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Sucesiones monótonas 332
Minorada o acotada inferiormente si su conjunto imagen está minorado, es decir, si hay un
número� 2 R tal que�6 xn para todon 2 N.
Acotadasi su conjunto imagen está mayorado y minorado, equivalentemente, si hay un número
M 2 RC tal que jxnj 6 M para todon 2 N.
Crecientesi xn6 xnC1 para todon 2 N.
Estrictamente crecientesi xn < xnC1 para todon 2 N.
Decrecientesi xn> xnC1 para todon 2 N.
Estrictamente decrecientesi xn > xnC1 para todon 2 N.
Monótona si es creciente o decreciente.
Estrictamente monótonasi es estrictamente creciente o decreciente.
Observa que si una sucesiónfxng es creciente (resp. decreciente) entonces se verifica que
xm6 xn (resp.xm> xn) siempre quem 6 n.
Conviene advertir que cuando se dice que una sucesión es monótonano se excluyela po-
sibilidad de que, de hecho, sea estrictamente monótona. Es por ello que, en general, suele
hablarse de sucesiones monótonas y tan sólo cuando tiene algún interés particular se precisa si
son estrictamente monótonas.
7.15 Proposición.Toda sucesión convergente está acotada.
Demostración. Supongamos que lKımfxng D x. Todos los términos defxng a partir de uno en
adelante estarán en el intervalo�x � 1;x C 1Œ, es decir, hay un númerom 2 N tal que para
todon > m se verifica quejxn� xj < 1, lo que implica que
jxnj6 jxn� xj C jxj < 1C jxj para todon > m.
TomandoM DmKaxf1Cjxj; jx1j; � � � ; jxmjg, tenemos quejxnj6 M para todon2N. 2
La proposición anterior es útil a veces para probar que una sucesiónno es convergente:
para ello basta probar que no está acotada.
7.16 Ejemplo. La sucesiónfHng definida para todon2N por:
Hn D
nX
kD1
1
k
D 1C 1
2
C 1
3
C � � � C 1
n
no es convergente.
Para todon2N tenemos que:
2nX
kD1
1
k
D 1C 1
2
C
�
1
3
C 1
4
�
C
�
1
5
C 1
6
C 1
7
C 1
8
�
C � � � C
�
1
2n � 1C � � � C
1
2n
�
>
> 1C 1
2
C
�
1
4
C 1
4
�
C
�
1
8
C 1
8
C 1
8
C 1
8
�
C � � � C
�
1
2n
C � � � C 1
2n
�
D1C n
2
(7.4)
de donde se deduce que la sucesión
˚Pn
kD11=k
	
no está mayorada. Esta sucesión recibe el
nombre deserie armónica. �
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Sucesiones monótonas 333
La proposición recíproca de la anterior no es cierta: la sucesiónf.�1/ng es acotada yno es
convergente. No obstante, hay un caso especial muy importante en que sí es cierta la recíproca.
7.17 Teorema.Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Más concretamente, si una
sucesiónfxng es:
i) Creciente y mayorada, entonceslKımfxng D ˇ, dondě D supfxn W n2Ng.
ii) Decreciente y minorada, entonceslKımfxng D ˛, dondę D Kınffxn W n2Ng.
Demostración. Probaremosi/ quedando la demostración dei i/ como ejercicio. La hipótesis de
quefxng es mayorada garantiza, en virtud del principio del supremo,la existencia del número
real ˇ D supfxn W n 2 Ng. Dado" > 0, tiene que existir un términoxm de la sucesión tal que
ˇ � " < xm. Puesto que la sucesión es creciente para todon > m se verificará quexm6 xn, y
por tantoˇ� " < xn. En consecuenciǎ � " < xn < ˇC " para todon > m. Hemos probado
así que lKımfxng D ˇ. 2
7.18 Ejemplo. La sucesiónfxng definida porxnD
2nX
kDnC1
1
k
, es convergente.
En efecto, como
xnC1� xnD
1
2nC 2C
1
2nC 1�
1
nC 1 >
1
2nC 2C
1
2nC 2�
1
nC 1D 0
se sigue quexnC1> xn para todon 2 N, es decir, es una sucesión creciente. Además
xn6
1
nC 1C
.n� � � C 1
nC 1 D
n
nC 1 < 1
por lo que también está mayorada. Concluimos, por el teoremaanterior, que dicha sucesión es
convergente. �
7.2.3.1. El númeroe
En el ejercicio30 hemos probado que la sucesiónxn D
�
1C 1
n
�n
es creciente y que la
sucesiónyn D
�
1C 1
n
�nC1
es decreciente. Como0 < yn, se sigue quefyng es convergente.
Puesto que
xn D yn
�
1C 1
n
��1
D yn
n
nC 1
se sigue quefxng también es convergente y lKımfxng D lKımfyng. El valor común de este límite
es un número real que se representa con el símbolo e. Como consecuencia del teorema7.17, se
verifica que:
eD sup
��
1C 1
n
�n
W n2N
�
D Kınf
(�
1C 1
m
�mC1
Wm2N
)
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Sucesiones convergentes y estructura algebraica deR 334
En particular, para todosn;m2N se verifica que:
�
1C 1
n
�n
< e<
�
1C 1
m
�mC1
(7.5)
7.2.4. Sucesiones convergentes y estructura algebraica deR
En los resultados anteriores han intervenido de manera esencial las propiedades de la es-
tructura de orden deR. Vamos a estudiar ahora el comportamiento de las sucesionesconver-
gentes respecto de la adición y el producto de números reales. Los resultados que vamos a
obtener, conocidos tradicionalmente con el nombre deálgebra de límites, son básicos para el
estudio de la convergencia de sucesiones.
Dadas dos sucesionesfxng e fyng, se define susuma como la sucesiónfxnC yng y su
producto como la sucesiónfxnyng.
7.19 Proposición.El producto de una sucesión convergente a cero por una sucesión acotada
es una sucesión convergente a cero.
Demostración. Sea lKımfxng D 0, e fyng acotada. Seac > 0 tal quejynj6c para todon 2N.
Dado" > 0, existe un número naturalm tal que para todon>m se verifica quejxnj < "=c.
Deducimos que, para todon>m, se verifica quejxnynj D jxnjjynj <
"
c
c D ", lo que prueba
que lKımfxnyng D 0. 2
7.20 Proposición(Álgebra de límites). Supongamos quelKımfxngDx y lKımfyngDy. Entonces
se verifica que:
lKımfxnC yng D x C y; lKımfxnyng D xy :
Si además suponemos quey ¤ 0, entonceslKımfxn=yng D x=y.
Demostración. Dado" > 0, por hipótesis existenm1;m2 tales que
x � "=2 < xp < x C "=2 y y � "=2 < yq < y C "=2 (7.6)
para todop > m1 y todoq > m2. Seam0 DmKaxfm1;m2g. Para todon > m0 las desigualda-
des (7.6) se cumplen parapDqD n, por lo que, sumándolas término a término, deducimos que
xCy�" < xnCyn < xCyC" cualquiera sean>m0, lo que prueba que lKımfxnCyngDxCy.
Teniendo en cuenta que, por las proposiciones7.15y 7.19, se verifica que lKımf.xn�x/yngD
lKımfx.yn� y/g D 0, y la igualdad
xnyn � xy D .xn� x/yn C x.yn� y/
deducimos que lKımfxnyn � xyg D 0, es decir, lKımfxnyng D xy.
Finalmente, para probar que lKımfxn=yng D x=y, probaremos que la sucesión
�
xn
yn
� x
y
�
D
�
xny � ynx
yny
�
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