∈G
d(x, y) > 0.
Más generalmente, se tiene esta propiedad si (E, dE) es un espacio métrico
cualquiera y F es cerrado y G es compacto.
Prueba. Tenemos que dE(F,G) = ı́nf
x∈G
ϕ(x) en donde la aplicación ϕ(x) =
dE(x, F ) es continua y positiva sobre el compacto G. Por el Teorema 1.2.5 esta
función posee un mı́nimo m > 0 y entonces dE(F,G) = m > 0. �
Terminamos esta sección con un resultado de continuidad uniforme de las
funciones definidas sobre espacios métricos compactos.
Proposición 1.2.8 Sean (E, dE) un espacio métrico compacto y (F, dF ) un
espacio métrico. Entonces toda aplicación continua f : E −→ F es uniforme-
mente continua.
Prueba. Sean (xn)n∈N y (yn)n∈N dos sucesiones definidas sobre E tales que
dE(xn, yn) −→
n→+∞
0. Dado que el espacio métrico E es compacto, existe una
subsucesión (xnk )k∈N que converge hacia un punto x y por lo tanto ynk −→ x
si k → +∞. Puesto que f es una función continua, se obtiene que
dF (f(xnk), f(ynk)) −→ dF (f(x), f(y)) = 0.
Para terminar la demostración basta utilizar la Proposición 1.1.3. �
1.2.3. Espacios localmente compactos
La noción de compacidad proporciona como hemos visto una gran canti-
dad de resultados muy importantes en topoloǵıa pero es un concepto bastante
restrictivo. Los espacios topológicos más utilizados no son necesariamente com-
pactos de manera que los resultados anteriores no son directamente aplicables y
esto hace que la noción de compacidad local sea interesante. Limitaremos nues-
tra exposición a dos resultados que serán utilizados en los caṕıtulos siguientes.
1.3. Espacios localmente convexos y espacios de Fréchet 19
Definición 1.2.7 (Espacio localmente compacto) Un espacio topológico se-
parado es localmente compacto si cada uno de sus puntos posee una vecindad
compacta.
La recta real es un espacio localmente compacto pues para todo punto x ∈ R el
intervalo [x−1, x+1] es una vecindad compacta. Evidentemente todo conjunto
compacto es localmente compacto pero no se tiene la rećıproca, por ejemplo el
espacio eucĺıdeo Rn es localmente compacto pero no es un espacio compacto.
Otro ejemplo de espacio localmente compacto está dado por el conjunto Z
dotado de la topoloǵıa discreta. He aqúı el primer enunciado:
Proposición 1.2.9 Sea X un espacio topológico separado localmente compac-
to, sea x ∈ X y sea U una vecindad abierta de x. Entonces x posee una vecindad
abierta cuya cerradura es compacta que está contenida en la vecindad U .
Prueba. Puesto que X es localmente compacto, existe una vecindad abierta de
x que notaremosW cuya cerradura es compacta. Reemplazando W por W ∩U
nos aseguramos que W está contenido en U y podemos suponer sin pérdida de
generalidad que W ⊂ U . Debemos verificar ahora que la cerradura de W no
se extiende afuera de U . Para ello utilizamos la Proposición 1.2.4 para escojer
dos conjuntos abiertos disjuntos V1 y V2 que separan los conjuntos compactos
{x} y W \W respectivamente. La cerradura de V1 ∩W es entonces compacta
y está contenida en W y por lo tanto está contenida en U . Se deduce de esto
que V1 ∩W es la vecindad abierta de x que se buscaba. �
Proposición 1.2.10 Sean X un espacio separado localmente compacto, K un
subconjunto compacto de X y U un subconjunto abierto de X que contiene K.
Entonces existe un conjunto abierto V de X cuya cerradura es compacta y tal
que K ⊂ V ⊂ V ⊂ U .
Prueba. La proposición anterior implica que cada punto de K posee una ve-
cindad cuya cerradura es compacta y que está contenida en U y, puesto que
K es compacto, se tiene que una colección finita de tales vecindades recubre
K. Notamos entonces V la unión de los conjuntos de esta colección finita y aśı
obtenemos el conjunto V buscado. �
1.3. Espacios localmente convexos y espacios de
Fréchet
La gran mayoŕıa de espacios funcionales, como ciertos espacios de Lebesgue
y de Lorentz o los espacios de funciones generalizadas también llamados espa-
cios de distribuciones o los espacios de Banach que estudiaremos en la Sección
1.4 de este caṕıtulo, son espacios vectoriales topológicos localmente convexos.
Dado que todos estos espacios comparten esta misma estructura, es impor-
tante precisar aqúı algunos resultados y propiedades relativas a los espacios
vectoriales localmente convexos. Recordamos entonces en el primer párrafo a
continuación algunas definiciones generales, mientras que en las Secciones 1.3.2
y 1.3.3 detallamos la estructura de este tipo de espacios.
20 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
1.3.1. Preliminares
Antes de estudiar las nociones de semi-norma y de espacios definidos por una
familia de semi-normas, presentamos aqúı la estructura de base que está dada
por la noción de espacio vectorial topológico.
Definición 1.3.1 (E.v.) Un conjunto E es un espacio vectorial sobre un cuer-
po K si se tienen las siguientes condiciones:
1) E es un grupo conmutativo notado aditivamente (E,+),
2) Se dispone de una multiplicación escalar tal que para todo elemento de
x ∈ E y para todo elemento α ∈ K se le asocia un elemento de E notado
αx. Esta multiplicación escalar verifica:
a) (∀α ∈ K), (∀x, y ∈ E): α(x+ y) = αx+ αy,
b) (∀α, β ∈ K), (∀x ∈ E): (α+ β)x = αx + βx,
c) (∀α, β ∈ K), (∀x ∈ E): (αβ)x = α(βx),
d) (∀x ∈ E): 1x = x en donde 1 es el elemento neutro del cuerpo K.
En todo este libro consideraremos únicamente espacios vectoriales sobre el cuer-
po de los reales R o sobre el cuerpo de los números complejos C, cada uno de
ellos dotado de su estructura topológica usual.
Notación: Escribiremos K para designar R o C cuando las diferencias en-
tre estos dos conjuntos sean irrelevantes para nosotros. El lector está invitado
a verificar que en estos casos se puede intercambiar estos dos conjuntos sin
ningún problema. Reservaremos las letras griegas para designar los elementos
del cuerpo K mientras que las letras latinas representarán los elementos del
espacio E.
El elemento cero de E, es decir el elemento unidad para el grupo abeliano
(E,+), y el número cero serán notados por el mismo śımbolo 0, lo que no causa
mayor inconveniente puesto que 0x = (α − α)x = αx − αx = 0. De la misma
forma, el elemento inverso de un vector x será notado −x.
Los elementos x1, ..., xn de E son linealmente independientes si la ecuación
n∑
i=1
αixi = 0 implica αi = 0 para todo i = 1, ..., n. Estos elementos serán lineal-
mente dependientes si esta ecuación es verificada con al menos un coeficiente
αi diferente de cero.
Un subconjunto A de un espacio vectorial E es un subespacio vectorial si
para todo x, y ∈ A y para todo α, β ∈ K se tiene αx + βy ∈ A. El conjunto A
es entonces un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo de escalares que E.
La compatibilidad entre la estructurade espacio vectorial y la estructura de
espacio topológico está dada por la siguiente definición.
1.3. Espacios localmente convexos y espacios de Fréchet 21
Definición 1.3.2 (E.v.t.) Un espacio vectorial topólogico (E, T ) es un espa-
cio vectorial y al mismo tiempo un espacio topológico tal que las dos aplicaciones
ϕ1 : E × E −→ E y ϕ2 : K× E −→ E
(x, y) 7−→ x+ y (α, x) 7−→ αx,
son continuas. Decimos entonces que las estructuras de espacio vectorial y de
espacio topológico son compatibles.
El espacio vectorial eucĺıdeo Rn dotado de su topoloǵıa usual es un ejemplo
de espacio vectorial topológico. Sin embargo, observamos que la estructura de
e.v.t. depende de la topoloǵıa escogida. En efecto, si E 6= {0} es un e.v., la
topoloǵıa gruesa es una topoloǵıa de espacio vectorial topológico mientras que
la topoloǵıa discreta no lo es: en este caso, si x 6= 0 la aplicación ϕ2 : α 7−→ αx
de K en E no es continua pues {0} es una vecindad del vector 0 ∈ E pero
ϕ−12 (0) = {0} no es una vecindad de 0 en K.
Una consecuencia inmediata de esta definición es que la aplicación traslación
definida para un vector τ ∈ E por
ψτ : x ∈ E 7−→ τ + x ∈ E,
es un homeomorfismo de E sobre E. Se deduce en particular que el conjunto
de abiertos y el conjunto de cerrados en un espacio vectorial topológico son
invariantes por traslación.
1.3.2. Semi-normas
La noción de semi-norma y de espacio semi-normado aparecerán muy rápida-
mente al presentar los espacios de Lebesgue en el Caṕıtulo 4. Como el adjetivo
semi parece indicarlo, las propiedades y estructuras que se obtienen en este
caso no son suficientemente satisfactorias para nuestras necesidades como lo
veremos posteriormente. Es por eso que de ser posible - lo cual no siempre lo
es y esto justifica ampliamente la presentación de este concepto - se tratará de
fortalecer esta noción por medio de argumentos técnicos que explicitaremos a
su debido tiempo.
Definición 1.3.3 (semi-norma) Sea E un K-espacio vectorial y notemos x
un elemento de E. Una semi-norma es una función p : E −→ [0,+∞[ que
verifica las propiedades:
(SN.1) Propiedad homogénea: p(αx) = |α|p(x) para todo α ∈ K,
(SN.2) Desigualdad triangular: p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) para todo x, y ∈ E.
La dupla (E, p) se denomina espacio semi-normado.
De esta definición se deducen inmediatamente las dos propiedades siguientes:
Proposición 1.3.1 Una semi-norma p verifica:
1) p(0) = 0,
2) |p(x)− p(y)| ≤ p(x+ y), en particular p(x) ≥ 0.
22 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Prueba. Tenemos fácilmente p(0x) = 0 p(x) = 0 lo que demuestra el primer
punto. Para el segundo punto, por la desigualdad triangular se tiene p(x) ≤
p(x + y) + p(y) y p(y) ≤ p(x + y) + p(x) lo que nos permite concluir; puesto
que se tiene simultáneamente
p(x)− p(y) ≤ p(x+ y) y p(y)− p(x) ≤ p(x+ y),
lo que nos da |p(x)− p(y)| ≤ p(x+ y). �
Es muy importante observar que para una semi-norma no se tiene la rećıproca
del primer punto de la Proposición 1.3.1 como lo muestra el ejemplo a conti-
nuación. Consideremos pues el espacio C∞([0, 1]) formado por las funciones
reales infinitamente derivables. La linealidad de este espacio está dada por las
operaciones usuales sobre funciones, es decir:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = αf(x), α ∈ R. (1.13)
Definimos una semi-norma sobre este espacio escribiendo, para algún k ≥ 1:
pk(f) = sup
x∈[0,1]
∣
∣
∣f (k)(x)
∣
∣
∣ , (1.14)
en donde f (k)(x) = d
k
dxk
f(x). La verificación de las propiedades (SN.1) y (SN.2)
son sencillas y dejadas al lector. Para mostrar que no se tiene la rećıproca de la
primera propiedad observemos que para todos los polinomios de grado inferior
o igual a k − 1 se tiene pk(f) = 0. Esto implica en particular que una semi-
norma no separa los puntos (en este caso no podemos distinguir dos polinomios
de grado mayor que k) y éste es su principal inconveniente.
Notemos que un espacio semi-normado (E, p) puede ser dotado de una topo-
loǵıa no separada considerando como conjuntos abiertos las semi-bolasBr,p(x) =
{y ∈ E : p(x− y) < r}, no nos demoraremos en este aspecto pues lo que desea-
mos es construir una topoloǵıa separada. Esto será realizado en las ĺıneas a
continuación.
1.3.3. Espacios definidos por familias de semi-normas
En esta sección vamos a considerar una familia de semi-normas que nos
permitirán dotar en ciertos casos de una estructura métrica a los espacios lo-
calmente convexos (Definición 1.3.5). Veremos posteriormente cómo utilizar
todo este formalismo en el marco de los espacios funcionales en los caṕıtulos
siguientes, mientras tanto es necesario definir algunos conceptos importantes.
Definición 1.3.4 Sea (E, p) un espacio semi-normado. Diremos que un sub-
conjunto A de E es
1) convexo, si para todo x, y ∈ A y 0 < α < 1 se tiene αx + (1− α)y ∈ A,
2) equilibrado, si para todo x ∈ A y |α| ≤ 1 se tiene αx ∈ A,
3) absorbente, si para todo x ∈ E existe un α > 0 tal que α−1x ∈ A.
1.3. Espacios localmente convexos y espacios de Fréchet 23
Un ejemplo de conjunto convexo, equilibrado y absorbente está dado por la
semi-bola
Br,p(0) = {x ∈ E : p(x) < r}. (1.15)
En efecto, los puntos 2) y 3) se deducen de la homogeneidad de la semi-norma
p, mientras que el primer punto se deduce fácilmente combinando la desigual-
dad triangular junto con la homogeneidad.
En virtud de la definición de conjunto convexo, no es dif́ıcil percatarse que la
intersección de una familia cualquiera de conjuntos convexos es convexa. Esta
particularidad es una caracteŕıstica muy útil de los conjuntos convexos como
lo veremos muy pronto.
Definición 1.3.5 (E.t.l.c.) Un espacio vectorial topológico (E, T ) es llamado
un espacio vectorial topológico localmente convexo, o más sencillamente un
espacio localmente convexo, si cada uno de sus conjuntos abiertos que contiene
el vector 0 contiene un abierto convexo, equilibrado y absorbente.
En análisis funcional, los espacios localmente convexos son sin duda los ejem-
plos más importantes de espacios vectoriales y tendremos la oportunidad de
presentar muchos ejemplos10 de este tipo de espacios en las ĺıneas a continua-
ción.
Es importante notar que en muchos casos no es posible caracterizar un es-
pacio funcional con una condición caracterizada por una sola semi-norma y es
indispensable considerar una familia infinita de tales semi-normas. Por ejemplo,
no es posible presentar toda la riqueza del espacio C∞([0, 1]) solamente con la
fórmula (1.14) y es interesante ver qué topoloǵıa puede hacer que este espacio
tenga una estructura de espacio localmente convexo.
A partir de una familia de semi-normas vamos a presentar cómo dotar un
espacio vectorial E de una topoloǵıa que hace de este espacio un espacio vecto-
rial topológico localmente convexo. Puesto que estamos interesados en obtener
una topoloǵıa separada necesitaremos el siguiente axioma de separación.
Definición 1.3.6 (Axioma de separación) Sea (pi)i∈I una familia de semi-
normas definidas sobre un K-espacio vectorial E. Diremos que esta familia sa-
tisface el axioma de separación si para todo x 6= 0, existe una semi-norma pij
de la familia (pi)i∈I tal que pij (x) 6= 0.
Empecemos ahora la descripción de esta topoloǵıa. Sean pues E un espacio
vectorial y (pi)i∈I una familia de semi-normas que verifica el axioma de sepa-
ración. Fijemos un sistema finito de semi-normas pi1 , ..., pin y un sistema de n
números positivos ε1, ..., εn. Definimos el conjunto
U = {x ∈ E : pik(x) < εk, k = 1, ..., n}. (1.16)
10El lector podrá verificar sin problema que el espacio eucĺıdeo dotado de su métrica usual
es un espacio vectorial localmente convexo.
24 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Este conjunto U es convexo, equilibrado y absorbente. Definimos este conjunto
como una vecindad del vector 0 de E y definimos una vecindad de cualquier
vector x de E por traslación:
Ox = x+ U = {y ∈ E : y = x+ u, u ∈ U}. (1.17)
Nótese que tanto el conjunto U como el conjunto Ox dependendel sistema de
semi-normas escogido y de los reales fijados.
Diremos que un subconjunto V de E es abierto si para cada punto x de V
existe un sistema finito de semi-normas pi1 , ..., pin y un sistema de n números
positivos ε1, ..., εn tales que Ox ⊂ V .
Proposición 1.3.2 La familia de tales subconjuntos V notada TV define una
topoloǵıa separada sobre el espacio vectorial E.
Prueba. Mostramos primero que el conjunto V0 = {x ∈ E : pi(x) < r} es
abierto. Para ello consideremos un punto x0 ∈ V0 tal que pi(x0) = α < r.
Tenemos entonces que la vecindad de x0 determinada por x0+U con U = {x ∈
E : pi(x) < 2
−1(r − α)} está contenida en V0. Por lo tanto, para todo punto
x0 ∈ E existe un abierto x0+V0 que contiene x0. Es entonces evidente que por
la definición de conjuntos abiertos que la unión de abiertos y la intersección
finita de abiertos es también abierta lo que determina una topoloǵıa sobre E.
Nos queda por demostrar que esta topoloǵıa es separada. Por la definición
(1.17) de vecindad de un punto general, es suficiente estudiar el caso x1 = 0 y
x2 6= 0. Puesto que la familia de semi-normas verifica el axioma de separación,
escogemos una semi-norma pij tal que pij (x2) = α > 0. Entonces, el conjunto
V1 = {x ∈ E : pij (x) < α/2} es abierto y además x1 = 0 ∈ V1. Definimos
V2 = x2 + V1 y debemos verificar que estos dos conjuntos abiertos no tienen
intersección común. Supongamos que existe un punto y ∈ V1 ∩ V2. Si y ∈ V2
entonces y = x2+z para algún z ∈ V1. Tenemos por lo tanto pij (y) ≥ pij (x2)−
pij (z) ≥ α − 2−1α = α/2. Esto contradice la desigualdad pij (y) < α/2 que se
deduce del hecho y ∈ V1, lo que termina la demostración. �
Proposición 1.3.3 Dotado de la topoloǵıa descrita anteriormente, el espacio
(E, TV ) es un espacio vectorial topológico separado y cada semi-norma pi es
una función continua sobre E.
Prueba. Empecemos por la aplicación ϕ1 : (x, y) 7−→ x + y y estudiemos su
continuidad en el punto (x0, y0). Sea i0 ∈ I un ı́ndice y sea V = {z ∈ E :
pi0(z− (x0 + y0)) < r} una vecindad del punto ϕ1(x0, y0) = x0 + y0. Definimos
U = {x ∈ E : pi0(x − x0) < r/2} y W = {y ∈ E : pi0(y − y0) < r/2} dos
vecindades de x0 y y0 respectivamente, entonces para todo x ∈ U y todo y ∈ W
tenemos que ϕ1(x, y) = x+ y ∈ V . En efecto,
pi0((x+ y)− (x0 + y0)) ≤ pi0(x− x0) + pi0(y − y0) < r/2 + r/2 = r;
de donde se deduce la continuidad de la aplicación ϕ1.
Estudiemos ahora la aplicación ϕ2 : (α, x) 7−→ αx en el punto (α0, x0). Simi-
larmente, sea i0 ∈ I un ı́ndice y consideremos V = {z ∈ E : pi0(z −α0x0) < r}
1.3. Espacios localmente convexos y espacios de Fréchet 25
una vecindad del punto ϕ2(α0, x0) = α0x0. Sean U = {α ∈ K : |α− α0| < ε} y
W = {x ∈ E : pi0(x− x0) < δ} dos vecindades de α0 y x0 respectivamente. Si
fijamos δ < r2|α0| y ε <
r
2(pi0 (x0)+δ)
, tenemos para todo α ∈ U y todo x ∈ W
que ϕ2(α, x) = αx ∈ V . En efecto:
pi0(αx − α0x0) ≤ |α− α0|pi0(x) + |α0|pi0(x− x0)
< εpi0(x) + |α0|δ <
r pi0(x)
2(pi0(x0) + δ)
+
r
2
< r,
puesto que pi0(x − x0) < δ implica pi0(x) < pi0(x0) + δ. Deducimos entonces
que la aplicación ϕ2 : (α, x) 7−→ αx es continua.
Finalmente, la continuidad de las semi-normas pi en el punto x0 está dada
por la estimación |pi(x)− pi(x0)| ≤ pi(x− x0) puesto que las vecindades están
justamente definidas por estas semi-normas. �
Se tiene entonces por estas dos proposiciones que el espacio (E, TV ) es un
espacio vectorial topológico localmente convexo separado.
Como vemos, una vez que se dispone de una familia de semi-normas defini-
das sobre un espacio E que verifican el axioma de separación, obtenemos una
topoloǵıa cuyos abiertos son caracterizados por semi-bolas de la forma (1.16) y
(1.17) y podemos ahora caracterizar la continuidad de las funciones utilizando
estas semi-normas.
Definición 1.3.7 Sean (E, (pi)i∈I) y (F, (qj)j∈J ) dos espacios localmente con-
vexos dotados de familias de semi-normas que verifican el axioma de separa-
ción. Si f : E −→ F es una función, diremos que f es continua en el punto
x ∈ E si
(∀qj , j ∈ J)(∀ε > 0)(∃pi, i ∈ I)(∃α > 0)
(∀y ∈ E) pi(y − x) ≤ α =⇒ qj(f(y)− f(x)) ≤ ε.
Demos una definición adicional cuya utilidad aparecerá con el Teorema 1.3.1 y
vamos a ver cómo obtener semi-normas de una manera muy natural.
Definición 1.3.8 (Funcional de Minkowski) 11 Sea E un K-espacio vec-
torial topológico localmente convexo. A todo conjunto B convexo, equilibrado y
absorbente que contiene el elemento cero se le asocia la funcional de Minkowski
pB(x) = ı́nf
λ>0
{λ−1x ∈ B}. (1.18)
Proposición 1.3.4 La funcional de Minkowski es una semi-norma sobre el
espacio E. Además, si notamos B la familia de todos los conjuntos convexos,
equilibrados y absorbentes que contiene el elemento cero y si consideramos la
familia de semi-normas (pB)B∈B entonces la topoloǵıa determinada por esta
familia de semi-normas es separada.
11Hermann Minkowski (1864-1909), matemático alemán.
26 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Prueba. Mostremos que para todo x, y ∈ E se tiene pB(x+y) ≤ pB(x)+pB(y).
Por definición de pB se tiene que
x
pB(x)+ε
, ypB(y)+ε ∈ B para todo ε > 0, luego,
por la convexidad de la semi-bola (1.15), podemos escribir
pB(x) + ε
pB(x) + pB(y) + 2ε
× x
pB(x) + ε
+
pB(y) + ε
pB(x) + pB(y) + 2ε
× y
pB(y) + ε
∈ B,
es decir
x+ y
pB(x) + pB(y) + 2ε
∈ B.
Se tiene entonces la estimación pB(x + y) = ı́nf
λ>0
{λ−1(x + y) ∈ B} ≤ pB(x) +
pB(y) + 2ε para todo ε > 0 lo que implica la subaditividad de la funcional
pB. Sea ahora α ∈ K, dado que la semi-bola B es equilibrada y absorbente se
verifica sin problema la igualdad pB(αx) = |α|pB(x). Conclúımos entonces que
la funcional de Minkowski es una semi-norma sobre E.
Para ver que la topoloǵıa es separada fijemos x 6= 0, existe entonces una
base (ei)i∈I de E tal que para algún i0 se tenga ei0 = x. Definimos entonces el
conjunto A = {y ∈ E : y =∑i∈I |αi|ei} con |αi| < 1. Se verifica sin problema
que este conjunto es convexo, equilibrado y absorbente y por lo tanto A ∈ B
pero x /∈ A. �
Con las Proposiciones 1.3.2, 1.3.3 y 1.3.4 hemos demostrado el teorema a
continuación:
Teorema 1.3.1 Un espacio vectorial E dotado de una topoloǵıa determinada
por una familia de semi-normas (pi)i∈I que satisface el axioma de separación
es un espacio localmente convexo separado en donde cada semi-norma pi es
continua. Rećıprocamente, un espacio vectorial topológico localmente convexo
es un espacio vectorial topológico separado cuya topoloǵıa está determinada por
la familia de semi-normas definidas por la funcional de Minkowski (1.18) de
los conjuntos abiertos, convexos, equilibrados y absorbentes de E.
El hecho de disponer de una estructura de espacio topológico separado a partir
de una familia de semi-normas que satisfacen el axioma de separación es de por
śı un hecho interesante; pero no es suficiente para nuestros fines.
Para dotar estos espacios de una métrica necesitaremos una restricción adi-
cional sobre la familia de semi-normas (pi)i∈I explicitada por la proposición
siguiente.
Proposición 1.3.5 Sea (E, (pi)i∈I) un espacio vectorial topológico localmente
convexo separado. Las dos propiedades siguientes son equivalentes:
1) El espacio E es metrizable,
2) La topoloǵıa de E puede ser definida por una familia numerable de semi-
normas.
Rogamos al lector ver una demostración de este hecho en [5] o [35].
Esta propiedad nos proporciona de forma natural la siguiente definición.
1.3. Espacios localmente convexos y espacios de Fréchet 27
Definición 1.3.9 (E.l.c.m.) Un espacio vectorial localmente convexo metri-
zable es un espacio vectorial localmente convexo E dotado de una familia nu-
merable de semi-normas (pk)k∈N que satisfacen el axioma de separación. Si
además este espacio está dotado de una distancia d, diremos que esta distancia
es invariante por traslación si para todo x, y, z ∈ E se tiene
d(x+ z, y + z) = d(x, y). (1.19)
Nótese que esta condición es equivalente a d(x− y, 0) = d(x, y).
Esta definición no nos indica