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Definición de la exponencial compleja 380
Gracias a este resultado el estudio de sucesiones de númeroscomplejos se reduce a estudiar
la convergencia de dos sucesiones de números reales.
Los resultados obtenidos para sucesiones de números realesen los que no interviene la
estructura de ordenson también válidos para sucesiones de números complejos. Son válidos,
en particular, los resultados relativos a álgebra de límites, el teorema de Bolzano–Weierstrass
y el teorema de completitud.
7.4.1. Definición de la exponencial compleja
Una de las formas de definir la exponencial de un número realx es mediante el límite
exD lKım
n!1
�
1C x
n
�n
Por tanto, una forma coherente de definir la exponencial de unnúmero complejo sería calcular
el anterior límite paraz 2C. Pongamosz D x C iy donde suponemos quey ¤ 0 (puesto que
si y D 0 tendríamos quez D x sería un número real). Sea
zn D
�
1C x C iy
n
�n
:
Pongamos:
wn D 1C
x C iy
n
D 1C x
n
C i y
n
; 'n D arc tg
y=n
1C x=n :
Sean0 tal que paran > n0 se verifique que Re.wn/ > 0. Entonces, paran > n0 resulta que
'n D arg.wn/. Por otra parte, el módulo dewn viene dado por:
jwnj2 D
ˇ̌
ˇ1C z
n
ˇ̌
ˇ
2
D
�
1C x
n
�2
C y
2
n2
:
Comozn D .wn/n, tenemos, gracias a la fórmula de De Moivre, que:
zn D .wn/n D jwnjn.cos.n'n/C i sen.n'n//D
�
1C x C iy
n
�n
D
D
"�
1C x
n
�2
C y
2
n2
#n=2�
cos.n'n/C i sen.n'n/
�
:
Pero, por el criterio de equivalencia logarítmica, es:
lKımjwnjn D lKım
"�
1C x
n
�2
C y
2
n2
#n=2
D exp
 
lKım n
2
 
2x
n
C x
2
n2
C y
2
n2
!!
D ex :
Además, la sucesiónf'ng es asintóticamente equivalente a la sucesión
�
y=n
1C x=n
�
. Por tanto
lKımfn'ng D lKım
�
n
y=n
1C x=n
�
D y:
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 381
En consecuencia, tenemos que:
lKım
n!1
�
1C z
n
�n
D lKım
n!1
.wn/
n D lKım
n!1
jwnjn
�
cos.n'n/C i sen.n'n/
�
D ex.cosy C i seny/:
Se define, por tanto, la exponencial de un número complejoz D x C iy como
exCiy Dex.cosy C i seny/:
7.4.2. Ejercicios propuestos
360. Estudia la convergencia de las sucesiones:
i) zn D n
p
n C i n an .a2R; jaj < 1/ ii) zn D
2n
n
C i n
2n
iii) zn D n
p
aC i sen1
n
.a > 0/ iv) zn D n sen
1
n
C 5 i cos1
n
v) zn D
�
1C i
2
�n
vi) zn D
�
1p
2
C i 1p
2
�n
361. Seafzng una sucesión de números complejos no nulos y sea'n2Arg.zn/. Supongamos
quef'ng ! ' y fjznjg ! �. Justifica que la sucesiónfzng ! �.cos' C i sen'/.
362. Calcula el límite de la sucesiónzn D
 
1C
p
2C i �
3
n
!n
.
Sugerencia. Expresazn D jznj.cos'n C i sen'n/ y usa el ejercicio anterior.
363. Calcula el límite de la sucesiónzn D n
�
n
p
2
�
cos
�
2n
C i sen �
2n
�
� 1
�
.
Sugerencia: Recuerda que el límite de la sucesiónn
�
n
p
2 � 1
�
es bien conocido.
364. Seaz 2 C, con jzj D 1, z ¤ 1. Prueba que la sucesiónfzng no converge (¿qué pasa si
supones que converge?). Deduce que si' es un número real que no es un múltiplo entero
de� , las sucesionesfcos.n'/g y fsen.n'/g no convergen.
7.4.3. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 178 Calcula el límite de la sucesiónzn D n
�
n
p
2
�
cos
�
2n
C i sen �
2n
�
� 1
�
.
Sugerencia. Recuerda que el límite de la sucesiónn
�
n
p
2� 1
�
es bien conocido.
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Cálculo diferencial e integral
Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y deWeierstrass 382
Solución.
zn D n
�
n
p
2
�
cos
�
2n
� 1
�
C i n
p
2 sen
�
2n
C n
p
2 � 1
�
D
D n
�
n
p
2� 1
�
C n
p
2
�
2
cos
�
�
2n
�
� 1
�
2n
C i n
p
2
�
2
sen
�
�
2n
�
�
2n
! log2C i �
2
Ejercicio resuelto 179 Seaz 2 C, conjzjD1, z¤1. Prueba que la sucesiónfzng no converge
(¿qué pasa si supones que converge?). Deduce que si' es un número real que no es un
múltiplo entero de� , las sucesionesfcos.n'/g y fsen.n'/g no convergen.
Solución.Siguiendo la sugerencia, supongamos quefzng converge a un númerow2C.
ComojznjDjzjnD1, debe serjwjD1. Por una parte, es claro quefznC1g ! w y también
fznC1g D zfzng ! zw, por tanto debe serz D wz, lo que implica que.z � 1/w D 0 lo
cual es imposible porquez ¤ 1 y w ¤ 0. Concluimos quefzng no converge.
Sea' un número real que no es un múltiplo entero de� . PongamoszD cos' C i sen'.
Tenemos quez¤1 y jzjD1. Por lo antes visto, la sucesiónfzngDfcos.n'/C i sen.n'/g
no converge. Veamos que esto implica que ninguna de las sucesionesfcos.n'/g, fsen.n'/g
converge.
En efecto, de la igualdad:
sen.nC 1/D senn cos1C cosn sen1 ÷ cosnD 1
sen1
�
sen.nC 1/ � senn cos1
�
se deduce que sifsen.n'/g converge, también convergefcos.n'/g y, por tanto, la suce-
siónfcos.n'/C i sen.n'/g converge, lo que es contradictorio.
Análogamente, de la igualdad:
cos.nC 1/D cosn cos1� senn sen1 ÷ sennD 1
sen1
�
cos.nC 1/ � cosn cos1
�
se deduce que sifcos.n'/g converge, también convergefsen.n'/g y, por tanto, la suce-
siónfcos.n'/C i sen.n'/g converge, lo que es contradictorio. ©
7.5. Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y de
Weierstrass
Las demostraciones que vimos en el capítulo 4 de los teoremasde Bolzano y de Weierstrass
se apoyaban directamente en “primeros principios”, esto es, en la definición de continuidad y
en el axioma del supremo. Por eso dichas demostraciones son un poco complicadas y no del
todo fáciles de seguir en una primera lectura. Con la ayuda dela teoría desarrollada en este
capítulo podemos dar demostraciones más cortas y amigablesde dichos teoremas.
7.54 Teorema(Otra demostración del teorema de los ceros de Bolzano). Toda función con-
tinua en un intervalo que toma valores positivos y negativosse anula en algún punto de dicho
intervalo.
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