Ejercicios Resueltos Funciones

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1 De�nición de función
Problema 1 Sea el conjunto F de�nido por
F =
n
(3; 2jx�4j); (6; 4sgn(2�y)); (
p
9; 1); (6; 22); (1; ez�2); (1; 1); (x; jy + 1j); (x; 4z)
o
Halle los valores de\x" ,\y"y �z" para que F sea función. Además deter-
mine F (3) y F (x):
Solución. Como F es función, dado que los pares (3; 2jx�4j) y (
p
9; 1)
= (3; 1) tienen primeras componentes iguales, se debe cumplir que:
2jx�4j = 1 = 20 ) jx� 4j = 0 de donde x = 4:
Del mismo modo para los pares (6; 4sgn(2�y)) y (6; 22); se obtiene:
4sgn(2�y) = 22 = 4 =) sgn(2� y) = 1) 2� y > 0) y < 2
también de los pares (1; ez�2) y (1; 1) se tiene:
ez�2 = 1 = e0de donde z = 2:
además de los pares (x; jy + 1j); (x; 4z) tenemos:
jy + 1j = 4(2) = 8) y+1 = 8 _ y+1 = �8) y = 7 _ y = �9 pero y < 2; entonces y = �9
luego, F (3) = 1 y F (x) = F (4) = 8:
Problema 2. Determine H y analice si de�ne una función
H =
�
(x; y) =x 2 Z, 4x2 � 16x+ 9y2 + 72y + 124 = 0, jx� 1j
2� x� x2 � 0
�
.
Solución. Al completar cuadrados se tiene,
(x� 2)2
9
+
(y + 4)
2
4
= 1 (�)
(1) con x 2 [1; 5], x 2 Z y x 2 f�1; 0; 1; 2; 3; 4; 5g :
(2) Al resolver,
jx� 1j
2� x� x2 � 0) (x+ 2) (x� 1) < 0) x 2 h�2; 1i
De (1) y (2) se tiene, x 2 f�1; 0g : Luego en (�)
x = 0 ) y = �12� 2
p
5
3
x = �1 ) y = �4:
Claramente observamos que para x = 0 le corresponden dos valores de
�y�, lo que contradice la de�nición de función.
Por lo tanto, H =
( 
0;
�12 + 2
p
5
3
!
;
 
0;
�12� 2
p
5
3
!
; (�1;�4)
)
no
de�ne una función.
1
Problema 3. Determine el conjunto M y analice si de�ne una función,
M =
�
(x; y) 2 R� R / x 2 Z,
��2x2 � 3x�� � 5, y = 2 + 4x� 2x2
sgn (x2 � 2x+ 2)
�
:
Solución.��2x2 � 3x�� � 5 ) 2x2 � 3x+ 5 � 0 ^ 2x2 � 3x� 5 � 0
) 4 < 0 ^ (x+ 1) (2x� 5) � 0
) R ^ x 2
�
�1; 52
�
) x 2 f�1; 0; 1; 2g
:
Rede�niendo la función, y = �2x2 + 4x+ 2.
Luego el conjunto A = f(�1;�4) ; (0; 2) ; (1; 4) ; (2; 2)g de�ne una función.
2 Dominio y Rango de una función.
Problema 4. Determine análiticamente el dominio y rango de función f cuya
regla de correspondencia es
f(x) =
q
3�
p
�x2 � 2x+ 8:
Solución.
� Determinamos el dominio de f :
x 2 Dom(f) ) 3�
p
�x2 � 2x+ 8 � 0 ^ �x2 � 2x+ 8 � 0
) (x+ 1)2 � 0 ^ (x+ 1)2 � 9 � 0 ;
entonces Dom(f) = [�4; 2] :
� Determinemos el rango de f :
y 2 Rang(f) ) �4 � x � 2 ) 0 � (x+ 1)2 � 9
) 0 �
q
9� (x+ 1)2 � 3 ) �3 � �
q
9� (x+ 1)2 � 0
) 0 � 3�
q
9� (x+ 1)2 � 3 ) 0 �
r
3�
q
9� (x+ 1)2 �
p
3
;
entonces Rang(f) =
�
0;
p
3
�
:
Problema 5. Dadas las funciones f(x) =
jx+ 1j � 3
1 + jx� 3j ; x 2 [�2; 4i y g(x) =�
2 + 4x� 2x2 ; x < 1
2� x ; x � 1 :Determine análiticamente elRang(f) y Rang(g),
además halle Rang(f) \ Rang(g):
2
Solución. Rede�niendo la función f ,
f(x) =
8>>>>>>><>>>>>>>:
x+ 4
x� 4 ; �2 � x < �1
x� 2
4� x ; �1 � x < 3
1 ; 3 � x < 4
;
analizando las subfunciones para f se tiene:
f1(x) = 1 +
8
x� 4 ) �6 � x� 4 < �5 ) �
3
5
< 1 +
8
x� 4 � �
1
3
f2(x) = �1�
2
x� 4 ) �5 � x� 4 < �1 ) �
3
5
� �1� 2
x� 4 < 1
;
entonces Rang(f) =
�
�3
5
; 1
�
.
analizando las subfunciones para g se tiene:
g1(x) = �2 (x� 1)2 + 4 ) 4� 2 (x� 1)2 < 4
g2(x) = 2� x ) 2� x � 1
;
entonces Rang(g) = h�1; 4i :
Luego, Rang(f) \ Rang(g) =
�
�3
5
; 1
�
:
3 Grá�ca de funciones
Problema 6. Esboce el grá�co de h, indicando su rango
h (x) =
8>><>>:
p
�x+ 1 ; �9 � x � 0
�
x2 � 9
�
sgn
�
3
x� 3 � 1
�
; 0 < x � 6
:
Solución. Evaluamos siguiendo la de�nición de la función signo :
sgn
�
3
x� 3 � 1
�
=
8<:
�1 ; 3x�3 � 1 < 0() x 2 h�1; 3i [ h6;+1i
0 ; 3x�3 � 1 = 0() x = 6
1 ; 3x�3 � 1 > 0() x 2 h3; 6i
Ahora al intersectar cada intervalo con h0; 6] se tiene:
si 0 < x < 3 si 3 < x < 6 si x = 6
entonces
sgn
�
3
x� 3 � 1
�
= �1 sgn
�
3
x� 3 � 1
�
= 1 sgn
�
3
x� 3 � 1
�
= 0
3
DAMP09-1602P
Resaltado
DAMP09-1602P
Resaltado
DAMP09-1602P
Resaltado
La función h queda rede�nida por
h(x) =
8>><>>:
p
�x+ 1 , �9 � x � 0
9� x2 , 0 < x < 3
x2 � 9 , 3 < x < 6
0 , x = 6
:
Del grá�co podemos ver que
Rang(h) = [0; 27i :
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6
10
20
30
X
Y
Problema 7. Esbozar la grá�ca de la función f de�nida por :
f(x) =
8><>:
2x2 � sgn
�
x2 � 4
�
; �4 � x � 0
�2 (x� 12)
x� 9 ; 0 < x < 8 _ x > 9
Solución.
Para �4 � x � 0 : f1(x) = 2x2 � sgn
�
x2 � 4
�
; por la de�nición de la
función signo :
sgn
�
x2 � 4
�
=
8<: �1 ; x
2 � 4 < 0, x 2 h�2; 2i
0 ; x2 � 4 = 0, x = �2 ; x = 2
1 ; x2 � 4 > 0, x < �2 _ x > 2
Ahora debemos intersectar los intervalos resultantes con el intervalo [�4; 0] :
si �4 � x < �2 si x = �2 si �2 < x � 0
entonces
sgn
�
x2 � 4
�
= 1 sgn
�
x2 � 4
�
= 0 sgn
�
x2 � 4
�
= �1
Para 0 < x < 8 _ x > 9 : f2(x) = �
2 (x� 12)
x� 9 , es una función racional,
cuya grá�ca resultará una hipérbola equilátera con asíntotas paralelas a
los ejes coordenados :
f3(x) = �
2 (x� 12)
x� 9 = �2 +
6
x� 9 ) (y + 2) (x� 9) = 6 ;
de donde y = �2 es la asíntota horizontal y x = 9 es la ecuación de la
asíntota vertical.
4
Reescribimos la función f , de acuerdo con nuestros resultados:
f(x) =
8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:
2x2 ; x 2 [�4;�2i
0 ; x = �2
�2x2 ; x 2 h�2; 0]
�2 (x� 12)
x� 9 ; x 2 h0; 8i [ h9;+1i
:
Del grá�co podemos ver que
Rang (f) = h�8;+1i :
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14
-10
10
20
30
X
Y
Problema 8. Dada la función f de�nida por
f(x) =
8>>>><>>>>:
x� 1
jx+ 1j � 2 ; x 2 h�4; 0]� f�3g
3�
s
x sgn
�
2� 2x+ x2 � x3
x2 � 9
�
+ 1 ; x > 0
:
Esboce la grá�ca de f indicando su rango.
Solución. Se tiene que jx+ 1j =
�
x+ 1 ; x � �1 ^ x 2 h�4; 0]� f�3g
�x� 1 ; x < �1 ^ x 2 h�4; 0]� f�3g
5
y
sgn
�
2� 2x+ x2 � x3
x2 � 9
�
=
8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:
1 ,
� (x� 1)
�
x2 + 2
�
(x� 3) (x+ 3) > 0
0 ,
� (x� 1)
�
x2 + 2
�
(x� 3) (x+ 3) = 0
�1 ,
� (x� 1)
�
x2 + 2
�
(x� 3) (x+ 3) < 0
=
8>>>>>>>><>>>>>>>>:
1 ,
(x� 1)
(x� 3) (x+ 3) < 0 ^ x > 0
0 , x = 1
�1 , (x� 1)
(x� 3) (x+ 3) > 0 ^ x > 0
Entonces la función f queda rede�nida por
f(x) =
8>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>:
1� x
x+ 3
; x 2 h�4;�1i � f�3g
1 x 2 [�1; 0]
3�
p
1� x x 2 h0; 1i
2 x = 1
3�
p
x + 1 ; x 2 h1; 3i
Rang(f) = h�1;�5i [ [1;+1i
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
X
Y
6