FUNCIÓN RACIONAL FRACCIONARIA

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BLOQUE 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funciones
Racionales
Costo Medio
 
 
UNL-FCE-Matemática Básica. Funciones y Modelos económicos - 71 
 
COSTO MEDIO y FUNCION RACIONAL 
La funciones racionales, que trabajaremos en esta sección, pueden emplearse para representar modelos de 
Oferta – Demanda, Costo – Ingreso como los ya analizados o bien Costo Medio. 
COSTO MEDIO 
 
Para una producción cualquiera, la razón entre el Costo Total (CT) y la producción (x) correspondiente define el 
llamado Costo Medio o Costo por Unidad de Producción. 
 
 CM = CT / x 
Ejemplo: Si la ecuación de Costo Total para un determinado producto es: 
 CT: y = 3x + 10 donde x es la cantidad producida 
Entonces el Costo Medio (C.M) es: 
 
 C.M: y = 
xx
x 10
3
103


 y su gráfica es: 
 
 Este modelo nos dice que a medida que la producción aumenta el costo por unidad tiende a 3 (costo unitario), si 
la cantidad producida tiende a cero, entonces el costo por unidad es cada vez más elevado. 
 En términos matemáticos la expresión y = 
x
x 103 
 representa un cociente entre dos polinomios: 3x+10 y x. 
Llamaremos Función Racional a toda función de ecuación: 
y = f(x) = 
)(
)(
xQ
xP
 donde Q(x)  0 
P(x) y Q(x) son polinomios de variable x real y coeficientes reales 
 
 
 
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Funciones Racionales y Asíntotas 
El dominio de una función racional consiste en los números reales x excepto aquellos para los que el denominador es cero. 
Al graficar una función racional, se debe poner atención especial al comportamiento de la gráfica cerca de esos valores. 
Comenzaremos por graficar una función racional simple. 
Ejemplo 1: 
x
xf
1
)(  
 La función f no está definida para 0x .En las tablas siguientes se muestra que cuando x es cercana a cero, el valor de 
)(xf es grande, y mientras x se aproxime más a cero )(xf se vuelve más grande. 
x f(x) x f(x) 
-0.1 -10 0.1 10 
-0.01 -100 0.01 100 
-0.00001 -100 000 0.00001 100 000 
Tiende a 
0 Tiende a  Tiende a 0 Tiende a  
Este comportamiento se describe en palabras y símbolos como sigue. En la primera tabla se muestra que cuando x tiende a 
0 por la izquierda, los valores de )(xfy  disminuyen sin límite. 
 
En símbolos, 
 )(xf cuando 
 0x “y tiende a menos infinito cuando x tiende a 0 por la izquierda” 
 
En la segunda tabla se muestra que cuando x tiende a 0 por la derecha, los valores de )(xf se incrementan sin límites. 
 
 En símbolos, 
 )(xf cuando 
 0x “y tiende a infinito cuando x tiende a 0 por la derecha” 
 
En las dos tablas siguientes se muestra como cambia )(xf cuando x se vuelve grande. 
x f(x) x f(x) 
-10 -0.1 10 0.1 
-100 -0.01 100 0.01 
-100 000 -0.00001 100 000 0.00001 
Tiende a -  Tiene a 0 Tiende a  Tiende a 0 
 
En estas tablas se muestra que cuando x se vuelve grande, el valor de )(xf se aproxima cada vez más a cero. Se escribe 
esta situación en símbolos: )(xf 0 cuando x y )(xf 0 cuando x . 
Usando la información de estas tablas y graficando algunos puntos más, se obtiene gráfica: 
 
 
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x f(x)=1/x 
 
-2 -1/2 
-1 -1 
-1/2 -2 
1/2 2 
1 1 
2 1/2 
 
En el ejemplo se usó la siguiente notación de flechas. 
Símbolo Significa 
 ax x tiende a a por la izquierda 
 ax x tiende a a por la derecha 
x x tiende a menos infinito, x disminuye sin cota 
x x tiende a infinito, x se incrementa sin cota 
 
La recta x=0 se llama asíntota vertical de la gráfica de la función, y la recta y=0 es una asíntota horizontal. En términos 
informales, una asíntota de la gráfica de una función es una línea a la que la gráfica de la función se aproxima cada vez más 
cuando se va a lo largo de esta línea. 
 
Definición de Asíntotas verticales y horizontales 
1. La recta x=a es una asíntota vertical de la función y=f(x) si y tiende a±∞ cuando x tiende a a por la derecha o la 
izquierda. 
 
 
 
 
 
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2. La recta y=b es una asíntota horizontal de la función y=f(x) si tiende a b cuando x tiende a ±∞. 
 
 
 
 
 
 
 
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Resumen de función racional 
:
a
Caso A y k
x h
 
 
 
:
ax b
Caso B y
cx d


 
 
 
 
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Actividades 
1- Graficar cada conjunto de curvas en el mismo sistema de coordenadas cartesianas. 
 a) y = 
x
1
 , y = 
x
2
 b) y = 
x
1
 , y = 
2
1
x
 
 c) y = 
x
1
 , y = 
x
1
 d) y = 
x
3
 , y = 3
3

x
 
2- Para cada una de las siguientes funciones realizar su gráfica e indicar Dominio, Rango, Asíntotas y Puntos 
de Intersección con los ejes coordenados. 
a) y = 2
1

x
 b) y = 2
4
1

x
 
c) y= 
2
1
1
x
 d) y = 2
2
1

x
 
3- Para cada uno de los siguientes casos, determinar el valor del parámetro “a” que cumpla las siguientes 
condiciones: 
 
 a) La curva de ecuación: (x-1)(y+a) = 1 tenga por asíntotas a las rectas x = 1 , y = -3 
 b) La gráfica de y = a
x

1
 se obtenga al desplazar la curva de ecuación y =
x
1
 
 1 unidad hacia abajo 
 c) La curva de ecuación: (x+4)y = a pase por el punto (-1, 3) 
4- Hallar la ecuación de la función de ley: (x-H)(y-K) = 1 sabiendo que su dominio es R –{6} y que corta 
al eje de ordenadas en y = 2. 
5- Obtener la ecuación de la hipérbola cuya gráfica es: 
 
 
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6- Un constructor que se dedica a refaccionar casas tiene costos fijos de $500 000 mensuales, siendo los demás 
gastos de $30000 por cada refacción. Con la información dada: 
a) Determina el modelo de costo total. 
b) Determina la función de costo medio mensual si se refaccionan x casas por mes. 
c) Grafica la función de costo medio. 
7- El costo de fabricación de un determinado producto disminuye según la cantidad de unidades producidas (x). El 
modelo que representa esta situación es: C(x) = 
25
1+𝑥
+ 50 
a) Calcula el costo fijo de producción 
b) Grafica la función y describe su comportamiento. 
8- Dados los siguientes modelos de oferta y demanda de un determinado producto: 
 i) {
𝑦 =
15
𝑥
𝑦 = 𝑥 + 2
 ii) {
𝑦 =
24
𝑥+4
− 2
𝑦 = 1 +
𝑥
2
 
 
a) Identifica la function de oferta y la de demanda 
b) Determina el punto de equilibrio del mercado 
c) Grafica ambas funciones en el mismo sistema de coordenadas 
9- El modelo (x-24)(y-36) =240 representa las diferentes combinaciones de producción de dos productos en la que 
se utilizan los mismo recursos. Si las variables x e y representan las posibles cantidades que se pueden fabricar 
de dichos productos. 
a) Calcula las cantidades máximas que se pueden fabricar de uno y otro producto. 
b) Si se necesita fabricar las mismas cantidades de cada uno. Determina dichas cantidades. 
 
 
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Respuestas 
1 a) 
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
y =1/x
y=2/x


 
 
1 b) 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
y =1/x
2
1


x
y


 
 
1 c) 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
y =1/x
x
y
1


 
 
1 d) 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
y =1/x
3
3

x
y


 
 
2) 
a) 
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2
1

x
y
 
 
 
 
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b) 
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
4
72



x
x
y
 
 
c) 
 
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2
1
1


x
y
 
d) 
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2
2
1

x
y
 
 
 
 
 
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 3- a) a = 3 b) a = -1 c) a = 9 
4- (x-6)(y-13/6)=1 
5- (y-2)(x-3) = 3 
6- a) C(x)= 30000x+500000 b) CM(x) = C(x) /x 
7- A) CF= 75 U.M B) A medida que la cantidad fabricada aumenta el costo medio disminuye y se aproxima 
a 50 u.m 
8- Punto de equilibrio (3;5) ii) Punto de equilibrio (2;2) 
9- a) Xmax = 17.3 u Ymax= 26 u 
 b) Aproximadamente 13.39 unidades. 
 
 
 
 
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Función racional. Actividades complementarias 
I) Completar la siguiente tabla 
función Dominio Conjunto 
imagen 
Asíntota 
vertical 
Asíntota 
horizontal 
Ceros Intersección 
ejey 
a)y=
x
1
 
 
b)y= 
2x
1

 
 
c)y=
x
1
+1 
 
d)y= 
2x
1x


 
 
e)y= 
2x
1x2


 
 
f)y= 
x3
1x


 
 
g)y= 
2x2
1x4


 
 
h)y= 
2x2
x6


 
 
i) y= 3
2x
1


 
 
 
 Graficar las funciones utilizando los datos anteriores 
II) Ejercicios de múltiple opción 
1) La función f(x) = 2
1x
1


 tiene asíntota horizontal 
a) y= 0 b) y = 2 c) y= 1 d) y= -1 e) x= 2 f) NA 
2) La función f(x) = 
1x
x1


 tiene asíntota horizontal 
a) y= 0 b) y= 1 c) y= -1 d) x= -1 e) NA 
 
 
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3) La función f(x) = 
3x
4x


 tiene dominio 
a) b) -{-4} c) -{-3} d) -{3} e) -{4} f) NA 
4) La función f(x) = 
3x
4x


 tiene como conjunto imagen 
a) b) -{-4} c) -{-3} d) -{1} e) -{4} f) NA 
5) La función f(x) = 1
1x
2


 tiene asíntota horizontal 
a) y= 0 b) y= 1 c) y= -1 d) x= -1 e) NA 
 
III) En cada uno de los siguientes ejercicios realiza la correspondencia de la gráfica y con la expresión analítica de la 
función 
a)
5x
2x
y


 b)
1x
3x
y


 c) 
3x
1x2
y


 d)
1x3
2x2
y


 
1) 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) 4) 
 
5) 6)