Clase_12_Sucesiones_2___1_

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Matemáticas I
Clase 12: Sucesiones y ĺımites (2)
Abril de 2021
Apunte de Curso: Págs. 90 a 96
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Agenda
Objetivos de la clase
Propiedades de los ĺımites
Cálculo de ĺımites
Complementos
2
Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
� Conocer las propiedades de los ĺımites.
� Aplicar las propiedades de los ĺımites para el cálculo de ĺımites.
3
Propiedades de los ĺımites
Ĺımite de una suma (resta) de sucesiones
La propiedad establece que si dos sucesiones son convergentes, entonces
la suma de ellas es convergente y, además, que el ĺımite de la suma es la
suma de los ĺımites.
� Más formalmente: suponga que xn e yn son sucesiones convergentes,
de modo que
ĺım
n→+∞
xn = a ∧ ĺım
n→+∞
yn = b,
entonces las sucesiones (xn + yn) y (xn − yn) son convergentes, y se
cumple que
ĺım
n→+∞
(xn ± yn) = ĺım
n→+∞
xn ± ĺım
n→+∞
yn = a ± b.
4
Ĺımite de un producto de sucesiones
La propiedad establece que si dos sucesiones son convergentes, entonces
el producto de ellas es convergente y, además, el ĺımite del producto es el
producto de los ĺımites.
� Más formalmente: suponga que xn e yn son sucesiones convergentes,
de modo que
ĺım
n→+∞
xn = a ∧ ĺım
n→+∞
yn = b,
entonces se tiene que la sucesión xn · yn es convergente y se cumple
que
ĺım
n→+∞
(xn · yn) = ĺım
n→+∞
xn · ĺım
n→+∞
yn = a · b.
5
Ĺımite de un cociente de sucesiones
La propiedad establece que si dos sucesiones son convergentes, entonces
el cociente de ellas es convergente cuando el ĺımite del divisor es
diferente de cero. Además, en el caso indicado, el ĺımite del cociente es
el cociente de los ĺımites.
� Más formalmente: suponga que xn e yn son sucesiones convergentes,
de modo que
ĺım
n→+∞
xn = a ∧ ĺım
n→+∞
yn = b,
con b 6= 0, entonces la sucesión xnyn es convergente y se cumple
ĺım
n→+∞
(
xn
yn
)
=
ĺım
n→+∞
xn
ĺım
n→+∞
yn
=
a
b
.
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Cálculo de ĺımites
Aspectos generales
� Primero, los ĺımites conocidos son
� ĺım
n→+∞
a = a: sucesión constante.
� ĺım
n→+∞
αn = 0 cuando 0 < α < 1.
� ĺım
n→+∞
nβ = 0 cuando β < 0.
� Segundo, si queremos encontrar ĺım
n→+∞
xn, se parte por desarrollar y
ordenar los términos de xn de modo de llegar a sumas, cocientes,
etc., de alguna de las sucesiones conocidas.
� Tercero, una vez desarrollada la expresión de xn, se toma el ĺımite
usando los resultados antes mostrados y las propiedades conocidas.
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� Cuarto, cuando xn =
an
bn
“tiende” a algo de la forma
(i) :
constante
∞
(ii) :
∞
constante
(iii) :
0
constante
(iv) :
constante
0
entonces el resultado del ĺımite es directo:
� Caso (i): la respuesta es 0.
� Caso (ii): la respuesta es ∞: el ĺımite no existe.
� Caso (iii): la respuesta es 0.
� Caso (iv): la respuesta es ∞: el ĺımite no existe.
� Quinto, en general los ĺımites “complicados” son aquellos de
sucesiones que tienen la forma
xn =
an
bn
donde an y bn tienden a cero, o bien ambas tienden a infinito. Son
entonces expresiones de la forma
0
0
o bien
∞
∞
.
Esos casos se tratan de forma individual, no habiendo (por ahora)
una forma general para abordarlos.
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Ejemplo importante: cociente de potencias
Supongamos que
qn = a1n
α1 + · · ·+ aknαk ,
donde a1, · · · ak y α1, · · · , αk son constantes (positivas o negativas).
� Por ejemplo, para
qn = 2−
√
n + 4 n1/3 − 1√
n
tenemos que k = 4 (hay cuatro términos), donde los coeficientes
de los mismos son:
a1 = 2, a2 = −1, a3 = 4, a4 = −1
mientras que los exponentes son
α1 = 0, α2 = 1/2, α2 = 1/3, α4 = −1/2.
� Para lo anterior, note que 2 = 2 n0 y que 1√
n
= n−1/2.
9
� En el caso de qn anterior, la mayor potencia es 1/2, y está
asociada al término −
√
n.
� Llamemos D(qn) al término de qn que tiene la mayor potencia
(ese es el término dominante de qn):
D(qn) = −
√
n.
Para la sucesión con s términos,
rn = b1n
β1 + · · ·+ bsnβs
nos interesa calcular el ĺımite
ĺım
n→+∞
qn
rn
.
Usando propiedades de los ĺımites se puede probar que
ĺım
n→+∞
qn
rn
= ĺım
n→+∞
D(qn)
D(rn)
.
10
Ejemplo
Encontrar
ĺım
n→+∞
2 + 1√
n
n + 1
.
En este caso:
qn = 2−
1√
n
⇒ α1 = 0︸ ︷︷ ︸
2=2·n0
, α2 = 1/2 ⇒ D(qn) = 2
y, además,
rn = n + 1 ⇒ β1 = 1, β2 = 0 ⇒ D(rn) = n.
Luego,
ĺım
n→+∞
2− 1√
n
n + 1
= ĺım
n→+∞
2
n
= 0.
11
Ejemplo
Encontrar
ĺım
n→+∞
2
√
n − 1√
n√
n + 5
.
En este caso:
qn = 2
√
n − 1√
n
⇒ α1 =
1
2
, α2 = −
1
2
⇒ D(qn) = 2
√
n
y, además,
rn =
√
n + 5 ⇒ β1 =
1
2
, β2 = 0 ⇒ D(rn) =
√
n.
Luego,
ĺım
n→+∞
2
√
n − 1√
n√
n + 5
= ĺım
n→+∞
2
√
n√
n
= 2.
12
Ejemplo importante: cocientes de exponenciales
El problema es calcular
ĺım
n→+∞
(
1
3
)n − 2n
1 + 3n
.
� Siguiendo la idea anterior, se define el término dominante del
numerador como aquella potencia de n que tiene la mayor base.
� Si qn =
(
1
3
)n − 2n, entonces la mayor base es 2, y luego
D(qn) = −2n.
� Si rn = 1 + 3
n, entonces la mayor base es 3, y luego D(rn) = 3
n.
� Se tiene entonces que
ĺım
n→+∞
(
1
3
)n − 2n
1 + 3n
= ĺım
n→+∞
−2n
3n
= − ĺım
n→+∞
(
2
3
)n
= 0.
13
Ejemplo
Calcular
ĺım
n→+∞
1− 2−n
3− 4−n
.
En este caso, para qn = 1− 2−n notamos que
qn = 1
n −
(
1
2
)n
⇒ D(qn) = 1n = 1,
y que
rn = 3− 4−n = 3 · 1n −
(
1
4
)n
⇒ D(rn) = 3 · 1n = 3.
Luego,
ĺım
n→+∞
1− 2−n
3− 4−n
= ĺım
n→+∞
(
1
3
)
=
1
3
.
14
Complementos
Resultados complementarios
� Teorema del Sandwich (o de comparación)
Dadas tres sucesiones xn, yn y zn tal que (i) xn ≤ yn ≤ zn y (ii)
ĺım
n→+∞
xn = ĺım
n→+∞
zn = α, entonces
ĺım
n→+∞
yn = α.
� Sucesión nula por acotada
Dadas las sucesiones xn e yn tal que (i) ĺım
n→∞
xn = 0 ( sucesión nula)
y (ii) existe una constante M tal que |yn| ≤ M (sucesión acotada),
entonces
ĺım
n→+∞
xn · yn = 0.
15
Resultados complementarios
� Sucesión creciente y acotada es converge.
Supongamos que xn cumple que (i) xn ≤ xn+1 ( sucesión creciente)
y (ii) existe una constante M tal que xn ≤ M ( sucesión acotada
superiormente), entonces xn es convergente, es decir, existe una
cantidad L tal que
ĺım
n→+∞
xn = L.
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	Objetivos de la clase
	Propiedades de los límites
	Cálculo de límites
	Complementos