EDO Reducibles a Homogéneas

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Ec. Dif. Reducibles a Homogéneas
Dpto. Académico de Matemática
Universidad Nacional Agraria La Molina
Ciclo: 2020 - II
Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Ec. Dif. Reducibles a Homogéneas Ciclo:2020 -II 1 / 6
4.2.3 Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Homogéneas
Una ecuación diferencial que no se puede colocar en la forma, dy
dx
= f
(
y
x
)
es llamada
ecuación diferencial no homogénea. Este tipo de ecuaciones son las reducibles a
homogéneas y tienen la siguiente forma:
dy
dx
= f
(
ax + by + c
mx + ny + p
)
Para resolverlas hay que distinguir dos casos:
Primer caso: Si las rectas L1 : mx + ny + p = 0 y L2 : ax + by + c = 0 se cortan en el
punto (x0, y0), se transforma a una ecuación diferencial homogénea en las variables z y w
con las sustituciones:
x = z + x0
y = w + y0
Segundo caso: Si las rectas L1 : mx + ny + p = 0 y L2 : ax + by + c = 0 son paralelas, se
transforma a una ecuación diferencial de variable separable, en la variable z con la
sustitución: z = mx + ny.
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Ejemplo
1. Resolver la ecuación diferencial:
(x− 3y + 7) dx + (2x− y + 4) dy = 0
Solución. Al resolver el sistema de ecuaciones
x0 − 3y0 + 7 = 0
2x0 − y0 + 4 = 0
se obtiene el punto de intersección de las rectas, (x0, y0) = (−1, 2) .
Consideremos el cambio de variables: x = z − 1 =⇒ dx = dz y y = w + 2 =⇒ dy = dw
Reemplazando en la ecuación diferencial inicial,
(z − 3w) dz + (2z − w) dw = 0
se obtiene la ecuación diferencial homogénea, con el cambio de variable:
w = uz =⇒ dw = udz + zdu, obtenemos(
1− u− u2
)
dz + z (2− u) du = 0
La cual se transforma es una ecuación diferencial de variable separable.
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−
∫
u− 2
u2 + u− 1du =
∫
dz
z
Sea
I =
∫
u− 2
u2 + u− 1du =
1
2
∫ 2u + 1
u2 + u− 1du−
5
2
∫
du
u2 + u− 1
I = 12
∫ 2u + 1
u2 + u− 1du−
5
2
∫
du
(u + 12)
2 − 54
I = 12 ln
(
u2 + u− 1
)
−
√
5
2
[
ln
(
2u−
√
5 + 1
)
−
(
2u +
√
5 + 1
)]
La solución general es,
ln (x + 1) + C = −12 ln
((
y − 2
x + 1
)2
+ y − 2
x + 1 − 1
)
+
√
5
2
[
ln
(
2
(
y − 2
x + 1
)
−
√
5 + 1
)
− ln
(
2
(
y − 2
x + 1
)
+
√
5 + 1
)]
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Ejemplo
2. Resolver la ecuación diferencial:
dy
dx
= x− y − 1
x− y − 2
Solución. Consideremos el cambio de variable:
z = x− y =⇒ dy
dx
= 1− dz
dx
reemplazando en la ecuación diferencial original
dz
dx
= 1− z − 1
z − 2 = −
1
z − 2
se obtiene la ecuación diferencial de variable separable, integrando ambos lados de la igualdad∫
−dx =
∫
(z − 2) dz
La solución general es,
−x + C = 12 (x− y − 2)
2
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Ejercicios propuestos de ecuaciones Diferenciales Reducibles a
Homogéneas
1 (4x + 3y + 15)dx− (2x + y + 7)dy = 0
2
dy
dx
= 2x− 5y + 32x + 4y − 6
3 (x + 2y + 6)dx + (2x + 4y − 5)dy = 0
4
dy
dx
= x + y − 12x + 2y + 4
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