Clase_16_Derivadas_1___1_

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Matemáticas I
Clase 16: Derivadas (1)
Mayo 2022
Agenda
Objetivos de la clase
Derivada de función
Complemento: derivada como cambio marginal
Objetivos de la clase
I Conocer el concepto de función derivable en un punto y de derivable
en un conjunto, y conocer la función derivada.
I Interpretar la derivada y conocer cuando un gráfico representa una
función que es derivable (y no derivable).
I Vamos a dejar para la próxima clase la derivada de la función
potencia y exponencial
Intuición
Vamos a partir al revés de lo usual.
I Dada f : R ! R (puede ser otro dominio), y dado x̄ en el dominio,
sabemos que el punto
(x̄ , f (x̄))
es un punto del gráfico de f .
I Si la función es continua en x̄ , entonces la curva no tiene ni hoyos ni
saltos en ese punto.
I Sin embargo, puede ocurrir que a pesar de ser continua en ese punto, la
curva no sea “suave”.
Intuición
I ¿Qué significa ser “suave”? Significa que no tiene quiebres, que no tiene
puntas, etc.
I En definitiva, la idea de suavidad corresponde a que por el punto
(x̄ , f (x̄)) del gráfico se puede construir una “pequeña tangente” al gráfico
de la función (tangente local al gráfico de la función).
I El hecho de que lo anterior es posible es porque se puede determinar la
pendiente de esa “pequeña recta tangente”.
Derivada de una función
Sobre la base de lo anterior, una función f : R ! R es derivable en un
punto x̄ del dominio si es posible construir una única tangente local al
gráfico de la función por el punto (x̄ , f (x̄)).
I La pendiente de esa tangente (local) es la derivada de la función
en x̄ .
¿Cómo calcular la pendiente de la tangente (es decir, la derivada)?
Calculando la derivada
Figura: Pendiente de la secante
msec =
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
.
Pendiente de la tangente
Figura: Ĺımite de pendientes de secantes es la pendiente
de la tangente
pendiente de la tangente = ĺım
h!0
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
.
En resumen...
Sobre la base de todo lo expuesto:
Una función f es derivable en el punto x̄ de su dominio si existe
el ĺımite anterior, el cual se denota como f 0(x̄):
f 0(x̄) = ĺım
h!0
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
.
Desde un punto de vista geométrico, lo anterior equivale a decir
que por el punto (x̄ , f (x̄)) hay una única tangente (local) al gráfico
de la función, cuya pendiente es f 0(x̄).
Ejemplo
Ejemplo
Veamos si la función f : R++ ! R tal que f (x) =
p
x es derivable (tiene
derivada) en un punto x̄ . Primero, dado h 2 R notamos que
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
=
p
x̄ + h �
p
x̄
h
.
Notamos entonces que cuando h tiende a 0 ocurre que el numerador y el
denominador de lo anterior tiende a cero. Por esto, segundo, antes de
calcular el ĺımite debemos hacer un poco de álgebra:
f (x̄ + h)� f (x̄) =
p
x̄ + h �
p
x̄ ·
p
x̄ + h +
p
x̄p
x̄ + h +
p
x̄
=
x̄ + h � x̄p
x̄ + h +
p
x̄
=
hp
x̄ + h +
p
x̄
Ejemplo (continuación)
Por lo tanto:
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
=
h
h (
p
x̄ + h +
p
x̄)
=
1p
x̄ + h +
p
x̄
.
Tercero, luego de haber hecho las simplificaciones correspondientes
estamos en condiciones de calcular el ĺımite que nos interesa:
ĺım
h!0
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
= ĺım
h!0
1p
x̄ + h +
p
x̄
=
1
2
p
x̄
.
Note que el lado derecho de lo anterior existe cuando x̄ > 0, es decir, la
derivada de f (x) =
p
x existe cuando x̄ > 0.
Ejemplo
Figura: Derivada de f (x) =
p
x
Note que la ecuación de la recta tangente en la figura anterior es:
y � f (x̄) = f 0(x̄) · (x � x̄) ) y =
p
x̄ +
1
2
p
x̄
· (x � x̄).
¿Cuándo una función no es derivable en un punto?
Hay, básicamente, dos casos posibles.
Primero: cuando no es continua.
Proposición
Si f : R ! R es derivable en x̄ entonces f es continua en x̄ .
Demostración.
Si f es derivable en x̄ es porque existe ĺım
h!0
f (x̄+h)�f (x̄)
h . Ya que el denominador
tiende a cero, para que el ĺımite de la derivada exista debe ocurrir que el
numerador ha de tender a cero, es decir, ĺım
h!0
f (x̄ + h)� f (x̄) = 0. Definiendo
x = x̄ + h, decir que h ! 0 es equivalente a decir que x ! x̄ . Por lo tanto,
ĺım
h!0
f (x̄ + h)� f (x̄) = 0 es equivalente a decir que ĺım
x!x̄
f (x)� f (x̄) = 0, es
decir, ĺım
x!x̄
f (x) = f (x̄): f es continua en x̄ .
Por contrarrećıproca:
Si f no es continua en x̄ entonces f no es derivable (no tiene
derivada) en x̄ .
Segundo caso
Segundo: la función f no es derivable en x̄ cuando el gráfico de la
función tiene “muchas tangentes” por el punto (x̄ , f (x̄)).
I Desde un punto de vista geométrico, corresponde a que el gráfico de
f tiene “puntas”, “quiebres”, “esquinas”, etc., en el punto (x̄ , f (x̄)).
I Desde un punto de vista de ĺımites, corresponde a que:
ĺım
h!0�
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
6= ĺım
h!0+
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
.
Figura: Función no derivable en x̄
Ejemplo
Ejemplo
Veamos que la función f (x) = |x | no es derivable en x = 0, a pesar de
que es continua en ese punto.
Primero, desde un punto de vista gráfico es muy claro: la función tiene
una “punta” en x = 0.
Figura: Función f (x) = |x | no es derivable en x = 0
Segundo, usando ĺımites laterales se tiene que (recordar que
f (0 + h) = |h|, que es igual a h si h > 0 y es �h si h < 0):
ĺım
h!0�
|0 + h|� |0|
h
= ĺım
h!0�
�h
h
= �1 y ĺım
h!0+
|0 + h|� |h|
h
= ĺım
h!0+
h
h
= 1.
Interpretación complementaria de la derivada
I Entre otros, una fabrica usa trabajadores para producir cierto
producto.
I Haciendo abstracción, habiendo fijados todos los otros factores,
supongamos que la función “f (x)” nos dice cuanto es la producción
en función de la cantidad “x” de trabajadores (simplificación de la
realidad).
I Si he contratado x̄ trabajadores, se produce f (x̄) cantidad de
producto.
I ¿Cuál es la producción si contrato una persona más?
Resp. En ese caso, la cantidad de trabajadores es x̄ + 1, por lo que
ahora la firma produce f (x̄ + 1) cantidad de producto.
I Por lo anterior, f (x̄) es el nivel de producción con x̄ trabajadores, y
f (x̄ + 1) es el nivel de producción con x̄ + 1 trabajadores.
Interpretación complementaria de la derivada (continuación
I ¿Cuánto aporta al nivel de producto el hecho de haber contrato una
persona más?
Resp. Ya que el nivel inicial es f (x̄) y el nivel final es f (x̄ + 1), el
aporte que hace la última persona contratada es la diferencia de
esos niveles:
f (x̄ + 1)� f (x̄).
I La cantidad anterior es el producto marginal que se obtiene
contratando un trabajador más. Es decir, es la cantidad extra de
producto que elabora la firma por el hecho que contrata a una
persona más (a partir de x̄).
Note ahora que:
f 0(x̄) = ĺım
h!0
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
.
Por lo tanto, si en vez de tomar ĺımite h ! 0 se reemplaza por h = 1:
f 0(x̄) ⇡ f (x̄ + 1)� f (x̄)
1
.
En consecuencia, la derivada de la función f evaluada en x̄ es una
aproximación del producto marginal.
I La lectura es como sigue: si la función de producción en términos de
la cantidad de trabajadores es
f (x) =
p
x
entonces con x̄ personas produce f (x̄) =
p
x̄ cantidad de producto,
pero si contrata una persona más, entonces la cantidad de producto
se incrementa en el valor del producto marginal, es decir, se
incrementa en
1
2
p
x̄
.
I En otras palabras, el aporte en producto que hizo la última persona
que se contrató es
1
2
p
x̄
.