Actividad unidad 2

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MATEMÁTICA I
ACTIVIDAD UNIDAD 2
Alumna: Candela Ayelen, Tomás.
(1) Dada la siguiente función definida a trozos:
𝑓(𝑥) 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤− 1
𝑓(𝑥) 2/3𝑥 + 5/3 𝑠𝑖 − 1＜𝑥 ＜2
𝑓(𝑥) 𝑥2 − 6𝑥 + 8 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
(a) grafique con ayuda de algún programa como Winplot o Geogebra.
(b) Determine el valor de la función cuando x = -1 y cuando x = 2
x = -1
𝑓(− 1) = 2/3 . (− 1) + 5/3 = − 2/3 + 5/3 = 1
𝑓(− 1) = (− 1)2 − 6(− 1) + 8 = 1 + 6 + 8 = 15
x = 2
𝑓(2) = 2/3 . 2 + 5/3 = 4/3 + 5/3 = 3
𝑓(2) = 22 − 6 . 2 + 8 = 4 − 12 + 8 = 0
(c) Determine el límite lateral siguiente:
𝑥 2−
lim
→
𝑓(𝑥)
𝑥 2−
lim
→
𝑓 2/3𝑥 + 5/3 = 2/3 . 2 + 5/3 = 3
(d) Determine el límite lateral siguiente:
𝑥 2+
lim
→
𝑓(𝑥)
𝑥 2+
lim
→
𝑓 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8 = − 2
Cálculo auxiliar:
FACTORIZAMOS: 1(𝑥2 − 6𝑥 + 8) = (𝑥)2 − 6(1𝑥) + 8 = (𝑥 − 4)(𝑥 − 2)
(e) ¿Existe el límite de la función cuando x tiende a 2? Justifique su respuesta.
Cuando x tiende a 2 no existe, por lo tanto la función no es continua en ese punto.
(f) ¿Existe el límite de la función cuando x tiende a -1? Justifique su respuesta
Cuando x tiende a -1 no existe, por lo tanto la función no es continua en ese punto.
(2) Un fabricante sabe que el costo de producir “q” toneladas por semana de
determinado producto está dado por: C(q) 20000 40q
Y el ingreso obtenido por las ventas es: I (q) 100q 0, 01𝑞2
(a) Calcule el cambio promedio en la Utilidad si pasa de producir 3100 a 3200
toneladas.
(b) Grafique con ayuda de algún programa como winplot o geogebra la función
Utilidades.
Nota: recuerde que Utilidades = Ingresos - Costos
Costo:
C(q)= 20000 + 40 . 3100 = 144000
𝐶(𝑞) = 20000 + 40 . 3200 = 148000
Ingreso:
𝐼(𝑞) = 100 . 3100 − 0. 01 . (3100)2 = 213900
𝐼(𝑞) = 100 . 3200 − 0. 01 . (3200)2 = 217600
Utilidades = 213000 − 144000 = 69900
Utilidades =217600 − 148000 = 69600
Tenemos una diferencia de 300 utilidades
(3) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva y=x 2 +2 x +3
En el punto x = 1
Grafique en un mismo sistema de coordenadas la función y la recta tangente.
𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 3 𝑓´(1) = 2𝑥 + 2 = 2. 1 + 2 = 4
𝑦 = 12 + 2. 1 + 3
𝑦 = 6
m=4(1, 6)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 6 = 4(𝑥 − 1)
𝑦 = 4𝑥 − 4 + 6
𝑦 = 4𝑥 + 2
(4) Seleccione una función de segundo grado cualquiera y determine la ecuación de la
recta tangente a dicha función en x = 3.
x=3𝑦 = 𝑥2 + 7𝑥 + 8 𝑓´(3) = 2. 3 + 7 = 13
𝑦 = 32 + 7. 3 + 8
𝑦 = 38
m=13
(3,38)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 38 = 13(𝑥 − 3)
 𝑦 = 13𝑥 − 39 + 38
 𝑦 = 13𝑥 − 1
Ecuación de la recta tangente: y = 13x - 1
GRÁFICO: