Clase_5_Logatirmos_V2

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Matemáticas I
Clase 5: Logaritmos
Marzo de 2021
Apunte de Curso: Págs. 47 a 53
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Agenda
Objetivos de la clase
Concepto de logaritmo
Reglas de los logaritmos
Cambio de base
Crecimiento del logaritmo
Ecuaciones exponenciales
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
� Conocer aspectos generales sobre logaritmos: concepto y reglas.
� Resolver ecuaciones exponenciales.
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Concepto de logaritmo
Previa
� ¿A qué número debemos elevar 10 para obtener 100?
Resp.: la cantidad que buscamos es 2, ya que
102 = 100.
� ¿A qué número debemos elevar 10 para obtener 0,001?
Resp.: ya que
0, 001 =
1
1,000
=
1
103
= 10−3,
para obtener 0, 001 debemos elevar 10 a la cantidad −3:
10−3 = 0, 001.
� ¿A qué número debemos elevar 10 para obtener 5?
Resp.: no lo podemos determinar directamente!!! Necesitamos una
“calculadora” para obtener un valor aproximado: 0, 69897000433602...:
100,69897000433602... = 5.
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Previa
� ¿A qué número debemos elevar 10 para obtener -100?
Resp.: Las potencias de 10 son todas cantidades positivas:
101 = 10, 102 = 100, 103 = 1,000, etc.
10−1 = 0,1, 10−2 = 0, 01, 10−3 = 0, 001, etc.
Por lo tanto, no existe un exponente tal 10 elevado a ese exponente de
como resultado −100.
� ¿A qué número debemos elevar 10 para obtener 0?
Resp.: Ya que las potencias de 10 son todas cantidades positivas, no
existe un exponente tal 10 elevado a ese exponente de 0.
Note ahora que:
10−1 = 0,1, 10−2 = 0, 01, 10−3 = 0, 001, etc.
� Intuitivamente, uno debeŕıa elevar 10 a “−∞” para obtener 0.
Pero −∞ no es un número... 5
Concepto de logaritmo
� La pregunta general es: dado x > 0,
¿a qué número debemos elevar 10 para obtener “x”?
Logaritmo de x en base 10:
Definimos la cantidad log10(x) ∈ R como aquella que cumple lo siguiente:
10log10(x) = x .
log10(x) ∈ R es el logaritmo de x en base 10.
� Ya que es tan relevante, para simplificar la notación, de hora en
adelante escribimos:
log(x) = log10(x).
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NOTA: extensión a una base cualquiera
� Si la base es b, el “logaritmo en base b de x , que se denota logb(x),
cumple que:
blogb(x) = x .
Ejemplo
Ya que 25 = 32 tenemos que
log2(32) = 5.
Por otro lado, ya que 2−4 = 1
16
, tenemos que
log2
(
1
16
)
= −4.
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Reglas de los logaritmos
Regla del producto
En todo lo que sigue, se asume que la base es 10 y que log(x) denota el
logaritmo de x en esa base.
� Dados x > 0 e y > 0, sabemos que
x = 10log(x) y que y = 10log(y).
Por lo tanto:
x · y = 10log(x) · 10log(y) = 10log(x)+log(y)
Visto de otra manera: el número con que debemos “elevar” 10 para
obtener x · y es (log(x) + log(y)), es decir:
log(x · y) = log(x) + log(y).
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Regla del cociente
� Dados x > 0 e y > 0, sabemos que
x = 10log(x) y que y = 10log(y).
Por lo tanto:
x
y
=
10log(x)
10log(y)
= 10log(x)−log(y).
Visto de otra manera: el número a que debemos elevar 10 para obtener xy
es log(x)− log(y), es decir:
log
(
x
y
)
= log(x)− log(y).
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Regla de la potencia
� Dados x > 0 y α ∈ R,
x = 10log(x) ⇒ xα =
(
10log(x)
)α
= 10log(x)·α
Por lo tanto, el número con que debemos elevar 10 para obtener xα es
α log(x), es decir,
log (xα) = α · log(x).
10
Ejemplos
Ejemplo
� Ya que
√
10 = 10
1
2 , tenemos que
log(
√
10) =
1
2
.
� Ya que 10 = 101, tenemos que
log(10) = 1.
� Ya que 100 = 1, tenemos que
log(1) = 0.
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Ejemplos
Ejemplo
Se tiene que:
�
log(10n) = n y log(10−n) = −n.
�
log
(
1√
10
)
= log
(
1
10
1
2
)
= log
(
10−
1
2
)
= −1
2
.
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Ejemplos
Ejemplo
Se tiene que:
log
(
a2 · bx+1√
ax · b2x−b
)h
= h · log
(
a2 · bx+1√
ax · b2x−b
)
(1)
= h · log
(
a2 · bx+1
a
x
2 · b2x−b
)
(2)
= h · log
(
a2−
x
2 · bx+1−(2x−b)
)
(3)
= h ·
[(
2− x
2
)
log(a) + (1− x + b) · log(b)
]
(4)
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Cambio de base
Cambio de base
� Suponga que b es otra base para logaritmos. En ese caso, por definición,
dado x > 0 se tiene que logb(x) es tal que
x = blogb(x).
� Tomando “log”(base 10) en lo anterior, tenemos que
x = blogb(x)
log
=⇒ log(x) = logb(x) · log(b).
� Despejando logb(x) de lo anterior, se tiene que
logb(x) =
log(x)
log(b)
.
� Es decir, el logaritmo en base b de x se puede obtener si conocemos el
logaritmo en base 10 de x .
� La anterior es la regla de cambio de base.
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Crecimiento del logaritmo
Crecimiento del logaritmo
� Se tiene que:
x < y ⇒ log(x) < log(y).
� Si 0 < x < 1 entonces
log(x) < 0.
� Si x > 1 entonces
log(x) > 0.
� Si x > 10 entonces
log(x) > 1.
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Ecuaciones exponenciales
Ecuaciones exponenciales
� Queremos resolver la siguiente ecuación:
2x+4 = 53x+1.
� Tomando logaritmo a ambos lados, se tiene que
2x+4 = 53x+1
log
=⇒ (x + 4) · Log(2) = (3x + 1) · log(5).
� Por lo tanto
x log(2)−3x log(5) = log(5)−4 log(2) ⇒ x = log(5)− 4 log(2)
log(2)− 3 log(5)
.
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Ejemplo
Queremos determinar x tal que
2x · 53x−1 = 8.
Tomando logaritmo a ambos lados de lo anterior, se tiene que:
2x
53x−1
= 8
log
=⇒ log(2x)− log(53x−1) = log(8).
Por lo tanto:
x log(2)− (3x − 1) log(5) = log(8) ⇒ x = log(8)− log(5)
log(2)− 3 log(5) .
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Complementos y comentarios
� En general, para a > 0 se tiene que
ax = 10log(a)·x .
� Aunque sea obvio, igual notamos lo siguiente (¿por qué?)
log(8)
log(2)
6= log(4).
� En general,
log(x + y) 6= log(x) + log(y).
Sin embargo, notamos que cuando x = 2 e y = 2, se cumple que
log(x + y) = log(x) + log(y)? Problema abierto: ¿para qué otros
valores de x e y se cumple la igualdad recién indicada?
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	Objetivos de la clase
	Concepto de logaritmo
	Reglas de los logaritmos
	Cambio de base
	Crecimiento del logaritmo
	Ecuaciones exponenciales