Clase_14_Limite_de_funciones__1_

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Matemáticas I
Clase 14: Ĺımite de funciones
Abril de 2022
Agenda
Objetivos de la clase
Ĺımite de funciones
Ĺımites laterales
Aśıntotas (horizontales)
Objetivos de la clase
I Conocer el concepto de ĺımite de funciones
I Conocer algunas propiedades elementales de ĺımite de funciones.
I Conocer el concepto de ĺımites laterales.
I Introducir el concepto de aśıntota horizontal de una función.
Concepto
Ejemplo
I Considere la función f : R ! R tal que f (x) = x2 � 2x .
I Considere una sucesión xn cualquiera tal que
ĺım
n!1
xn = x̄ .
I Defina la sucesión
yn = f (xn) = (xn)
2 � 2 (xn).
I Ya que xn converge a x̄ , la sucesión yn converge a (x̄)2 � 2 x̄ .
I Ya que lo anterior ocurre para cualquier sucesión xn que converge a
x̄ , uno escribe
ĺım
x!x̄
f (x) = (x̄)2 � 2 x̄ .
Definición de ĺımite de función
Dada f : R ! R (puede ser otro dominio), uno escribe
ĺım
x!x̄
f (x) = a
cuando para cualquier sucesión xn tal que ĺım
n!1
xn = x̄ se cumple que
ĺım
n!1
f (xn) = a.
Comentario importante
I Calcular ĺım
x!x̄
f (x) no siempre corresponde a evaluar la función f
en el punto x̄ .
Ejemplo
Dada f : R ! R tal que f (x) = (2+x)
2�4
x , se pide ĺımx!0
f (x). En este caso,
no podemos llegar y evaluar la función en x = 0, pues esa cantidad no
está en el dominio de la función.
¿Cómo se calcula ese ĺımite?
I Primero, desarrollando la expresión de f (x) suponiendo que x 6= 0
se tiene que:
f (x) =
(2 + x)2 � 4
x
=
4 + 4x + x2 � 4
x
=
4x + x2
x
= 4 + x .
I Usando lo anterior,
ĺım
x!0
f (x) = ĺım
x!0
(4 + x) = 4.
Propiedades de ĺımite de funciones
Las propiedades de ĺımite de funciones son análogas a las propiedades
de ĺımite de sucesiones: dadas dos funciones f , g : R ! R tal que
existen los ĺımites
ĺım
x!x̄
f (x) y ĺım
x!x̄
g(x),
entonces se cumple que
I Ĺımite de la suma es la suma de los ĺımites:
ĺım
x!x̄
(f (x) + g(x)) = ĺım
x!x̄
f (x) + ĺım
x!x̄
g(x).
I Ĺımite del producto es el producto de los ĺımites:
ĺım
x!x̄
(f (x) · g(x)) = ĺım
x!x̄
f (x) · ĺım
x!x̄
g(x).
I Si ĺım
x!x̄
g(x) 6= 0, entonces el ĺımite del cociente es el cociente de los
ĺımites:
ĺım
x!x̄
f (x)
g(x)
=
ĺım
x!x̄
f (x)
ĺım
x!x̄
g(x)
.
Concepto
El concepto de ĺımite lateral aplica, mayormente, para funciones definidas
por ramas.
I Recordemos que una función definida por ramas es aquella que tiene
determinada expresión para ciertos puntos del dominio, y tiene otra
expresión para otros puntos del dominio.
Ejemplo
Considere la función f : R ! R tal que
f (x) =
(
ex si x < 0
�x + 4 si x � 0
I La función evaluada en x = �2 es igual a e�2
I La función evaluada en x = 10 es igual a �6
I ¿La función evaluada en x = 0? Resp. Es igual a 4: f (0) = 4.
Figura: Gráfico de f (x)
Ejemplo
Continuación:
I ¿Cuánto vale
ĺım
x!0
f (x)?
Resp. Depende... Si “hacemos tender” x a 0 por la izquierda,
entonces el resultado que se obtiene es 1. Pero si “hacemos tender”
x a 0 por la derecha, entonces el resultado que se obtiene es 4.
I En este caso no existe
ĺım
x!0
f (x)?
ya que el resultado depende de si nos “acercamos” a 0 por la
izquierda (es decir, por valores menores) o si nos acercamos a 0 por
la “derecha” (es decir, por valores mayores).
Ĺımites laterales
Uno escribe
ĺım
x!x̄+
f (x)
cuando el ĺımite de la función se toma considerando que nos acercamos a
x̄ a través de valores mayores. Se llama ĺımite por la derecha (de f (x)
cuando x tiende a x̄+).
Por otro lado, uno escribe
ĺım
x!x̄�
f (x)
cuando el ĺımite de la función se toma considerando que nos acercamos a
x̄ a través de valores menores. Se llama ĺımite por la izquierda. (de
f (x) cuando x tiende a x̄�).
I En el ejemplo anterior:
ĺım
x!0+
f (x) = 4 y ĺım
x!0�
f (x) = 1.
Usando lo anterior, ĺım
x!x̄
f (x) existe cuando existen los ĺımite laterales y,
además, ellos son iguales entre śı.
Idea
Considere la función g : R ! R tal que
g(x) =
5 x2 � 2x
x2 + 1
.
¿Cuánto vale
ĺım
x!+1
g(x)?
Este problema es análogo al problema de calcular el ĺımite de la sucesión
(cociente de potencias)
ĺım
n!+1
5n2 � 2n
n2 + 1
,
cuya respuesta es 5. Es decir, ĺım
x!+1
g(x) = 5.
La recta horizontal al nivel 5 es una aśıntota horizontal por la derecha (ya
que x ! +1) de la función g(x).
I ¿Cómo se interpreta lo anterior? Cuando x es muy grande, la cantidad
5 x2 � 2x
x2 + 1
se aproxima (se parece) a 5, tiende a 5, converge a 5, etc.
Continuación
De manera análoga, dada g : R ! R podemos preguntarnos por
ĺım
x!�1
g(x).
Si ese ĺımite existe, entonces obtenemos la aśıntota por la izquierda.
Ejemplo
I Para f (x) = 2x + 3, ya que ĺım
x!+1
f (x) = +1, ocurre que esa función no
tiene aśıntota horizontal por la derecha (ni tampoco la tiene por la
izquierda).
I Si z(x) = 2�x3x+4 entonces ĺımx!+1 z(x) = �
1
3 , por lo que la recta horizontal a
la “altura” � 13 es la aśıntota horizontal de la función z(x).
I Lo anterior corresponde a decir que cuando x es muy grande, entonces el
cociente 2�x3x+4 es parecido a �
1
3 . Visto de otra manera, cuando x es “muy
grande”, entonces 2� x es “parecido” a � 13 veces 3x + 4.