Porcentajes y logaritmos

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PREUNIVERSITARIO PREUCV 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
 
Porcentajes y Logaritmos 
 
 
 
27 ➢➢➢ Sesión A – 5 / Logaritmos e Intereses 
 
 
 
 Eje Temático: Álgebra y Funciones Sub – Eje: Operaciones 
 
 CHECK LIST – Haz “check” sobre los contenidos que hayas visto y/o aprendido en esta clase. 
 
☐ Interpretación de los logaritmos. 
☐ Relaciona los logaritmos con los conceptos de potencias, raíces y 
exponenciales. 
☐ Deducciones de las propiedades de logaritmos. 
☐ Aplicaciones del cálculo de logaritmos a la resolución de 
problemas en diversas áreas del conocimiento
Porcentajes 
 Conceptos Básicos 
 
 Porcentajes 
 
Se define un porcentaje 𝑝% como aquella fracción 
que tiene como numerador al número 𝑝 y 
denominador al número 100. Representa a 𝑝 partes 
de las 100 en las que se divide un total. 
 
Notación: “𝑎 por ciento” = %
100
a
a = 
 
Calcular un tanto por ciento de una cantidad 
El 𝑎% de 𝑏 se calcula considerando ciertas 
conversiones del lenguaje coloquial al lenguaje 
matemático. El conectivo “de” se reemplaza por la 
operación de multiplicación. Así: 
 
𝑎% de 𝑏 =
100
a
⋅ 𝑏 =

100
a b
 
 
Calcular qué tanto por ciento es una cantidad de otra 
La pregunta: “¿Qué porcentaje es 𝑎 de 𝑏?”, se puede 
replantear como “¿Qué porcentaje de 𝑏 es 𝑎?” donde 
el “porcentaje” al cual se refiere será nuestra incógnita 
“𝑥”. Por lo tanto, realizando la conversión del lenguaje 
coloquial al matemático tendríamos: 
 
¿Qué porcentaje de 𝑏 es 𝑎? 
 
¿𝑥% de 𝑏 es 𝑎? 
 
𝑥
100
⋅ 𝑏 = 𝑎 
 
Dado un porcentaje de una cantidad, calcular la 
cantidad (total) ¿De qué cantidad, 𝒂 es el 𝒃%? 
Aquí se pregunta por la cantidad total 𝑥, es decir, la 
que le corresponde al 100%. Por lo tanto, para 
calcularla, resolvemos la siguiente regla de tres. 
 
𝑎 → 𝑏% 
𝑥 → 100% 
 
 
Aumento y disminución porcentual 
 
Calcular una cantidad aumentada en un 𝒏% 
equivale a calcular el (𝟏𝟎𝟎 + 𝒏)% de esa 
cantidad. 
Ejemplo: 80 aumentado en un 20% equivale a 
calcular el 120% de 80, que es 96. 
También, se puede realizar el siguiente cálculo: 
80 ∙ 1,2⏟ = 96 
100% + 20% = 120% ⟺
120
100
= 1,2 
 
Calcular una cantidad disminuida en un𝒏% 
equivale a calcular el (𝟏𝟎𝟎 − 𝒏)% de esa 
cantidad. 
Ejemplo: 1243 disminuido en un 15% equivale a 
calcular el 85% de 1243, que es 1056,55. 
 También se puede obtener como: 
1243 ∙ 0,85⏟ = 1056,55 
100% − 15% = 85% ⟺
85
100
= 0,85 
 
 
Porcentajes sucesivos 
 
Una de las formas de calcular porcentajes sucesivos de 
una misma cantidad, es multiplicando la cantidad por 
el producto de los porcentajes expresados como 
número decimal. 
Ejemplo: 
El 20% del 35% de 2400 es 168, 
ya que, 0,2 ∙ 0,35 ∙ 2400 = 168 
 
Aplicaciones del porcentaje en cálculos 
cotidianos 
 
El IVA 
𝑷𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = (𝟏𝟎𝟎%)𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒏𝒆𝒕𝒐 + 𝟏𝟗% 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒏𝒆𝒕𝒐 
= 𝟏𝟏𝟗% 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒏𝒆𝒕𝒐 
 
 Liquidaciones de sueldo 
El sueldo que recibe un empleado en Chile hay un 
valor bruto (dinero que paga el empleador) y un 
valor líquido (dinero que recibe el trabajador). El 
sueldo líquido se obtiene a descontar del sueldo 
bruto, impuestos y leyes sociales. (AFP (10%), 
FONASA (7%), SEGURO DE INVÁLIDEZ Y 
SOBREVIVENCIA (1,53%), AFC (0,6%), etc.) 
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NÚMEROS / ÁLGEBRA 
EJE TEMÁTICO: NÚMEROS 
 
 
 
 
 
 
Guía de Destrezas A – 4: Porcentajes y Logaritmos 
28 Sesión A – 4 / Porcentajes y Logaritmos  
Logaritmos 
 Conceptos Fundamentales 
 
 Definición 
 
Dados dos números reales positivos, 𝑎 y 𝑏, con 𝑎 ≠
1, se define el Logaritmo en base 𝒂 y argumento 𝒃, 
como aquel número real 𝑐, tal que 𝑎 elevado a 𝑐, da 
como resultado 𝑏, es decir: 
 
log𝑎 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎
𝑐 = 𝑏 
 
con 
 
𝑎 ∈ ℝ+ − {1}, 𝑏 ∈ ℝ+ 
 
Ejemplos: 
 
1. log2 8 = 3. 
En efecto, la base es 2, el argumento es 8 y 
el logaritmo es 3. Luego, 23 = 8. Con esto 
verificamos que log2 8 = 3. 
 
2. log
√3
3 = 2. 
En efecto, la base es √3, el argumento es 3 
y el logaritmo es 2. Luego, (√3)
2
= 3. Con 
esto verificamos que log
√3
3 = 2. 
 
Como calcular un logaritmo 
 Ecuaciones Exponenciales 
 
 Definición 
 
Una ecuación exponencial es una igualdad donde 
intervienen potencias donde al menos una de 
ellas contiene a una incógnita en su exponente. 
 
Ejemplo: 
 
1. 3𝑥 = 27. Basta reescribir 27 como una 
potencia de base 3 para así resolver la 
ecuación: 
 
3𝑥 = 27 ⇒ 3𝑥 = 33 ⇒ 𝑥 = 3 
 
2. 25𝑥 + 2 ⋅ 5𝑥 + 1 = 36. La solución de esta 
ecuación es 𝑥 = 1. Discutiremos más 
adelante el cómo resolver este tipo de 
ecuaciones exponenciales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
El uso de las ecuaciones exponenciales en el 
cálculo de logaritmos lo mostramos a 
continuación. Supongamos que queremos 
calcular log216 36. Dado que desconocemos el 
valor exacto del logaritmo, este será la incógnita. 
 
Paso 1: Ec. Logarítmica: log216 36 = 𝑥 
Paso 2: Usar Definición: 216𝑥 = 36 
Paso 3: Escribir potencias: (63)𝑥 = 62 
Paso 4: Aplicar propiedad: 63𝑥 = 62 
Paso 5: Eliminar bases: 3𝑥 = 2 
Paso 6: Resolver: 𝑥 =
3
2 
 
Por lo tanto, log216 36 =
3
2. 
 
 
 
Logaritmo Natural 
 Logaritmo de base 𝒆 
 
Definición 
 
Los logaritmos que tienen como base al 
número irracional 𝑒 se llaman logaritmos 
naturales y se representan por ln(𝑥). 
 
ln(𝑥) = loge(𝑥) 
 
Ejemplo: ln(𝑒3) = loge(𝑒
3) = 3 
 
 
Logaritmos decimales o de Briggs 
 Logaritmo de base 𝟏𝟎 
 
Definición 
 
Los logaritmos que tienen como base al número 
10 se llaman logaritmos de Briggs o logaritmos 
decimales. Suelen ser los más utilizados. Por 
convención matemática se ha establecido que: 
 
log(𝑥) = log10(𝑥) 
 
Ejemplo: log(103) = log10(10
3) = 3 
 
 
 
 
 
 
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29 ➢➢➢ Sesión A – 4 / Porcentajes y Logaritmos 
Propiedades de los Logaritmos 
 
Logaritmo de la unidad 
 
El logaritmo de 1 es igual a 0, sin importar cuál 
sea la base del logaritmo. Es decir: 
 
log𝑎 1 = 0 ; ∀𝑎 ∈ ℝ
+ − {1} 
 
Ejemplo: log1000 1 = 0, ya que 1000
0 = 1. 
 
 
Logaritmo de la base 
 
El logaritmo donde la base y el argumento son 
iguales tiene como valor a 1. Es decir: 
 
log𝑎 𝑎 = 1 ; ∀𝑎 ∈ ℝ
+ − {1} 
 
Ejemplo: log23 23 = 1, ya que 23
1 = 23. 
 
 
Logaritmo de una potencia de la base 
 
El logaritmo de una potencia, donde la base de 
la potencia es igual a la base del logaritmo, 
tiene como valor el exponente de la potencia. 
Es decir: 
 
log𝑎(𝑎
𝑛) = 𝑛 ; ∀𝑎 ∈ ℝ+ − {1} 
 
Ejemplo: log5(5
7) = 7, ya que 57 = 57. 
 
 
Logaritmo de un producto 
 
El logaritmo de un producto es igual a la suma 
de los logaritmos de los factores de ese 
producto. Es decir: 
 
log𝑎(𝑥 ⋅ 𝑦) = log𝑎(𝑥) + log𝑎(𝑦) 
 
Ejemplo: log2(32 ⋅ 4) = log2(32) + log2(4) 
 = log2(2
5) + log2(2
2) 
 = 5 + 2 
 = 7. 
 
Por lo tanto, log2(32 ⋅ 4) = 7. 
 
Logaritmo de una división 
 
El logaritmo de una división es igual a la resta 
de los logaritmos del dividendo y el divisor 
respectivamente en ese orden. Es decir: 
 
log𝑎 (
𝑥
𝑦
) = log𝑎(𝑥) − log𝑎(𝑦) 
 
Ejemplo: ( ) ( )216log36log
216
36
log 666 −=





 
 ( ) ( )3626 6log6log −= 
 = 2 − 3 
 = −1 
 
 
Logaritmo de una potencia cualquiera 
 
El logaritmo de una potencia cualquiera es 
igual al producto entre el exponente de la 
potencia y el logaritmo de la base de la 
potencia. Es decir: 
 
log𝑎(𝑥
𝑦) = 𝑦 ⋅ log𝑎(𝑥) 
 
Ejemplo: 
 
log7(49
5) = 5 ⋅ log7(49) = 5 ⋅ 2 = 10 
 
 
Logaritmo de una raíz 
 
El logaritmo de una raíz es igual al producto 
entre una fracción unitaria, cuyo denominador 
es el índice de la raíz, y el logaritmo de la 
cantidad sub-radical. Es decir: 
 
( ) ( )b
n
b a
n
a log
1
log = 
 
Ejemplo: ( ) ( )
5
2
9log
5
1
9log 3
5
3 == 
 
 
Cambio de base de un logaritmo 
 
Para cambiar la base de un logaritmo a una base 
“más conveniente”se utiliza la siguiente fórmula: 
 
a
b
b
c
c
a
log
log
log = 
 
Ejemplo:
( )
( ) 3
2
6log
6log
216log
36log
36log
3
6
2
6
6
6
216 ===
 
 
 
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Guía de Destrezas A – 4: Porcentajes y Logaritmos 
30 Sesión A – 4 / Porcentajes y Logaritmos  
Nivel Básico - Medio 
 
1. Un balón de fútbol cuyo costo fue de $6.400, se 
vendió en una tienda deportiva en $11.200, ¿Qué 
porcentaje de utilidad obtuvo el vendedor? 
 
A) 20% 
B) 40% 
C) 50% 
D) 65% 
E) 75% 
 
2. Un científico está estudiando un cultivo de 
bacterias, cuya población crece a razón de 6% por 
hora. Si el estudio se inició con 400 bacterias por 
𝑐𝑚2, el número de bacterias por 𝑐𝑚2 después de 60 
minutos será: 
 
A) 424 
B) 432 
C) 448 
D) 472 
E) 496 
 
3. Un vendedor recibe un sueldo base de 
$ 215.000, al mes, más un 8% de las ventas por 
comisión. ¿Cuánto debe vender para ganar $ 
317.000 en el mes? 
 
A) $ 254.625 
B) $ 532.000 
C) $ 1.275.000 
D) $ 1.812.500 
E) $ 3.962.500 
 
4. La Ley N° 20 864 exime de la obligación de efectuar 
cotizaciones de salud a pensionados mayores de 65 
años. 
 
Rosa se jubiló a los 60 años con un monto de 
pensión fijo de $224.130 líquidos mensuales, ahora 
que esta a un par de meses de cumplir 65 años, 
quiere saber en cuanto va a aumentar su pensión 
mensualmente acogiéndose a esta ley y dejando de 
efectuar su cotización de Fonasa. ¿Cuál va a ser el 
incremento mensual de Rosa? 
 
 
 
 
 
 
A) $16.870 
B) $18.320 
C) $20.000 
D) $25.870 
E) $241.000 
 
5. Una persona tiene una masa de 𝑚 𝑘𝑔 y su masa 
aumenta en un 30%. Entonces, ahora su masa es: 
 
A) 30𝑚 
B) 1,03𝑚 
C) 1,3𝑚 
D) 𝑛 + 30% 
E) 0,3𝑚 
 
6. log4 8 = 
 
A) 
1
2
 
B) 
2
3
 
C) 
3
2
 
D) 2 
E) 4 
 
7. log1
3
√3
3
= 
 
A) −
1
3
 
B) 3 
C) 
1
3
 
D) √3
6
 
E) −√
1
3
3
 
 
8. 
( )( )=−+ 53572 9log125log49log16log 
 
A) 42− 
B) 60 
C) 
5
78
 
D) 
5
43
 
E) 
2
31
 
 
 
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31 ➢➢➢ Sesión A – 4 / Porcentajes y Logaritmos 
9. Al simplificar log √40
3
+ log √25
3
 se obtiene: 
 
A) log 1 
B) log 10 
C) log 100 
D) log 1000 
E) log 10000 
 
10. ¿Cuál de las siguientes operaciones da como 
resultado log(18)? 
 
A) log(6) ⋅ log(3) 
B) log(2) + log(9) 
C) 3 ⋅ log(6) 
D) log(10) + log(8) 
E) log(2) ⋅ log(3)2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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32 Sesión A – 4 / Porcentajes y Logaritmos  
Nivel Medio Avanzado 
 
1. El recíproco del 25% de 𝑎 es: 
 
A) 25 𝑎 
B) 
1
25
𝑎 
C) 
4
𝑎
 
D) 
1
4
𝑎 
E) 4𝑎 
 
2. En una tienda se rebaja la ropa por cambio de 
temporada en un 25%, si un polerón ya rebajado 
tiene un precio de $15.000, ¿cuál era el precio 
antes de la rebaja? 
 
A) $20.000 
B) $18.000 
C) $16.000 
D) $12.000 
E) $22.000 
 
3. Se sabe que la dosis máxima diaria de sodio que 
puede consumir una persona es de 2.500 mg. 
Además, un litro de bebida contiene 75 mg de 
sodio, si una persona consume una bebida de 1,2 
litros, ¿qué porcentaje de la dosis máxima diaria de 
sodio ha consumido? 
 
A) 3,6% 
B) 36% 
C) 0,365 % 
D) 0,036% 
E) 75% 
 
4. Martina pide un préstamo de $360.000 en un 
banco y espera pagarlo en 12 cuotas mensuales 
iguales. El banco le entrego la siguiente expresión 
para calcular el interés mensual: 
 
 
Interés mensual = 360.000 ∙ 
2
100
 
 
 
 
 
 
 
 
 ¿Cuánto debe pagar Marina solo por concepto de 
interés mensual al termino de los doce meses? 
 
A) $7.200 
B) $43.200 
C) $86.400 
D) $360.000 
E) $446.400 
 
5. En un camión cargado de maderas, el 20% de la 
masa corresponde a pino, el 50% a roble y el resto 
a nogal. Entonces se puede determinar la masa 
total de las maderas si: 
 
(1) La masa correspondiente a la madera de roble 
excede en 90 kg a la madera de pino. 
(2) Si se saca del camión 120 kg de madera de roble, 
el porcentaje de la masa de las maderas de nogal 
aumenta en un 20% con respecto al porcentaje 
anterior. 
 
A) (1) por sí sola. 
B) (2) por sí sola. 
C) Ambas juntas, (1) y (2). 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). 
E) Se requiere información adicional. 
 
6. René se encuentra cesante hace 2 meses, se acogió 
a su seguro de cesantía el cual le paga 
mensualmente un porcentaje de sus rentas 
promedios de los últimos 12 meses. El primer mes 
le pagaron el 70%, el segundo mes el 55%, el tercer 
mes le de deben pagar el 45%, el cuarto mes un 
40% el quinto mes un 35% y el sexto o más meses 
un 30% de su renta promedio. Si dicha renta es de 
$554.230. ¿Cuál será aproximadamente el sueldo 
de René en este tercer mes? 
 
A) $554.230 
B) $387.961 
C) $304.827 
D) $249.404 
E) $193.981 
 
 
 
 
 
 
 
 
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33 ➢➢➢ Sesión A – 4 / Porcentajes y Logaritmos 
7. Los profesionales que prestan servicios de 
honorarios entregan boletas de las cuales en el año 
2019 se descontaba el 10% del total de la boleta 
emitida. Si José quiere cobrar $270.000 pesos 
líquidos. ¿Cuánto debe ser el valor de la boleta de 
José? 
 
A) $270.000 
B) $290.000 
C) $300.000 
D) $330.000 
E) $360.000 
 
8. =−
25log
5log
3log
9log
5
25
9
3 
 
A) 
4
15
− 
B) 
18
7
− 
C) 0 
D) 3 
E) 
4
15
 
 
9. ( )=−
22log QP 
 
A) 
( )
( )Q
P
log
log
 
B) 
( )
( )QP
QP
−
+
log
log
 
C) ( ) ( )log logP Q P Q+ + − 
D) ( ) ( )QP log2log2 − 
E) ( ) ( )QP 2log2log − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Si log 19 ≈ 1,2788 entonces, ¿Cuál(es) de las 
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 
 
I. log 1,9 ≈ 0,12788 
II. log 190 ≈ 2,2788 
III. log 192 ≈ 2,5576 
 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo II y III 
E) I, II y III 
 
11. Si 2
505
1
log −=





+x
, entonces 𝑥 es: 
 
A) −10 
B) 6 
C) 10 
D) 30 
E) Ninguna de las anteriores. 
 
 
12. Si log 2 = 𝑚, log 3 = 𝑛 y log 5 = 𝑝, ¿cuál de 
las siguientes expresiones es igual a log (
36
√5
) 
 
A) 2𝑚 + 2𝑛 −
𝑝
2
 
B) 
𝑚2+𝑛2
√𝑝
 
C) 
2𝑚𝑛
𝑝
2
 
D) 𝑚2 + 𝑛2 − √𝑝 
E) 
2𝑚+2𝑛
𝑝
2
 
 
13. Si 𝑊 = log3 6 ⋅ log6 9 ⋅ log9 12 ⋅ … ⋅ log24 27 es 
un producto regular y consecutivo, entonces, ¿Cuál 
es el valor exacto de 𝑊? 
 
A) 9 
B) 6 
C) 3 
D) −3 
E) −6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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34 Sesión A – 4 / Porcentajes y Logaritmos  
 
14. La relación existente entre la energía liberada en 
ergios (E) y la magnitud en la escala de Richter (R) 
de un sismo, está definida como: 
 
log(𝐸) = 1,8 + 1,2 ⋅ 𝑅 
 
Luego, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones 
es(son) verdadera(s)? 
 
I. Un sismo de 7° Richter libera 101,2 veces más 
energía que un sismo de 6° Richter. 
II. La escala de Richter es una escala logarítmica 
creciente de base 𝑒. 
III. Según el modelo, aun siendo 𝑅 = 0, se libera 
energía. 
 
A) Sólo I 
B) Sólo I y II 
C) Sólo I y III 
D) Sólo II y III 
E) I, II y III 
 
 
15. Considere 𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ ℝ tales que 𝑝 < 𝑞 < 𝑟, donde 
todos ellos son mayores que 1. Luego, ¿cuál(es) de 
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 
 
I. log1
2
𝑝 < log1
2
𝑞 < log1
2
𝑟 
II. log𝑟 𝑝 < log𝑞 𝑞 < log𝑝 𝑟 
III. log2 𝑝 < log2 𝑞 < log2 𝑟 
 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo I y III 
E) Sólo II y III