Clase_15_Continuidad__1_

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Matemáticas I
Clase 15: Continuidad
Abril de 2022
Agenda
Objetivos de la clase
Concepto de función continua
Complementos
Objetivos de la clase
I Conocer el concepto de función continua.
I Conocer que la suma, producto, cociente y composición de funciones
continuas es una función continua.
I Identificar de manera gráfica cuándo una función es continua.
I Usar ĺımites laterales para determinar la continuidad de una función.
Motivación
I x es la variable de “entrada”.
I f (x) es el resultado que se obtiene con la entrada x .
I Si x es “muy cercano” a x̄ , ¿acaso debe ser cierto que f (x) es “muy
cercano” a f (x̄)?
Por ejemplo, si estudiando 10 horas a la semana obtengo un 7 en la
prueba, ¿es cierto entonces que estudiando, por ejemplo, 9,9 horas
obtengo una nota que es “cercana” a 7?
Respuesta. No necesariamente... ¿Por qué? Porque tal vez la materia de
la prueba fue justo aquella que no estudié en la 0,1 horas que dejé de
estudiar.
En este ejemplo, la función nota (que depende de las horas de estudio)
no es continua.
Función continua
Idea de la continuidad: si x es “cercano” a x̄ entonces las imágenes f (x)
y f (x̄) son “cercanas”. Es decir, cuando x “tiende” a x̄ entonces f (x)
“tiende” a f (x̄).
Definición
Dado A ✓ R (en particular A = R), una función f : A ! R es continua
en un punto x̄ 2 A cuando
ĺım
x!x̄
f (x) = f (x̄).
Nota. Si f es continua en todos los puntos de A, entones se dice que f
es continua en A.
¿Cuáles son funciones continuas?
I En general, desde un punto de vista gráfico son aquellas que se
pueden graficar sin levantar el lápiz de donde se esté
escribiendo.
I En la práctica: son prácticamente todas las funciones conocidas
y que usualmente se usan en este curso:
f (x) = ax , f (x) = xb, f (x) = log(x), f (x) = ln(x).
Incluso más:
Proposición
Dadas dos funciones f : A ! R y g : A ! R continuas en su dominio, se
tiene entonces que la suma, producto, cociente (donde este definido) y
la composición de ellas es una función continua en los correspondientes
dominios.
Por otro lado, si existe f �1, es continua cuando f lo es.
Ejemplos
Ejemplo
La función f : R+ ! R tal que f (x) =
p
x es continua en todo su
dominio. Luego, para cualquier x̄ 2 R+ se cumple que
ĺım
x!x̄
p
x =
p
x̄ .
Ejemplo
La función f : R ! R tal que (polinomio de grado k)
f (x) = a0 + a1x + a2x
2
+ · · ·+ akxk
es continua en todo su dominio. Luego, para cualquier x0 2 R se cumple
que
ĺım
x!x0
f (x) = a0 + a1x0 + a2x
2
0 + · · ·+ akxk0 .
En particular, las funciones lineales (caso k = 1) y cuadráticas (caso
k = 2) son continuas en todo el dominio.
Ejemplos
Ejemplo
La función h(x) = log(x � 1), cuyo dominio es ]1,+1[, es continua en
todos los puntos de su dominio, ya que es la composición de
g(x) = log(x), que es continua, con f (x) = x � 1, que también es
continua:
h(x) = (g � f )(x) = g(f (x)).
Ejemplo
La función z(x) = 1x�2 , cuyo dominio es R \ {2} (todos los reales salvo el
dos), es continua en todos los puntos de su dominio: es el cociente
de la función constante (1) y de la función que a x asocia x � 2, ambas
continuas.
En este caso, NO SE PUEDE DECIR que z(x) no es continua en
x = 2, porque ese punto no está en el dominio de la función.
¿Cuándo una función no es continua?
Es muy claro desde un punto de vista geométrico: los gráficos de
funciones continuas no tienen “saltos” y/o “hoyos”.
Figura: Funciones continuas y no continuas
Saltos y hoyos como ĺımites laterales
Figura: Funciones que no son continuas
En la figura anterior: para la función f se tiene que f (x0) = a y, además,
ĺım
x!x�0
f (x) = y1 ĺım
x!x+0
f (x) = a (= f (x0)).
Para la función g se tiene que g(x0) = b y, además,
ĺım
x!x�0
g(x) = y2 ĺım
x!x+0
g(x) = y3.
Caracterización de continuidad con ĺımites laterales
I Lo siguiente aplica, usualmente, cuando queremos analizar la
continuidad de funciones que son definidas por ramas.
La función f : A ! R es continua en x0 cuando existen los ĺımites
laterales y se cumple que
ĺım
x!x�0
f (x) = ĺım
x!x+0
f (x) = f (x0).
Figura:
I ĺım
x!x�0
f (x) 6= ĺım
x!x+0
f (x): f no es continua (aunque ĺım
x!x+0
f (x) = f (x0))
I ĺım
x!x�0
g(x) 6= ĺım
x!x+0
g(x): g no es continua (además, ningún ĺımite lateral
es g(x0))
I ĺım
x!x�0
h(x) = ĺım
x!x+0
h(x), pero ambos son diferentes de h(x0): h no es
continua
I j(x) es continua en todo su dominio.
Teorema del valor intermedio
La siguiente figura es ilustrativa.
Figura: “y” es valor intermedio entre f (x1) y f (x2)
Teorema
Dada f : R ! R continua en R, sean x1, x2 2 R tales f (x1) < f (x2).
Entonces para todo y tal que f (x1) < y < f (x2) existe x̄ tal que
y = f (x̄).
Teorema de Weierstrass
La siguiente figura ilustra el caso.
Figura: Función continua en intervalo [a, b] tiene máximo y ḿınimo
[ ]
Teorema
Sea f : [a, b] ! R una función continua. Entonces existen x̄1 2 [a, b] y
x̄2 2 [a, b] tales que para todo x 2 [a, b] se cumple que
f (x1)  f (x) y f (x2) � f (x),
es decir, la función alcanza su máximo y su ḿınimo en el intervalo.