IMPORTANCIA-DE-LA-PROGRESIÓN-GEOMÉTRICA

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PRESENTACIÓN 
• DENTRO DE LA TEMÁTICA DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS SE HA CONSIDERADO SIGNIFICATIVO 
TRATAR LAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ES JUSTAMENTE POR ELLO QUE EL PRESENTE TRABAJO LO 
ABORDARÁ EN SUS DIVERSOS ASPECTOS, CON LA FINALIDAD DE ENTENDER CON MAYOR PRECISIÓN SU 
IMPORTANCIA Y APLICABILIDAD DENTRO DEL ÁMBITO FINANCIERO
PROGRESIÓN GEOMETRICO
Por su parte, es un adjetivo 
vinculado a la geometría (la 
rama de la matemática 
orientada al análisis de las 
características de las 
figuras en un espacio o en 
un plano).
puede asociarse a una 
sucesión, un progreso, un 
desarrollo o un avance de 
algo.
Una secuencia formada 
por elementos sucesivos
ES
OBTENIDOS
Mediante 
la multiplicación del 
elemento previo por 
un valor constante
Dicha constante recibe 
el nombre de factor o 
razón
Lo habitual es que una 
progresión geométrica 
refiera a una secuencia 
que dispone de 
un número finito de 
términos
En cambio, si la 
secuencia se extiende 
hasta el infinito, suele 
hablarse de sucesión 
geométrica
Sucesión de 
números llamados 
términos.
De tal forma que 
cada uno de ellos
Después del primero, 
se obtiene 
multiplicando el 
termino anterior por 
una constante
https://definicion.de/multiplicacion
PROGRESIONES 
GEOMÉTRICAS 
Dentro de la 
aprehensión del infinito 
y el continuo.
Da un valor infinito a 
una suma compuesta 
por infinitos términos
IMPORTANTE
PORQUE 
• Calcular los
incrementos de
la deuda
• Calcular los
intereses bancarios
como el interés
compuesto
• Calcular los intereses
de nuestros ahorros
personales
Las 
inversiones 
financieras
Aplicación de 
la progresión 
geométrica
En
Para 
file:///F:/INTERÉS COMPUESTO.pptx
http://us.123rf.com/400wm/400/400/lenm/lenm1009/lenm100900285/7855004-empresario-contar-monedas-de-oro.jpg
http://us.123rf.com/400wm/400/400/lenm/lenm1009/lenm100900285/7855004-empresario-contar-monedas-de-oro.jpg
• Aplicación dentro de
nuestra vida cotidiana
Medición de la
población
Malthus en el capítulo 2
de su célebre ENSAYO
SOBRE LA POBLACIÓN
Como
Para
“La población crece en
progresión geométrica, y
los recursos crecen
en progresión aritmética”.
PROPIEDADES
1) “En toda progresión
geométrica el producto de dos
términos equidistantes de los
extremos es igual al producto
de los extremos”
PRODUCTO DE LOS
“n“ TÉRMINOS DE
UNA PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA:
¡ATENCIÓN!
T1 =
Tn =
Pn = producto de “n” términos
Términos extremos
2) “En una progresión
geométrica de un número
impar de términos, el
término central es igual a la
raíz cuadrada de los
extremos”.
NOTACIÓN:
T1 = Primer término
n = Número de 
términos
Sn = Suma de n 
términos
Sl = Suma límite 
Pn = Producto de “n” 
términos
Tn = Término enésimo
q = Razón
FÓRMULAS:
FÓRMULA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA:
T1 ; T2 ; T3 ; T4 ; … ; Tn 
De la definición: 
Tn = Tn – 1 * q ; despejando “q” 
 q = 
Tn
Tn – 1
 
 
Cuando: 
q > 0 ; Se obtiene una P. Geométrica creciente 
0 < q > 1 ; Se obtiene una P. Geométrica decreciente 
q < 0 ; Se obtiene una P. Geométrica oscilante 
RAZÓN GEOMÉTRICA (q): 
T1 ; T2 ; T3 ; T4 ; … ; Tn 
De la definición: 
Tn = Tn – 1 * q ; despejando “q” 
 q = 
Tn
Tn – 1
 
 
Cuando: 
q > 0 ; Se obtiene una P. Geométrica creciente 
0 < q > 1 ; Se obtiene una P. Geométrica decreciente 
q < 0 ; Se obtiene una P. Geométrica oscilante 
Sean las progresiones: 
*1 , 2 , 4 , 8 q = 2 > 1 ; P.G. Creciente 
 x2 x2 x2 
*81 , 27 , 9 , 3 q= 
1
3
 ; P.G. Decreciente 
 x
1
3
 x
1
3
 x
1
3
 
*1 , -3 , 9 , -27 q = -3 ; P.G. Oscilante 
 x(-3) x(-3) x(-3) 
NOTACIÓN:
T1 = Primer término
n = Número de 
términos
Sn = Suma de n 
términos
Sl = Suma límite 
Pn = Producto de “n” 
términos
Tn = Término enésimo
q = Razón
FÓRMULAS:
Término de lugar “n” de una Progresión Geométrica:
Tn = T1 x 𝑞𝑛−1 
 
Tal que n = número de términos.
 
𝒏 = 
𝐥𝐨𝐠 𝒕𝒏 − 𝐥𝐨𝐠 𝒕𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒒
+ 𝟏 
Término de lugar “n” de una Progresión Geométrica:
Tn = T1 x 𝑞𝑛−1 
 
En la siguiente sucesión 
geométrica: 3 ; 12 ; 48 ;… 
Calcular los términos de 
lugares 20 y 35.
Datos: t1 = 3 
q = 4 
Aplicando: 
 
 t20 = 3 x 420−1 = 3 𝑥 419 
 t35 = 3 x 435−1 = 3 𝑥 434 
tn = t1 x 𝑞𝑛−1 
NOTACIÓN:
T1 = Primer término
n = Número de 
términos
Sn = Suma de n 
términos
Sl = Suma límite 
Pn = Producto de “n” 
términos
Tn = Término enésimo
q = Razón
FÓRMULAS:
Suma de los “n” primeros términos de una Progresión 
Geométrica:
Sn = T1 x 
𝑞𝑛−1
𝑞−1
 
 
También: 
Sn = 
Tn x q − T1
𝑞 −1
 
 
 
q ≠ 1
Donde: Sn = t1 + t2 + t3 + … + tn
Dado que: tn = t1𝑞
𝑛−1
Suma de los “n” primeros términos de una Progresión 
Geométrica:
Hallar la suma de los 
primeros términos de la 
siguiente progresión:
2 ; 4 ; 8 ; …
Hallamos: q = 
4
2
= 2 t1 = 2
S9 = 2 
(29− 1)
(2−1)
= 2 𝑥 511 = 1022
 
Sn = 
t1 ( 𝑞𝑛 − 1)
𝑞 −1
 
NOTACIÓN:
T1 = Primer término
n = Número de 
términos
Sn = Suma de n 
términos
Sl = Suma límite 
Pn = Producto de “n” 
términos
Tn = Término enésimo
q = Razón
FÓRMULAS:
Suma límite de una Progresión Geométrica Decreciente 
de infinitos ( ∞ ) Términos:
SL= 
 T1
1−𝑞
 
 
; 𝑞 < 1
Es decir: SL = t1 + t 2 + t3 + t4 + … + ∞
Donde: -1 < q > 1 ; q ≠ 0
Suma límite de una Progresión Geométrica Decreciente 
de infinitos ( ∞ ) Términos:
SL= 
 T1
1−𝑞
 
 
Hallar la suma de la siguiente 
Progresión Geométrica;
27 ; 9 ; 3 ; 1 ; 
1
3
; …
SOLUCIÓN: 
q = 
9
27
=
1
3
; P.G. Decreciente
Sn =
27
1−
1
3
=
27
2
3
=
27 𝑥 3
2
=
81
2
= 40.5
NOTACIÓN:
T1 = Primer término
n = Número de términos
Sn = Suma de n términos
Sl = Suma límite 
Pn = Producto de “n” 
términos
Tn = Término enésimo
q = Razón
FÓRMULAS:
Producto de los “n” primeros términos de una 
Progresión Geométrica
Pn = (T1 x Tn)𝑛 
 
Interpolación en: 
 a : ……. : b 
“m” medios Geométricos, se cumple que; 
q = 𝑚 + 1 
𝑏
𝑎
 
 
 
MEDIOS GEOMÉTRICOS:
NOTACIÓN:
T1 = Primer término
n = Número de 
términos
Sn = Suma de n 
términos
Sl = Suma límite 
Pn = Producto de “n” 
términos
Tn = Término 
enésimo
q = Razón
FÓRMULAS:
Interpolación de medios geométricos:
Interpolación en: 
 a ; ……………….. ; b 
Aplicando: tn = t1 x 𝑞𝑛−1 
se cumple que; 
b = 𝑎. 𝑞𝑚+2−1 
q = 𝑚 + 1 
𝑏
𝑎
 
Producto de los “n” primeros términos de una Progresión Geométrica
Pn = (T1 x Tn)𝑛 
 
Interpolación en: 
 a : ……. : b 
“m” medios Geométricos, se cumple que; 
q = 𝑚 + 1 
𝑏
𝑎
 
 
 
Interpolar tres medios 
geométricos entre 2 y 32
Datos: a = 2 ; b = 32 ; m = 3 
Interpolando: 
 
 
 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 
 
q = 
32
2
3+1
= 2 
Medios 
Geométrico
s 
PROBLEMAS: 
1.Calcula la suma de los seis
primeros términos de una
progresión geométrica en la que
a1 = 4 y r = 3.
Solución:
En una progresión 
geométrica: 
que para n = 6, será: 
y como a6= a1 · r
5, entonces 
a6 = 4 · 3
5 = 972, entonces: 
2. En una progresión geométrica S6 = 1 456 y r = 3. Determina a1 y a4. Como en 
una 
Sustituyendo: 
Y, por tanto a4 será:
Solución:
= 4
a4 = 4 x 3
4-1 = 108
3. En una P.G. de 6 términos el primer término es
igual a la razón, si la suma del primer y tercer
término es 30. La suma de sus términos es.
a1 = r ; a2 = r
2 ; a3 = r
3
Del dato:
a1 + a3 = r + r
3 = 30
r3 + r = 30
r (r2 + r) = 3 (32 + 1)
Por comparación: r=3
Luego la suma de los seis términos es:
S6 = 
𝑎1(1−𝑎
6)
1−𝑟
Reemplazando:
S6 = 
3(1 – 36 )
1−𝑟
S6 = 
3(−728 )
2
Finalmente:
S6 = 1092
Solución:
4. Calcula la suma de los términos de una 
progresión geométrica finita, donde el 
primer término es 1, la razón 3 y último 
término 243.
a1= 1 
an = 243
r= 3
s= an .r - a1 = 243. 3 – 1 .3 = 728 = 364
r-1 3 – 1 2
Solución:
5. El primertérmino de una progresión geométrica es 3, 
y el octavo termino es 384. Hallar la razón, y la suma y 
el producto de los 8 primeros términos.
Solución:
a1 = 3
a8 = 384
razón: suma:
r = an
an
−
1
s = 
𝑎𝑛.𝑟−𝑎1
𝑟−1
= 
384.2−3
2−1
384 = 3 . r 8-1 s = 
768−3
1
384 = 3. r7 
128 = r7 s = 765
27 = r7
r = 2
6. Calcula el producto de los 8 primeros 
términos de la progresión geométrica:
1 , 1 , 1, 1,2,…
8 4 2
Solución:
a1 = 
1
8
r =
1
4
1
8
= 2
a8 = 
1
8
( 27 ) = 24 = 16
Solución:
7. Un capital de S/. 1 000,000 colocado a una tasa mensual del 8%
ha producido un interés de S/. 2 568.661 en el primer día y de S/. 2
575.259 en el segundo día, calcule el interés efectivo que ganó dicho
capital los días 29 y 30 y el interés acumulado al día 30.
a29, a30 = ?
S30 = ?
a1 = 2 56.661
r = 1.002568653
Razón común de la progresión geométrica.}
Si “n “ > 1 entonces r = 
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1 an - 1 ≠ 0
an = Enésimo término
Interés del día 29
Fórmula para calcular el enésimo 
término de una progresión geométrica.
an = a1 . r
a-1
a29 = 2 568.661(1.002568653
28) 
= 2 759.96 
Interés del día 30
a30 = 2568.661(1.002568653
29) 
= 2 767.05
Interés acumulado al día 30 
Sn= 
2 568.661(1.00256865330−1)
1.002568653−1
= 79999.97737 = 80 000Sn =
𝑎1(𝑟𝑛−1)
𝑟 − 1
r ≠ 1
Fórmula para la suma
de los n primeros
términos de una
progresión geométrica
de razón diferente de 1.
CONCLUSIONES
• LA REALIZACIÓN DEL PRESENTE TRABAJO HA CONTRIBUIDO EN AMPLIAR NUESTROS CONOCIMIENTOS 
PREVIOS SOBRE EL TEMA TRATADO.
• CONOCER LA IMPORTANCIA Y LA APLICACIÓN PRÁCTICA DEL TEMA NOS AYUDA A TENER UNA 
PERSPECTIVA MÁS CRÍTICA DEL MISMO. 
• LA RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS PRÁCTICOS DEL TEMA FAVORECE LA CAPACIDAD DE ANÁLISIS, YA QUE 
CON RELACIÓN A LAS MATEMÁTICAS NO SOLO SE DEBE MEMORIZAR SINO QUE FUNDAMENTALMENTE SE 
COMPRENDE Y RAZONA.