Clase_11_Sucesiones__1_

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Matemáticas I
Clase 11: Sucesiones y ĺımites (1)
Abril de 2021
Apunte de Curso: Págs. 85 a 90
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Agenda
Objetivos de la clase
Concepto de sucesión
Convergencia de sucesiones (ĺımite)
2
Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
� Conocer el concepto de sucesión de números reales.
� Conocer el concepto de convergencia de una sucesión.
� Conocer el concepto de ĺımite de una sucesión.
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Concepto de sucesión
¿Qué es una sucesión de números reales?
Una sucesiones de números reales es una secuencia “infinita” de
números reales donde se identifica cuál es el primer elemento, cuál es el
segundo elemento, cuál es el tercer elemento, etc.
Por lo tanto, cuando se habla de sucesión se tiene un orden en que van
los números de la secuencia (el primero, el segundo, el tercero, etc.).
� Si una sucesión la representamos por {an} estamos diciendo que
� a1 es el primer elemento
� a2 es el segundo elemento
� a14,135 es el elemento 14.135
� ak es el elemento k
Note que an no da una regla para identificar el valor del término n-ésimo
de la sucesión. En la práctica, uno puede identificar la sucesión a través
de la regla en cuestión.
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Ejemplos
Ejemplo
� Si la sucesión es xn = 8, informa que todos los elementos de la
sucesión son iguales a 8. Esta es una sucesión constante. Aśı,
x1 = 8, x2 = 8, x500,000 = 8, etc .
Ejemplo
Si la sucesión es bn =
1
2n , se tiene que:
� b1, el primer elemento de la sucesión, es igual a
1
2 ,
� b2, el segundo elemento de la sucesión, es igual a
1
4 ,
� b10, el décimo elemento de la sucesión, es igual a
1
210 =
1
1,024 ,
� bk , el elemento k-ésimo de la sucesión, es igual a
1
2k
.
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Suma, producto, cociente de sucesiones
Si uno tiene dos sucesiones, digamos an y bn, entonces es posible
construir nuevas sucesiones a traés de la suma, producto, cociente, etc.,
de las sucesiones originales.
� Por ejemplo, si
an =
1
n
y bn =
n
n + 1
,
entonces la sucesión suma de an con bn es una nueva sucesión
cuyo elemento genérico (elemento n) es dado por
1
n
+
n
n + 1
=
n + 1 + n2
n(n + 1)
.
� El producto y el cociente de las sucesiones an con bn es,
respectivamente, la (nueva) sucesión cuyo elemento genérico es:
1
n
· n
n + 1
=
1
n + 1
y
1
n
n
n+1
=
n + 1
n2
.
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Ejemplo
Ejemplo
Para las sucesiones an =
1
n y bn =
n
2n , se tiene que:
� El elemento “n” de la sucesión an − 7 · bn es:
1
n
− 7 · n
2n
=
2n − 7 n2
n · 2n
.
� El elemento “n” de la sucesión (an)
2 · bn es:
1
n2
· n
2n
=
1
n · 2n
.
� El elemento “n” de la sucesión an√
bn
es:
1
n√
n
2n
=
2
n
2
n3/2
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Convergencia de sucesiones
(ĺımite)
Motivación
¿Por qué son “importantes” las sucesiones?
� Nos ayudan a “formalizar” (comprender, entender) la idea de
aproximación.
Una pregunta muy relevante sobre sucesiones es saber si los valores
(términos) de una sucesión se van “pareciendo” a algún “valor fijo”
en la medida que avanzamos en el orden de los términos.
Es la idea de ir tendiendo, de aproximarse, de acercarse tanto como
queramos...
� La idea de “irse pareciendo a algo” es la idea de la convergencia.
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Ejemplo
Para la sucesión
xn =
n
1 + n
� El primer término es 12 = 0, 5, el segundo es
2
3 = 0, 66666..., el
tercero 34 = 0, 75, · · · , el término 500 es
500
5001 = 0, 995024876.
� Un gráfico con los primero 200 términos de la sucesión es:
Figura 1: Primeros 200 términos de xn =
n
1+n
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1 8
1
5
2
2
2
9
3
6
4
3
5
0
5
7
6
4
7
1
7
8
8
5
9
2
9
9
1
0
6
1
1
3
1
2
0
1
2
7
1
3
4
1
4
1
1
4
8
1
5
5
1
6
2
1
6
9
1
7
6
1
8
3
1
9
0
1
9
7
X_n
9
Ejemplo (continuación)
� Los términos de la sucesión son siempre menor que 1.
� De hecho, la sucesión xn nunca llega a tomar el valor 1. Si llegase
a tomar el valor 1 es porque debe haber algún N tal que
N
1 + N
= 1 ⇒ N = N + 1 ⇒ 1 = 0.
Sin embargo, a pesar de que la sucesión nunca alcanza el valor 1,
en la medida que n aumenta, ocurre que xn =
n
1+n se acerca cada
vez más 1.
En este caso se dice que:
La sucesión xn =
n
1+n es convergente a 1. Otra forma de decir lo
mismo es que el ĺımite de la sucesión xn =
n
1+n cuando n tiende a
infinito es 1, y se escribe
ĺım
n→+∞
xn = 1.
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Formalización
Sostener que una sucesión de reales xn converge a L ∈ R cuando “n” tiende a
infinito corresponde a decir cuando “n” aumenta, entonces a partir de cierto
ı́ndice ocurre que todos los elementos de la sucesión están “cerca” de L, tanto
como queramos. Es decir, que para cualquier nivel de tolerancia ε > 0, habrá
un ı́ndice N (que usualmente depende de la tolerancia) tal que desde alĺı en
adelante, la distancia entre xn y L es menor o igual a ε.
� Escrito de manera formal, sostener que
ĺım
n→+∞
xn = L
quiere decir que para todo ε > 0, existe N ∈ N tal que para todo
n ≥ N se cumple que
|xn − L| ≤ ε.
Por lo tanto, probar que ĺım
n→+∞
xn = L corresponde a probar que dado
cualquier ε > 0 uno es capaz de encontrar el ı́ndice N que cumple lo
anterior.
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Ejemplo 1: importante
Probemos que la sucesión constante xn = b es convergente a “b”.
� Nos damos una tolerancia ε > 0.
� Veamos si existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N se cumple que
|xn − b| ≤ ε.
� Ya que xn = b para cualquier n, ocurre que |xn − b| = 0, por lo que
|xn − b| ≤ ε para todo n, independiente del valor de la tolerancia.
� Por lo tanto, nos podemos dar N = 1 y la “condición” se cumple
desde alĺı en adelante. De esta manera, si xn = b se tiene que
ĺım
n→+∞
xn = b.
Obviamente en este caso ocurre que el valor al que tiende la sucesión
coincide con los términos de la sucesión. Eso, en general, no ocurre:
usualmente los elementos de la sucesión no son iguales al valor del
ĺımite al cuando están tendiendo.
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Ejemplo 2: muy importante
Supongamos que 0 < α < 1 y que xn = α
n. Probemos formalmente que
ĺım
n→+∞
xn = 0.
� Primero, nos damos una tolerancia ε > 0.
� Por la condición de convergencia, se debe cumplir que
|αn − 0| ≤ ε ⇔ αn ≤ ε.
� Tomando log, se tiene que
αn ≤ ε log=⇒ n · log(α) ≤ log(ε).
� Como log(α) < 0, lo anterior implica que
n ≥ log(ε)
log(α)
.
� Escogiendo N como el redondeo de lo anterior, hemos encontrado un
ı́ndice a partir del cual todos los elementos de la sucesión cumplen que
|xn − 0| ≤ ε, es decir,
ĺım
n→+∞
αn = 0.
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Ejemplo 3: muy importante
Supongamos que β > 0 y que xn = n
−β . Probemos formalmente que
ĺım
n→+∞
xn = 0.
� Nos damos una tolerancia ε > 0 arbitraria.
� Por la condición de convergencia, se debe cumplir que
|n−β − 0| ≤ ε ⇔ nβ ≤ ε.
� Lo anterior corresponde a decir que
1
nβ
≤ ε ⇒ nβ ≥ 1
ε
⇒ n ≥
(
1
ε
) 1
β
.
� Escogiendo N como el redondeo de lo anterior, hemos encontrado
un ı́ndice a partir del cual todos los elementos de la sucesión
cumplen que |xn − 0| ≤ ε, es decir, para todo β > 0 se cumple que
ĺım
n→+∞
n−β = 0.
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Intuición sobre lo anterior
� Para la sucesión xn =
(
1
2
)n
se tiene que
� Los primeros términos son
x1 =
1
2
, x2 =
1
4
, x3 =
1
8
, · · · x20 =
1
1,048,576
, · · · .
� Aśı, en la medida que n aumenta, ocurre que xn es cada vez más
pequeño, acercándose a 0 cuando n continua creciendo.
� Para la sucesión xn = n
−1/2 = 1√
n
, la figura a continuación muestra
sus primeros 200 elementos. En la medida que n aumenta, los
términos se acercan a 0.
Figura 2: Primeros 200 términos de xn = n
−1/2 = 1√
n
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 8
1
5
2
2
2
9
3
6
4
3
5
0
5
7
6
4
7
1
7
8
8
5
9
2
9
9
1
0
6
1
1
3
1
2
0
1
2
7
1
3
4
1
4
1
1
4
8
1
5
5
1
6
2
1
6
9
1
7
6
1
8
3
1
9
0
1
9
7
X_n
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Notas sobre lo anterior
� En el Ejemplo 2: ¿qué ocurre si α > 1? Por ejemplo, la sucesión es
xn = 2
n.
� En este caso, los términos son cada vez mayores en la medida que n
aumenta, si haber una barrera superior que los contenga:
x1 = 2, x2 = 4, x3 = 8, · · · , x10 = 1,024, etc.
� De esta manera, cuando α > 1,la sucesión xn = α
n no converge (no
tiene ĺımite).
� Sin que signifique convergencia, por el hecho de que los términos son
cada vez más grandes, sin una barrera superior, uno escribe
cuando α > 1 y xn = α
n se tiene que ĺım
n→+∞
xn = +∞.
� Siguiendo el razonamiento anterior, para la sucesión del Ejemplo 3:
cuando β > 0 y xn = n
β se tiene que ĺım
n→+∞
xn = +∞.
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Śıntesis
� Primero, si xn = α (constante) entonces
ĺım
n→+∞
xn = α.
� Segundo,
ĺım
n→+∞
αn =

1 si α = 1
+∞ si α > 1
0 si 0 < α < 1
.
� Tercero,
ĺım
n→+∞
nα =

1 si α = 0
+∞ si α > 0
0 si α < 0
.
Por ejemplo:
ĺım
n→+∞
n−1︸︷︷︸
= 1
n
= 0, ĺım
n→+∞
(
1√
2
)n
= 0, ĺım
n→+∞
n√
n︸︷︷︸
=n1/2
= +∞
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	Objetivos de la clase
	Concepto de sucesión
	Convergencia de sucesiones (límite)