Apunte Límites y Continuidad

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Unidad de Aprendizaje N° 1: Límite y continuidad de funciones de una variable real. 
Aprendizajes Esperados 
Resuelve problemas de límites y comportamiento gráfico a partir de la teoría de límites y el empleo de 
sus teoremas, integrando diversas variables, a través de soluciones de ejercicios y problemas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guía N°1 de trabajo en Aula 
 
Tema: Límite de funciones de una variable real. 
Docente: 
 
Luis Orellana 
Objetivo: 
• Calcula límites, aplicando teoremas y propiedades que permitan salvar 
las indeterminaciones. 
• Interpreta gráficamente el cálculo algebraico de una función en un punto. 
• Asocia asíntotas verticales, horizontales y oblicuas , de funciones en 
forma analítica y comprueba su respuesta dibujando la curva y sus 
asíntotas. 
• Determina continuidad de una función en un punto y/o en un intervalo 
 
Material específico Calculadora; Software Graficador 
 ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN 
 Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II 
 Código: EEMA01 
 2 
 
Límites de funciones: 
NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE. 
Situación 1. Considera un resorte colgado por uno de sus extremos en una barra y con un peso p en el 
otro extremo. Se sabe que el resorte se rompe si el peso p es igual o mayor que 5 kilos. Supongamos 
que deseamos determinar la longitud máxima l que se estira el resorte sin romperse. Para resolver esta 
cuestión realizaremos el experimento de cambiar el peso p colocado en el extremo libre del resorte de 
manera creciente y medir la longitud l que se estira con cada peso, como se observa en la figura. 
 
Cuando el peso colocado en el resorte se acerca a los 5 kilos, tendremos que colocar pesos cada vez más 
pequeños para no llegar al máximo de los 5 kilos y que no se rompa el resorte. Registrando las 
longitudes sucesivas del resorte, debemos de poder determinar la longitud máxima L a la cual se 
aproxima l cuando el peso p se aproxima a su valor máximo de 5 kilos. Simbólicamente escribimos: 
l → L, cuando p → 5 
Situación 2. Considera la función   2 1f x x  , ¿Qué ocurre con  f x cuando x se acerca a 3? 
Recuerda: 
 Acercarse a un valor, esto se hace desde la izquierda y desde derecha, es decir: 
 
 Desde la izquierda desde la derecha 
 
 
 ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN 
 Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II 
 Código: EEMA01 
 3 
 
 
 
Si los valores que toma la variable “x”, se 
acercan a 3 por la derecha, se observa que los 
valores de “f(x)” se acercan a 7. Del mismo 
modo si “x” se acerca a 3 por la izquierda, los 
valores de “f(x)” se acercan también a 7. 
 
La respuesta a la pregunta es: f(x) se acerca a 7 
cuando x se acerca a 3. Esto se expresa diciendo 
que el límite de f(x) es 7 cuando x se acerca a 3 
 
 
 
 
Lo anterior se refuerza con la siguiente tabla de valores para la función   2 1f x x  
 
Situación 3 Se tiene la función  
2 3 2
2
x x
f x
x
 


 ¿A qué valor se aproxima  f x : 
a) cuando x e acerca a 3 (completa las tablas, usa calculadora) 
X se acerca a 3 desde la izquierda 
X 2,80 2,88 2,91 2,92 2.93 2,94 2,95 2,98 2,99 
f(x) 
 
 
X se acerca a 3 desde la derecha 
X 3,01 3,02 3,03 3,04 3.05 3,06 3,07 3,08 3,1 
f(x) 
 
X 0 1 2 2,5 2,6 2,8 2,9 2,95 2,99
f(x) 1 3 5 6 6,2 6,6 6,8 6,9 6,98
X se acerca a 3 desde la izquierda 
X 3,01 3,05 3,1 3,2 3,4 3,8 4 5 6
f(x) 7,02 7,1 7,2 7,4 7,8 8,6 9 11 13
X se acerca a 3 desde la derecha
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 Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II 
 Código: EEMA01 
 4 
 
Podemos observar que f(x) se aproxima a 2 desde la izquierda y desde la derecha, lo que se expresa 
diciendo que el límite de f(x) es 2 cuando x se acerca a 3. Sin embargo este resultado se puede obtener 
reemplazando directamente en la función el valor al cual se acerca x, es decir, para x=3 tenemos 
 
 
 
2
2
3 2
2
3 3 3 2 2
3 2
3 2 1
x x
f x
x
f ( )
 


  
  

 
b) Cuando x se acerca a 2 (completa las tablas, usa calculadora) 
 
X se acerca a 2 desde la izquierda 
X 1,8 1,81 1,85 1,87 1,89 1,93 1,95 1,97 1,99 
f(x) 
 
 
X se acerca a 2 desde la derecha 
X 2,01 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,1 
f(x) 
 
Podemos observar que f(x) se aproxima a 1 desde la izquierda y desde la derecha, lo que se expresa 
diciendo: que el límite de f(x) es 1 cuando x se acerca a 2 
Lo anterior se puede expresar diciendo: 
“El límite de la función f(x) es 1 cuando x tiende a 2”. 
También podemos escribir 1 x 2f ( x ) ,cuando  (Se lee: f(x) tiende a 1 cuando x tiende a 2). 
2
1
x
lim f ( x )

 (esto se lee: “El límite cuando x tiende a 2 de f(x) es 1) 
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Pero si queremos reemplazar el valor de x directamente en la función (como el caso anterior), esto no es 
posible, no podemos obtener un valor para f(x) cuando x = 2, la función no está definida para el valor 2, 
observa: 
  
2 23 2 2 3 2 2 0
2 2
2 2 2 0
x x
f x f ( ) f ( )
x
    
    
 
 
El resultado 
0
0
 se conoce como indeterminado, para salvar la indeterminación en expresiones 
racionales aplicaremos teoremas de límites de funciones junto con algebra básica. 
 
Recuerda los siguientes teoremas: 
 1) 
0x x
Si lim f ( x )

 , entonces  es único 
 2) 
0
0 0,
x x
lim x x x

   
 3) 
0
0,
x x
lim k k k , x

     
 4)  
0 0
0
x x x x
lim k f ( x ) k lim f ( x ) con k
 
    
 5)  
0 0 0x x x x x x
lim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x )
  
     
      
 siempre y cuando no aparezca la 
indeterminación  -  
 6)  
0 0 0x x x x x x
lim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x )
  
     
      
 siempre y cuando no aparezca la 
indeterminación 0   
 7) 0
0
0
x x
x x
x x
lim f ( x )
f ( x )
lim
g( x ) lim g( x )



 
 
 
siempre y cuando no aparezca la indeterminación 
0
o
0


 
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 8)  
0 0
n
n
x x x x
lim f ( x ) lim f ( x ) con n 0
 
 
   
 siempre y cuando tenga sentido las potencias 
que aparecen 
 9) 
n n
x a x a
lim f ( x ) lim f ( x )
 
 siempre y cuando tenga sentido las potencias que aparecen 
 10)  
x x
0
0 0
lim g( x )
g( x )
x x x x
lim f ( x ) lim f ( x )

 
    
 siempre y cuando tenga sentido las potencias que 
aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos 0 0, 0 o 1 
 11) 
0 0x x x x
lim f ( x ) lim f ( x )
 
 
Límites de las funciones trigonométricas y sus inversas. 
Si y = f(x) representa a una función trigonométrica o a una función trigonométrica inversa, con las 
restricciones adecuadas se verifica: 
0
0
x x
lim f ( x ) f ( x )

 
Recuerde que el dominio de las funciones senx y cos x es todo , el dominio de tanx y secx es 
n / n
2
 
    
 
 el dominio de cot x y csc x es  n / n   
A partir de las gráficas de las funciones trigonométricas podemos deducir que ellas son continuas en 
todo su dominio, de manera que si x0 pertenece al dominio de la función correspondiente, entonces 
se tiene: 
0
0
x x
lim senx sen x

 
0
0
x x
lim cosx cos x

 
0
0
x x
lim tanx tan x

 
0
0
x x
lim cotx cot x

 
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 7 
 
0
0
x x
lim secx sec x

 
0
0
x x
lim cscx csc x

 
 
Por otra parte, si x0 no pertenece al dominio de la función entonces el límite no existe. 
Como una aplicación de lo anterior tenemos, por ejemplo, que 
0
x
lim sen x sen 

   
4
2
4x
lim cos x cos



  
3
3
3x
lim tan x tan



  
6
3
6x
lim cot x cot



  
4
2
4x
lim s ec x sec



  3
2
3
1
2x
lim csc x csc
 
   
 
Por otra parte, 
2
x
lim tan x


 no existe (vea la gráfica de y = tan x) pero sí podemos decir que 
2 2
x x
lim tan x y lim tan x
 
 
 
   
También tenemos que: 
x x
lim csc x y lim csc x
  
   
Teorema: 
0
1
x
sen x
lim
x
 
 
 
 
 
 
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 Límites de las funciones logarítmicas y exponenciales. 
 Función logarítmica y su inversa 
 
 La función logarítmica, nació del estudio de la relación entre las progresiones aritmética y geométrica, 
durante el siglo XVII fue analizada a partir de la serie obtenida por la integración de: 
1
1 x
 
John Wallis, Isaac Newton, Gottfried Leibniz y Jean Bernoulli mostraron que la función logarítmica es 
la inversa de la función exponencial. Ya en el año de 1742 el matemático William Jones (1675--1749) 
había dado una sistemática descripción en estos términos. 
Euler definió las dos funciones así: 
 
1
1 1
n
x n
n n
x
e lim y log x lim n x
n 
  
     
   
 
Esto fue presentado así en el libro Introduction in Analysis Infinitorum publicado en1748. 
 
 
-2
-1
0
1
2
-4 -2 2 4x
y = ex 
y = lnx 
y = x 
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De las gráficas de estas funciones podemos deducir que ellas son continuas en todo su dominio, de 
manera que si x0 pertenece al dominio de la función correspondiente, entonces se tiene: 
 
0
0
0
0
x x
xx
x x
lim ln x ln x
lim e e




 y en general: 
0
0
0
0a a
x x
xx
x x
lim log x log x
lim a a




 
Basado en lo anterior tenemos: 
Teorema Si y = f(x) representa a una función logarítmica o a una función exponencial, con las 
restricciones adecuadas se verifica: 
0
0
x x
lim f ( x ) f ( x )

 . 
Otros dos teoremas importantes son: 
Teorema: 
0
1x
x
a
lim ln a
x

 
Teorema: 
0
1
x
ln( a x ) ln a
lim
x a
 
 
Para encontrar el valor de un límite es necesario tener presente: 
a) Evaluar el límite en su valor de tendencia, si es posible encontrar un resultado, de ser así, este es 
el valor del límite 
b) Si al evaluar el límite se obtiene alguna de las formas indeterminadas como: 
0 00 ; ; 0 ; - ; 1 ; 0 ; 
0
    

entonces debemos aplicar el siguiente teorema: 
Teorema: Si f y g son dos funciones definidas en un intervalo abierto que contiene a 0x y si 
f ( x ) g( x ) en la vecindad de x0 excepto en x = 0x 
 
0x x
Si lim f ( x )

 
0x x
entonces lim g( x )

 
En otras palabras, lo que está diciendo el teorema es que no importa lo que pase en 0x , si las 
funciones coinciden para valores cercanos a 0x los límites indicados son iguales. 
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 Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II 
 Código: EEMA01 
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Propiedades de los límites al infinito 
 
1. Si k es una constante entonces lim
 

x
k k y. lim


x
k k 
2. Si n es un número natural par entonces lim

n
x
x y lim

n
x
x 
3. Si n es un número natural impar entonces lim

n
x
x y lim

n
x
x 
4. Si m es un número natural par entonces lim

m
x
x 
5. Si m es un número natural impar entonces lim

m
x
x y lim

m
x
x 
6. Si k es un número racional positivo y r es un número real arbitrario entonces lim 0


kx
r
x
 y 
lim 0


kx
r
x
 siempre que x k esté definido. 
 
Todo lo referente a las propiedades de los límites vistas anteriormente es válido si escribimos 
+  o -  en lugar de x0. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente. 
Límites al infinito de funciones polinomiales 
El procedimiento usado es bastante general y podemos deducir de él las dos reglas siguientes. 
Regla 1: Si tenemos un polinomio p(x) = an x
n + an-1 x 
n-1 + ··· + a1 x + a0 (con an diferente de 0) 
entonces 
 n n-1 nn n-1 1 0 nlim a x + a x + ··· + a x + a = lim a x 
 x x
 
 
y también 
 
 n n-1 nn n-1 1 0 nlim a x + a x + ··· + a x + a = lim a x 
 x x
 
 
Regla 2: Si tenemos dos polinomios p(x) = an x
n + an-1 x
n-1 + ··· + a1x + a0 (con an distinto de 0) y q(x) 
= bm x
m + bm-1 x
m-1 + ··· + b1x + b0 (con bm distinto de 0) entonces 
 ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN 
 Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II 
 Código: EEMA01 
 11 
 
 
n n-1 n
n n-1 1 0 n
n n-1 n
n n-1 1 0 n
a x + a x + ··· + a x + a a x
lim = lim 
 x + b x + ··· + b x + b x x xb b
 
y además 
 
n n-1 n
n n-1 1 0 n
n n-1 n
n n-1 1 0 n
a x + a x + ··· + a x + a a x
lim = lim 
 x + b x + ··· + b x + b x x xb b
 
 
Simplemente lo que dicen las dos reglas anteriores es que al calcular los límites al infinito de un 
polinomio basta considerar solo el término de mayor grado. Del mismo modo, al calcular los 
límites al infinito de un cociente de polinomios basta considerar solamente el cociente de los 
términos de mayorgrado de ambos polinomios. 
Ejercicios resueltos: 
 
1) 
2
21
7 4 11
lim ?
5 2 3x
x x
x x
 

 
 
 
Solución: Evaluando nuestro límite, tenemos: 
2 2
2 21
7 4 11 7(1) 4(1) 11 0
lim
5 2 3 5(1) 2(1) 3 0x
x x
x x
   
 
   
; En este caso tenemos un límite de la forma 
0
0
, 
debemos buscar un “arreglo” para la función utilizando: factorización, simplificación y trabajo 
algebraico. Es decir: 
Sabemos que 
2
2
( 1)7 4 11
5 2 3
xx x
x x
 

 
(7 11)
( 1)
x
x


7 11
5 3(5 3)
x
xx



 
Siempre que x sea distinto de 
3
5
 
De esta manera, según el teorema visto en el punto b) 
 
2
21 1
7 4 11 7 11 7 1 11 18 9
lim lim
5 2 3 5 3 5 1 3 8 4x x
x x x
x x x 
    
   
    
 
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2) 
3 2
24
3 3 4
lim ?
4x
x x x
x x
  


 
Solución: 
Tenemos un límite de la forma 
0
0
, luego arreglamos: 
3 2 2 2
2
3 3 4 ( 4)( 1) 1
4 ( 4)
x x x x x x x x
x x x x x
       
 
 
 
3 2 2 2
24 4
3 3 4 1 4 4 1 21
lim lim
4 4 4x x
x x x x x
x x x 
      
  

 
Luego: 
3 2
24
3 3 4 21
lim
4 4x
x x x
x x
  


 
3) 
2
3 5 1
lim ?
2x
x x
x
  


 
Solución: 
Tenemos un límite de la forma 
0
0
, luego arreglamos: 
   
 
2 2
3 5 1 3 5 1 3 5 1
2 2 3 5 1
3 5 1
( 2) 3 5 1
x x x x x x
x x x x
x x
x x x
        
 
    
  

   
 
 
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 13 
 
 
 
 
3 5 1
( 2) 3 5 1
2 4
( 2) 3 5 1
2( 2)
( 2) 3 5 1
2
3 5 1
x x
x x x
x
x x x
x
x x x
x x
  

   


   


   

  
 
 
 
2 2
3 5 1 2
lim lim
2 3 5 1
2
3(2) 5 (2) 1
2
1
1 1
x x
x x
x x x 
  

   

  
 

 
4) 
2
31
1
lim ?
1x
x
x



 
Solución: 
Tenemos un límite de la forma 
0
0
, luego arreglamos: 
2
3 2 2
1 ( 1)( 1) ( 1)
1 ( 1)( 1) ( 1)
x x x x
x x x x x x
   
 
     
 
2
3 2 21 1
1 1 1 1 2 2
lim lim
1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 3x x
x x
x x x 
     
   
        
 
Luego 
2
31
1 2
lim
1 3x
x
x
 


 
5) 
364
8
lim ?
4x
x
x



 
Solución: 
 ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN 
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 14 
 
  
  
 
 
 
 
6 3 6 23
2 2 23
22 2 2 2
;
2 2 4 2 4 2 2 2 48
lim lim lim lim 3
4 2 2 2 2 2u u u u
u x x u u x x u
u u u u uu
u u u u   
     
       
   
    
 
Luego 
364
8
lim 3
4x
x
x



 
6) 
 0
lim ?
x
x
sen x
 
 0
0
lim
0x
x
sen x
 ; es una indeterminación 
Solución: 
     0 0
0
1 1
lim lim 1
lim
x x
x
x
sen x sen xsen x
x x
 

   
0
( )
 aplica propiedad: lim 1
x
sen x
se
x
 
 
 
 
 Luego 
 0
lim 1
x
x
sen x
 
7) 
 
0
5
lim ?
2x
sen x
x
 
Solución: 
0 0 0
(5 ) 5 (5 ) 5 ( ) 5
lim lim lim
2 2 5 2 2x x y
sen x sen x sen y
x x y  
     Luego 
0
(5 ) 5
lim
2 2x
sen x
x
 
8) 
0
( )
lim ?
x
tg x
x
 
Solución: 
0 0 0 0
0 0 0
( )
( ) 0 ( ) ( ) 1cos( )
lim lim lim lim
0 cos( )
( ) 1 ( ) 1
lim lim lim 1
cos( ) cos( )
x x x x
x x x
sen x
tg x tg x sen xx
x x x x x
sen x sen x
x x x x
   
  
    
   
 
Luego 
0
( )
lim 1
x
tg x
x
 
 
 ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN 
 Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II 
 Código: EEMA01 
 15 
 
9) 
0
(3 )
lim ?
(2 )x
x sen x
x sen x



 
Solución: 
0
0
(3 ) (3 ) (3 )1 1 3 1 3
(3 ) 0 (3 ) 3 3lim ( )
(5 )(5 ) (5 )(5 ) 0 (5 )
1 51 1 5
55
(3 )
1 3
1 3 2 13lim
(5 ) 1 5 6 3
1 5
5
x
x
sen x sen x sen xx x
x sen x x sen x x x xf x
sen xsen x sen xx sen x x sen x
x x
xx x
sen x
x
sen x
x


   
               
     
    
   

 
    


 
 Luego 
0
(3 ) 1
lim
(5 ) 3x
x sen x
x sen x

 

 
 
10) 
( ) ( )
lim ?
x a
sen x sen a
x a



 
 
Solución:
2 cos 2 cos
( ) ( ) 2 2 2 2
lim lim lim cos( )
1
2 2
2 2
x a x a x a
x a x a x a x a
sen sen
sen x sen a
a
x a x ax a  
          
                  
     
   
    
 
 Se aplica 
 
 Luego 
( ) ( )
lim cos( )
x a
sen x sen a
a
x a



 
 
 
 
 
 ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN 
 Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II 
 Código: EEMA01 
 16 
 
Ejercicios propuestos. 
1. 
22
1
lim
1x
x
x



 R: 
1
3 2. 
2
22
4
lim
5 6x
x
x x


 
 R: 
1
2 
 
3. 
2
21
3 2
lim
4 3x
x x
x x
 
 
 R: 
1
2 4. 20
2
lim
4x
x
x


 R: 
1
2 
 
5. 
20
2
lim
2x
x
x


 R: 0 6. 
3
4 12
lim
3x
x
x



 R: 4 
 
7. 
3
1
1
lim
1x
x
x



 R: 3 8. 
2
22
4
lim
3 2x
x
x x


 
 R: 4 
 
9. 
2
25
11 30
lim
2 35x
x x
x x
 

 
 R: 
1
12 10. 
2
22
5 13 6
lim
4 9 2x
x x
x x
 

 
 R: 1 
 
11. 
0
lim
1 1x
x
x

 
 R: 2 12. 
2
0
1 1
lim
x
x
x
 
 R: 
 
13. 
3
3
lim
4 13x
x
x


 
 R: -8 14. 
0
5
lim
1 1x
x
x

 
 R: 10 
15. 
0
4 2
lim
9 3x
x
x
 

 
 R: 
3
2 16. 
2
1
1 1
lim
1x
x x
x
  


 R: 
1
2 
17. 
3 2
3 2
8 4 6
lim
2 3 3x
x x x
x x
 

 
 R: 4 18. 
3 2
3 2
4 5 6
lim
6 2x
x x
x x x
 

  
 R: 
2
3 
19. 
4 2
2
5
4 45
lim
5x
x x
x
 


 R: 14 20. 
3 2
5
3
21 38 29 40
lim
3 5y
y y y
y
  


 R: 
232
9 
21. 
  
   
2 2
2
3
4 4 9
lim
2 3x
x x x
x x
  

 
 R: 6 22. 
22
2
lim
4x
x
x



 R: 0 
23. 
1
lim 1 3x
x
 
  
 
 R: 2 24. 
1
lim 5t
t
e

 
  
 
 R: 6 
 ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN 
 Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II 
 Código: EEMA01 
 17 
 
25. lim 2x
x
 R: 0 26. 
1
0
2
lim
x
x
x
e
e


 R: 0 
27.  
cos
0
lim 1 sen
ecx
x
x

  R: e 28. 
3
lim 1
x
x x
 
  
 R: 4e 
29. 
2
23
9
lim
6x
x
x x


 
 R: 
5
6
 30. 
1
2
1
lim
1
x
x
x
x


 
 
 
 R: 0 
 
31. 
0
lim 1 2x
x
x

  R: 
2e
1
 32.  2
1
lim ln 2
x
x x x

  R: -2 
33.  
1
0
lim 1 senx
x
tgx

  R: e-1 34.  
2
0
lim 1 3 x
x
x

  R: e-6 
35. 
2
2
2
1
lim
2
x
x
x
x
 
 
 
 R: e3 36. 
1
0
1
1
senx
x
tgx
lim
senx
 
 
 
 R: 1 
37. lim
x
x
x a
x a
 
 
 
 R: e2a 38. 
2
2
4 5
lim
2 5 1x
x x
x x
 

 
 R: 
1
2
 
39. 
2
4
3
lim
3x
x x
x x x
 

 
 R: 0 40. 
0
lim
3x
tgx senx
sen x

 R:
1
2
 
41. lim sec
x
x x

 R: - 42. 
0
2
lim
3x
sen x
sen x
 R: 
2
3
 
 
 
 
 
 
 
 ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN 
 Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II 
 Código: EEMA01 
 18 
 
 
Asíntotas de funciones de una variable real 
Uno de los temas más interesantes del estudio del análisis de funciones, es la representación de 
funciones de una variable. Y entre los cálculos que se entienden necesario para recopilar datos 
suficientes para la representación se encuentra el cálculo de las asíntotas de la función 
 Definición 
Se denomina asíntota de la gráfica de una función, a una recta a la que se aproxima 
continuamente la gráfica de tal función; es decir que la distancia entre las dos tiende a cero, a 
medida que se extienden indefinidamente. 
 
Existen tres tipos de asíntotas: Vertical; Horizontal y Oblicuas, como se muestran en las gráficas 
anteriores 
 
Cálculo de asíntotas: 
 
1) Asíntota Vertical. Una recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función y f ( x ) si 
Se cumple alguno de los siguientes postulados. 
 
 
 ó 
x a x a
lim f ( x ) lim f ( x )
  
   
 
 
 ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN 
 Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II 
 Código: EEMA01 
 19 
 
 
2) Asíntota Horizontal. Una recta y b es una asíntota horizontal de la gráfica de la función 
y f ( x ) si 
Se cumple alguno de los siguientes postulados. 
 
 
 ó 
x x
lim f ( x ) b lim f ( x ) b
 
 
 
 
Ejemplo1. Encontrar las asíntotas vertical y horizontal de la gráfica 
2
1
x
f ( x )
x


 
Solución: 
 En general, las asíntotas verticales de una función son los puntos donde el denominador es 
cero, y en esta función es en el punto x = 1. Entonces: 
 
1
2 2 1 2
1 1 1 0x
x
lim
x

   
 
 
 
 luego en x = 1 tenemos asíntota vertical 
 
 
 
Asíntota Horizontal. 
 
1
1
2 2 2
2
11 1 0
1
 x
x x
x
x
lim lim
x
x
 
  
 

 
 luego en y = 2 tenemos asíntota horizontal 
 
 
 
 
 
http://www.google.es/imgres?imgurl=http://us.cdn3.123rf.com/168nwm/bruno1998/bruno19981007/bruno1998100700022/7420065-ilustracion-animada-de-una-cara-feliz-con-manos-y-piernas-mostrando-un-signo-de-pulgar-arriba.jpg&imgrefurl=http://es.123rf.com/imagenes-de-archivo/cara_sonriente.html&h=168&w=168&tbnid=VJ6mi3eUbz3rvM:&zoom=1&docid=ctldrWo9j1_LFM&ei=oEuBU_v9H8ShogTkx4HgCQ&tbm=isch&ved=0CC0QMyglMCU4yAE&iact=rc&uact=3&dur=210261&page=15&start=237&ndsp=19
 ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN 
 Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II 
 Código: EEMA01 
 20 
 
 
Ejemplo 2. Encontrar las asíntotas vertical y horizontal de la gráfica 
2
8
4
f ( x )
x


 
 Solución: 
 
a) Asíntota Vertical. 
 
Veamos para que valores el denominador es cero. 
 
2 24 0 4 4 2 x x x x         
 
 Entonces en 2 2 y x x   tenemos posibles asíntotas verticales, aplicando definición 
tenemos: 
Para 2 x  tenemos. 
 
2 22
8 8 8
4 2 4 0x
lim
x
   
 
 
 
Para 2 x   tenemos. 
 
2 22
8 8 8
4 2 4 0x
lim
x ( )
   
  
 
 
 
luego en 2 x  tenemos 
 asíntota vertical 
 
 
 
luego en 2 x   tenemos 
asíntota vertical 
 
 
 
 
 
 
 
b) Asíntota Horizontal. 
 
Debemos analizar que ocurre cuando la variable se va al 
infinito, luego 
 
2 2
8 8 8
0
4 4x
lim
x ( )
  
   
 luego en 0 x  
tenemos 
 asíntota horizontal 
 
 
 
 
2
8
4
f ( x )
x


 
 ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN 
 Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II 
 Código: EEMA01 
 21 
 
3) Asíntota Oblicua. 
La recta de ecuación y = mx + b(m ≠ 0) será una asíntota oblicua si: 
   0
x
lim f ( x ) ( mx b )

   Los valores de m y de b se calculan con las 
 fórmulas: ; 
 
 Si el grado del numerador de una función racional difiere del grado del denominador en 1, la 
 gráfica tiene una Asíntota Oblicua o Inclinada 
 
Ejercicios resueltos 
Ejemplo 1 Hallar la asíntota oblicua a la gráfica de la función 
22
3
x
f ( x )
x


 
Solución: Debemos encontrar los valores de m y b, aplicando definición se tiene: 
2
2
2
12
2 1
2
2 2 23 2
33 1 0
1
x
x x x
x
x
xxlim lim lim
x x x
x
  
    
 

; luego m=2 
Por otro lado. 
2 2 2 2 1
1
2 2 2 3 2 2 6 6 6 6
2 6
33 3 3 3 1 0
1
x
x x x x x
x
x x x( x ) x x x x
lim x lim lim lim lim
x x x x
x
    
        
        
      
 
Luego b=-6 
De donde la ecuación de la asíntota será 2 6y x  , como se muestra en la gráfica siguiente 
 
 
http://www.google.es/imgres?imgurl=http://us.cdn3.123rf.com/168nwm/bruno1998/bruno19981007/bruno1998100700022/7420065-ilustracion-animada-de-una-cara-feliz-con-manos-y-piernas-mostrando-un-signo-de-pulgar-arriba.jpg&imgrefurl=http://es.123rf.com/imagenes-de-archivo/cara_sonriente.html&h=168&w=168&tbnid=VJ6mi3eUbz3rvM:&zoom=1&docid=ctldrWo9j1_LFM&ei=oEuBU_v9H8ShogTkx4HgCQ&tbm=isch&ved=0CC0QMyglMCU4yAE&iact=rc&uact=3&dur=210261&page=15&start=237&ndsp=19
 ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN 
 Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II 
 Código: EEMA01 
 22 
 
 
Ejemplo 2. Hallar la asíntota oblicua a la gráfica de la función 
2 2 2
1
x x
f ( x )
x
 


 
Solución: Buscamos m y b, aplicando definición: 
2
2
2
12 2
2 1
2 2 2 2
1
2 2 1 0 01 1
1 1 0
1
x
x x x
x
x x
x xx x xlim lim lim
x x x
x
  
 
 
       
 

 entonces m=1 
Luego. 
2 2 2 1
1
2
1
2 2 2 2 2 1 0
1 1
11 1 1 1 0
1
x
x x x x
x
x x x x x x x xlim x lim lim lim
x x x
x
   
 
            
                   
 
de donde. 1b   La ecuación de la asíntota oblicua es 1y x  , como se muestra en la gráfica 
22
3
x
f ( x )
x


 
2 6y x  
 ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN 
 Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II 
 Código: EEMA01 
 23 
 
 
 
 
 Ejercicios propuestos 
Determinar las asíntotas de las siguientes funciones: 
1) 
23 2
2
x x
f ( x )
x



 2)
2
4 2
2
x
f ( x )
x x



 3)
3
1
x
f ( x )
x


 4)
2 1x
f ( x )
x

 5)
2 1
3
x
f ( x )
x



 
 
6) 
2
2
2 3
1
x
f ( x )
x



 7) 
2
4
4
x
f ( x )
x


 8) 
2 5
2 4
x
f ( x )
x



 9) 
2
2
x
f ( x )
x x


 10) 
2
2
1
1
( x )
f ( x )
x



 
 
 
 
 
2 2 2
1
x x
f ( x )
x
 


 
1y x  
http://www.google.es/imgres?imgurl=http://us.cdn3.123rf.com/168nwm/bruno1998/bruno19981007/bruno1998100700022/7420065-ilustracion-animada-de-una-cara-feliz-con-manos-y-piernas-mostrando-un-signo-de-pulgar-arriba.jpg&imgrefurl=http://es.123rf.com/imagenes-de-archivo/cara_sonriente.html&h=168&w=168&tbnid=VJ6mi3eUbz3rvM:&zoom=1&docid=ctldrWo9j1_LFM&ei=oEuBU_v9H8ShogTkx4HgCQ&tbm=isch&ved=0CC0QMyglMCU4yAE&iact=rc&uact=3&dur=210261&page=15&start=237&ndsp=19
 ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN 
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 Código: EEMA01 
 24 
 
 
Soluciones. 
Ejercicio Asíntotas Verticales Asíntotas Horizontales Asíntotas Oblicuas 
1 2x  No Tiene 3 8y x  
2 0x  ; 2x  0y  No Tiene 
3 1x  No Tiene No Tiene 
4 0x  No Tiene y x 
5 3x  No Tiene 3y x  
6 No Tiene 2y  No Tiene 
7 2x   ; 2x  0y  No Tiene 
8 2x  No Tiene 
1
2
1y x  
9 1x   ; En 0x  No Tiene 1y  No Tiene 
10 No Tiene 2y  No Tiene 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.google.es/imgres?imgurl=http://us.cdn3.123rf.com/168nwm/bruno1998/bruno19981007/bruno1998100700022/7420065-ilustracion-animada-de-una-cara-feliz-con-manos-y-piernas-mostrando-un-signo-de-pulgar-arriba.jpg&imgrefurl=http://es.123rf.com/imagenes-de-archivo/cara_sonriente.html&h=168&w=168&tbnid=VJ6mi3eUbz3rvM:&zoom=1&docid=ctldrWo9j1_LFM&ei=oEuBU_v9H8ShogTkx4HgCQ&tbm=isch&ved=0CC0QMyglMCU4yAE&iact=rc&uact=3&dur=210261&page=15&start=237&ndsp=19
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 Código: EEMA01 
 25 
 
 
Continuidad de Funciones de una Variable Real. 
Observa las siguientes gráficas: 
 
 
1) 
 
f ( a ) no está 
definida, sin 
embargo 
x a
lim f ( x ) L

 , si 
existe 
 
 
2) 
 
f ( a ) está definida, 
sin embargo 
x a
lim f ( x )

no existe, 
 
 
3) 
 
El 
x a
lim f ( x ) L

 , si 
existe, f ( a ) está 
definida, sin 
embargo 
x a
lim f ( x ) f ( a )

 
 
 
4) 
 
f ( a ) está definida, y 
existe el 
x a
lim f ( x ) L

 
y además ambos son 
iguales. 
 
x a
lim f ( x ) f ( a )

 
 
Podemos darnos cuenta que en las tres primeras gráficas la función no es continua, sin embargo la 
gráfica 4 representa una función continua. 
 
Se dice que una función es continua si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel 
 
 
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 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejercicios resueltos 
Ejemplo 1. Considere la función 
2 2
2
x x
f ( x )
x
 


, estudiar la continuidad en: 3x  y 2x  
Solución. 
Para 3x  tenemos. 
1) ¿Existe 3f ( )? Evaluando 
23 3 2 4
3 4
3 2 1
f ( )
 
  

, vemos que está definido y su valor es 4 
 
2) ¿Existe él 
3x
lim f ( x )

? Debemos calcular el límite 
2
3
2
2x
x x
lim
x
 

 
2 2
3
2 3 3 2 4
4
2 3 2 1x
x x
lim
x
   
  
 
, de donde 
3
4
x
lim f ( x )

 
Definición 
Una función f ( x )es continua en un punto x a de su dominio si y solo si cumple las siguientes 
tres condiciones 
1) Existe f ( a ); f ( x )está definida para x a 
2) Existe el 
x a
lim f ( x )

 
3) Entonces 
x a
lim f ( x ) f ( a )

 
 Si una de las condiciones anteriores no se cumple, diremos que la función es discontinua 
 
http://www.google.es/imgres?imgurl=http://us.cdn3.123rf.com/168nwm/bruno1998/bruno19981007/bruno1998100700022/7420065-ilustracion-animada-de-una-cara-feliz-con-manos-y-piernas-mostrando-un-signo-de-pulgar-arriba.jpg&imgrefurl=http://es.123rf.com/imagenes-de-archivo/cara_sonriente.html&h=168&w=168&tbnid=VJ6mi3eUbz3rvM:&zoom=1&docid=ctldrWo9j1_LFM&ei=oEuBU_v9H8ShogTkx4HgCQ&tbm=isch&ved=0CC0QMyglMCU4yAE&iact=rc&uact=3&dur=210261&page=15&start=237&ndsp=19
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 27 
 
3) Tenemos que 3 4f ( )  y 
3
4
x
lim f ( x )

 , luego 
3
3
x
f ( ) lim f ( x )

 , luego se cumple la tercera 
condición, por lo que la función es continua en 3x  
 Para 2x  tenemos. 
1) ¿Existe 2f ( )? Evaluando 
22 2 2 0
2
2 2 0
f ( )
 
 

, esto es indeterminado, luego 2f ( ) no existe 
Como no cumple con el punto 1 de la definición, entonces la función es discontinua en 2x  
Ejemplo 2. Considere la siguiente función: 
2 2 3
1
x x
f ( x ) x
  

 


 si x 1
3 si x=1
 
estudiar la continuidad en 1x  
 
Solución: Aplicando definición. 
 
1) ¿Existe 1f ( ) ? Si 1 3f ( )  (cumple la primera condición) 
2) ¿Existe él 
1x
lim f ( x )

? Debemos calcular el límite 
2
1 1 1
2 3 1 3
3 4
1 1x x x
x x ( x )( x )
lim lim lim( x )
x x  
   
   
 
, Existe el límite (cumple con la 
segunda condición) 
3) De lo anterior se tiene que 1 3f ( )  y 
1
4
x
lim f ( x )

 , luego 
1
1
x
f ( ) lim f ( x )

 ( no se 
cumple la tercera condición), por lo que f ( x ) es discontinua en 1x  . 
 
Este tipo de discontinuidad se llama Evitable o Reparable, ya que podemos redefinir la 
función de la siguiente manera. 
 
2 2 3
1
x x
g( x ) x
  

 


 si x 1
4 si x=1
 Tomando 1 4f ( )  se cumple la tercera condición 
 
http://www.google.es/imgres?imgurl=http://us.cdn3.123rf.com/168nwm/bruno1998/bruno19981007/bruno1998100700022/7420065-ilustracion-animada-de-una-cara-feliz-con-manos-y-piernas-mostrando-un-signo-de-pulgar-arriba.jpg&imgrefurl=http://es.123rf.com/imagenes-de-archivo/cara_sonriente.html&h=168&w=168&tbnid=VJ6mi3eUbz3rvM:&zoom=1&docid=ctldrWo9j1_LFM&ei=oEuBU_v9H8ShogTkx4HgCQ&tbm=isch&ved=0CC0QMyglMCU4yAE&iact=rc&uact=3&dur=210261&page=15&start=237&ndsp=19ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN 
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 28 
 
1
1 4
x
f ( ) lim f ( x )

  , por lo que f ( x ) es continua en 1x  
Ejemplo 3 Sea la función definida por partes 
3
2x+2 si -3 x -1
h( x )
2x-1 si 0 x
 
 
 
 
¿ Es la función h( x ) continua en todo su dominio? 
Solución: 
 
En este caso el dominio de la función está formado por la unión de dos intervalos [-3, -1]∪[0, 3], no hay 
un valor que corte este dominio. La función está compuesta por dos segmentos de recta y las rectas son 
continuas en su dominio (ver gráfica más abajo). Por lo tanto la función h( x ) es continua en todo su 
dominio. 
 
 
Luego: 
Definición: Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es para todos los valores de 
  x a,b , es decir para todos los valores del intervalo. Una función es continua en un 
intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y además, 
x a x a
lim f ( x ) f ( a ) lim f ( x ) f ( b )
  
  y 
Es decir, es continua por la derecha en a, y continua por la izquierda en b. 
2 2y x  
2 1y x  
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 29 
 
 
Ejercicios Propuestos. 
Estudiar la continuidad de las siguientes funciones 
1. 
1
f ( x )
x
 
2. 
2
2
2 3
4 3
x x
f ( x )
x x
 

 
 
3. 
2
2
3 2
4 4
x x
f ( x )
x x
 

 
 
4. 
29
1
x si x 1
f ( x ) 
x si x >1
  
 

 
5. 
2
2
3 1
2
x +2 si x<-3
f ( x ) x si -3 x<1 
2x si x>1


  


 
6. 
1
2
3
2
x+2 si -2 x<0
f ( x ) x si 0 x<3 
x si 3<x<5
 


   



 
7. Calcula el valor del parámetro a para que la función sea continua 
 
 
2x +ax si x 1
f ( x ) 
ln x si x>1
 
 

 
8. Calcula los valores del a y b para que la función sea continua 
 
2 1
1
x-1 si x<-1
f ( x ) x ax b si -1 x 
x si x>1


    
 
 
 
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 30 
 
Respuesta ejercicios propuestos. 
1) Discontinua en x=0 no evitable de salto infinito 
2) Para x=1 presenta discontinuidad evitable ya que existe el límite 
Para x=3 presenta discontinuidad no evitable de salto infinito 
3) Discontinua en x=2 no evitable de salto infinito 
4) Discontinua en x=1 no evitable de salto finito 
 
5) Para x=1 presenta discontinuidad evitable ya que existe el límite 
Para x=-3 presenta discontinuidad no evitable de salto finito 
6) Para x=0 presenta discontinuidad no evitable de salto finito 
Para x=3 la función es continua 
7) 1a   
8) 2a ; b=-1 
 
Bibliografía 
 
Cálculo Trascendentes Tempranas. James Stewart 
Cuarta edición. THOMSON LEARNING 
ISBN 970-686-127-0 
Cálculo 1 de una variable. Ron Larson 
Novena edición McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. 
 ISBN 978-607-15-0273-5