Clase2_Conjuntos

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Teoría de Conjuntos
Aceptaremos la existencia de dos tipos de entes matemáticos, que no definiremos (conceptos primitivos) a saber:
Conjuntos (familias, grupos, equipos, etc.). Serán designados por letras mayúsculas como A, B, C, etc.
 Elementos (integrantes, componentes, etc.). Serán designados por letras minúsculas como, a, b, x, y, etc.
Asimismo, aceptaremos, sin definición, la existencia de una relación entre elementos y conjuntos. Llamaremos pertenencia a esta relación y la denotaremos por el signo Є 
Así, la proposición x Є A se leerá como “el elemento x pertenece al conjunto A”
Análogamente, x Є A se leerá como “el elemento x no pertenece al conjunto A”
Georg Cantor (1845-1918)
Teoría de Conjuntos
Ejemplo:
Si V es el conjunto de las letras vocales, entonces 
a Є V se leerá como: “a pertenece a V” y es una proposición verdadera.
 se leerá como: “x no pertenece a V” y es una proposición verdadera
Un conjunto está bien definido si se conocen todos sus elementos o más precisamente si dado un elemento, puede determinarse si pertenece o no al conjunto.
Usaremos dos métodos para definir conjuntos:
Extensión: En este método se entrega un listado de los elementos que pertenecen al conjunto, entre paréntesis de llave:
Ejemplo: V= { a, e, i, o, u }
2. Comprensión: En este método se enuncian las condiciones que cumplen los elementos del conjunto y solo estos.
Ejemplo: V= { x / x es una letra vocal del abecedario español}
 Nota: En este contexto leeremos el signo / como “tal que” 
Dos conjunto importantes
Consideraremos la existencia de los siguientes conjuntos:
Conjunto Universal ó Universo: Contiene todos los elementos del contexto referencial. Lo designaremos por U.
Notar que la proposición x Є U es tautología, mientras que es contradicción
Conjunto vacío: No contiene elementos. Lo designaremos por { } o por Ф
Notar que la proposición x Є Ф es Contradicción, mientras que es Tautología 
Teoría de Conjuntos
Diagrama de Venn: Permite graficar la pertenencia o no pertenencia de un elemento a un conjunto.
 Notar que b, x, u Є A, pero 
Teoría de Conjuntos
 Proposiciones Abiertas y Cuantificadores
Un enunciado como x+2 =5 , no posee valor de verdad, porque este depende del valor que se dé a x. Por esto, x+2= 5 no es una proposición legítima y se denomina “proposición abierta”
A partir de proposiciones abiertas, pueden construirse proposiciones legítimas, usando cuantificadores. Estos son:
Cuantificador Universal : Se designa por
Cuantificador Existencial: Se designa por
Cuantificador Existencial único : Se designa por 
Teoría de Conjuntos
Ejemplo: Si consideramos el conjunto { 1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 
La proposición:
 x Є B, x+2=5 se lee: “Para todo x perteneciente a B se cumple x+2=5” 
(Falso) 
La proposición: 
 x Є B, x+2=5 se lee: “Existe al menos un x perteneciente a B, tal que x+2=5” 
(Verdadero)
La proposición: 
 x Є B, x+2=5 se lee: “Existe un único x perteneciente a B, tal que x+2=5” 
(Verdadero)
Teoría de Conjuntos
Negación de Cuantificadores: Sea B un conjunto cualquiera y p(x) una proposición abierta. Entonces:
(a) ~ [ x Є B, p(x) ]  x Є B, ~ p(x) 
(b) ~ [ x Є B, p(x) ]  x Є B, ~ p(x)
Ejemplo: Si U= {x/ x es habitante de Chile} y p(x) = x es analfabeto, entonces:
a) La proposición: x Є U, p(x) significa que todo habitante de Chile es analfabeto.
La negación de esta proposición es: ~ [ x Є U, p(x) ]  x Є U, ~ p(x) y 
significa que “existe al menos un habitante de Chile que no es analfabeto” 
Teoría de Conjuntos
b) La proposición: x Є U, p(x) significa que existe al menos un habitante de Chile que es analfabeto.
La negación de esta proposición es: ~ [ x Є U, p(x) ]  x Є U, ~ p(x) y 
significa que “todos los habitantes de Chile cumplen con no ser analfabetos” 
Teoría de Conjuntos
Subconjuntos
Consideremos dos conjuntos cualquiera A y B
Diremos que A es un subconjunto de B (lo denotaremos A C B) si y solo si:
 (x Є A) => (x Є B)
Ejemplo: 
U= {1,2,3,4,5,6,7,8,.......10} A= {1,3,5}, B= {1,2,3,4,5,6}
Entonces A es subconjunto de B y escribimos A C B 
Diagrama de Venn:
Teoría de Conjuntos
Algunas propiedades de Subconjuntos
Sean X , Y, Z conjuntos cualquiera, entonces: 
X C U 
X C X
Φ C X
(X C Y ^ Y C Z) => X C Z
Notar que el concepto de subconjunto se relaciona estrechamente con el concepto de implicación
Teoría de Conjuntos
Complemento
Sean A un conjunto cualquiera y U el Universo.
Definiremos el complemento de A (lo denotamos Ac) como el conjunto:
Ac = { x Є U / x Є A }
 
Diagrama de Venn: 
Teoría de Conjuntos
(A c)c = A 
Uc = Φ
Φc = U 
(A C B) => (Bc C Ac ) 
Algunas Propiedades del Complemento
Notar que el concepto de complemento de un conjunto, se relaciona estrechamente con el concepto de negación
Teoría de Conjuntos
Igualdad de conjuntos.
Dos conjuntos son iguales si poseen los mismos elementos. Podemos establecer una definición operativa de la igualdad, usando el concepto de subconjunto.
En efecto, estableceremos que: 
Ejemplo de aplicación: Demostrar que (Ac)c = A 
Solución: Sea x Є (Ac)c  x Є Ac  x Є A 
Como se tiene equivalencia (o doble implicación) en todos los pasos, se tiene que: 
 [(Ac)c C A ] ^ [A C (Ac)c ]
Finalmente, de lo anterior se concluye que: (Ac)c = A
A=B  (A C B) ^ (B C A)
Teoría de Conjuntos
Unión de conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos cualquiera. Definiremos la unión de A y B (denotada AUB) como el conjunto siguiente: 
Algunas propiedades de la Unión
A U B = B U A
(A U B) U C = A U (B U C )
A U U = U A U φ = A
 A C ( A U B) B C ( A U B)
AUB = { xЄ U / x Є A v x Є B }
Diagrama de Venn: 
Notar que el concepto de Unión está estrechamente relacionado con el ó lógico
Teoría de Conjuntos
Intersección de conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos cualquiera. Definiremos la intersección de A y B (denotada A B) como el conjunto siguiente: 
Algunas propiedades de la Intersección
A B = B A
(A B) C = A (B C )
A U = A A φ = φ 
 (A B) C A (A B) C B
( A B)c = Ac U Bc
(A U B)c = Ac Bc
A B = { x Є U / x Є A x Є B }
Diagrama de Venn: 
Notar que el concepto de Intersección está estrechamente relacionado con el y lógico
Leyes de De Morgan
Teoría de Conjuntos
Unión e Intersección generalizadas
Consideremos una familia de conjuntos {A1, A2, A3, ... An} 
Recordando la asociatividad de la Unión y la Intersección (propiedad 4) podemos definir una generalización de estas operaciones, de la siguiente forma:
Unión generalizada de n conjuntos
Intersección generalizada de n conjuntos
Leyes de De Morgan generalizadas 
Teoría de Conjuntos
Diferencia de conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos cualquiera. Definiremos la diferencia entre A y B (denotada A- B) como el conjunto siguiente: 
Algunas propiedades de la diferencia
A - B = B - A
(A - B) = A Bc
A-B = { xЄ U / x Є A ^ x Є B }
Diagrama de Venn: 
Teoría de Conjuntos
Diferencia simétrica de conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos cualquiera. Definiremos la diferencia simétrica entre A y B (denotada A Δ B) como el conjunto siguiente: 
Algunas propiedades de la diferencia simétrica
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) = (A - B) U (B – A)
(A Δ B) = (A U B) – ( A B) 
A Δ B = { xЄ U / (x Є A ^ x Є B) v (x Є B ^ x Є A) }
Diagrama de Venn: 
Teoría de Conjuntos
Aprovechando la definición de diferencia simétrica, definimos un nuevo conectivo lógico: ó exclusivo (excluyente), que denotaremos por V
La tabla de verdad que define este conectivo es la siguiente:
Dos equivalenciasimportantes:
pVq  (p V q) ^ ~ ( p ^ q)
 pVq  ~ (p  q) 
Notar que la diferencia simétrica puede definirse mediante este conectivo. En efecto: A Δ B 0 { x/ x Є A V x Є b }
Teoría de Conjuntos
Cardinalidad de conjuntos finitos
Sea A un conjunto finito. Llamaremos cardinal de A (lo denotamos # A ) al número de sus elementos. 
Algunas propiedades de la cardinalidad
# φ = 0
A C B => #A ≤ #B
#( AUB) = #A + #B - # (A B)
Ejemplo: S = { x / x es un día de la semana} => #A= 7 
Observación: Georg Cantor extendió el concepto de cardinalidad para conjuntos infinitos y denotó el cardinal del conjunto de números naturales mediante el símbolo (aleph cero) 
N= { 1,2,3,.........} => #N = 
Teoría de Conjuntos
Conjunto Potencia
Sea un conjunto finito. Llamaremos Conjunto Potencia o de las partes de A (lo denotamos P (A) ) a la familia de todos los subconjuntos de A, vale decir: 
Ejemplo 1: Si A = { a,b, c } entonces,
P(A) = { X / X C A } 
P(A) ={φ, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a, c}, {b, c} , A } 
Ejemplo 2: Si B = {φ , {φ }} entonces,
P(b) ={φ, {φ}, {{φ}}, B } 
Observación: #A = n => # P(A) = 2n
Teoría de Conjuntos
Ejercicio 1: Demostrar (A B)c = Ac U Bc
Solución (Método de pertenencia)
Consideremos x Є (A B)c  x Є (A B) (Def. de Complemento )
  ~ [x Є { y/ y Є A ^ y Є B }] (Def. de Intersección) 
  ~ (x Є A) v ~(x Є B) (Ley de De Morgan) 
  x Є Ac v x Є Bc (Def. de Complemento)
  x Є ( Ac U Bc ) (Def . de Unión) 
Notar que, como en cada paso se usó el conectivo , se ha demostrado que:
[x Є (A B)c => x Є ( Ac U Bc )] ^ [x Є ( Ac U Bc ) => x Є (A B)c ] es decir:
 [(A B)c C ( Ac U Bc )] ^ [ (Ac U Bc ) C [(A B)c ] 
Y, por definición de igualdad de conjuntos, se concluye (A B)c = ( Ac U Bc ) 
Teoría de Conjuntos
Ejercicio 2:
Solución: 
Teoría de Conjuntos
/ De Morgan
/ Hipótesis
Teoría de Conjuntos
Ejercicio 3
Teoría de Conjuntos
Diagrama de Venn
Las letras a,b,c,d,e,f,g,h representan la cardinalidad de cada conjunto. Aplicando a este diagrama las condiciones iniciales, se obtienen las siguientes ecuaciones: 
Solución: Hacemos diagrama de Venn de las preferencias descritas y asignamos nombre a cada área definida (a,b,c, etc) 
Teoría de Conjuntos
i)	a=5
ii) 	a+d+e+g=38
iii) 	a+c+d+h= 9
iv) 	d= 3
v) 	e=20
vi) 	a+b+e+h=72
vii) 	h=1
viii) 	b+c+f+h=61
Del sistema de ecuaciones anterior se obtienen los valores de la incógnitas que permiten responder las 5 preguntas planteadas 
Teoría de Conjuntos